第一课时
题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标：
理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cos x =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cos x =在一个周期内的简图。 教学重点和难点：
重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2
蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和
y cos x =在一个周期内的简图。
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析：
学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规
教学过程：
（一）知识链接
1、正弦线的概念
2、诱导公式（六）
（二）情景设置
在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？
这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。
【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考
（三）课题导入
提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法：
步骤：列表、描点、连线
大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
大家发现用描点法来画正弦函数图象，由于对于每个角的正弦值，计算相对困难且大多数是一些近似值，因此不易描出对应点的准确位置，因而画出的图象不够准确。那么通过我们学习过的哪些知识能准确的找到正弦值所对应的位置呢？
正弦线
[师生合作探究] ☆② 几何作图法
多媒体展示正弦函数图像的形成
1建立直角坐标系，画单位圆 2取角作正弦线 3平移得点 4描画图象 【设计意图】通过对问题的探究，解决问题的尝试亲历知识的形成过程，使该过程得到重视，促进交流、合作
提问2、如何作正弦函数在R 上的图象？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
sin y x
=在
[]2,2(1)x k k ππ∈+，k Z ∈，0k ≠的图象与函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象
的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数sin y
x =，x R ∈的图象，即正弦曲线。
【探究】你能根据诱导公式六cos sin(
)2
y
x x π
==+，以正弦函数的图像为基础，通过
适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？ 注！左上加，右下减
【思考】在正弦函数sin [0,2]y x x π=∈，图像中，起到关键作用的是哪几个点？
五个关键点：3(
,1),(
,1),(0,0),(,0),(2,0)2
2
x π
π
ππ-最高最低与轴交点 事实上，描出这五个点，函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象的形状就基本确定了。今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们把这种方法称为“五点作图法”。☆ 【探究】类似于正弦函数的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请你将它们的坐标填入下表，然后作出 cos ,[0,2]y
x x π=∈的图像。
【设计意图】熟练图象灵活应用加深对五点本质的认识
（四）典型例题
例1用五点法作函数sin ,y
x =[]0,2x π∈与1sin ,y x =+[]0,2x π∈的图象.
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
【设计意图】巩固五点法作图
例2 画出函数-cos ,[0,2]y
x x π=∈的简图：
解：按五个关键点列表
描点并利用正弦函数的特征用光滑的曲线连接起来：
（五）课堂效果检测
1、P34练习1、2
2、用五点法作函数sin 2,y
x = []0,x π∈的图象.
【设计意图】理解五点法作图的本质，体会换元思想
3、用五点法作函数cos(2)2
y
x π
=+
一个周期内的图象
（六）板书设计
（七）课堂小结
（八）教学反思
第二课时
题目：正弦函数、余弦函数的性质----周期性 授课时间：3月26日，星期二 课型：新授课 教学目标：
1理解周期函数的意义；
2探究函数y Asin(x )=w +f 和y Acos(x )=w +f 的周期。
教学重点和难点：
重点：周期性定义，正弦、余弦函数的最小正周期； 难点：周期函数及最小正周期的意义。 学情分析：
本节课是学生在学了诱导公式和三角函数的图像之后，对三角函数又一次深入的探讨，周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其他性质的基础。
学生在此之前有了一定的数形结合的能力，但推理论证、分析问题解决问题的能力较差。所以在此节教学中要注意引导学生多观察，并从生活中熟悉的周期相关的问题如星期天等来过渡理解。
教学方法：引导发现法、探索讨论法、问题探究法、投影多媒体手段 教具、学具的准备：直尺、多媒体
教学过程：
（一）知识链接
1、公式一
2、正弦函数在[0,2] 上的图像及在R 上的形成过程
（二）情景设置
根据常识大家知道今天是星期一的话，那么7天之后是星期一，14天之后还是星期一，那么你知道几天前是星期一吗？你的依据是什么？
那么生活当中你还接触过哪些具有这样的重复循环的周期现象呢？
（三）课题导入
大家观察正弦函数的图像，它是否也有这样的规律？
大家从图像中可以发现在区间[0,2],[2,4],[4,6]....πππππ，中重复，即当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现。
并且从公式一sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈中我们知道sin(2)sin x x π+=，若记
()f x sinx =,则对于任意x R ∈,都有(2)()f x f x π+=
☆周期函数及周期的定义
周期函数定义如下：一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
提问1、由上述定义，函数y =sin x 的周期是什么？ 2π、4π、6π、……2k π (k ∈Z 且k ≠0). ☆最小正周期的概念.
