二、 数据包络分析(DEA)方法
数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名运筹学家Charnes, Cooper 和Rhodes 于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decision making unit ，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价[
。DEA 方法一出现，就以
其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中[2],
[3]。在介绍DEA 方法的原理之前，先介绍几个基本概念:
1. 决策单元
一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。因此，可以认为，每个DMU(第i 个DMU 常记作DMU i )都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。
在许多情况下，我们对多个同类型的DMU 更感兴趣。所谓同类型的DMU ，是指具有以下三个特征的DMU 集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。 2. 生产可能集
设某个DMU 在一项经济(生产)活动中有m 项投入，写成向量形式为1(,,)T m x x x =；产出有s 项，写成向量形式为1(,,)T s y y y =。于是我们可以用(,)x y 来表示这个DMU 的整个生产活动。
定义1. 称集合{(,)|T x y y x =产出能用投入生产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集。 在使用DEA 方法时，一般假设生产可能集T 满足下面四条公理: 公理1(平凡公理): (,),1,2,
,j j x y T j n ∈=。
公理2(凸性公理): 集合T 为凸集。 如果 (,),1,2,,j j x y T j n ∈=, 且存在 0j λ≥ 满足 11n
j j λ==∑
则 11(,)n
n
j j j j j j x y T λλ==∈∑∑。
公理3(无效性公理)：若()??,,,x y T x
x y y ∈≥≤,则??(,)x y T ∈。 ， 公理4 (锥性公理): 集合T 为锥。如果(),x y T ∈那么 (,)kx ky T ∈对任意的0k >。 若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T 有如下的唯一表示形式
()11
,|,
,0,1,2,
,n n
j j j j
j j j T x y x x y y j n λλ
λ==?
?
=≤≥≥=???
?
∑∑。 3. 技术有效与规模收益
(1) 技术有效：对于任意的(,)x y T ∈，若不存在'y y >，且'(,)x y T ∈，则称(,)x y T ∈为技术有效的生产活动。
(2) 规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值/y x
k y x
=
称为规模效益。若1k >，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；若1k <，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若1k =，说明规模收益不变，且称为规模有效。
（一） DEA 方法原理与CCR 模型
DEA 方法的基本原理是：设有n 个决策单元(1,2,,)j DMU j n =，它们的投入，产出向量分别为：12(,,
,)0,T j j j mj X x x x =>，12(,,
,)0,
1,
,T j j j sj Y y y y j n =>=。由于在生产过程中各种投入和产出的地位
与作用各不相同，因此，要对DMU 进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的权向量分别为12(,,
,)T m v v v v =和12(,,
,)T s u u u u =，从而就可以获得如下的定义。
定义2. 称11
,(1,2,
)s
T r rj
j r j T m
j
i ij
i u y
u Y j n v X v x
θ===
=
=∑∑为第j 个决策单元j DMU 的效率评价指数。
根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得1j θ≤。如果想了解某个决策单元，假设为({1,2,
,})o DMU o n ∈在这n 个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当u 和v 尽可能地变化时，o
θ的最大值究竟为多少 为了测得o θ的值，Charnes 等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母缩写)模型：
1
111
1,1,2,,,0,0,,.
s
r ro
r o
m
i io
i s
r
rj
r m
i ij
i r i u y
Maximize
v x
u y
subject to
j n v x
u v r i θ=====≤=≥≥?∑∑∑∑ (1)
利用Charnes 和Cooper (1962)[4]提出的分式规划的Charnes-Cooper 变换: 11/
m
i io
i t v x ==∑
,
,(1,,)r r tu r s μ==,,(1,,)i i tv i m ω==变换后我们可以得到如下的线性规划模型：
11
1
1
,
1,
0,1,
,,,0,
1,,;1,
,.
s
r ro o r m i io i s
m
r rj i ij r i r i Maximize y subject to x y x j n r s i m μθωμωμω======-≤=≥==∑∑∑∑
(2)
根据线性规划的相关基本理论，可知模型(2)的对偶问题表达形式：
11
,1,2,
,,
,1,2,
,,
0,1,2,
,.
o n
ij j
o io j n
rj
j ro j j Minimize subject to
x x i m y
y r s j n θλ
θλλ==≤=≥=≥=∑∑
(3)
上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)将被求解n 次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型(3)的经济含义是：为了评价({1,2,,})o DMU o n ∈的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型(3)意味着，如果所求出的效率最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA 有效。而当效率值为1时，决策单元为DEA 有效。有关DEA 有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA 有效与DEA 有效两类。即通过考察如下模型中的(1,
)i s i m -=与(1,
,)r s r s +
=的值来判别。
11
11
(
)
,1,
,,1,
,,,0,,,.
m
s
i r i r n
ij j
i o io j n
rj j
r ro j j i r Minimize s s
subject to x s x i m y
s y r s
s s i j r θελ
θλλ-
+
==-=+=-+
-+
+==-==≥?∑
∑∑∑o
(4)
其中ε为非阿基米德无穷小量。
根据上述模型给出被评价决策单元({1,2,,})o DMU o n ∈有效性的定义：
定义3. 若模型(4)的最优解满足*
1o
θ=，则称o DMU 为弱DEA 有效。 定义4. 若模型(4)的最优解满足*1o
θ=，且有0i s -=，0r s +=成立，则称o DMU 为DEA 有效。 定义5. 若模型(4)的最优解满足*
1o
θ<，则称o DMU 为非DEA 有效。 对于非DEA 有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR 模型容许DMU 在减小投入的同时也增加产出。对于CCR 模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA 有效。
***
**?(1),1,,?,1,
,.
io o io i io o io i io ro ro r ro x x s x x s x i m
y y s y r s θθ--+=-=---≤==+≥=
上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设投入的变化量为io x ，产出的变化量为ro y ：
*
**
?(),1,
,?(),1,
,.
