全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．

(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：

(R);

AG AD λλ=∈2;

GE GF GH +=0.GH EF ?=

求点G 的横坐标的取值范围．

2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率

23

=

e ，已知点)3,0(P 到

这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.

3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是

,

425=x 其左、右顶点分别

B A

D M

B N

l 2

l 1

是A、B；双曲线

1

:

2

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x

C

的一条渐近线方程为3x－5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0

=

?AB

MN

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;

（2）若2

5. 已知椭圆2

2

2

2

b

y

a

x

+

（a＞b＞0）的离心率3

6

=

e

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为2

3

（1）求椭圆的方程

（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点请说明理由

6. 在直角坐标平面中，ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MC

MB MA ==GM ∥AB

（1）求ABC ?的顶点C 的轨迹方程；

（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ?的取值范围

7. 设R y x ∈,，j i

,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若

j

y i x b j y i x a

)2(,)2(-+=++=，且

8

||||=+b a

（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若

OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．

8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线

)0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线

段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；

（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．

x

9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭

圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21

|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当43

3

2≤

≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.

10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆

805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;

若角A 为0

90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交

于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.

(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;

(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.

12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，

212p +

），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.

（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线；

（3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.

13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为

)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22

|

PF ||PF |21=

，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

14. 已知双曲线)0,0(122

2

2>>=-b a b y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲

线右支上.

（Ⅰ）若当点P 的坐标为

)516

,5413(

时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

15. 若F 1、F 2为双曲线12

2=-b y a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的

左支上，点M

在右准线上，且满足；)

0,1 λλF +

==.

（1）求该双曲线的离心率；

（2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程；

（3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B B B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.

16. 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如 所示的坐标系。设

1OF FG ?=，点F 的坐标为(,0)t ，[3,)t ∈+∞，点G 的坐标为00(,)x y 。 （1）求

x 关于t 的函数

0()

x f t =的表达式，判断函数()f t 的单调性，并证明你

的判断；

（2）设ΔOFG 的面积

S =

，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，

求当||OG 取最小值时椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为9(0,)

2，C 、D 是椭圆上的两点，且(1)PC PD λλ=≠，求实数λ的取值范围。

17. 已知点C 为圆

8)1(2

2=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0==? （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线

12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，

且43

3

2≤

?≤，求△FOH 的面积的取值范围。

18. 如图所示，O 是线段AB 的中点，|AB|＝2c ，以点A 为圆心，2a 为半径作一圆，其中c a <。

（1）若圆A 外的动点P 到B 的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；

（2）经过点O 的直线l 与直线AB 成60°角，当c ＝2，a ＝1时，动点P 的轨迹记为E ，设过点B 的直线m 交曲线E 于M 、N 两点，且点M 在直线AB 的上方，求点M 到直线l 的距离d 的取值范围。

A O B

19. 设O 为坐标原点,曲线

016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q 满足关于直线04=++my x 对称，又以PQ 为直径的圆过O 点. （1）求m 的值; （2）求直线PQ 的方程.

20. 在平面直角坐标系中，若(3,),(3,)a x y b x y =-=+，且4a b +=，

（1）求动点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；

（2）已知定点(,0)(0)P t t >，若斜率为1的直线l 过点P 并与轨迹C 交于不同的两点,A B ，且对于轨迹C 上任意一点M ，都存在[0,2]θπ∈，使得

cos sin OM OA OB θθ=?+?成立，试求出满足条件的实数t 的值。

21. 已知双曲线122

22=-b y a x （a>0,b>0）的右准线与2l 一条渐近线l 交于两点

P 、Q ，F 是双曲线的右焦点。 （I ）求证：PF ⊥l ；

（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且

AB

30

，求双曲线的方程；

（III）延长FP交双曲线左准线1l和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。

22. 已知又曲线在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N 都在此双曲线上。

（I）求此双曲线的方程；

（II）求直线MN的倾斜角。

23. 如图，在直角坐标系中，点A （-1，0），B （1，0），P （x ，y ）

（y ≠0）。设AP OP BP →→→、、与x 轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若

αβγπ++=。

（I ）求点P 的轨迹G 的方程；

（II ）设过点C （0，-1）的直线l 与轨迹G 交于不同两点M 、N 。问在x 轴上是否存在一点()

E x 00，，使△MNE 为正三角形。若存在求出x 0值；若不存

24. 设椭圆()22

22x y C :1a b 0a b +=>>过点

)M

1

，且焦点为()1

F ,0

。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）当过点()P 4,1

的动直线与椭圆C 相交与两不同点A 、B 时，在线段AB 上

取点Q ， 满足AP QB AQ PB

=，证明：点Q 总在某定直线上。

25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足αβα其中,+=、12,=-∈βαβ且R （1）求点C 的轨迹方程；

（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：为定值2211b a -.

26. 设)0,1(F ，M 、P 分别为x 轴、y 轴上的点，且PM ?0=PF ，动点N 满足：2-=.

（1）求动点N 的轨迹E 的方程；

（2）过定点)0)(0,(>-c c C 任意作一条直线l 与曲线E 交与不同的两点A 、B ，问在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线AQ 、BQ 的倾斜角互补？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

27. 如图，直角梯形ABCD 中，∠?=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23

，BC=21

椭圆F 以A 、B 为焦点，且经过点D ，

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l 与M 、F 交于椭圆N 两点，且线段C MN 的中点为点，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.

C B

D

28. 如图所示，B （– c ，0），C （c ，0），AH ⊥BC ，垂足为H ，且3=． （1）若?= 0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率； （2）D 分有向线段的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上， 当 ―5≤λ≤2

7- 时，求椭圆的离心率e 的取值范围．

29. 在直角坐标平面中，ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件：

①0=++GC GB GA ==GM ∥AB

（1）求ABC ?的顶点C 的轨迹方程；

（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ?的取值范围

答案：

1.解：(Ⅰ) 以A 点为坐标原点，l1为x 轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M （x ，y ）， 则N （x ，0）. ∵|BN|=2|DM|， ∴|4－x|=2(x －1)2+y2 , 整理得3x2+4y2=12, ∴动点M 的轨迹 方程为x24+ y2

3 =1 . (Ⅱ)∵(R),AG AD λλ=∈

∴A 、D 、G 三点共线，即点G 在x 轴上；又∵2,GE GF GH +=∴H 点为线段EF 的中点；又∵0,GH EF ?=∴点G 是线段EF 的垂直平分线GH 与x 轴的交点。

设l ：y=k(x －1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得

(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l 过点D(1，0)是椭圆的焦点， ∴l 与椭圆必有两个交点，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 的中点H 的坐标为（x0，y0）， ∴x1+x2= 8k2

3+4k2 ，x1x2= 4k2－123+4k2 ，

x0= x1+x22 = 4k2

3+4k2 ，y0=k(x0－1)= －3k 3+4k2 ， ∴线段EF 的垂直平分线为 y － y0 =－ 1

k (x －x0)，令y=0得，