名校专题----圆锥曲线培优训练2
1、设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直
线l 的方程；若不存在，请说明理由.
解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== …………2分
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
221-+=--?---=?y x y x y x PF
35
1
1544222+=--
+x x x ………………4分 ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ?有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 ……6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y ………8分
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ?+
=?+-+-=??=-?
，得
依题意2
20(1680)055
k k ?=->-
<<
，得 …………10分 当5
5
55<
<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4
520)54525()5(2220
0+-=-+=-=∴k k
k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-?=?∴k k k k k k k k k R
F …………13分 ∴20k 2
=20k 2
－4，而20k 2
=20k 2
－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| …………14分
2、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在X 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
14
y x =
的焦点，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交Y 轴于M 点，若1MA AF λ= ，2MB BF λ=
，
求证：1210λλ+=-.
解：设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+= （a ＞b ＞0），……1分
抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为(0,1)， ………………2分 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b = ………………3分
由5
c e a ===，∴2
5a =，所以椭圆C 的标准方程为 2215x y += ………6分 （2）证明：易求出椭圆C 的右焦点(2,0)F ， ………………7分 设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2
215
x y += 并整理， 得2
2
2
2
(15)202050k x k x k +-+-= ………………9分
∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+ ………………10分 又，110(,)MA x y y =- ，220(,)MB x y y =- ，11(2,)AF x y =-- ，22(2,)BF x y =--
， 而 1MA AF λ= ， 2MB BF λ= ，
即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=
-，2
22
2x x λ=-，………………12分 所以 121212
12121212
2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+==----++ ………14分
3、已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12
-
． （1）求点M 轨迹C 的方程；
（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE
?与ODF ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ?=-
2分
0x ≠），这就是动点M 的轨迹方程．……………………4分 （2）方法1：如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为()2y k x =-（1
2
k ≠±
） … ①……5分 将①代入12
22
=+y x ，得0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ，………………6分 由0?>，解得2
1
02
k <<
．…………………………………………………………7分 设()11,E x y ，()22,F x y ，则???
????+-=+=+.1228,12822
212221k k x x k k x x …… ② ……………………8分
令OBE
OBF
S S λ??=，则||||BE BF λ=，即BE BF λ=? ，即()1222x x λ-=-，且0 1.λ<<……9分
由②得，12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -?-+-=??+??-?-=-++=?+?（即()()()222
22412,21
22.21x k x k λλ-?
+-=??+??-=?+?
22
22
2141,(1)8(1)2
k k λλλλ+∴==-++即．…………………11分 2102k <<
且2
14k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2411(1)24
λλ-≠+．
解得33λ-<<+1
3
λ≠
……………………13分 01λ<< ，1223<<-∴λ且1
3
λ≠．
∴△OBE 与△OBF
面积之比的取值范围是113,133????- ? ?????
．……………14分
方法2：如图，由题意知直线l 的斜率存在，
设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±…… ①…………5分
将①代入12
22
=+y x ，整理，得22(2)420s y sy +++=，…………6分 由0?>，解得2
2s >．……………………………7分
设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,2
2.
2s y y s y y s ?
+=-??+??=?+?
…… ② ……………………8分
令1
1221
21
2
OBE
OBF
OB y S y S y OB y λ???=
==?，且01λ<<．…………………………………9分
将12y y λ=代入②，得()2222241,2
2.
2s y s y s λλ?
+=-??+??=?+?
∴
()2
2
2
182s s λλ
+=+．即()2
222161
s λλλ+=--．……………………………………11分 ∵22s >且2
4s ≠，∴()2
221261λλλ+>--且()2
2
21461
λλλ+≠--． 即2
610λλ-+<且13
λ≠
．
解得33λ-<+1
3
λ≠
．……………………………………………13分 01λ<< ，1223<<-∴λ且1
3
λ≠．
故△OBE 与△OBF
面积之比的取值范围是113,133?
???- ? ?????
．……………14分
4、已知直线y x y x l 40122:2
==+-与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点的圆与抛物线在A （其中A
点在y 轴的右侧）处有共同的切线. （1）求圆M 的方程；
（2）若圆M 与直线y=mx 交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，求证：?为定值.