io io io io o io i ro ro ro ro r ro x x x x x s i m y y y y s y r s θ-+=-=--==-=+-
=
（二） BCC 模型
CCR 模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker, Charnes 与Cooper 以生产可能集的四个公理以及Shepard 距离函数为基础在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC 的模型[5]。线性形式的BCC 模型可表示为：
111
1
,
1,
0, 1,
,,
,0,
1,,;1,,.
s
r ro o r m i io i s
m
r rj i ij o r i r i Maximize y u subject to x y x u j n r s i m μωμωμω====-=--≤=≥==∑∑∑∑
(5)
含松弛变量形式的BCC 对偶模型
11
111
(
)
,1,
,,1,
,1
,,0,,,m
s
i r i r n
ij j
i o io j n
rj j
r ro j n
j
j j i r Maximize s s
subject to x s x i m y
s y r s
s s i j r
θελ
θλλ
λ-
+==-=+==-+
-+
+==-===≥?∑
∑∑∑∑o
(6)
其中ε为非阿基米德无穷小量。根据BCC 模型中的o u 的取值大小，Banker 和Thrall(1992)
[6]提出如下判别方法来判断模型(5)的规模收益。
定理1[6]
. 假设含有投入产出组合(,)o o x y 的o DMU 是有效的，那么下面的条件可以判别模型(1)之下o DMU 的规模收益：
(i) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有*
0o u =；
(ii) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有*0o u <；
(iii) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有*0o u >。
其中*o u 代表模型(5)中的最优解。该定理的证明参见文献[6]。
CCR 模型或者BCC 模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为了进一步区分这些有效决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型。下面依次做个简单介绍。
（三） 超效率模型
CCR 模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单元(效率值为1)的情形，从而使得有效决策单元之间无法进行比较分析。Andersen 和 Petersen (1993) [7]为了实现决策单元的完全排序，将被评价的决策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为基础，形成新的效率边界，计算剔除的决策单元到新的效率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变，仍小于1，从而使得全体决策单元可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率(Super-efficiency) 的概念。基于CCR 模型的超效率DEA 模型为：
11,1,2,
,,
,1,2,
,,
0,.
n
ij j
io j j o n
rj
j ro j j o
j Minimize subject to
x x i m y
y r s j o θλ
θλλ=≠=≠≤=≥=≥≠∑∑ (7)
Banker 和Chang(2006)[8]证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在离群值。
（四）交叉效率模型
为了解决DEA 有效决策单元的排序和比较问题，Sexton 等人(1986)[9]提出了交叉效率评价的概念。所谓交叉效率评价就是每个DMU 分别确定一组输入输出权重，供所有的DMUs 评价使用，其中：用DMU 自身确定的权重评价自己的效率，称为自我评价效率；用其它DMU 确定的权重评价自己的效率，称为交叉效率或同行评价效率。以表5—1为例，交叉效率评价的实质是对每个DMU 同时进行自评和同行评价，这样不仅考虑DMU 自评的最好相对效率，而且还考虑了DMU 同行评价给出的交叉效率，利用自我评价和交叉效率的平均值作为衡量DMU 绩效的综合指标，该指标不仅较好地解决了DMUs 间排序和比较问题，而且解决了CCR 模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比较问题。
Sexton 等人(1986)通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性。随后Doyle 和Green(1994,1995)
[10],[11]从同行评价的角度解释了交叉效率的含义，并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数-攻击型计算方式和仁慈型计算方式，下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：
表5—1 交叉效率示意表
决策单元
交叉效率
算术平均值
1
2
… n
1 11θ
12θ … 1n θ 11
1n
j j n θ=∑ 2 21θ 22θ … 2n θ 21
1n
j j
n
θ=∑
n
1n θ 2n θ …
nn θ
11n
nj
j n
θ=∑ 攻击型交叉效率模型：
11,11,*
11
1
1
Subject to 1,
0,
0,1,
,;,
0, 1,,,0, 1,
,.
s
n rk rj r j j k m n ik ij i j j k s
m
rk
rk kk
i ik
r i s
m
rk
rj ik ij r i rk ik Minimize u y v x u
y v x
u
y v x j n j k u r s v i m θ==≠==≠====??
?
????
= ???
-=-≤=≠≥=≥=∑∑∑∑∑∑∑∑
(8)
仁慈型交叉效率模型: 11,11,*
11
1
1
Subject to 1,
0,
0,1,
,;,
0, 1,,,0, 1,
,.
s
n rk rj r j j k m n ik ij i j j k s
m
rk
rk kk
i ik
r i s
m
rk
rj ik ij r i rk ik Maximize u y v x u
y v x
u
y v x j n j k u r s v i m θ==≠==≠====??
?
??
??= ???
-=-≤=≠≥=≥=∑∑∑∑∑∑∑∑
(9)
然而，至今仍无一个准则来判别什么情况下使用攻击型或者是仁慈型。为了避免目标函数选择上的两难， Wang 和 Chin (2010a)[12] 提出了一种中性交叉效率模型。其模型形式如下所示： {1,,}
1*
1111 , ,
1, 1,
,;, 0,1,,,
0,
1,
,.
oo
ro ro m r s io io i s
ro ro r m io io i s
ro rj r jo
m
io ij
i ro io u y Maximize Minimize v x u y subject to v x
u y j n j o v x
u r s v i m δθθ∈=====????
=??????
==≤=≠≥=≥=∑∑∑∑∑
(10)
利用Charnes-Cooper 的变换公式，可得中性交叉效率模型的线性模型
1
*
11
1
1,
,
0, 1,
,;, 0,1,,,
0,1,
,.
