随机信号分析练习题

1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3） 解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

一．填空题（共15分，每题3分）1．()D X t ⎡⎤⎣⎦=()()0725X X R R -∞=-=。

2. ()()()()()()00002222*j f t j f t j f j f z R E z t z t E ee E e e πτψπψπτπτττ++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+===⎣⎦⎣⎦⎣⎦3． ()()()()()()()00**YX X R R h h h u h v R u v dudv τττττ∞∞=-=+-⎰⎰。

4.22118()22411222214X Q S w dw dww w dw darctg w ππππππ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==+⎛⎫==== ⎪⎝⎭+⎰⎰⎰⎰ 5. ()()2XY X Y S w m m w πδ=。

二．回答题（共10分，每题2分）1. 答：随机过程X(t)在0t ∆→时满足()()()20E X t t X t ⎡⎤+∆-→⎣⎦，则称随机过程在t 时刻均方意义下连续。

2. 答：时间平均代替统计平均简化计算/工程应用3．答：均值函数和相关函数可以完全确定其n 维概率密度函数4．答：采样频率Fs=10/ k （Hz ）， k = 1, 2 ,3 …5. 答：对状态i ，若正整数集合(){}:1,0ii n n p n ≥>非空，则称该集合的最大公约数L 为状态i 的周期。

若L>1, 则称状态i 为周期的，否则为非周期的。

第2页 共 页三．（15分）答：均值[]()[]()00()cos cos 1*00E X t E w t E E w t =H +Φ=H +Φ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦………. 2 自相关函数()[]()()()()()()()[]2000002002222()()cos cos cos 22cos 2cos cos 5225X R E X t X t E w t w t w t w w E E w w E E E E τττττττσ⎡⎤=+=H +Φ++Φ⎣⎦++Φ+⎡⎤⎡⎤=H ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=H =⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤H =+H =⎣⎦ (4)时间平均：()()()()()00000001()cos lim cos 21lim sin 21lim sin sin 20TTt TTt t X t w t w t dtTd w t Tw w T w T T w -→∞-→∞→∞=H +Φ=H +ΦH=+ΦH=+Φ--+Φ⎡⎤⎣⎦=⎰⎰ (2)相关函数平均()()()()()()()()()()()20020000020202()()cos cos 1limcos cos 2cos 22cos 1lim 22cos 1lim 22cos 2T Tt T T t T T t X X t X t w t w t w t w t dtT w t w w dt T w dt T w R ττττττττ-→∞-→∞-→∞+=H +Φ++Φ=H +Φ++Φ++Φ+=H =H =H ≠⎰⎰⎰.....................................4 因此不遍历 (3)四．（15分） 答：（1） (5)全为正常返态 （2）()21111111117312422222216p =++=……………………………………..4 （3）()111112,428f ==…………………………………………………………………2 ()1111131428f == (2)()111111111246...357...28163281632111115913...1/29/411/42816321115913...81632111111/25913...544..16326481632i ii n u nf n s s ∞=⎡⎤⎡⎤==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦∑.11/495811/28⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⨯+=- (2)第4页 共 页五．（20分）（1）()()()2222222224216424216242241620Y X w w w w w w w S w S w H w w w w w others⎧+<⎪+⎪⎪+⎛⎫->>=⎪ ⎪+==⎝⎭⎨⎪+⎛⎫⎪+->>=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎩ (6)（2）()()[]22max2240224211222424281214/38/3e w H w dwH w w dw dw w w dw ∞∆=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰ (7)（3）()()()()()222241644X s s s S s s s s -+-+==-+-+()()()42s H s s +=+ (7)六．（10分）()()sin Y t Xt X t ==- (2)()[]()sin sin /2E Y t E X t t =-=-⎡⎤⎣⎦ (5)样本函数为：任意一条sin 函数的取反，幅值（0 1）之间即可，周期2pi (3)七．（15分）()()()()33ˆ()cos 210sin 210Y t X t t Xt t ππ=+…………………………………………4 ()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()3333ˆ3333ˆˆˆˆˆ()()cos 210cos 210cos 210sin 210sin 210cos 210sin 210sin 210,Y X XX XX X X X XX XX R E Y t Y t R t t R t t R t t R t t R R R R τττππττππττππττππτττττ=+=+++++++==-()()()()()33ˆcos 210sin 210Y X XX R R R ττπττπτ=+ (6)()()()()()()()()()()3333333333332102102(210)210(210)210210102(10)10(10)102X X Y X X X X Y X X S w S w S w jsgn w S w jsgn w S w j S f S f S f sgn f S f sgn f S f ππππππ++-=⎡⎤---+++⎣⎦+++-==⎡⎤---+++⎣⎦+ (3) (2)第6页共页9951000。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共33分） 1.随机变量X ，Y 独立的条件是 。

