小学奥数知识点分类
求和公式二：1+2+3+……n=
求和公式三：1+2+3+……n= 6． 速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准
法、分组法、拆分法 7． 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，
【构造法】等较难的计算方法。 拆分裂项公式：
等差数列公式：
第一部分
计算能力
万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！ 基本公式 1． 运算顺序
第一级：括号：（ ）→[ ] → { } 第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序 第三级：＋－： 同一级别可以交换运算次序 2． 去括号
① a ＋(b ＋c)=a ＋b ＋c a ＋(b －c)=a ＋b －c ② a －(b ＋c)=a －b －c a －(b －c)=a －b ＋c ③ a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c ④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3． 分配律/结合律
乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×c
a×b＋a ×c = a×(b＋c)
除法：(a ＋b) ÷c = a÷c＋b÷ c
a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c
4． 两个必须掌握的性质 两个数的和一定，
则两数越相近，积越大 两个数的积一定，则两数越分散，和越大 5． 几个计算公式
完全平方和（差）公式：（a±b）= a±2ab+b 平方差公式： a-b= (a+b)(a-b) 求和公式一:1+2+3+……+n =
简单等比公式：
例题分析
1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402
2. 比较下面 A,B 两数的大小：A=2009×2009， B=2008×2010
3.
结果末尾有多少个零
4. 100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1
巩固练习
5. 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378
6. 1÷50+2÷50+3÷50+……50÷502010 ÷2010
7. 9999999×20097777×3333÷1111
8.
9. 比较下面A,B 两数的大小：
A＝1×9；B＝2×8
10. 1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978
－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2
第二部分基础知识
基础知识点列表
A 归一问题
【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1 份数量
1 份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买5 支铅笔要元钱，买同样的铅笔16 支，需要多少钱解：（1）买1 支铅笔多少钱÷5＝（元）
（2）买16 支铅笔需要多少钱×16＝（元）列成综合
算式：÷5×16＝×16＝（元）答：需要元。
11. 3 台拖拉机3 天耕地90 公顷，5 台拖拉机6 天耕地多少公顷
12. 5 辆汽车4 次可以运送100 吨钢材，如果用同样的7 辆汽车运送105
吨钢材，需要运几次
A 归总问题
【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1 份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
【例题】服装厂原来做一套衣服用布米，改进裁剪方法后，每套衣服用布米。原来做791 套衣服的布，现在可以做多少套解：（1）这批布总共有多少米×791＝（米）
（2）现在可以做多少套÷＝904（套）列成综合
算式×791÷＝904（套）答：现在可以做904
套。
13. 小华每天读24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读36 页书，
几天可以读完《红岩》
14. 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬
菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天
A 和差问题
【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生98 人，甲班比乙班多6 人，求两班各有多少人解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52 人，乙班有46 人。
15. 长方形的长和宽之和为18 厘米，长比宽多2 厘米，求长方形的面积
16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32 千克，乙丙两袋共重30 千克，
甲丙两袋共重22 千克，求三袋化肥各重多少千克。17. 甲乙两车原来共装苹果97 筐，从甲车取下14 筐放到乙车上，结果甲
车比乙车还多3 筐，两车原来各装苹果多少筐
A 和倍问题
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数
总和－较小的数＝较大的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里有杏树和桃树共248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵
解：（1）杏树有多少棵248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）
答：杏树有62 棵，桃树有186 棵。
18. 东西两个仓库共存粮480 吨，东库存粮数是西库存粮数的倍，求两
库各存粮多少吨
19. 甲站原有车52 辆，乙站原有车32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆，
从乙站开往甲站24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍
20. 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2 倍少4，丙比甲的3 倍多6，求三
数各是多少
A 差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3 倍，而且桃树比杏树多124 棵。求杏树、桃树各多少棵
解：（1）杏树有多少棵124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是62 棵，桃树是186 棵。
21. 爸爸比儿子大27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子
二人今年各是多少岁
22. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2 倍还多12 万元，
又知本月盈利比上月盈利多30 万元，这两个月盈利各是多少万元
23. 粮库有94 吨小麦和138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10 吨，
多少天后，玉米是小麦的12 倍
A 植树问题基
本类型及公式：
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③在封闭曲线上植树：基本公式：棵树=段数；棵距（段
长）×段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵
数与段数的关系。
【例题】一条河堤136 米，每隔2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳
解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69 棵垂柳。
24. 一个圆形池塘周长为400 米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能