0.
m
io io i s ro ro oo r s m
ro rj io ij r i ro ro io Maximize subject to v x u y u y v x j n j o u y r s v i m δ
θδδ======-≤=≠-≥=≥=≥∑∑∑∑ (11)
交叉效率模型还有其他一些改进方式，例如：Liang 等人(2008a)[
13
年提出了3个可供选择的二级目
标计算方式；Liang 等人(2008b)[14]将非合作博弈理论与交叉效率评价方法结合起来，提出了博弈交叉效率的概念，并设计了算法求解博弈交叉效率值，同时证明了该博弈交叉效率值即为纳什均衡点；Wang 和Chin (2010b)[15]
提出了一些可选择性交叉效率评价模型；Wang 和Chin(2011)[16]
在交叉效率的研究中率先引入有序加权平均算子(Ordered weighted averaging operator , OWA)，很好的体现了决策者的各种偏好，尤其是对不合理的交叉效率评价值赋予较小的权重，从而使得最终的评价结果更为科学合理。有兴趣的读者可以进一步参阅其他有关交叉效率的相关论文。
（五）几何平均效率模型
为了区分有效决策单元的排序难问题，Wang 等人(2007)[17]
于2007提出了悲观效率模型，并将其与乐观效率模型相结合，提出了基于几何平均值的双前面数据包络分析方法。基于悲观前沿面的数据包络分析模型为：
111
1
,
1,
0,1,2,
,,,0,1,2,
,;1,2,
,,
s
r ro r m
i io
i s
m
r
rj i ij r i r i Minimize y subject to
x
y x j n r s i m φμνμ
νμν======-≥=≥==∑∑∑∑ (12)
其中r μ和i v 是非负权重。模型(12)与模型(2)的区别在于：模型(12)计算所得效率均大于等于1，而模型(2)所得的效率值均小于等于1。基于几何平均值的双前沿数据包络分析方法就是将模型(12)所得的效率与模型(2)所得的效率通过几何平均的方式加以综合，即：
***
o o o ?φθ?其中*
o ?为综合后的({1,2,,})o DMU o n ∈的效率值，而*o θ和*o φ分别对应该决策单元在模型(2)与模型(12)下
的最优效率值。
下图为有效前沿面和无效前沿面的一个演示图。
图5-1 决策单元的有效和无效前沿面
（六）最优决策单元的选择
在实际应用中，决策者有时候关心的是哪个方案或者哪个决策单元是最优的，而对于其他单元的排序并不在意。因此，如何利用DEA 模型直接寻求最优决策单元成为学者们所感兴趣的问题。Amin 和Toloo (2007)[18]
提出了一个混合整数线性规划模型，采用两步法以期实现寻求最优决策单元。然而随后Amin (2009)[19]发现这种两步法有时会产生两个或者两个以上的最优决策单元，因此他提出一个非线性混合整数模型。Foroughi (2011)[20]
发现Amin 的非线性规划模型在有些情况下是不可行的。不过Foroughi (2011)的模型存在着一些冗余的约束且对输入输出权重给定了保证域，并且该模型易受离群值(outliers)的影响，从而导致所选择的最优决策单元不正确。因此，Wang 和 Jiang (2012)[21]
提出了三种混合整数线性规划模型来改进Foroughi (2011)的模型中所存在的问题。这三种最优决策单元选择的模型分别为：
1. 基于不变规模收益的混合整数线性规划模型的最优决策单元选择方法
Minimize ∑∑∑∑====???
?
??-???? ??s r n j rj r m
i n j ij i y u x v 1111
Subject to
j m
i ij i s
r rj r
I x v y u
≤-∑∑==1
1
, n j ,,1 =,
1
1
=∑=n
j j
I
,
1 2 4 6 8 产出1/投入
(13)
}1 ,0{∈j I , n j ,,1 =,
}
{max )(1
rj j
r y s m u +≥
, s r ,,1 =,
}
{max )(1
ij j
i x s m v +≥
, m i ,,1 =,
其中j I (1,
,j n =)是二元变量,且只有一个变量可以取非零值1。如果1o I =,那么约束条件
1
1
s
m
r rj i ij j r i u y v x I ==-≤∑∑ 对应的 o DMU 的约束为 111s
m
r ro i io r i u y v x ==-≤∑∑, 即允许o DMU 的效率值大于1，而
其余的DMU 的约束1
1
s m r rj i ij j r i u y v x I ==-≤∑∑与原始的CCR 模型的约束相同, 也就是 1
1
0s m
r rj i ij r i u y v x ==-≤∑∑对于任意
的{1,,}j n ∈除了j o ≠。 因此, 只有最有效的决策单元的效率值会大于1，而其余决策单元的效率均小
于等于1。权重约束沿用 (Sueyoshi, 1999[22]
)提出的松弛变量模型中的形式，该约束形式在实际应用中被广泛采用，即(1/(()max{}))r rj j
u m s y ≥+ (1,,r s =);(1/(()max{}))i ij j
v m s x ≥+对于任意的 (1,,i m =).
2. 基于投入导向的BCC 模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法
模型(13)是基于不变规模收益下的最优决策单元的选择方法。该方法可以拓展到可变规模收益的情形如下所示，该模型的形式是基于投入导向的BCC 模型下的形式 ：
Minimize ∑∑∑∑====???
?
??--???? ??s r n j rj r m
i n j ij i y u nv x v 11011 Subject to
j m
i ij i s
r rj r
I v x v y u
≤+-∑∑==01
1
, n j ,,1 =,
1
1
=∑=n
j j
I
,
(14)
}1 ,0{∈j I , n j ,,1 =,
}
{max )(1
rj j
r y s m u +≥
, s r ,,1 =,
}
{max )(1
ij j
i x s m v +≥
, m i ,,1 =,
0v 无符号限制.
3. 基于产出导向的BCC 模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法
同理可得，基于产出导向的可变规模收益的BCC 形式下的混合整数线性规划模型如下：
Minimize 01111nu y u x v s r n j rj r m
i n j ij i -???
?