2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。

3.白噪声通过理想带通系统后，其输出功率谱密度为 分布。

4.实信号)(t x 的解析信号是 。

5.随机变量X 服从0,1分布（P x p ==)1(）的特征函数()X φυ= 。

6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。

7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。

8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。

9.随机信号的平稳性包括 。

10.白噪声信号的()R τ= 。

11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。

二、（12分）设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、（12分）假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求（1）1X 的密度函数；（2）),(21X X 的密度函数；（3）31X X +的密度函数。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、（14分）已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数，白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。

求此RC 电路输入前、后的信噪比？姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。

2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。

姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。

六、（14分）设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+，其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量，A 、ω为常数。

随机信号分析习题三1. 设有零均值的平稳过程{}()0X t t ≥，，其相关函数为()X R τ，令0()()tY t X s ds =⎰ 0t ≥ 求{}()0Y t t ≥，的方差函数和协方差函数。

2. 设{}()X t t -∞<<+∞，是平稳过程，且()1EX t =，2()1X R e ττ-=+，求随机变量10()S X t dt =⎰ 的数学期望和方差。

3. 设随机过程()()()Z t VX t Y t = t -∞<<+∞其中平稳过程()X t 和()Y t 及随机变量V 三者相互独立，且0X Y m m ==，()X t 的相关函数为2()2cos X R e ττπτ-=，()Y t 的相关函数为3()9Y R e ττ-=+，又2EV =，9DV =。

求()Z t 的数学期望，方差和相关函数。

4. 设平稳过程{}()X t t -∞<<+∞，，其相关函数为()X R τ，且()(0)X X R T R =，0T >是常数。

证明：(1) (()())1P X t T X t +==(2) ()()X X R T R ττ+=5. 设()cos X t A wt =，t -∞<<+∞，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数1 01()0 others A x f x ≤≤⎧=⎨⎩讨论{}()X t t -∞<<+∞，的严平稳性。

6. 设A 是任意的随机变量，Θ是与A 相互独立的，且在[0,2]π上服从均匀分布的随机变量，令()sin()X t A wt =+Θ，t -∞<<+∞，0w >是常数，证明{}()X t t -∞<<+∞，是严平稳过程。

7. 设{}()X t t -∞<<+∞，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令()()(0)Y t X t X =+，t -∞<<+∞。

1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

均值为 和相关函数为 。

6）若平稳随机过程 Xin a ，其中 a 为正的常数，则 a
X t 的起伏速度比 Y t 的起伏速度
。
其中 A, 均为常数，N t 是均值为 0 方差为 的 7） 设随机过程 X t A cos t N t ，
X (1 , t ) a cos t X ( 2 , t ) a cos(t )
t t
其 中 a 0 ， P (1 ) 2 / 3 ， P ( 2 ) 1 / 3 。 （ 1 ） 求 X t 的 一 维 分 布 函 数 FX ( x; 0) 和 （2）求 X t 的二维分布函数 FX ( x1 , x2 ;0, / 4) 。 FX ( x; / 4) ；
。
2）设随机过程 X (t ) A cos(t ) ，其中 A、 为常数，随机变量 在 , 中服从均 匀分布，随机过程 Y t B cos t ，其中 B 是概率密度函数为 f Y B 量，且 与 B 彼此独立，则 R XY t1 , t 2 。
，并说
1 1 2a 2
（2）f
1 , 1 0, 1
（3）f
2, 0 e , 0
10）假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计，每小时平均观察到 3 颗流星，则在上午 8 点到 12 点期间，该天文台没有观察到流星的概率 P 。 二.（15 分）设随机过程 X t 只有两条样本函数
四.（20分）设齐次马尔可夫链 X ( n), n 1 的状态空间 E 1,2,3 ，其中一步转移概率矩阵为 ：
1 / 3 2 / 3 0 P= 1 / 4 1 / 4 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2