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
上面的函数y =sin x 的最小正周期为2π.
（四）典型例题
例1、判断题
（1）因为sin()sin 424πππ+=,所以2
π是sin y x =的周期. ( )
（2）周期函数的周期唯一 ( ) 【设计意图】设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质． 例2、求下列函数的最小正周期
（1）()3cos f x x =，x R ∈；
（2）x x f 2sin )(=，x R ∈； （3）1()2sin()2
4
f x x π
=+
，x R ∈；
【设计意图】设计例2使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．
（五）课堂效果检测
1、P 36练习1、2
2、求下列函数的周期
(1)cos -2,1(2)sin(-)
2
(3)sin y x x R y x y x
π=∈=+=（） 【设计意图】设计1、2使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．2（3）为了让学生学会从图像中求函数的周期。
3、f(x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (1)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
4、若函数y=f (x )是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时f (x )=x +1，则f (π)的值为 （ ）
A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4
★5、设f （x ）是(-∞,+ ∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x
，则f(7.5)等于（ ）
A.0.5
B.-0.5
C.1.5
D.-1.5 ★★6、设奇函数f(x)对任意x ∈R,都有f （x+3）=-）
（x f 1
且当x ∈[-3，-2] 时，f(x)=2x ，则f(108.5)的值为（ ）
A.7
2
-
B.72
C.51-
D.51
★★★7、函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x 均满足f(x+2)=f(2-x)且f(x-1)=f(x-3)，
当1≤x ≤2时，f(x)=x 2
，则f(x)的单调递减区间是（ ）（以下k ∈Z ）
A.[2k ，2k+1]
B. [2k-1，2k]
C.[2k ，2k+2]
D. [2k-2，2k]
★8、若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=且2
(1,1],()1x f x x ∈-=- 时,函数
()lg ||g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数为________
（六）板书设计
（七）课堂小结
1、周期函数的定义
2、sin cos 2y x y x π==正弦函数和余弦函数的最小正周期都是
3、周期求法：（1）定义法；（2）图像法
（八）教学反思
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x 的图象， 进而画出 y cosx 的图象；会用“五点法”画y sin x 和y cosx 在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x 0,2的图象，用“五点法”画y sin x 和 y cosx 在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
正余弦函数的周期性 【学习目标】 1.理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义。 2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并会求一些简单三角函数的周期。 3.根据函数图像导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美。 【学习重点】周期函数的定义及正、余弦函数的周期性。 【学习难点】周期函数的定义及运用定义求函数的周期。 【学案导学】 1. 请同学们画出正余弦函数的图像并观察图象的变化规律。 问题1: (1)正余弦函数的图像是按照一定规律重复出现。 (2)这个规律由诱导公式 可以说明。 (3)规律：当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值就重复出现。 结论1：像这种函数，就叫做周期函数。 2. 周期函数的定义： 周期的定义： 问题2：正弦函数的周期为多少？周期中是否存在一个最小的正数？若存在，则最小的正数为多少？ 最小正周期的定义: 结论2：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 余弦函数是 。 问题3：（1）周期函数的周期唯一吗？ x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32π52π72πo x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32 π52π72πo
（2）教材第36页练习题第1题。 （3）函数()1f x =是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注意：（1） （2） （3） 例1. 求下列函数的周期。 (2)sin 2,y x x R =∈ 1(3)2sin(),26 y x x R π=-∈ 问题4：你能从以上的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 结论3：sin(),cos()(,,00y A x y A x A A ω?ω?ω?ω=+=+≠>为常数，，） T= 练习：教材第36页第2题 (5)cos 2y x =- (6)sin()3y x ππ=+ (7)2cos(2)(0)4 y x πωω=+> 3.求周期的常用方法：（1） （2） （3） 练习： 4.课堂小结： （1） （2） （3） 作业： 【迁移发散】 课外思考题： (1)你认为上述结论3能否推广到求一般周期函数的周期上去？ 即命题：如果函数()y f x =的周期是T ，那么函数()(0)y f x ωω=>的周期是 ? (2)求函数sin ,y x x R =∈的周期？ (3)已知函数f x （）定义域为R 且满足1f x f x +=-（）（），求函数f x （）的周期？ (1)3cos ,y x x R =∈T ω36P 346P 3.10
正余弦函数的图像与性质 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