??-???? ??∑∑∑∑====
Subject to
j m
i ij i s
r rj r
I x v u y u
≤-+∑∑==1
01
, n j ,,1 =,
001
≥+∑=u y u
s
r rj r
, n j ,,1 =,
1
1
=∑=n
j j
I
,
(15)
}1 ,0{∈j I , n j ,,1 =,
}
{max )(1
rj j
r y s m u +≥
, s r ,,1 =,
}
{max )(1
ij j
i x s m v +≥
, m i ,,1 =,
0u is free in sign,
其中约束条件
001
≥+∑=u y u
s
r rj r
(n j ,,1 =)是为了保证全体产出是非负的，因为负的产出没有意义。
（七）举例说明
下面用3个例子来说明DEA 方法的应用。
例1：假设现有七个被评价的决策单元，投入、产出项各有一项，投入项为X ，产出项为Y ，输入如下表所示。此时七个决策单元的相对位置如图5—2所示。在CCR 模型下，连接原点与点B 的射线构成前沿面，如图中所示，其余的点均位于该前沿面的下方。
表5—2 七个决策单元的投入、产出数据
DMU X Y Efficiency
A 2 1 B
3
3
C86
D62
E54
F106
G7
图5—2 七个决策单元的分布及其在生产前沿面上的投影
从图2中可以看出，只有决策单元B位于生产前沿面上，而其他所有决策单元均位于该生产前沿面的下方，即A, C, D, E, F, G均为非DEA有效，从表5—2最后一列的效率值大小也很容易得到确认。为了使非DEA 有效决策单元为DEA有效，可依图中箭头所示的方向将非DEA有效的决策单元往前沿面上投影。A, C, D, F, G均为减小投入而保持产出不变；而E给出了三种投影方式(减小投入产出不变；保持投入不变增大产出；或者同时减小投入和增大产出)。
例2:五个先进制造技术的甄别, 数据来源于Wang和Chin(2009)[23]。
表5—3五个先进制造技术的数据及其乐观、悲观以及几何平均值
决策单元
投入
产出 Y 乐观效率值
悲观效率值
几何平均值
X 1 X 2 A 40 7 210 B 32 12 105 C 52 20 304 D 35 13 200 E
32
8
150
对于每一个决策单元而言，可通过求解模型(2)和(12)获得全体DMUs 的乐观和悲观效率，结果如上表所示。下面简单介绍一下求解过程和技术实现。以第一个决策单元的CCR 效率(即乐观效率)为例，将数据代入模型(2)即得模型(16)，显然这是个较为复杂的线性规划模型，需要借助软件计算才会更为简便。因此本书分别给出了Lingo 以及Matlab 下的CCR 模型的编程。Lingo 的编程一次也只能计算一个(见下面程序后的计算说明)，而Maltab 程序相对而言更为简便，其可以很快地计算出所有决策单元的效率。此例中通过软件计算所得，在乐观效率下，所得效率为表5—3的第五列所示，全体单元的优序关系为： C=A>D>E>B 。，决策单元A 与C 均为DEA 有效，而B, D, E 为非DEA 有效。在悲观模型下，所得的效率值为表5—3的第六列所示，决策单元B 为DEA 无效，而其他单元均为非DEA 无效，其优序顺序为：D>C>A>E>B 。由此可见，在乐观前沿面和在悲观前沿面下的排序存在着一定的差异。表5—3的最后一列的值为乐观和悲观效率的几何平均值，显然Wang 等人(2007)提出的该几何平均值较好的综合了乐观和悲观前面的两部分信息，从而五个单元合理的排序为：C>D>A>E>B 。
11
12112112112112112112 21040+7=1,
210(40+7)0, 105(32+12)0,
304(52+20)0,
200(35+13)0,
150(32+8)0, 0,0,0.
Maximize subject to θμωωμωωμωωμωωμωωμωωμωω=??
-≤??-≤?
-≤??-≤?
?-≤?
≥≥≥? (16) 下面给出LINGO 与Matlab 的程序：
例2的LINGO 程序实现：(以计算第一个决策单元的乐观效率为例)
MODEL : sets :
DMU/1..5/:S,T,P; !Decision making units;
v1.0 可编辑可修改II/1..2/:w; !input index;
OI/1/:u; !output index;
IV(II,DMU):X; !input variable;
OV(OI,DMU):Y; !output variable;
endsets
data:
P=1 0 0 0 0;
X=40 32 52 35 32
7 12 20 13 8;
Y=210 105 304 200 150;
enddata
max=@sum(DMU: P*T);
@for(DMU(j):
S(j)=@sum(II(i): w(i)*X(i,j));
T(j)=@sum(OI(i): u(i)*Y(i,j));
S(j)>=T(j));
@sum(DMU:P*S)=1;
END
在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分别替换为 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), 可得5个决策单元的最优效率值依次为
，，，，。
例2的Matlab程序实现：
clear all;
X=[ 40 32 52 35 32
7 12 20 13 8];
Y=[ 210 105 304 200 150];
n=size(X',1);m=size(X,1);s=size(Y,1);
A=[-X' Y'];
b=zeros(n,1); LB=zeros(m+s,1);UB=[];
for i=1:n;
F=[zeros(1,m) -Y(:,i)'];
Aeq=[X(:,i)' zeros(1,s)];
beq=1;w(:,i)=linprog(F,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
E(i,i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i);
end
w
E
omega=w(1:m,:)
mu=w(m+1:m+s,:)
EE=diag(E)
运行上述Matlab程序，即可得全体DMUs的CCR效率值。
例3. 现有14家国际航空公司，数据来源于Tofallis(1997)[24]。已知投入有三项，产出有两项，分别为：1
x:飞机容量吨公里
2
x:营业费用
3
x:其他资产（预定系统，便利性以及流动资产）
1
y: 每公里乘客数
2
y: 非客运收益
表5—414家航空公司的数据
DMU
投入产出
1
x
2
x
3
x
1
y
2
y
157233239200326677697 25895422545573081539 324099956062671240551266 41356574993213647341563
55183188078323604513 6190808032327295011572 746033457236022112969 81209767796474523632001 9658733413581265041297 1056541878191619277972 111255980983310419253398 1257282481225427754982 1347151792248531332543 1422793987441451225281404
表5—5 CCR效率及其非有效决策单元的改进
投入产出DMU j CCR 效率.
