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导数单元测试
【检测试题】
一、选择题
1. 设函数 y f ( x) 可导,则 lim f (1 x) f (1) 等于().
x 0 3 x A .f '(1) B.3 f '(1) C.1
f '(1) D.以上都不对
已知函数 f ( x)= ax2+ c,且f 3
2. (1) =2,则a的值为()
A.1
B. 2
C. - 1
D. 0
3 . f ( x) 与 g( x) 是定义在R 上的两个可导函数,若 f (x) , g ( x) 满足 f ' (x) g' ( x) ,则
f ( x) 与 g( x) 满足()
A f ( x) 2 g( x)
B f (x) g (x) 为常数函数
C f ( x) g( x) 0
D f (x) g( x) 为常数函数
4. 三次函数 y ax3 x 在 x , 内是增函数,则()
A .a 0
B .
a 0
C .
a 1
D .a
1
3
5. 已知函数 y= x 3
c=(
-3x+c 的图像与 x恰有两个公共点,则)
(A ) -2 或 2 ( B) -9 或 3 ( C) -1 或 1 ( D) -3 或 1
6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件7.曲线f (x) = x3 + x - 2 在 p0处的切线平行于直线y = 4x- 1,则 p0点的坐标为()A (1,0) B (2,8)
C (1,0) 和 ( 1, 4)
D (2,8) 和 ( 1, 4)
8.设函数f ( x)
在 R 上可导,其导函数为 f , (x) ,且函数 y (1 x) f ' ( x) 的图
像如题( 8)图所示,则下列结论中一定成立的是()
( A )函数f ( x)
有极大值 f (2) 和极小值 f (1)
(B )函数f ( x)
有极大值
f ( 2)
和极小值
f (1)
(C)函数f ( x)
有极大值
f (2)
和极小值
f ( 2)
(D )函数f ( x)
有极大值
f ( 2)
和极小值
f (2)
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9.已知函数
y f ( x) , y g (x) 的导函数的图象如下左图,那么 y f ( x) , y g( x) 的图象可能是
(
)
10 . 抛物线 y
2x 2 上两点 A( x 1 , y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 关于直线 y x
m 对称,且 x 1 x 2
1 ,则 m 等
2
于(
)
3 B . 2 5 D . 3
A .
C .
2
2
11. 设点 P 在曲线 y
1
e x 上,点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为(
)
2
( A) 1 ln 2
(B)
2(1 ln 2)
(C ) 1 ln 2
( D ) 2(1 ln 2)
12. 已知函数 f (x) = ax
3
3x 2 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x 0 > 0,则 a 的取值范围为(
)
A .( 2,+∞)
B .( -∞, -2)
C .( 1, +∞)
D .( -∞, -1)
二、填空题
13.函数 y
x 3 x 2 x 的单调区间为 _____________________________.
14.已知函数 f ( x) x 3 ax 在 R 上有两个极值点,则实数
a 的取值范围是 .
15.已知函数 f (x) ax ln x ,若 f (x) 1 在区间 (1,
) 内恒成立,则实数 a 的范围为 ______________.
16. f ( x ) =ax 3- 3x +1 对 x ∈ [ -1,1] 总有 f ( x ) ≥0 成立,则 a =
.
三、解答题:
17.如图,一矩形铁皮的长为 8cm ,宽为 5cm ,在四个角上截去
四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长
为多少时,盒子容积最大?
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18.已知函数 f ( x)
ax
3
3 (a 2) x 2
6x 3
2
( 1)当 a 2 时,求函数 f (x) 极小值;
( 2)试讨论曲线 y
f ( x) 与 x 轴公共点的个数。
19. 已知函数 f ( x) x
3
ax
2
bx c 在 x
2
与 x 1 时都取得极值
( 1)求 a,b 的值与函数 f ( x) 的单调区间
3
( 2)若对 x [ 1,2] ,不等式 f ( x)
c 2 恒成立,求 c 的取值范围
20. 已知函数 f ( x)
x 2 xsin x cosx .
(Ⅰ)若曲线 y f ( x) 在点 ( a, f (a)) 处与直线 y
b 相切,求 a 与 b 的值;
(Ⅱ)若曲线 y
f ( x) 与直线 y b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.
21. 设函数 f ( x) x 2 m ln x , g(x) x 2 x a .
⑴当 a
0 时, f ( x) g( x) 在 (1,
) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
⑵当 m
2 时,若函数 h(x) f ( x) g( x) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,求实数 a 取值范围;
⑶是否存在实数
m ,使函数 f ( x) 和 g ( x) 在其公共定义域上具有相同的单调性,
若存在, 求出 m 的值;
若不存在,请说明理由
.
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补充经典题:
1. 若函数y=x3- 3x+ 4 的切线经过点 ( - 2, 2) ,求此切线方程.
1 2
2. 已知函数 f ( x)= x +ln x.
(1) 求函数f ( x) 在区间 [1 , e] 上的值域;
2 3
(2) 求证:x> 1 时,f ( x) <x .