xx －xx 学年度下学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质 一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4 sin(π +=x y 在闭区间（ ）上为增函数. （ ） A ．]4 ,43[ππ- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 2．函数)4 2sin(log 2 1π + =x y 的单调减区间为 （ ） A ．)(],4(Z k k k ∈- ππ π B ．)(]8,8(Z k k k ∈+- π πππ C ．)(] 8 ,83(Z k k k ∈+-π πππ D ．)(]8 3 ,8(Z k k k ∈++ππππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2 -+=x a x x f 的最大值为 （ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B ．4 π - =x C ．8π=x D ．π4 5=x 5．方程x x lg sin =的实根有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是 （ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ）
教学目标： 1、使学生进一步巩固正、余弦函数的图像和性质； 2、能运用正、余弦函数的图像和性质解决有关问题。 教学重点：正、余弦函数的图像和性质的应用 上课时间：2013年12月3日 上 课 人：单文明 教学过程： 一、概念回顾： 1、正弦函数图像 余弦函数图像 2、性质： x y s i n = x y c o s = （1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性： （4）周期性： （5）最 值： （6）单调性： （7）对称性： 二、基础练习： 已知函数()2sin(2)4f x x π =- （1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若3[0,]4 x π∈，求()f x 的取值范围；
（7）求函数()f x 的对称轴与对称中心； （8）若()f x ?+为奇函数，[0,2)?π∈，求?； 三、例题讲解： 1、函数x y 3sin π =在区间],0[t 上恰好取到2个最大值， 则实数t 的取值范围是 2、已知函数b x a x f +- =)32sin(2)(π的定义域为]2,0[π ， 函数的最大值为1， 最小值为5-，求a ，b 的值 3、设函数])2 ,0[(,2385cos sin )(2π∈-++=x a x a x x f 的最大值为1， 试确定a 的值 四、巩固练习： 1、函数 ]2,0[,sin 2sin π∈+=x x x y 的图像与直线k y =有两个不同交点，则实数k 的取值范围是
正弦函数与余弦函数的图像与性质 1．已知函数f (x )＝sin(x －π2 )(x ∈R )，下面结论错误的是________． ①函数f (x )的最小正周期为2π ②函数f (x )在区间[0，π2 ]上是增函数 ③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 ④函数f (x )是奇函数 2．函数y ＝2cos 2(x －π4 )－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2 的偶函数 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2 ，则f (x )的最大值为________． 4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝ π12，则a 的值为________． 5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 . (1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和． B 组 1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23 x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝ π3 对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________． ①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6 ) 3．若π4
2018年全国卷数学文科第一轮复习资料 第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质 A 组 1．已知函数f (x )＝sin(x －π2 )(x ∈R )，下面结论错误的是． ①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2 ]上是增函数 ③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数 2．函数y ＝2cos 2(x －π4 )－1是________． ①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2 的偶函数 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2 ，则f (x )的最大值为________． 4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12 ，则a 的值为________． 5．(原创题)设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 . (1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和． B 组 1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23 x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
2．给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝π 3 对称．则下列四个函数中，同时具 有性质ab的是________．
正余弦函数图像的性质 一． 知识点 （1）三角函数的图像变换： ()1 sin sin x x y x y x ?ω ?=????????→=+???????→ 横坐标变为原来的倍 沿轴向左平移个单位长度()()sin sin A y x y A x ω?ω?=+???????→=+纵坐标变为原来的倍 ()sin y k y A x k ω?????????→=++沿轴向上平移个单位长度 例：函数sin 3sin 23y x y x π? ?=→=- ?? ?： 1 3 2sin sin 3x y x y x ππ? ?=????????→=-???????→ ?? ?沿轴向右平移个单位长度 横坐标缩短为原来的倍sin 23sin 233y x y x ππ??? ?=-???????→=- ? ???? ?纵坐标伸长为原来的3倍 （2）正弦函数的性质与图像：见完全解读P88 二． 历年真题 （2005）函数y=sin （x+ 2π）在区间-,22ππ?? ???? 上是【 B 】 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 减函数 D. 增函数 （2008）函数y=f(x)的图像由y=sinx 的图像向右平移4 π 单位得到，则f(x)=【 B 】 A. sin （x+ 4π） B. sin(x -4 π) C.4π+sinx D. -4π +sinx （2009）函数y=cos (x -4 π ) 【 B 】 A. 在（- 4π，34π）上是增函数 B. 在（-34π，4π）上是增函数 C. 在（-4π，34π）上是减函数 D. 在（-34π，4 π ）上是减函数