x1j x2j x3j y1j y2j 1-753-916-26400
2-3903-2940-403235690
3-1265-502-3290731 4-569-1235-13500
5100000
6-447-402-770810 7100000
8-1709-957-200800
9-344-175-139200 10100000 11100000 12100000 13100000
14100000利用CCR模型以及将非有效DMU改进为有效DMU的投影公式，可得表5—5的结果。从表中可知，决策单元 5, 7, 10, 11，12, 13, 14为DEA有效，而其它单元为非DEA有效。对于非有效决策单元，例如对第一家航空公司而言，它的第一项投入应减少753，第二项投入应减少916，第三项投入应减少264，同时保持产出不变，这时该航空公司可达DEA有效。DMU4，DMU8和DMU9与DMU1类似也均需减少该三项投入。而对DMU2而言，其前三项投入应分别减少3903，2940和4032，第一项产出需增加3569，第二项产出保持不变可达有效。而DMU3和DMU6在减少三项投入的同时，还需要增加第二项产出才会有效。
利用攻击型交叉效率模型，我们可得如下表(表5—6)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。从表中可以看出第5家航空公司的相对效率为，为所有航空公司中最优，其次是第11家航空公司，其交叉效率值为。而第2家航空公司的交叉效率值为，为14家航空公司中最差。
利用仁慈型交叉效率模型，我们可得如下表(表5—7)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。从表中可以看出第11家航空公司的相对效率为，为所有航空公司中最优，其次是第13家航空公司，其交叉效率值为。而第2家航空公司的交叉效率值为，为14家航空公司中最差。此结果与攻击型交叉效率模型所得的结果又较大的差异，然而至今仍无一个准则可以清晰的告诉决策者何时该选择攻击型模型或者是仁慈型模型。因此均对不同的决策问题，选择的模型的不同，所得结果可能出入较大。为此，学者们提出了一些改进模型，例如Wang 和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以较好的避免这个问题。
表5—6攻击型交叉效率值表
DMU 目标DMU平均
交叉
效率
排
序1234567891011121314
112 214 311 47 51 69
78 813 910 106 112 125 133 144表5—7仁慈型交叉效率值表
DMU 目标DMU平均
交叉
效率
排
序1234567891011121314
112 214 39 46 53 611 77 813 910 108 111 124 132 145
应用数据包络分析需注意的事项：
1.DEA 作为一种非参数方法，将数学、经济和管理的概念与方法相结合，是处理多目标决策问题，解决
在经济和管理中评价具有多个投入、多个产出问题的有力工具。主要适合于同种类型部门或单位间的相对有效性排序和评价，可以通过在生产前沿面上的投影分析，发现非DEA有效的产生原因以及改进方向，调整资源投入量和效益产出量使决策单元达到DEA有效。
2.应用DEA模型进行评价，不必事先确定指标权重，只需假定由决策单元的投入产出指标组成的状态可
能集满足凸性、无效性、锥性以及最小性等条件即可。DEA方法本身包含指标的权重分配过程，在计算不同决策单元的最大有效性时，指标的权重是动态可变的，最后排序的结果是每个决策单元在最有利于自身的权重下的结果。
3.应用DEA方法进行评价分析时，一般要求决策单元数目应大于投入产出变量数目之和。根据经验法则，
最好是决策单元数目应大于投入产出变量数目之和的两倍，这样计算所得的结果才能具有较好的区分性，否则容易出现多个决策单元有效而无法进一步区分的情形。此时，可以采用超效率模型或者是交叉效率模型进行相对效率分析。也可以将这些有效决策单元再采用其他综合评价方法进行分析。
4.投入产出指标的确定，一般是根据资源投入量与效益产出量确定。DEA模型求解时，一般要求投入产
出指标具有非负性。如果遇到负的投入指标，一些学者认为可以考虑将取绝对值后纳入产出指标进行考虑，不过这种方法的合理性以及此方面的研究还尚未取得一致的认识。
5.在实践中，通常有两种导向的模型可以供决策者选择，一类是投入导向模型（即在相同产出水平下，
比较投入资源的使用情况），一类是产出导向模型，人们通常只从投入导向或者产出导向的角度去分析决策单元的相对有效性，不过这两种角度在很多时候计算所得的结果是不一致的，只有CCR模型计算所得的投入导向与产出导向的效率是一致的。对于采用其他DEA模型时所得结果存在的不一致性，在实际中也可以将两个角度通过加权综合的方式一起考虑，相关研究可以参考最新的国内外文献。
6.DEA方法不仅能对管理效率进行横向对比，也可以进行纵向、动态的分析，即评价样本的数据可以选
择截面数据、时间序列数据或者是面板数据。面板数据常用的方法为DEA视窗分析法与DEA-Malmquist 生产力指数法。
7.当前已有较多的现成的DEA软件可以用于求解DEA模型，例如DEAP，DEA solver以及MyDEA等。不过
这些软件只能求解常见的DEA模型，对于改进型的DEA模型，通常需要编程，此时可借助于：EXCEL 的线性规划求解器，Lingo软件以及Matlab软件等编程软件。
习题：
1.现有10家医院，每家医院有2个投入（医生人数以及护士人数）和2个产出（门诊病人人数以及住院
病人人数），投入产出表如下所示，试用DEA方法分析这10家医院的相对有效性。
表5—8十家医院投入产出数据表
DMU12345678910
第7节案例分析
本节以一个实例来说明数据包络分析方法的使用，评估对象为中国台湾的森林经营。宝岛台湾面积为36000平方公里，台湾森林覆盖面积占全省土地总面积的一半以上，在1989年以前有13个林区，主要以保护林地和木材为主要任务。森林的经营具有非盈利性质，了解各个林区的经营效率，检讨投入资源的使用是否有效，是一个值得探讨的问题。以下将以台湾省各林区的效率评估，探讨DEA使用的各个步骤，来说明DEA方法在实际中的应用。案例分析中主要集中探讨三个部分内容：(1)确认投入产出项，(2)选择恰当的DEA模型，(3)结果的分析与解释。
使用DEA方法首先需要选择适当的投入产出项目。根据森林经营的多目标性及其非营利性等特点，其目标包括实质产出（如：木材、野生动物）以及森林效用（如：净化空气，调节气温，美化环境，洁净水源，保持水土，旅游等），为了筛选投入产出项以衡量森林经营目标，参考Kao和Yang(1992)[25]的研究与高强等人(2003)[26]编写的书籍。筛选的步骤如下：
(1) 访问林业局的管理层，确立其组织目标及其管理目标。
(2) 要求受访者确认投入产出项目。进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出种类列
出，以供受访者参考
(3) 要求受访者确定投入产出的衡量指标。进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出
数据包络分析法 在高新技术产业技术创新教育财务绩效评价中的应用 姓名：李雪 专业：会计学 学号：201410750244
数据包络分析法 在高新技术产业创新教育财务绩效评价中的应用 摘要：高新技术产业是个技术密集型产业，对知识和技术具有很强的依赖性，进行技术创新活动是其经济高质量增长的源泉。高新技术产业创新教育财务管理内外环境的变化让财务绩效评价不仅成为可能，而且成为了高新技术产业财务管理必需推进的工作。财务绩效评价是运用科学、规范的绩效评价方法，对照一定的评价标准，参照绩效的内在原则，来对高新技术产业创新教育财务行为过程及结果进行客观、公正、科学的综合评价和衡量比较。高新技术产业财务绩效评价已成为高新技术产业财务管理的主要内容之一，对财务管理工作的促进和完善起着重要作用。数据包络分析法通过客观地反映高新技术产业创新教育活动的输入、输出，兼具考虑所选择指标的可采集性等约束条件，并且采用相对最优的权重确定方法反映财务绩效大小，蕴含着经济学的生产力观点，满足了财务绩效评价的科学性。 关键词：高新技术产业创新教育；财务绩效评价；数据包络分析法 技术创新对企业来讲可以优化产品结构，提高产品的价值，快速适应市场的需求，从而增强企业的市场竞争力；对于一个产业来说，技术创新可以催发新兴产业群的成长，推进产业结构优化，提高技术产业的经济效益。技术创新已经成为高质量经济增长的源泉。高新技术产业技术创新是指在市场的导向作用下，以提高产业效益为目标，经过技术的研发、引进、吸收等一系列的技术活动，生产出新产品、研发出新技术的过程。高新技术产业技术创新绩效，是对高新技术产业应用投入的财力和物力研发出新产品、新工艺，从而产生经济效益的能力的考核，是评判经济技术活动有效性的一个有效手段。因此，正确认识和把握技术创新水平、系统总结技术创新经验是很有必要的。科学评价高技术产业的技术创新绩效，对把握高新技术产业的技术创新活动规律、提升技术创新成功率、推动高新技术产业技术创新活动有序发展具有重要的现实意义。