解：（1）由).4,4(),9,6(,40
1222-???==+-B A y
x y x 得 …………2分
抛物线在A 处的切线斜率为3='y ，设圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，
由切线性质得
,3
1
69-=--a b ① 又圆心在AB 的中垂线上，即),1(22
13
--=-a b ② …………6分 由①②得圆心,2125
),223,23(2=
-r M 圆M 的方程为.2
125
)223()23(22=-
++y x ………………8分 （2）由??
?
??=+-++=-++=072)233()1(,2125)223()23(2
222x m x m y x mx
y 得……10分 设2
212211172
),,(),,(m x x y x Q y x P +=则，…………11分
又||1|||,|1||22122121x m OQ x m y x OP +=+=+=
，…………13分
.72||||==?…………14分
5、椭圆G ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共
圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；
（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否
关于过点P （0，
3
3
）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心
……1分，故该椭圆中,22c b a ==
即椭圆方程可为22222b y x =+
3分
设H （x,y ）为椭圆上一点，
则 b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||2
2222……4分
若30<
||,HN b y 时-=有最大值962
++b b
5分
由25350962
±-==++b b b 得（舍去）
6分
若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当
7分
由16501822
2
==+b b 得∴所求椭圆方程为
116
322
2=+y x 8分
（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由
???????=+=+116
32116322
2222
121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③
又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为3
3
1+
=
x k y
将点Q （00,y x ）代入上式得，3
3
100+
-
=x k y ……④ 11分
由③④得Q （3
3
,332-
k ）……12分而Q 点必在椭圆内部116322
020<+∴y x ，
由此得2
9400294,0,2472
<
<<<-∴≠<
k k k k 或又
故当)2
94,0()0,294(?-
∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分
6、已知椭圆1422
2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作
倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点. （1）求P 点坐标； （2）求证直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值。
解：（1）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x ---=，……………………2分
∴1)2(20
20
21=--=?y x PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则14
220
20=+y x ，
∴2
42
02
0y x -=，从而1)2(242020=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. ……………………5分
（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，………6分
则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由???
??=+
-=-14
2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，
设),(B B y x B ，则2
22222
2212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，
同理可得222)222k k k x A +-+=，则2224k k x x B A +=-，2
28)1()1(k
k
x k x k y y B A B A +=----=-.……9分 所以：AB 的斜率2=--=B
A B A AB x x y y k 为定值. ………………10分 （3）设AB 的直线方程：m x y +=2.
由???
??=+
+=14
2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ，
由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m ，P 到AB 的距离为
3
|
|m d =，………12分 则3||3)21
4(21||212m m d AB S PAB ??-=?=?
2)2
8(81)8(812222
2=+-≤+-=m m m m 。
当且仅当()
22,222-∈±=m 取等号 ∴三角形PAB 面积的最大值为2。………………14分 7、椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ
．
（1）求椭圆方程；
（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λ
，求m 的取值范围．
解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2
，由条件知a-c ＝22，c a ＝22
，
∴a ＝1，b ＝c ＝22，故C 的方程为：y 2
＋x 2
1
2
＝1 …………4分
（2）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ， ∴λ＋1＝4，λ＝3 ………6分
设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
?
????
y ＝kx ＋m 2x 2
＋y 2
＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2
－1）＝0
Δ＝（2km ）2
－4（k 2
＋2）（m 2
－1）＝4（k 2
－2m 2
＋2）>0 （*）
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2
－1k 2＋2 ………………………………………………9分
∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴???
?
?