（2014）若x ),(ππ-∈且cosx ﹥sinx ，则【 B 】 A. )4, 0(π ∈x B. )4,43(ππ- ∈x C. )4,43(ππ-∈x )4,0(π? D. )2,43(ππ--∈x )4 ,0(π ? （2007）已知0>ω，)2 ,2(π π?-∈. 如果函数)sin(?ω+=x y 的最小正周期是π， 且其图象关于直线12 π = x 对称，则取到函数最小值的自变量是【 A 】 A. Z k k x ∈+- =,125ππ B. Z k k x ∈+-=,65 ππ C. Z k k x ∈+=,61ππ D. Z k k x ∈+=,12 1 ππ （2009）函数2=2sin -3sin +1y x x 的最小值是 【 A 】 A. -18 B.- 1 4 C.0 D.1 （2015）函数14cos 34sin 3+-=x x y 的最小正周期和最小值分别是【 D 】 A. π和3-1 B. π和32-1 C. 2π和3-1 D. 2 π 和32-1 （2010）（本题满分18分） 已知函数，f （x ）=sin 2x+2 3sinxcosxcos 2x 。 （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最小值； （Ⅱ）y= f （x ）图像的对称轴方程为x=a ，求a 所有可能的值； （Ⅲ）若f （x 0）= --2，x 0∈（-- 125π，12 7 π），求x 0的值。
正余弦函数的图像与性 质周期性 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x的图象，进而画出y cosx的图象；会用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x0,2的图象，用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法：通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规
教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象 ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin =[] y x ∈的图像 xπ 0,2
《正弦、余弦函数的周期性》教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用． 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标： (一)知识与技能 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx的周期性． (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程：
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.下列说法只不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x =2k π( k ∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2k π+2π,2k π+32 π]( k ∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2k π-π,2k π]( k ∈Z)上都是减函数 2. 函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ( ) (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0] 3.若 a =sin 460, b =cos 460, c =cos360，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) c > a > b (B) a > b > c (C) a >c > b (D) b > c > a 4. 对于函数 y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 5.函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的 面积是 ( ) (A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π *6.为了使函数y = sin ωx （ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是 ( ) (A)98π (B)1972π (C) 1992 π (D) 100π 二. 填空题 7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 . 9. 函数f (x )=lg(2sin x 的定义域是 ;
正余弦函数的周期性练习 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数y ＝3sin ????2x ＋π 6的最小正周期是 ( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π 2 2．下列函数中，周期为π 2 的是 ( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin2x C ．y ＝cos x 4 D ．y ＝cos4x 3．函数y ＝sin(4－2x )的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 4.若0≠a ，则()π+=ax y sin 的最小正周期是（ ） A. a π B.a π C. a π 2 D. a π2 5．在函数y ＝sin|x |，y ＝|sin x |，y ＝sin ????2x ＋π3，y ＝cos ????2x ＋2π 3中，最小正周期为π的函数的个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．函数y ＝??? ?sin x 2的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 7、下列命题中，正确的是 （ ） A 、x x x f +=sin )(是周期函数 B 、3)(=x g 是周期函数 C 、x x x h cos )(=是周期函数 D 、x x u 2sin )(=的最小正周期为π2 8、函数)6 2cos()(π π+ =x x f 的最小正周期是 （ ） A 、π B 、 2 π C 、1 D 、 2 1 9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2 的函数，若f (x )＝????? cos x ????