0 ≤ x <1 ，求 Y=5X+1 的概率密度函 其他
1.6 设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 在[a , b] 上均匀分布，且互相独立。若 Y = ∑ X i ,求
i =1
n
（1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪b − a ⎪ 解： f i ( xi ) = ⎨ i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ⎪0 其它 ⎪ ⎩ n=2 时， f Y ( y ) = f X 1 ( y ) ∗ f X 2 ( y )
-∞
⎧1 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ⎨ ⎩0 数。 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 1≤y≤6 h′(y) = 1/5 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5 1≤ y ≤ 6 ⎧1 / 5 f Y ( y) = ⎨ 于是有 其他 ⎩ 0
⎧ X 1 = a1Y1 + b1Y2 ⎨ ⎩ X 2 = c1Y1 + d1Y2
（ Y1 , Y2 ）的联合概率密度为 证明：
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
（4） F ( x) =
第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在[α，β]上均匀分布 ⎧ 1 α≤下≤β ⎪ f ( x) = ⎨ β − α ⎪ 其他 ⎩0

4. 若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，RXY(τ)绝对可积， 则互谱密度和互相关函数构成傅里叶变换对，即:
GXY ( )
R
XY
(
)e
j
d
GYX ( )
RYX
(
)e
j
d
RXY
( )
1
2
G
XY
(
)e
j
d
RYX
( )
1
2
GYX
(
)e
j
d
4.4 互谱密度及其性质 5. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX ( ) GX ( )
性质4： GX ' () 2GX ()
其中X '(t) dX (t) / dt
4.3 功率谱密度的性质
性质5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密 度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。它应具有如下形式：
功率谱密度仅表示X(t)的平均功率在频域上的分布，不包 含任何相位信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
维纳－辛钦定理
SX ( )
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
成立条件是Rx(τ)和Sx(ω)绝对可积
RX ( )d
SX ( ) d
即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成 分
E s2 (t)dt 1
2
S( ) d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

随机信号分析习题一1.设函数，试证明是某个随机变量的分布函数。

并求下⎩⎨⎧≤>-=-0, 00 ,1)(x x e x F x )(x F ξ列概率：，。

)1(<ξP )21(≤≤ξP 2.设的联合密度函数为),(Y X ，(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩求。

{}10,10<<<<Y X P 3.设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π求：（1）边沿密度，)(x f X )(y f Y （2）条件概率密度，|(|)Y X f y x |(|)X Y f x y 4.设离散型随机变量的可能取值为，取每个值的概率都为，又设随机X {}2,1,0,1-4/1变量。

3()Y g X X X ==-（1）求的可能取值Y （2）确定Y 的分布。

（3）求。

][Y E 5.设两个离散随机变量，的联合概率密度为：X Y )()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）与不相关时的所有值。

X Y A （2）与统计独立时所有值。

X Y A 6.二维随机变量（，）满足：X Y ϕϕsin cos ==Y X 为在[0，2]上均匀分布的随机变量，讨论，的独立性与相关性。

ϕπX Y 7.已知随机变量X 的概率密度为，求的概率密度。

)(x f 2bX Y =)(y f 8.两个随机变量，，已知其联合概率密度为,求的概率密度？X X (,)f x x X X +9.设是零均值，单位方差的高斯随机变量，如图，求的概率密度X ()y g x =()y g x =()Y f y\10.设随机变量和是另两个随机变量和的函数W Z X Y 222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩设，是相互独立的高斯变量。