x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2
－1k 2＋2
＝0，整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2
－2＝0……11分
m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m
2
4m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 2
4m 2－1>0，∴－1 2 容易验证k 2>2m 2 －2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1 2 ，1） ………………………14分 8、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点. （1）若椭圆的离心率为 3 3 ，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。 解：（1）3 3 ,22,33= == a c c e 即 2,322=-==∴c a b a 则 （3分） ∴椭圆的方程为12 32 2=+y x （4分） 联立0365:112 322 2=--?? ???+-==+ x x y x y y x 得消去 （5分） 2 12212221221212122114)(])1(1[)()(||5 3,56) ,(),,(x x x x y y x x AB x x x x y x B y x A -+-+=-+-=∴-== +则设 （8分） 5 3 8512)56(22= += （10分） （2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F 1（-1，0），直线AB 的方程为x+y-1=0, 所以点F 1到直线AB 的距离 =, （12分） 又 ∴△ABF 1的面积S=1||2AB d ? =12= （14分） 9、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为36 ，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M 、N 两点在椭 圆C 上，且)0(>=λλFN MF ，定点A （－4，0）. （1）求证：当1=λ时.，⊥； （2）若当1=λ时有3 106 = ?AM ，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，当M 、N 两点在椭圆C 运动时，当MAN ∠??tan 的值为 , 求 出直线MN 的方程. 解：（1）设)0,(),,(),,(2211c F y x N y x M ，则),(),,(2211y c x y x c -=--=， 当1=λ时，c x x y y FN MF 2,,2121=+=-∴=， （2分） 由M ，N 两点在椭圆上，2 22122 22222212 2 1 ),1(),1(x x b y a x b y a x =∴-=-=∴ 若21x x -=，则c x x 2021≠=+（舍去），21x x =∴ （4分） .),0,4(),2,0(2AF MN c AF y MN ⊥∴+==∴ 。 （5分） （2）当1=λ时，不妨设242 22)4(),,(),,(a b c a b c N a b c M -+=?∴- （6分） 又3 106 16865,2,2322222 = ++∴==c c c b c a ，2=∴c ， （8分） 椭圆C 的方程为.12 62 2=+y x 。 （9分） （3）因为||||2tan N M AMN y y AF S MAN AN AM -==∠??? （10分） 由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|y M -y N （11分） 当MN ⊥x 轴时, |y M -y N |=|MN|=22b a =≠故直线MN 的斜率存在, （12分） 不妨设直线MN 的方程为)0(),2(≠-=k x k y 联立?????=+-=126 )2(2 2y x x k y ，得024)31(2 22=-++k ky y k ， 2 2 4312424||k k k y y N M ++= -∴ 解得k=±1。 此时，直线的MN 方程为02=--y x ，或02=-+y x 。 （14分） 10、抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆， （Ⅰ）求定点N 的坐标； （Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2． 解：（1）因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x 所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， -----------2分 所以定点N 的坐标为)0,2( ----------------------------3分 （2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， -----------4分 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k ------------------------5分 以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2， ----6分 方法1：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分 即111 22 =+-= k k d ，解得34 0或=k ， -------------------------------8分 当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾！ --------------9分 当3 4 = k 时，l 的方程为01334=--y x ----------------------------10分 由?? ?==--x y y x 0 1334，解得点A 坐标为()13,13， ------------------11分 由???-==--x y y x 01334，解得点B 坐标为??? ??-713,713， ------------------12分 显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾！ ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ------------------------------------14分 方法2：由?? ?=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为??? ??----114,114k k k k ， ------7分 由? ??-=-=-x y x k y )4(1，解得点B 坐标为??? ??