二、 数据包络分析(DEA)方法 数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名运筹学家Charnes, Cooper 和Rhodes 于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decision making unit ，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价[1]。DEA 方法一出现，就以其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中[2],[3]。在介绍DEA 方法的原理之前，先介绍几个基本概念: 1. 决策单元 一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能围，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。因此，可以认为，每个DMU(第i 个DMU 常记作DMU i )都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。 在许多情况下，我们对多个同类型的DMU 更感兴趣。所谓同类型的DMU ，是指具有以下三个特征的DMU 集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。 2. 生产可能集 设某个DMU 在一项经济(生产)活动中有m 项投入，写成向量形式为1(,,)T m x x x =L ；产出有s 项，写成向量形式为1(,,)T s y y y =L 。于是我们可以用(,)x y 来表示这个DMU 的整个生产活动。 定义1. 称集合{(,)|T x y y x =产出能用投入生产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集。 在使用DEA 方法时，一般假设生产可能集T 满足下面四条公理: 公理1(平凡公理): (,),1,2,,j j x y T j n ∈=L 。 公理2(凸性公理): 集合T 为凸集。 如果 (,),1,2,,j j x y T j n ∈=L , 且存在 0j λ≥ 满足 1 1n j j λ==∑ 则 11(,)n n j j j j j j x y T λλ==∈∑∑。 公理3(无效性公理)：若()??,,,x y T x x y y ∈≥≤,则??(,)x y T ∈。 ， 公理4 (锥性公理): 集合T 为锥。如果(),x y T ∈那么 (,)kx ky T ∈对任意的0k >。 若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T 有如下的唯一表示形式 ()11 ,|, ,0,1,2,,n n j j j j j j j T x y x x y y j n λλ λ==? ? =≤≥≥=??? ? ∑∑L 。 3. 技术有效与规模收益
DEA 一、同类可比 同类可比在很多情况下是社科研究的基础和前提，比如研究地区效率，西藏、新疆、青海等地与上海、北京、广东、江苏等经济发达地区情况完全不一样，在很多情况下是不可比的，如果将这些地区放在一个模型中分析，是值得商榷的。 二、DEA对异常值相当敏感 DEA对异常值相当敏感，在实际生活中，由于统计数据质量、测量误差等问题，构成数据包络曲线的那些点是非常敏感的，或者说，其它效率不是最优的点都是和数据包络曲线上最好的点相比，而这些点其实是不稳定的，在此基础上得出的处理结果也是不稳定的。 三、DEA也许只有宏观意义 即使是同一套数据，如果同时满足固定前沿和随机前沿的适用条件。采用固定前沿和随机前言，其分析结果往往是不一致的，也就是说，对于决策单元A，采用固定前沿它可能是有效的，但采用随机前 沿它可能就是无效的。那么能否说明DEA在做文字游戏也不能这么说，通常情况下，对于同一套数据采用两种不同方法处理的结果，其相关性往往很高，因此适合做宏观分析，但微观上说A有效B无效之类的要慎重。 四、DEA往往难以给出具体的政策建议 即使得出了研究结果，对于一些效率相对低下的决策单元，如何进行改进通过技术进步还是通过改善管理再进一步的建议往往难以给出。 五、效率低下的决策单元也许问题不严重 任何DEA分析，都是建立在投入产出的基础之上的，但是投入产出数据有很多是无法定量计量的。实际上，DEA分析有个隐含的假设：我们做效率分析，只能基于定量数据，那些不能定量计量的投入产出，干脆假设所有的决策单位没有差异，但这种假设一定存在吗 纯技术效率反映的是DMU 在一定( 最优规模时) 投入要素的生产效率。 规模效率反映的是实际规模与最优生产规模的差距。 一般认为：综合技术效率=纯技术效率×规模效率。
DEA（Data Envelopment Analysis）数据包络分析 目录 一、DEA的起源与发展（参考网络等相关文献） 二、基本概念 1.决策单元（Decision Making Unit，DMU）.......................................................... 2.生产可能集（Production Possibility Set，PPS） ................................................ 3.生产前沿面（Production Frontier）........................................................................ 4.效率（Efficiency） ........................................................................................................ 三、模型 模型....................................................................................................................................... 模型....................................................................................................................................... 模型....................................................................................................................................... 模型....................................................................................................................................... 5.加性模型(additive model，简称ADD).................................................................... 6.基于松弛变量的模型(Slacks-based.................................. M easure，简称SBM) 7.其他模型........................................................................................................................... 四、指标选取 五、DEA的步骤（参考于网络） 六、优缺点（参考一篇博客） 七、非期望产出 1.非期望产出的处理方法：.............................................................................................. 2.非期望产出的性质： ......................................................................................................