－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，则f ????－15π4的值等于 ( ) A ．1 B. 2 2 C ．0 D ．－ 22 二、填空题(每小题8分，共计24分) 10.若??? ??-=x y ωπ3cos 2的最小正周期是π4 ，则=ω ()0>ω. 11.已知()0,4sin >??? ? ?+ =ωπωx y 的最小正周期为 3 2π ，则=ω ； 12．已知函数f (x )是周期为6的奇函数，且f (－1)＝1，则f (－5)＝__________. 13．函数y ＝2cos ????π 3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝__________. 14．若f (x )＝4sin ? ???ωx －π 3的最小正周期不小于2，则正整数ω的最大值是__________． 三、解答题(共计40分) 15.写出下列函数的周期: (1)x y 3sin =； (2)3cos x y =； (3)??? ? ? +=34cos πx y ； (4)??? ??-= 42 1 sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2. （3）|2sin |x y = （4）7)6 21cos()32 1sin(2+--+ =π π x x y 16、已知函数)3 3sin( 5)(π+=x k x f ， （1）若周期为π3，求k 的值； （2）若周期不大于1，求自然数k 的最小值。
正、余弦函数的图象和性质检测题 一、选择题（每小题5分，共50分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数) 3 2sin(2π+=x y 的图象 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－6 π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6 π对称 2．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ） A ．]3, 0[π B ．] 127,12[ππ C ．]6 5,3[ππ D ．],6 5[ ππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．π4 5=x 5．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是 （ ） A ．3,1π?ω== B ．3 ,1π ?ω-== C ．6,21π?ω== D ．6 ,21π ?ω-== 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=－8 π 对称，那么α的值为 （ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 8．函数y=2cos 2x +1(x ∈R )的最小正周期为 （ ） A ． 2 π B ．π C ．π2 D ．π4 9．已知函数1)2 sin()(--=π πx x f ，则下列命题正确的是 （ ） A ．)(x f 是周期为1的奇函数 B ．)(x f 是周期为2的偶函数 C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数 D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 10．函数x x y cot cos +-=的定义域是 （ ） A ．]2 3 ,[ππππ+ +k k B ．]2 32,2[ππππ+ +k k 1 y x
6.1课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）教案 教学目的：1、理解正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2、会求简单函数的值域、最小正周期和单调区间； 3、掌握正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期及求法。 教学重点：正、余弦函数的性质。 教学过程： （一）、引入 回顾三角函数的图像： 函数y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象， （二）、新课 1．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 2．值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ，x ∈R ①当且仅当x ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1 3．周期性 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。 注意： （1）周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无 下界； （2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） （3）T 往往是多值的（如y=sinx ，2π，4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数 叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。 4．奇偶性 由sin(－x)＝－sinx ， cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 5．单调性 从y ＝sin x ，x ∈［－ 23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2 π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2 π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－ 2π＋2k π，2 π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 （三）典型例题（3个，基础的或中等难度） 例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。 （1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R 解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取 得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。 ∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像