+--+-k k k k 114,114， ------------8分 因为AB 中点为)1,4(E ，所以 81 1 4114=+-+--k k k k ，解得4=k ， ---------10分 所以l 的方程为0154=--y x ， 圆心N 到直线l 的距离 17 17 7， -------------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分 所以不存在满足条件的直线l ． -------------------------------------14分 方法3：假设A 点的坐标为),(a a ， 因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， -------------8分 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ， ----------------------------9分 所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4， 所以l 的方程为0154=--y x ， -----------------------------10分 圆心N 到直线l 的距离 17 17 7， -----------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ----------------------------------------14分 11、已知圆C 方程为：224x y +=. （Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+ ，求 动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和() 3,1-，其距离为32 满足题意 ……… 1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d …………3分 ∴1 |2|12++-= k k ，3 4 k = ，故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………7分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………9分 ∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，2 0y y = …11分 又∵420 20 =+y x ，∴2 2 4(0)4 y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是 22 1(0)416 x y y +=≠， …………13分 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。 …………14分 12、抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆， （Ⅰ）求定点N 的坐标； （Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2； 解：（1）因为抛物线px y 22 =的准线的方程为2-=x 所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， -----------2分 所以定点N 的坐标为)0,2( ----------------------------3分 （2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， -----------4分 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k ------------------------5分 以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2， ----6分 方法1：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分 即111 22 =+-= k k d ，解得34 0或=k ， -------------------------------8分 当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾！ --------------9分 当3 4 = k 时，l 的方程为01334=--y x ----------------------------10分 由? ? ?==--x y y x 0 1334，解得点A 坐标为()13,13， ------------------11分 由???-==--x y y x 01334，解得点B 坐标为??? ??-713,713， ------------------12分 显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾！ ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ------------------------------------14分 方法2：由? ??=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为??? ??----114,114k k k k ， ------7分 由?? ?-=-=-x y x k y )4(1，解得点B 坐标为??? ??+--+-k k k k 114,114， ------------8分 因为AB 中点为)1,4(E ，所以 81 1 4114=+-+--k k k k ，解得4=k ， ---------10分 所以l 的方程为0154=--y x ， 圆心N 到直线l 的距离 17 17 7， -------------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分 所以不存在满足条件的直线l ． -------------------------------------14分 方法3：假设A 点的坐标为),(a a ， 因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， -------------8分 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ， ----------------------------9分 所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4， 所以l 的方程为0154=--y x ， -----------------------------10分 圆心N 到直线l 的距离 17 17 7， -----------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ----------------------------------------14分 13、已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点() 1F 和) 2F 的距离之和为4． （1）求曲线Γ的方程； （2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ?= （O 为坐标原点），求直线l 的方程． 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a = ，c = 1b ==．………………………………………2分 所以动点M 的轨迹方程为2214 x y +=．………………………………………………4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ?= ，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =?-++． ∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分 由方程组22 1,4 2.x y y kx ?+=???=-? 得()22 1416120k x kx +-+=．……………11分 则1221614k x x k += +，1221214x x k ?=+，代入①，得()2 22 121612401414k k k k k +?-?+=++． 即2 4k =，解得，2k =或2k =-．…………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．…………………14分 14、已知圆C ：224x y +=. （1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+ ， 求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. y 2=4y 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和() 3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx ……3分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1 |2|12++-= k k ，3 4 k = ， 故所求直线方程为3450x y -+= ………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x , 则N 点坐标是()0,0y ……… 7分 ∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，2 0y y = …………9分 又∵420 20 =+y x ，∴44 2 2 =+y x …………………………… 10分 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分 ∴Q 点的轨迹方程是 22 1(0)164 y x y += ≠，…………………… 12分 轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。…………… 14分 15、设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C 。 （1）求点P 的轨迹方程； （2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？ 解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原点为顶点， F (0,1)为焦点的抛物线………………2分 ∵12 p = ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2 4x y =………4分 （2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为 2222 ()()(2)x a y b a b -+-=+- …………7分 令0y =得：2 2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x 方法1：不妨设12 x x >，由求根公式得 1x = 2x =……………10分 ∴12x x -= 又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =， ∴ 124x x -=，即EG ＝4----------13分 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ?=- ∴ 22121212()()4x x x x x x -=+-?22(2)4(44)41616a b a b =--=-+ 又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2 4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕 16、在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、 PB 的斜率之积为3 4 -． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点1,02?? ??? 作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的 取值范围． 解：（Ⅰ）依题意，有3 224 PA PB y y k k x x ?= ?=--+（2x ≠±） ，化简得 22 143 x y +=（2x ≠±）， 这就是动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）依题意，可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --，则有22 22 ()()143()()14 3x m y n x m y n ?+++=???--?+=??， 两式相减，得 4430 014342 EF mx n n x y k m y x -+=?==-= -，由此得点M 的轨迹方程为226830x y x +-=（0x ≠）． 设直线MA ：2x my =+（其中1 m k =），则2222 2(68)211806830 x my m y my x y x =+??+++=?+-=?， 故由22(21)72(68)0||8m m m ?=-+≥?≥，即18k ≥，解之得k 的取值范围是11,88?? -???? ． 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 优等生培优计划 为全面提高教学质量，完成学校制定的培养目标，选拔学科基础扎实、成绩优异、思维敏捷、学习能力超群的学生进行重点培养，为他们脱颖而出创造条件，从而造就一批实践能力强的人才，为学校增光。 在智力、学习成绩、日常表现等方面相对优秀的那部分学生常常被认为是好学生,也被称为优生。由于这些学生认知结构、判断能力和行为决策水平都有待提高，他们思维活跃不稳定，容易受各种因素的干扰，紧张的学习、激烈的竞争、单调的生活、成长的烦恼，还有来自家长教师及学生自身的过高期望等，常常会诱发这些学生的消极情绪体验，产生不良的心理现象。优生在年级中人数不多，但影响却颇大，抓好对他们的教育，对形成良好的班风校风有很大作用，这些学生能否严格要求自己，大胆工作无疑会对班级工作局面的好坏产生很大影响。具体措施1．改进学习方法，培养自学能力。2．要让学生学会质疑、提问。鼓励学生求异、求变、求新，善于学习、勤于总结、勇于创新。3、为了使优等生更加先进，对其进行"创新"教育，使其具有创新意识，创新精神和创新能力，并逐步形成创新素质。4．进行意志品质教育，在学习上遇到困难时要克服各种消极情绪，具有迎难而上、永攀高峰的意志品质。5．严格要求。对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。6．着力培养。对优生要多给予思想上的帮助，使之树立热爱集体、热心为大家服务的思想，鼓励他们大胆工作，并提供发挥他们想象力、创造性的机会，肯定他们的成绩，让他们把科学的学习方法传给大家，达到全体同学共同进步的目的。7．平等相待。对优生不能因为他们成绩好而一味地“捧” ，不能对他们的缺点冷嘲热讽，这些都会导致心理障碍。对他们要热情地支持、深情地指导，让他们成为积极向上、勤奋刻苦、乐于助人的三好学生。8、教师每天给优生布置几道思考题加强训练，要完成一本课外书习题。 本学期，在教学工作中对优等生的教育，主要计划如下： 一、做好基础知识的学习 课堂教学是向学生传授知识的主要途径。只有在课堂教学中打好坚实的基础，才能进行更深层次的学习，才能在全面发展的基础上学有特长。任何一个优等生都是在基础教育的基石上发展起来的。课堂教学要突出学生的主体地位，以学生的学会学习为标志，设计多种学习活动，调动学生的脑，手，口，让他们积极投入到学习中去，注重精讲点拨，教学过程中教师精心设计提问，在共同的基础上将有一定难度的问题留给尖子生，让他当先生说一说，讲一讲，锻炼他们的思维。通过训练，及时让学生掌握所学，设计的习题要有梯度、有层次，及时注意优等生的学习动向，适当的加大他们的训练量。课内教师积极引导他们自主探究，主动思考，加强学法指导，使他们牢固的 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？ 解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间， 设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①， 岭v i 叫A A 在冲，COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\ 另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1?单调性?当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 ?有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中， ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。 