(1)数据包络分析法(DEA)概述 数据包络分析(Data Envelopment Ana lysis，简称D EA）方法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法，它适应用于多投入多产出的多目标决策单元的绩效评价。这种方法以相对效率为基础，根据多指标投入与多指标产出对相同类型的决策单元进行相对有效性评价。应用该方法进行绩效评价的另一个特点是，它不需要以参数形式规定生产前沿函数，并且允许生产前沿函数可以因为单位的不同而不同，不需要弄清楚各个评价决策单元的输入与输出之间的关联方式，只需要最终用极值的方法，以相对效益这个变量作为总体上的衡量标准，以决策单元(DM U)各输入输出的权重向量为变量，从最有利于决策的角度进行评价，从而避免了人为因素确定各指标的权重而使得研究结果的客观性收到影响。这种方法采用数学规划模型，对所有决策单元的输出都“一视同仁”。这些输入输出的价值设定与虚拟系数有关，有利于找出那些决策单元相对效益偏低的原因。该方法以经验数据为基础，逻辑上合理，故能够衡量个决策单元由一定量大投入产生预期的输出的能力，并且能够计算在非DEA有效的决策单元中，投入没有发挥作用的程度。最为重要的是应用该方法还有可能进一步估计某个决策单元达到相对有效时，其产出应该增加多少，输入可以减少多少等。 1978年由著名的运筹学家查恩斯（A.Charnes）,库伯（W.W.Cooper）和罗兹（E.Rhodes）首先提出数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）的方法，DEA有效性的评价是对已
有决策单元绩效的比较评价，属于相对评价，它常常被用来评价部门间的相对有效性（又称之为DEA有效）。他们的第一个数学模型被 命名为CCR模型，又称为模型。从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多项输入、特别是具有多项输出的“生产部门”时衡量其“规模有效”和“技术有效”较为方便而且是卓有成效的一种方法和手段。自从该方法提出以来，就广泛应用于各个行业的有效性评价上。此后，得到不断的完善，并且在实践中的应用也越来越广泛。例如1984年R.D.Banker, A.Charnes和W.W.Cooper给出了一个被称为BCC的模型，又称之为BC2模型。另外，于1985年Charnes,Cooper和B.Golany, L.Seiford, J.Stutz给出了另一个模型，称为CCGSS模型， 又称之为C2GS2模型，这两个模型是用来研究生产部门之间的“技术有效”相对效率。下面将介绍这两个优化模型。 ( 2 ) 数据包络模型（又称为DEA模型）描述 数据包络分析(DEA)由美国著名运筹学家A. Charnes等人在1978年以相对效率概念为基础发展起来的一种新的绩效评价方法。这种方
第38卷第2期1998年3月 大连理工大学学报 Journal of Dalian University of Technology Vol.38,No.2 Mar.1998数据包络分析方法综述X 郭京福, 杨德礼 (大连理工大学管理学院,大连 116024) 摘要 阐述了数据包络分析的基本原理和方法,给出这一非参数方法的几 个数学模型以及在多个领域的研究应用状况,并就该方法的发展作一展望. 关键词 线性规划/数据包络分析;决策单元;有效性 分类号 O221.1 0 概 论 数据包络分析(DEA)是美国著名运筹学家A.Charnes等人以相对效率概念为基础发展起来的一种效率评价方法〔1〕.具有单输入单输出的过程或决策单元其效率可简单的定义为:输出/输入,A.Charnes等人将这种思想推广到具有多输入多输出生产有效性分析上.对具有多输入多输出的生产过程或决策单元,其效率可类似定义为:输出项加权和/输入项加权和,形成了仅仅依靠分析生产决策单元(DM U)的投入与产出数据,来评价多输入与多输出决策单元之间相对有效性的评价体系.这种评价体系以数学规划为工具,利用观测样本点构成的“悬浮”在整个样本上的分段超平面,来评价决策单元的相对有效性. DEA是运筹学的一个新研究领域,是研究同类型生产决策单元相对有效性的有力工具. DM U确定的主导原则是,在某一视角下,各DM U具有相同的输入和输出.综合分析输入输出数据,得出每个DM U效率的相对指标,据此将所有DM U定级排队,确定相对有效的DM U,并指出其他DMU非有效的原因和程度,给主管部门提供管理决策信息. DEA在处理多输入多输出问题上具有特别的优势,主要是由于以下两个方面: 1)DEA以决策单元的输入输出权数为变量,从最有利于决策单元的角度进行评价,从而避免了确定各指标在优先意义下的权数. 2)DEA不必确定输入和输出之间可能存在的某种显式关系,这就排除了许多主观因素,因此具有很强的客观性. DEA可看作一种新的统计方法.传统的统计方法是从大量样本数据中分析出样本集合整体的一般情况,其本质是平均性;DEA则是从样本数据中分析出样本集合中处于相对有效的样本个体,其本质是最优性.DEA是致力于将有效样本与非有效样本分离的“边界”方法, X国家自然科学基金资助项目(7957009) 收稿日期:1997-01-30;修订日期:1997-10-20 郭京福:男,1965年生,博士生
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。 数据包络分析法的主要思想 一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单元”（Decision Making Units ，DMU ）。可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。 数据包络分析法的基本模型 我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——2C R 模型。 设有n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入），输入向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j mj j n x x x x = >=L L 每个决策单元有相同的 s 项产出（输出），输出向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j sj j n y y y y = >=L L 即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。 ij x 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量； ij y 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量； 为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一，即将这个生产过程看作是一个只有一个投入量和一个产出量的简单生产过程，我们需要对每一个输入和输出进行赋权，设输入和输出的权向量分别为：()()1212,,,,,,,T T m s v v v v u u u u ==L L 。i v 为第i 类 型输入的权重，r u 为第r 类型输出的权重。 这时，则第j 个决策单元投入的综合值为1 m i ij i v x =∑，产出的综合值为1 s r rj r u y =∑，我
决策理论与方法课程报告 数据包络分析法在管理决策运用中的实际案例分析