3.已知函数f( x)= x2- ax- aln( x-1)(a∈R ),求函数 f(x)的单调区间
3
4. 定义在 R 上的函数y= f ( x),满足 f (3- x)= f ( x),( x-2) f ′(x)<0,若 x1< x2,且 x1+ x2>3,则有
()
A. f ( x )< f ( x )
B. f ( x ) >f ( x )
1 2 1 2
C.
f ( 1) =(
x
2) D.不确定
xf
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一、选择题
DABAA BCDDA BB
二、填空题
13.递增区间为:( - ∞,1
),( 1, +∞)递减区间为( 1 , 1)3 3
(注:递增区间不能写成:(-∞,1
)∪(1,+∞))3
14.( ,0)
15.( 1, +∞)16. 4
三、解答题:
17.解:设小正方形的边长为x 厘米,则盒子底面长为8 2x ,宽为 5 2x V (8 2x)(5 2x) x 4x3 26 x2 40 x
V ' 12x2 52 x 40,令 V ' 0, 得 x 1,或 x 10 , x 10 (舍去)
3 3
V
极大值V (1) 18 ,在定义域内仅有一个极大值,
V
最大
值18
18.解:(1)f'( x) 3ax 2 3(a 2) x 6 3a( x 2
)( x 1), f ( x) 极小值为 f (1) a a 2
( 2)①若a 0 ,则 f ( x) 3( x 1)2, f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
②若 a 0 , f ( x) 极大值为 f (1) a 0 ,Q f (x) 的极小值为 f ( 2
) 0 ,
2 a
f (x) 的图像与 x 轴有三个交点;
③若 0 a 2 ,f ( x)的图像与x轴只有一个交点;
④若 a 2 ,则f'( x) 6( x 1)2 0 , f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
⑤若 a 2 ,由(1)知 f ( x)的极大值为 f ( 2
) 4(
1
3)2 3 0 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交
a a 4 4
点;
综上知,若 a 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a 0 ,f (x)的图像与x轴有三个交点。
5
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19.解:( 1) f ( x) x 3
ax 2 bx c, f ' (x)
3x 2 2ax
b
由 f '
(
2 ) 12 4 a b 0 , f '
(1) 3 2a b 0 得 a 1
, b 2
3 9 3
2 f ' ( x) 3x 2 x 2 (3x 2)( x 1) ,函数 f (x) 的单调区间如下表:
x
(
, 2 )
2 (
2
,1) 1
(1, )
3
3
3 0
f ' ( x)
f (x)
极大值
极小值
所以函数 f (x) 的递增区间是 (
,
2
) 与 (1, ) , 递减区间是 ( 2
,1) ;
3
3 ( 2)
f ( x)
x 3 1 x 2 2x c, x [ 1,2] ,当 x
2 时, f ( 2) 22 c
2
3 3 27
为极大值,而 f (2)
2 c ,则 f (2)
2 c 为最大值,要使 f ( x) c 2 , x [ 1,2]
恒成立,则只需要 c
2
f (2) 2 c ,得 c
1,或c
2
20.( I )
'
(x) ax 2
(a 1) ,由于函数 f ( x) 在 x
'
0 ,
解 : (Ⅰ)
f
3x
1 时取得极值,所以 f (1)
即 a 3 a 1
0,∴ a 1.
(Ⅱ)方法一:由题设知: ax 2
3x (a 1) x 2 x a 1 对任意 a (0,
) 都成立, 即
a(x 2
2) x 2 2x 0 对任意 a (0,
) 都成立.
设 g (a) a( x 2 2) x 2 2x(a R) , 则对任意 x R , g (a) 为单调递增函数 (a R) .
所以对任意 a (0, ) , g (a) 0 恒成立的充分必要条件是 g(0) 0 . 即 x 2 2x
0 , ∴ 2 x 0 于是 x 的取值范围是 x | 2 x 0 .
方法二:由题设知: ax 2
3x ( a 1) x 2 x a 1对任意 a (0,
) 都成立
即 a(x 2 2) x 2 2x 0 对任意 a (0, ) 都成立.
于是 a
x 2
2x
对任意 a (0, ) 都成立,即
x 2
2x
0 . ∴ 2
x 0 .
x 2
2
x 2
2
于是 x 的取值范围是 x | 2
x 0 .
21.
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高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值
导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直 4.曲线y=-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x-2 5.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 6.已知函数f(x)=1 x ,则f′(-3)=( ) A.4 B.1 9 C.- 1 4 D.- 1 9 7.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 二、填空题 13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 14.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 15.函数y=x e x的最小值为________. 16.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y= x 1+x ; (3)y=lg x-e x. 18.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 19.已知函数f(x)= 1 3 x3-4x+4.(1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1.已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 ( t 表示时间, s 表示位移),则瞬时速度为 4 0 的时刻是:( ) A . 0 秒、 2 秒或 4 秒 B . 0 秒、 2 秒或 16 秒 C . 2 秒、 8 秒或 16 秒 D . 0 秒、 4 秒或 8 秒 2.下列求导运算正确的是( ) A . ( x 1 ) 1 1 B . (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C . (3x ) 3x log 3 e D . x 2 cos x 2sin x 3.曲线 y x 3 2x 4 在点 (13), 处的切线的倾斜角为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 120° 4.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O tO tO t O t A . 1 B . C . D . 6.设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) ( ) x A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 7.如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图,那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 ( ) 8.设 f ( x) x ln x ,若 f '(x 0 ) 2 ,则 x 0 ( ) A . e 2 B . e C . ln 2 D . ln 2 2导数测试题(含答案)
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