解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点 2 4 ■ v0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 高二年级名校尖子生培优计划（讨论稿） ——冲击清华、北大 刘永军 前言：根据我校在全市高中的地位和以往各届升入清华北大等名校的状况，我校尖子生的定位理应是冲击清华、北大等名校的学生。 尖子生的培养需要一个优秀的群体，这个群体的整体质量状况影响着每一个尖子生的学习与发展。这个群体分三类学生：一是成绩在年级前20名的，是第一梯队学生；二是有很大的潜力但暂时锋芒未露的准尖子生，成绩多在年级前50名，为第二梯队，有的“黑马”或许就从这一梯队产生；三是成绩在年级前100名左右的学生，是尖子生脱颖而出的最稳定有利的环境和基础。 在高一打好基础、培养自信心的基础上，为了提升我校尖子生培育水平，更好的发现尖子生，培养尖子生，充分发掘他们的潜能，为提高2015年高考的名校人数，为培养出具有冲击清华、北大、复旦等名校实力的学生，特制订高二尖子生培优计划。这个计划主要包括“高考计划”，“自主招生计划”两部分。 关键词：多做题尖子生辅导能力 “高考计划” 从历届考上清华北大等顶尖名校的学生看，不难看出一些共性的特点： ★练题量大，种类多，题型广且包含大量中难题以及压轴题★做题快，准确率高 ★单位时间内学习效率高，课下用来学习的时间多 ★学习生活习惯规律，自觉性强 ★心理素质好，学习过程中内心平静，非常专注，有毅力，肯吃苦。 我认为从考试角度说：高考就是做题，而且是做我们平时没见过的题。对于“容易题和中等题”尖子生得分较稳定，尖子生之间的差距主要表现在“中难题和压轴题”的得分情况。因此我认为应该以“有选择的大量练题”为载体，提升学生解各种题的思维、方法和能力，从而真正提升学生的综合能力。 在做大量习题过程中，学生要先达到“会解各种题”，再逐渐达到“做题快，且准确率高”，让学生深刻体会其中的错误与喜悦，多归纳总结自己的不足，减少差距，才能在高考中一次性成功。 对于练习试题的选择辅导老师应有计划性，针对性。辅导老师要引导好，辅导好，归类讲解“拓展知识”、“类型题”以及“变 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 （新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题等比数列教案新人教A 版 【考纲解读】 1．理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式． 3.了解等比数列与指数函数的关系． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有，在解答题中，经常与不等式、函数等知识相结合，在考查数列知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 定义: 数列{a n}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比. 2.通项公式：a n=a1q n－1， 推广形式：a n=a m q n－m. 变式：q=（n、m∈N*）. 3.前n项和S n= 注：q≠1时，=. 4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±. 5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好. 6.证明等比数列的方法： （1）定义法：只需证=非零常数；（2）等比中项法：只需a n+12=a n·a n+2或=. 【例题精析】 考点一基本量的计算 例1.已知等比数列中，若，则= . 1.已知是递增等比数列，，则此数列的公比． 考点二等比数列的性质 例2.（2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 =（） (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【名师点睛】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【变式训练】 2. 在等比数列{a n}中，a n＞0(n∈N﹡),且,,则{a n}的前6项和是. 问题：忽略对公比和的讨论 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 高三七班尖子生培优措施 萝北县高级中学赵春波一、人员确定 第一次模考前10名，魏贵生、李娜等10 人 二、十人特点 1、魏贵生：这个孩子年龄比正常小2岁，比较聪明，性格比较稳，认真，上课很会听课，跟老师思路很紧，勤于动脑，效率比较高。 这次一模考试她的文综得了204分，地理只得了62分，平时都是优势学科，这次却给她拽了分，她的选择题只得了28分，综合题得了34分，分析了她的试卷，主要的原因有一下几个方面：选择题：①看题不仔细；②设问的题眼抓的不准；③有些知识运用的不灵活；④对命题人的设问的意图分析不透彻 综合题：①过于匆忙，太着急；②对试题及材料分析不到位；③遗漏答题角度 李娜：这个孩子年龄比正常小1岁，性格很稳当，做事认真，所以会的题一般都能得分，数学计算一般不错。上课听课效率比较高，各学科基础知识都比较扎实。 ①选择题只看材料，没和所学的知识相结合，丢分2个选择；②读题不认真，将重点词忽略，整道题就得不到分；③综合题时没明确问题所问，匆忙作答；④开放题没有分角度作答①②③④ 2、学习能力，分析能力很强，知道自己的弱点，却找不出办法来解决，这就需要老师点拨。 3、通过几次考试分析，在考试过程中丢分的点一般有以下情况： ①在考试过程中，碰到难题的时候心里紧张焦虑，急于求成，这种心理的变化给解题形成了障碍。②对新情景问题审题有遗漏导致失分，这在选择题多见；③在综合题中主要是考虑不全面，导致丢失部分分；④还有的是思维习惯、做题习惯的问题，比如题目文字好象很直白，感觉容易，警惕性差，比如题目文字、图表信息没读完导致答案遗漏，比如有时候思维过程太快省略几个环节出错。 三、具体解决措施 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费. 问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明. 解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽 yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A . 故 yj=24A —30000, >'2= 18x ： （2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元） 答：我若作为厂长，应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论. 知识延伸】 例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂 房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为￡元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为￡元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？ 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x （I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4 墙的费用为（14小￡号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）?“元. 2 x 故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）?（02020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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