目录 第一章数据包络分析简介 (1) 第二章数据包络分析法模型 (1) 2.1 基础知识 (1) 2.2 C2R模型 (2) 2.3 模型求解方法 (4) 第三章数据包络分析法案例 (6) 3.1 工程建设项目评标方法 (6) 3.2 环保项目评价 (7) 3.3 科研评价 (8) 第四章总结 (11) 4.1 DEA方法的优点 (11) 4.2 DEA方法的缺陷 (12) 参考文献 (12)
第一章数据包络分析简介 数据包络分析(Data Envelopment Analysis)，简称DEA，是由美国著名运筹学家A．Charnes等人于1978年首先提出的。是使用数学规划模型评价具有多个输入、多个输出的。部门”或“单位”(称为决策单元，简记DMU)间的相对有效性(称为DEA有效)的一种非参数的统计估计方法。数学、经济学和管理科学是这一学科形成的柱石，优化是其研究的主要方法，而DEA的广泛应用是它能得以迅速发展的动力。 数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具方法，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。 但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。如运营单位有多种投入要素(员工规模、工资数目、运作时间和广告投入)，同时也有多种产出要素(利润、市场份额和成长率)。在这些情况下，很难让管理者知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。 DEA方法在处理多输入，特别是多输出问题能力上具有绝对优势。 第二章数据包络分析法模型 2.1 基础知识 （1）决策单元(DMU)：我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。 （2）投入指标：指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。
一、 数据包络分析法 数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。 1.1数据包络分析法的主要思想 一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单元”（Decision Making Units ，DMU ）。可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。 1.2数据包络分析法的基本模型 我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——2C R 模型。 设有n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入），输入向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j mj j n x x x x = >= 每个决策单元有相同的 s 项产出（输出），输出向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j sj j n y y y y = >= 即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。 ij x 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量； ij y 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量； 为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一，即将这个生产过程看作是一个只有一个投入量和一个产出量的简单生产过程，我们需要对每一个输入和输出进行赋权，设输入和输出的权向量分别为：()()1212,,,,,,,T T m s v v v v u u u u == 。i v 为第i 类 型输入的权重，r u 为第r 类型输出的权重。 这时，则第j 个决策单元投入的综合值为1 m i ij i v x =∑，产出的综合值为1 s r rj r u y =∑，我 们定义每个决策单元j DMU 的效率评价指数：
一、 数据包络分析法 数据包络分析就是一种基于线性规划的用于评价同类型组织(或项目)工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等,各自具有相同(或相近)的投入与相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低,通常采用投入产出比这个指标,当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时,容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入与多项产出,且不能折算成统一单位时,就无法算出投入产出比的数值。例如,大部分机构的运营单位有多种投入要素,如员工规模、工资数目、运作时间与广告投入,同时也有多种产出要素,如利润、市场份额与成长率。在这些情况下,很难让经理或董事会知道,当输入量转换为输出量时,哪个运营单位效率高,哪个单位效率低。 1、1数据包络分析法的主要思想 一个经济系统或者一个生产过程可以瞧成一个单元在一定可能范围内,通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同,但其目的都就是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现,或者说,由于“产出”就是决策的结果,所以这样的单元被称为“决策单元”(Decision Making Units,DMU)。可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义,它的基本特点就是具有一定的输入与输出,并且在将输入转换成输出的过程中,努力实现自身的决策目标。 1、2数据包络分析法的基本模型 我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——2C R 模型。 设有n 个决策单元( j = 1,2,…,n ),每个决策单元有相同的 m 项投入(输入),输入向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j mj j n x x x x = >=L L 每个决策单元有相同的 s 项产出(输出),输出向量为 () 120,1,2,,,,,T j j j sj j n y y y y = >=L L 即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。 ij x 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量; ij y 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量; 为了将所有的投入与所有的产出进行综合统一,即将这个生产过程瞧作就是一个只有一个投入量与一个产出量的简单生产过程,我们需要对每一个输入与输出进行赋权,设输入与输出的权向量分别为:()()1212,,,,,,,T T m s v v v v u u u u ==L L 。i v 为第i 类型 输入的权重,r u 为第r 类型输出的权重。 这时,则第j 个决策单元投入的综合值为1 m i ij i v x =∑,产出的综合值为1 s r rj r u y =∑,我们定 义每个决策单元j DMU 的效率评价指数: