立体几何基础题题库一（有详细答案）
1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则 （A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C
1和∠2分别为直线AB
与平面,αβ
所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中
最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤
2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．
的一个图是
P
P
Q
Q
R
S
S
P
P
P
Q
Q
R
R R
S
S
S
P
P P
Q
Q
Q R R
S S
S P
P Q Q
R R
R
S
S
（A ） （B ） （C ） （D ） D
解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形
B 项：
如图
C 项：是个平行四边形
D 项：是异面直线。
3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是
（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ （C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=?，则α∩γ=? D
解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C 项：如图
4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线
AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为
1
1
1
1
1
C
解析：11
B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：
P 点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立
坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是
（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条 C
解析：
如图
这样的直线有4
条，另外，这样的
直线也有4条，共8条。
6. 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=?，0=?，0=?，则△BCD 是 （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不确定
C
解析：假设AB 为a ，AD 为b ，
AC 为c ，且a b c >>则，
，，
则BD
为最长边，根据余弦定理
2
22
cos 0DCB +-∠=
>DCB ∴∠最大角为锐角。所以△BCD 是锐角三角
形。
7.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）
①若αα//,,b a b a 则⊥⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a 其中正确的命题的个数是 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
B 解析：注意①中b 可能在α上；③中a 可能在α上；④中b//α，或α∈b 均有βα⊥， 故只有一个正确命题
8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底 面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
B 解析：平移S
C 到B S '，运用余弦定理可算得.2=
'='=B S E S BE
9. 对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平面Q; ③ M
内不共线的三点
到N 的距离相等; ④ l , M 内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l , m 是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判
定平面M 与平面N 平行的条件的个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
只有②、⑤能判定M//N ，选B
10. 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1 所成的角为
（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200
C 解析：作C
D ⊥AB 于D ，作C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，连B 1D 、AD 1，易知ADB 1D 1是平行四边形，由三垂线定理得A 1B ⊥AC 1，选C 。
11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 A.3π
B.
23π C.2
5π D.3π
解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证
12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平
面β相交；丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时，
A ．乙是丙的充分而不必要条件
B ．乙是丙的必要而不充分条件
C ．乙是丙的充分且必要条件
D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
解析：当甲成立，即“相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l 、m 中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l 、m 中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C ）． 13. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是 ．
解析：（1）成立，如m 、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面α的同一侧，且它们到α的距离相等，则平面α为所求，（4）成立，当m 、n 所在的平面与平面α垂直时，平面α内不存在到m 、n 距离相等的点 14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）
A ．3
B ．1或2
C ．1或3
D ．2或3
解析：C 如三棱柱的三个侧面。
A
B
A 1
1
15．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ）
A ．相交
B ．异面
C ．平行
D ． 异面或相交
解析：D 如正方体的棱长。
16．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为
（ ）
A ．
6π B ．
4
π
C ．3
π
D ．2
π
解析：D B 1D 在平面AC 上的射影BD 与AC 垂直，根据三垂线定理可得。
17．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（ ）
解析：C A ，B 选项中的图形是平行四边形，而D 选项中可见图：
18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 （ ） A ．45° B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：B 如图
★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
①AB 与CD 所在直线垂直；
②CD 与EF 所在直线平行
③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异面 其中正确命题的序号是
（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．③④
解析：D
C
19．线段OA ，OB ，OC 不共面，∠AOB =∠BOC =∠COA =60 ，OA =1，OB =2，OC =3，则△ABC 是
（ ）
A ．等边三角形
B 非等边的等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
解析：B ． 设 AC =x ，AB =y ，BC =z ，由余弦定理知：x 2
=12
+32
-3=7，y 2
=12
+22
-2=3，z 2
=22
+32
-6=7。 ∴ △ABC 是不等边的等腰三角形，选（B ）．
20．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3
π
，l 与a 、l 与b 所成的角都是α， 则α的取值范围是
（ ）
A ．[
65,
6π
π] B ．[
2
,3ππ] C ．[
65,
3π
π] D ．[
2
,6ππ] 解析：D
解 当l 与异面直线a ，b 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值6
π
，当l 与a 、b 的公垂线平行时，a 取得最大值
2
π
，故选（D ）． 21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m 的 竹竿影长0.9m
，但当他马上测树高时,
因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的
影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米
解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高， 1.21
,0.9
CD CE CE ∴==CE=1.08米，
树影长BE=2.7 1.08 3.78+=米，树高AB=
1
0.9
BE=4.2米。 A BCD
-（空间四边形的22．如图,正四面体
都相等）中,,E F 分别是四条边长及两对角线的长
棱,AD BC 的中点, 则
EF 和AC 所成的角的大小是
________.
cos MFE ∠=
即解析：设各棱长为2，则
EF=，取AB 的中点为M ，
.4
πθ=
23．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直 线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长 为_______.
解析：在长方体OXAY —ZBP C 中，OX 、OY 、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ ⊥OZ ，PY ⊥OY ，PX ⊥OX ，
有 OX 2+OZ 2=49，OY 2=OX 2=9， OY 2+OZ 2
=16，
得 OX 2+OY 2+OZ 2
=37，OP =37．
24．设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.
解析： 当直线a ，b 共面时，可确定一个平面； 当直线a ，b 异面时，直线a 与b 上9个点可确定9个不同平面，直线b 与a 上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面． 25. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：EF 和AD 为异面直线.
解析：假设EF 和AD 在同一平面α内，…（2分），则A ，B ，E ，F α∈；……（4分）又A ，E ∈AB ，∴AB ?α，∴B α∈，……（6分）同理C α∈……（8分）故A ，B ，C ，D α∈，这与ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和AD 为异面直线．
26. 在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ?BD =b ，求22
EG FH +.
解析：四边形EFGH 是平行四边形，…………（4分）
22EG FH +=222()EF FG +=22211
()(2)22
AC BD a b +=-
27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90o，
AC=b,BC=a,P 是⊿A BC 所在
平面外一点，PB ⊥AB ，M 是PA 的中点，AB ⊥MC ，求异面直MC 与PB 间的距离. 解析：作MN//AB 交PB 于点N ．（2分）∵PB ⊥AB ，∴PB ⊥MN 。（4分）又AB ⊥MC ，∴MN ⊥MC ．（8分）MN 即为异面直线MC 与PB 的公垂线段，（10分）其长度就是MC 与PB
之间的距离， 则得MN=
12
28. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A 1A=AB ， E 、F 分别是BD 1和AD 中点.
（1）求异面直线CD 1、EF 所成的角；
（2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线.
（1）解析：∵在平行四边形11BAD C 中，E 也是1AC 的中点，∴1//EF C D ，（2分）
∴两相交直线D 1C 与CD 1所成的角即异面直线CD 1与EF
A 1A=A
B ，长方体的侧面1111,ABB A CDD
C 都是正方形 ，∴
D 1C ⊥CD 1
∴异面直线CD 1、EF 所成的角为90°.（7分）
（2）证：设AB=AA 1=
a , ∵D 1F=,4
2
2BF AD a =+∴EF ⊥BD 1.（
9分）
由平行四边形11BAD C ，知E 也是1AC 的中点，且点E 是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心，（12分）∴EA=ED ，∴EF ⊥AD ，又EF ⊥BD 1，∴EF 是异面直线BD 1与AD 的公垂线.（14分）
29. ⊿ABC 是边长为2的正三角形，在⊿ABC 所在平面外有一点P ，PB=PC=
2，PA=3
2
，延长BP 至D ，使，E 是BC 的中点，求AE
和CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.
解析：分别连接PE 和CD ，可证PE//CD ，（2分）则∠PEA
即是AE 和CD 所成
A
B
N
B D
B D
C
角．（4分）在R t⊿PBE 中，
，BE=1，∴
。在⊿AEP 中，
，cos AEP ∠
=39
3+-
=12
． ∴∠AEP=60o，即AE 和CD 所成角是60o．（7分）
∵AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，PE//DC ，∴CD ⊥BC ，∴CE 为异面直线AE 和CD 的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）
30. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体的棱1,A A AB ，BC ，1,CC 11,C D 11D A 的
中点，试证：E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．
解析：∵EN//MF ，∴E N 与MF 共面α，（2分）又∵EF//MH ，∴EF 和MH 共面β．（4分）∵不共线的三点E ，F ，M 确定一个平面，（6分）∴平面α与β重合，∴点H α∈。（8分）同理点G α∈．（10分）故E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．
31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．1条或2条
D
解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条 直线时，有一条交线，故选D
32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 （ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．8个
解析：C 如四棱锥的四个侧面，2
4
6C =个。
33.．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果EF 与HG 交于点M ，则 （ ） A ．M 一定在直线AC 上
B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在AC 上，也可能在B
D 上
D ．M 不在AC 上，也不在BD 上
解析：∵平面ABC ∩平面ACD=AC ，先证M ∈平面ABC ，M ∈平面ACD ，从而M ∈AC
A
34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .
解析：6条
35. 已知：.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=???αα
)12..(:分求证α?PQ
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
解析：∵PQ ∥a ,∴PQ 与a 确定一个平面.,,βββ∈?∴P a 点直线
αα∈∴?∈p b b p ,,
αβαα
?∴∴?PQ a 重合
与又
36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。（12分） 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β 又βα?=?AB P AB 且,
.,,l p l P ∈=?∴则设内内又在既在点βααβ .
,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈
37. 已知：平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα?=??=? 求证：b 、c 是异面直线
解析：反证法：若b 与c 不是异面直线，则b ∥c 或b 与c 相交 .
,,,,,,)2(//,//.//)1(是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若c b A b b AB A A b a B B c b A b a b a c a c b ∴=???∴∈∴=?∈=?∴βββββ 38. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=3，求AD 与BC 所成角的大小 （本题考查中位线法求异面二直线所成角）
解析：取BD 中点M ，连结EM 、MF ，则
60,1202
123112cos ,3,,12
1
//,121,//222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BC AD EMF MF EM EF MF EM EMF EF MEF BC MF BC MF AD EM AD EM ∴=∠∴-
=-+=??-+=∠=?====
39. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异面直线CM 与D 1N 所成角的
正弦值.(14分)
（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）
解析：取DD 1中点G ，连结BG ，MG ，MB ，GC 得矩形MBCG ，记MC ∩BG=0 则BG 和MC 所成的角为异面直线CM 与D 1N 所成的角.
9
54sin 9
1cos )
()2
3
(2222=
∠∴=
∠∴==+=BOC BOC a BC a a AC MA MC 设正方体的棱长为
而CM 与D 1N 所成角的正弦值为9
54
40. 如图，P 是正角形ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 和PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a 。 （1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线 （2）求异面二直线AB 和PC 之间的距离
解析：（1）连结AN ，BN ，∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形，又N 是PC 的中点 ∴AN=BN
又∵M 是AB 的中点，∴MN ⊥AB 同理可证MN ⊥PC
又∵MN ∩AB=M ，MN ∩PC=N ∴MN 是AB 和PC 的公垂线。
（2）在等腰在角形ANB 中，a AB AN MN a AB a BN AN 2
2)2
1(,,2
322=-=∴===
即异面二直线AB 和PC 之间的距离为
a 2
2
. 41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ] A ．可能有3个，也可能有2个 B ．可能有4个，也可能有3个
C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个
解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.
42.下列命题中正确的个数是 [ ]
①三角形是平面图形②四边形是平面图形
③四边相等的四边形是平面图形④矩形一定是平面图形
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。
命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。
命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。
43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。
解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。
44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行
解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。
45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。
解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。
46.三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个
解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。
47.画出满足下列条件的图形。
(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A
(2)α∩β=a，b β，b∥a
解析：如图1-8-甲，1-8-乙
48.经过平面α外两点A ，B 和平面α垂直的平面有几个？ 解析：一个或无数多个。
当A ，B 不垂直于平面α时，只有一个。 当A ，B 垂直于平面α时，有无数多个。
49. 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.
解析： 由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝
2
1
AB ＝62， HE ＝
2
1
，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG ·HE ·sin ∠EHG ＝126 sin ∠EHG,∴ 12 6sin ∠EHG
＝123.
∴ sin ∠EHG ＝
2
2
,故∠EHG ＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°
注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。
50. 点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2
2
AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）
解析：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且
EG=
21 BC ，FG ∥
AD ，且FG=2
1
AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或知EG=GF=
2
1
AD ，又直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD EF=AD ，由余弦定理可得cos ∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作
出了两条异面直线的
H
G F
E
D
C
B
A
A
B
C
G
F E
D
平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。
51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值；
解析：(1)连接DM,过N 作NE ∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。
∵N 为AD 的中点, NE ∥AM 省 ∴NE=
21
AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=2
1
MD=43
在
Rt △MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=16
7
∴cos ∠CNE=
324
3
432167)43()43(
2222
22-=??-+=??-+NE
CN CE NE CN ,
又∵∠CNE
∈(0,
2
π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为
3
2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3
1
==EC BE FD AF 。求异面直线AB 与CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得
3
1
=GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，
GD
BG
EC BE =，故EG//CD ，并且4
1
==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且
4
3
==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得
A B C D
E G
cos ∠
FGE=
2
1
5327532222222-=??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角，于是AB 与CD 所
成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1与BD 所成的角的余弦．
解一：连AC ，设AC ∩BD=0，则O 为AC 中点，取C 1C 的中点F ，连OF ，则OF ∥AC1且OF=2
1
AC1，所以∠FOB 即为AC1与DB 所成的角。在△FOB 中，OB=2221b a +，OF=222
2
1c b a ++，BE=224121c b +，由余弦定理得 cos ∠
OB=2
2222
22222224
12)
41
()(41)(41c b a b a c b c b a b a ++?+?+-++++=)2222222)((c b a b a b a +++- 解二：取AC 1中点O 1，B 1B 中点G ．在△C 1O 1G 中，∠C 1O 1G 即AC1与DB 所成的角。
解三：．延长CD 到E ，使ED=DC ．则ABDE 为平行四边形．AE ∥BD ，所以∠EAC 1即为AC 1与BD 所成的角．连EC 1，在△AEC1
中，AE=22b a +，AC1=222c b a ++，C1E=224c a +由余弦定理，得
cos ∠EAC 1=
2
2
2
2
2
22222222)
4()()(c
b a b a
c a c b a b a ++?+?+-++++=
)
22
2
2
2
2
2)((c
b a b a a b +++-＜0
所以∠EAC 1为钝角．
E
D 1
C 1
B 1
A 1
A
B
D
C
O
B 1
D
G
根据异面直线所成角的定义，AC 1与BD 所成的角的余弦为
)
)((2
2
2
2
2
2
2c b a b a b a +++-
54. 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直α，B 为垂足，则 直线AB 是斜线在平面α内的射影，设AC 是α内的任一条直线，
解析：设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，
AO 与AC 所成角为θ，则有
21cos cos cos θ?θ=θ。
在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=
90，29,3,2===SB BC AC ，求异面直线SC
与AB 所成角的大小。（略去了该
题的1,2问）
由SA ⊥平面ABC 知，AC 为SC 在平面ABC 内的射影， 设异面直线SC 与AB 所成角为θ，
则 BAC SCA ∠?∠=θcos cos cos ， 由29,3,2===SB BC AC 得2,32,17===SC SA AB
∴ 21
cos =
∠SCA ， 17
2cos =∠BAC ， ∴ 1717cos =
θ， 即异面直线SC 与AB 所成角为 17
17arccos 。 55. 已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，且
6011=∠=∠=∠BCD CD C CB C ，证明 BD C C ⊥1。
（略去了该题的2，3问）
解析： 设1C 在平面ABCD 内射影为H ，则CH 为C C 1在平面ABCD 内的射影，
∴ DCH CH C CD C ∠?∠=∠cos cos cos 11， ∴ BCH CH C CB C ∠?∠=∠cos cos cos 11，
由题意 CB C CD C 11∠=∠， ∴BCH DCH ∠=∠cos cos 。 又 ∵),0[,π∈∠∠BCH DCH
∴BCH DCH ∠=∠， 从而CH 为DCB ∠的平分线， 又四边形ABCD 是菱形， ∴BD CH ⊥ ∴C C 1与BD 所成角为
90， 即BD C C ⊥1
A
C
S
B B A
H
C
D
D 1
B 1
A 1
C 1
56.. 在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为BC ，AD 的中点， 求异面直线AE 与CF 所成角的大小。 解析： 连接BF 、EF ，易证AD ⊥平面BFC ， ∴ EF 为AE 在平面BFC 内的射影， 设AE 与CF 所成角为θ，
∴ CFE AEF ∠?∠=θcos cos cos ，
设正四面体的棱长为a ，则a BF CF AE 2
3
=== ， 显然 EF ⊥BC ， ∴ a EF 2
2
=
， ∴ 36cos ==
∠AE EF AEF ， 3
6
cos ==∠CF EF AFE ， ∴ 32cos =
θ， 即AE ∴与CF 所成角为 3
2arccos 。 57. 三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，
90,601=∠=∠AOB OB O ，且3,21===OA OO OB ，求异面直线B A 1与1AO 所成角的大小，（略去了该题的
1问）
解析： 在平面1BO 内作1OO BC ⊥于C ，连C A 1，
由平面⊥11B BOO 平面AOB ，
90=∠AOB 知，
AO ⊥平面11B BOO ， ∴ BC AO ⊥， 又 O OO AO =?1， ∴ BC ⊥平面11A AOO ， ∴ C A 1为B A 1在平面11A AOO 内的射影。
设B A 1与1AO 所成角为θ，C A 1与1AO 所成角为2θ， 则21cos cos cos θ?∠=θC BA ， 由题意易求得 7,2,311===B A C A BC ，
∴ 7
2
cos 111==
∠B A C A C BA ， B
C
A
D
E
F
B
O
O 1
C
A
B 1
A 1
在矩形11A AOO 中易求得C A 1与1AO 所成角2θ的余弦值：14
7cos 2=
θ， ∴ 7
1cos cos cos 21=
θ?∠=θC BA ， 即B A 1与1AO 所成角为 7
1
arccos 。
58. 已知异面直线a 与b 所成的角为 50，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角均是
30的直线有且只有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条
解析： 过空间一点P 作'a ∥a ，'b ∥b ，则由异面直线所成角的定义知：'a 与'b 的交角为 50，过P 与'a ，'
b 成等角的直线与a ，b 亦成等角，设'a ，'b 确定平面α，'a ，'
b 交角的平分线为l ，则过l 且与α垂直的平面（设为β）内的任一直线'l 与'a ，'b 成等角（证明从略），由上述结论知：'l 与'a ，'b 所成角大于或等于l 与'a ，'b 所成角
25，这样在β内l 的两侧与'a ，'b 成 30角的直线各有一条，共两条。在'a ，'b 相交的另一个角 130内，同样可以作过
130
角平分线且与α垂直的平面γ，由上述结论知，γ内任一直线与'
a ，'
b 所成角大于或等于
65，所以γ内没有符合要求的直线，因此过P 与a ，b 成
30的直线有且只有2条，故选（B ） 59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交
C.异面
D.以上都有可能 解析：D
60. l 1、l 2是两条异面直线，直线m 1、m 2与l 1、l 2都相交，则m 1、m 2的位置关系是（ ） A.异面或平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 解析：D
61. 在正方体ABCD-A ’B’C’D’中,与棱AA ’异面的直线共有几条 （ ）
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是
（）
A.48对
B.24对
C.12对
D.6对
解析：B
AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（）
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
解析：B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是
（）
A.
π
3
,
π
2
[]
B.
π
6
,
π
2
[]
C.
π
6
,
2π
3
[]
D.
π
3
,
2π
3
[]
解
c 在位置c2时,它与b 成角的最大值为90°,直线c 在c1位置时,它与b 成角的最小值
是60°
65..如图，空间四边形ABCD 的各边及对角线长都是1，点M 在边AB 上运动、点Q 在边CD 上运动，则P
、Q 的最短距离为（ ）
解析：B
当M,N 分别为中点时。
因为AB, CD 为异面直线，所以M, N 的最短距离就是异面直线AB,CD 的距离为最短。连接BN,AN 则CD
⊥BN,CD ⊥
AN 且AN=BN,所以NM ⊥AB 。同理，连接CM,MD 可得MN ⊥CD 。所以MN 为AB,CD 的公垂线。因为AN=BN
所以在RT △BMN 中，MN 它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。
66. 空间四边形ABCD 中，AD=BC=2,E,F 分别是AB,CD 的中点，EF ＝√3，则AD,BC 所成的角为（ ） A.30° B.60° C.90°
D.120°
解
解这一基本过程。
67. 直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60b 与a 在平α
内的射影成45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60°
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
第一章立体几何初步测试题选择题答题表 一、选择题(每小题5分，共60分．) 1．下列说法准确的是( ) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．两条异面直线不可能( ) A．同垂直于一条直线B．同平行于一条直线 C．同平行于一个平面D．与一条直线成等角 3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( ) A．b⊥αB．b∥α C．b⊥α或b∥αD．b与α相交或b⊥α或b∥α 4．设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上，该球的表面积为( ) A．3π2a B．2 6aπ C．2 2a πD．2 24aπ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) 6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①②B．②③ C．①④D．③④ 7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有( ) A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADC C．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC 8．在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是( ) A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
精品文档15周周末自主测试高一第立体几何初步测试题（一） 分，在每小题给出的四个选项中，只分，共6012小题，每小题5一、选择题：（本题共有一项是符合题目要求的））1、有一个几何体的三视图如下图 所示，这个几何体应是一个（ 俯视图左视图主视图 、都不对 D C、棱柱B、棱锥A、棱台）2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（D、都不对、16或64 C、64 B A、16 ）3、下面表述正确的是（ B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面A、空间任意三点确定一个平面 D、不共线的四点确定一个平面、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 C ）4、两条异面直线是指（ B、分别位于两个不同平面内的两条直线A、在空间内不相交的两条直线 D、不同在任一平面内的两条直线C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 下列命题中：①平行于同一直线的两平面平行②平行于同一平面的两平面平行③垂直5、）于同一直线的两平面平行④与同一直线成等角的两平面平行；正确的命题是（ 、②③④ D C、③④A、①②B、②③ ）6、下列命题中正确命题的个数是（ ①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。3 、D C、2 A、0 B、1 、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是7 ）（A'C'、不确定 D C B、相交、平行、异
45分钟滚动基础训练卷(十) [考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分] 一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________． 2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1 x ，y 这四个数据的平均数 为3，则x ＋y 最小值为________． 3．已知函数f (x )＝? ???? 2x 2＋1(x ≤0)， －2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________． 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(?R B )∩A ＝________. 5．设实数x ，y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则u ＝y x －x y 的取值范围是________． 6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－ x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________． 7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于??? ?－π2，π 2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ???? x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)． 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1 x ＋1 的值域，集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)． (1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式； (2)当x >0时，试求函数y ＝f (x ) g (x )－2 的最小值．
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 3 C 3 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与 G H 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿 长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B C G E 1B H 1C 1D 1 A A B C P D'C' B' A'O' Y'X' 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； 立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。 求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D； （2）平面BDF∥平面B 1D 1 H． 4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由. 7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：BC⊥DE． 高三数学立体几何专 题 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号． 立体几何初步测试题 1.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是( ) A ．有10个顶点 B ．体对角线AC 1垂直于截面 C ．截面平行于平面CB 1 D 1 D ．此多面体的表面积为47 8 a 2 解析 此多面体的表面积S ＝6a 2－3×12×12a ×12a ＋12×22a ×22a ×32＝45 8a 2 ＋ 38a 2＝45＋38 a 2 .故选D 2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A.3 B.3 2＋6 C.3＋6 D.3＋4 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S ＝3×(2)2 ＋2×1 2×(2)2×sin60°＝6＋ 3.故选C. 3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．22π B ．12C ．4π＋24 D ．4π＋32 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S ＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D. 5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( ) A.82π 3 B.8π3 C.32π3 D ．8π 解析 由题意，球的半径为R ＝12＋12＝2，故其体积V ＝4 3π(2)3＝82π 3，选A. 6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是( ) A.105 B.1010 C.13 D.223 解析 因为BC ∥B 1C 1，故∠EC 1B 1即为异面直线C 1E 与BC 所成的角，在△EB 1C 1中，由余弦定理可得结果，选C. 8.(2012·安徽皖南八校联考)设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① ???? ?α∥βα∥γ?β∥γ；② ???? ?α⊥β m ∥α?m ⊥β；③ ? ??? ?m ⊥αm ∥β?α⊥β；④ ? ??? ?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目 让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。高中数学立体几何知识点总结
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