栽多少棵白杨树25. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取米，2 米，米长的钢
条，要求都按米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了 24 段，
25 段，27 段，谁锯钢条的速度最快
26. 某一淡水湖的周长1350 米,在湖边每隔9 米种柳树一株,在两株柳树
中间种植 2 株夹枝桃,可栽柳树多少株可栽夹枝桃多少株两株夹枝桃之间相距多少米
27. 一座大桥长500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50 米有一
个电杆，每个电杆上安装2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯
A 年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年35 岁，亮亮今年5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍
明年呢
解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。28. 母亲今年37 岁，女儿7 岁，几年后母亲年龄是女儿的4 倍
29. 3 年前父子的年龄和是49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父
子今年各多少岁
30. 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁”。乙对
甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少
A 盈亏问题
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差如
果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人
数＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总
人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3 个就余11 个；若每人分4 个就少1 个。问有多少小朋友有多少个苹果解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友12 人，有47 个苹果。
31. 修一条公路，如果每天修260 米，修完全长就得延长8 天；如果每天
修300 米，修完全长仍得延长4 天。这条路全长多少米
32. 学校组织春游，如果每辆车坐40 人，就余下30 人；如果每辆车坐45
人，就刚好坐完。问有多少车多少人
A 周期问题
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。周期现象：事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；月份：1、3、5、7、8、10、12 月大。
解答周期问题的关键：
A 找出周期T,
A 考察余数，注意周期的首尾两数。
例题分析
【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几
【解】平年元旦到国庆节共有的天数：
31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；循环
的周期和余数：274÷7=39…1；平年的国庆
节是星期日；[整周期的第一个数] 闰年元旦
到国庆节共有的天数：274+1=275；循环的周
期和余数：275÷7=39…2；闰年的国庆节是
星期一；[整周期的第二个数]
【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100 次取奶是星期。
【解】21 天内，每人取奶7 次，甲第8 次取奶又是星期一，即每取7 次奶为一个周期100÷7＝14……2，所以甲第100 次取奶是星期二。
基础务实
33. 1989 年12 月5 日是星期二，那么再过十年的12 月5 日是星期几
34. 《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994 年10 月份第1 期是10
月7 日出版的，1995 年1 月份第1 期应在1 月几日出版
35. 果园里要种100 棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、
三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。那么，最后一棵应种什么树在这100 棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵
36. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3 盏彩灯。那么第73 盏灯是什么颜色的灯
37. 小明把节省下来的硬币先按四个1 分，再按三个2 分，最后按两个5
分这样的顺序往下排。那么，他排的第111 个是几分硬币，这111 个硬币共多少元
38. 如果时钟现在表示的时间是18 点整，那么分针旋转1990 圈之后是几
点钟
39. 某年的10 月里有5 个星期六，4 个星期日。问：这年的10 月1 日是
星期几
40. 学校一学期共安排 86 节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、
四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的
41. 1993 年一月份有4 个星期四、5 个星期五，1993 年1 月4 日是星期几
42. 有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个
数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第 1991 个数被3 除，所得的余数是多少A 鸡兔同笼
【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（实
际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝
（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总
数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡
解：假设35 只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35 只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23 只，有兔12 只。
43. 2 亩菠菜要施肥1 千克，5 亩白菜要施肥3 千克，两种菜共16 亩，施
肥9 千克，求白菜有多少亩
44. 李老师用69 元给学校买作业本和日记本共45 本，作业本每本
元，日记本每本元。问作业本和日记本各买了多少本
45. （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100 只，鸡的脚比兔的脚多80 只，
问鸡与兔各多少只
46. 有100 个馍100 个和尚吃，大和尚一人吃3 个馍，小和尚3 人吃1 个
馍，问大小和尚各多少人
A 方阵问题
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数
÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总
人数＝每边人数×每边人数内边人数＝
外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人
解：22×22＝484（人）答：参加体操表
演的同学一共有484 人。
47. 有一个3 层中空方阵，最外边一层有10 人，求全方阵的人数。
48. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52 人，最内层人数
是28 人，这队学生共多少人
49. 一堆棋子，排列成正方形，多余4 棋子，若正方形纵横两个方向各增
加一层，则缺少9 只棋子，问有棋子多少个
A 抽屉原理
【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢要么把 2 只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2 只或2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1 个物体（也叫元素）放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2 个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m 个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那
么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。通俗地说，如果元
素的个数是抽屉个数的k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）
个或更多的元素。
【解题思路】（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
【例题】育才小学有367 个1999 年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的
解：由于1999 年是润年，全年共有366 天，可以看作366 个“抽屉”，把367 个1999 年出生的学生看作367 个“元素”。367 个“元素”放进366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多的“元素”。这说明至少有2 个学生的生日是同一天的。
50. 有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200
个信号中至少有多少个信号相同
51. 书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种
奖品。问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有 4 名同学得到的奖品完全相同
52. 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球 10 个，白
球9 个，黄球8 个，蓝球2 个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4 个球颜色相同
A 容斥原理公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解容
斥原理一：C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC 利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，
逐块地计算出各个部分，从而解答问题。
【例1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15 人，数学得优的有24，其中语文、数学都得优的有12 人。全班得优共有多少人【解】全班得优分3 种:语数均得优;语文得优数学不得优;数学得优语文不得优。语数均得优=12 人语文
得优数学不得优=15-12=3 人数学
得优语文不得优=24-12=12 人全
班得优共有12+3+12=27 人
53. 某班共50 人,参加课外兴趣小组学书法的32 人,学绘画的28 人，其
中两种都学的15 人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组
54. 从1 到100 的自然数中，
（1）不能被6 和10 整除的数有多少个
（2）至少能被2，3，5 中一个数整除的数有多少个
A 逻辑推理
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。
55. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：
“甲是2 号，乙是3 号.”钱说：“丙是4 号，乙是2 号.” 孙
说：“丁是2 号，丙是3 号.”李说：“丁是4 号，甲是1 号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几
56. 甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、
英语。根据下面的已知条件：
（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。
则丙不教什么学科
57. 执行一项任务，要派A、B、C、D、E 五人中的一些人去，受下述条件
约束：（1）若A 去，B 必须去；（2）D、E 两人至少去1 人；（3）B、C 两人只能去1 人；（4）C、D 两人都去或都不去；（5）若E 去，A、D 两人也必须去。问应派哪些人去
A 数字谜
数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。
步骤：1、先确定明显部分的数字
2、寻找突破口，缩小范围
3、分情况讨论
58. 下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，
相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立59. 每个汉字代表的数字是多少
60. 下边的算式中的不同汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数
字，如果巧+解+数+字+谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少
61. A、B 各代表什么数字
A等差数列
若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
2）求该数列第200 项与第100 项的差。
65. 在大于1000 的整数中，找出所有被34 除后商与余数相等的数，那么
这些数的和是多少
A 一笔画
一笔画性质：
¤凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
¤凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
¤其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)
例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3 的数列。
等差数列相关公式：66.下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、
入口应设在哪里
¤通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差
¤项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
¤求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷267.甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街
¤平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项道，甲从A 点出发，乙从B 点出发，最后都回到邮局（C 点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局
数，然后再利用等差数列求和公式求和。
62. 某剧院有25 排座位，后一排比前一排多两个座位,最后一排有70 个
座位，这个剧院一共有多少个座位
63. 等差数列第一项是3，第四项是15，求等差数列第二项和公差
64. 等差数列1，5，9，13，17……
1）数字2009 是不是该数列的项68. 邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各
横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走千米。
A 加法乘法原理
X加法原理
票 n n
如果完成一件任务有 n 类方法，在一类方法中有 m 种不同的方法，在第二 个元素进行排列，方法有 P r 。由乘法原理可得 P r = C r × P r ，所以 类方法中有 m 种不同的方法……，在第 n 类方法中有 m 种不同的方法，则 r P r
n ! n n r
r n
完成这件任务共有：m+m+m+……＋m 种不同的方法。 X 乘法原理
C
n = r P
r
= r !(n
r )!
如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m 种方法……不管前面 n-1 步用哪一种方 法，第 n 步总有 m 种方法，那么完成这件任务共有 m×m×m×…×m 种 不同的方法。
69. 下图中的“我爱希望杯”有 种不同的读法。
70. 如图，把 A 、B 、C 、D 、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的
部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么， 这幅图一共有多少种不同的着色方法。
71. 从 l 、2、3、4、5 中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少不同
的真分数
A 排列与组合
X 排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复排列的
方法数叫排列数，记为 P r ，P r
＝n （n －1）（n －1）…（n －r ＋1）。 72. 某铁路线共有 14 个车站，该铁路共需要多少种不同的车
73. 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同
信号，一共可以组成多少种不同信号
74. 一个篮球队，五名队员 A 、B 、C 、D 、E ，在于某种原因，C 不能做中
锋．而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上，共有多少种不 同的站位方法
75. 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法： （1）七个人排成一排；
（2）7 个人排成一排，某人必须站在中间；
（3）个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；
n n
（4）七个人排成一排，某两人必须站在两头；
我们记 n ！表示 n 的阶乘，即 n ！＝1×2×3×4×5×…×n。 X 组合：一般的，从 n 个不同元素中任取 r 个不同元素，不考虑取出元 素的顺序并成一组，这类任务叫做从 n 个不同元素中取出 r 个不同元 素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位
置或顺序。符号 C r
表示从
n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重 复组合数。利用排列数 P r 可以给出 C r 的计算方法。我们把任务“从
（5）七个人排成一排，某两人不能站在两头；
（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；
（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。
n n n 个不同元素中选出 r 个不同的元素的排列”分为两步：
①从 n 个不同的元素中选取 r 个不同的元素，方法有 C r
种；②对选出的 r
A 商品利润
【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】利润＝售价－进货价利润率
＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价
＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－
售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价
×100%
【解题思路】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何
解:设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
76. 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52 元，
已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利求亏
（盈）率
77. 成本元的作业本1200 册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售
出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣
78. 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按 30%的利
润定价，乙店按 20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元，求乙店的定价
A 存款利率
【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【例题】李大强存入银行1200 元，月利率%，到期后连本带利共取出1488 元，求存款期多长。解：因为存款期内的总利息是
（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200
又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）
÷1200÷%＝30（月）答：李大强的存款期是30 月即两年
半。
79. 银行定期整存整取的年利率是：二年期%，三年期%，五年期9%。如
果甲乙二人同时各存入1 万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多多多少元
80. 某厂向银行申请甲乙两种贷款一共40 万元，每年需付利息5 万元，
甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是14%。该厂申请的甲乙两种贷款的金额各是多少
A 浓度问题
【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
【例题】爷爷有16%的糖水50 克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克解：（1）需要加水多少克50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30 克，（2）需要加糖10 克。
81. 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600 克，需要30%
和15%的糖水各多少克
82. 甲容器有浓度为12%的盐水500 克，乙容器有500 克水。把甲中盐水
的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的浓度
A 工程问题
【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。
【例题】一项工程，甲队单独做需要10 天完成，乙队单独做需要15 天完成，现在两队合作，需要几天完成解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15 天完成，每天完成这项工程的
1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：两队合做需要6 天完成。
83. 一批零件，甲独做6 小时完成，乙独做8 小时完成。现在两人合做，
完成任务时甲比乙多做24 个，求这批零件共有多少个
84. 一件工作，甲独做12 小时完成，乙独做10 小时完成，丙独做15 小
时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成
A 正反比例【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
【例题】修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300 米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米解由条件知，公路总长不变。原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12 份，则300 米相当于（4－3）份，从而知公路总长为：300÷（4－3）
×12＝3600（米）
答：这条公路总长3600 米。
85. 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每
天看36 页，几天就可以看完
86. 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求
大矩形的面积。
A 牛吃草问题
【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
【例题】一块草地，10 头牛20 天可以把草吃完，15 头牛10 天可以把草吃完。问多少头牛5 天可以把草吃完解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛5 天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上20 天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20 天内生长量，同理1×15×10＝原有草量＋10 天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50。因此草每天的生长量为50÷（20－10）＝5。（2）求原有草量
原有草量＝10 天内总草量－10 内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5 天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5 天吃草量为5。因此5 天吃完草需要牛的头数：125÷5＝25（头）
答：需要5 头牛5 天可以把草吃完。
87. 有一块草场，可供15 头牛吃8 天，或可供8 头牛吃20 天。如果一群
牛14 天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头
88. 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10 头牛吃20
天，或者可供15 头牛吃10 天。可供25 头牛吃几天
第三部分数论知识
数论由于比较抽象，是小学数学的重点也是难点，而且小学数论与中学的代数学有着密切的联系，因此我们必须高度重视。
数论知识点列表
序号知识点名称序号知识点名称
1定义新运算6整数进制
2约数倍数7数的整除
3奇数偶数8余数与同余
4质数合数9高斯取整
5平均数10不定方程
A 定义新运算
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②μ每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
a b
89. 规定a※b=，则2※2※10的值是多少
a b
90. 对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x 的值。
91. 对于任意正整数，定义：n!=1×2×3×……×n。例如：5！
=1×2×3×4×5。
那么，1!+2!+3!+……+2003!和的个位数字是几
3. 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的 92. 若用 φ(a)表示 a 的所有约数的个数，例如 φ(4)=3，求 φ(φ(18))的值
A 约数与倍数
约数倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个， 叫做这几个数的最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数。
X 最大公约数的性质： 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 几个数都乘以一个自然数 m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大 公约数乘以 m 。 X 求最大公约数基本方法：
¤ 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 ¤ 短除法：先找公有的约数，然后相乘。
¤ 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就
是所求的最大公约数。 X 最小公倍数的性质： 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 X 求最大公约数基本方法：
¤ 短除法求最小公倍数； ¤ 分解质因数的方法
9 拼法
94. 和为 1111 的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少
95. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种
树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,则这个班共有学生多少人
96. 有一根 180 厘米长的绳子，从一端开始每 3 厘米作一记号，每 4 厘米
也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段
97. 定义一种新运算&满足：a&b=[a ，b]+（a ，b ）
求 ①14&4 ； ②已知 6&x=33，求 x
备注：[ ]表示最小公倍数，（ ）表示最大公约数
98. 自然数 360 有多少个约数 所有约数的和是多少
A 奇数与偶数
所有自然数按能否被 2 整除分类，能分成奇数和偶数两类；奇数被 2 除余 1，偶数能被 2 整除。最小的奇数为 1，最小的偶数为 0。 奇数和偶数的一般计算性质：
（1） 奇数±奇数＝偶数 （2） 偶数±偶数＝偶数 （3） 奇数±偶数＝奇数 （4） 偶数±奇数＝奇数 （5） 奇数×奇数＝奇数 （6） 偶数×偶数＝偶数 （7） 奇数×偶数＝偶数 （8） 奇数÷奇数＝奇数
（9） 奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个是
偶数，那么乘积一定为偶数。
（10） 相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。 （11） 两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性。 （12） 奇数的平方被 4 除余 1，偶数的平方是 4 的倍数。
（13） 奇数用 2K ＋1 或 2K －1（K 是整数）表示；偶数用 2K 表示。
99. 10 个不同的自然数之和等于 80，在这 10 个自然数中，最多有多少个
奇数
100.任意取出 1996 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数
101.已知 a 、b 、c 有一个为 5，有一个为 6，有一个为 7，那么：（a-1）（b-2）
（c-3）的积是奇数还是偶数
102.某市举办小学生数学竞赛，共 20 道题，评分标准是：答对一题给 5
分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 1999 人参赛，问参 赛同学的总分是奇数还是偶数
103.某组连续自然数的和等于 90，那么这样连续的自然数有几组
A 质数与合数
质数：一个数除了 1 和它本身外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫 做素数。
合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数是这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通 常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N= a r a r a r
a r
，其中
a1、a2、
105.若 A 是质数，A+12 是质数，同时 A+18 也是质数，求 A 的最小值
、B 、C 为三个质数，A+B+C=30，且 A 107.已知 pq-1=x ，其中 p 、q 是质数且均小于 1000，x 是奇数，求 x 的最 大值。 108.若三个质数 a 、b 、c 满足 a+b+c=99-abc,求 a+b+c 的值。 A 平均数 X 基本公式： ①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数；总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基准数+差的平均数=基准数+每个数与基准数差的和÷总份数 X 基本思路： ①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算. ②基准数法：从给出的数中，确定一个数作为基准数，一般选与所有数比 较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求出所有给出数与基 准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的 平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。 X 关键问题：确定总量和份数分别是谁。 109.有五个数，平均数是 9，如果把其中一个数改为 1，这五个数的平均 数为 8，这个改动的数原来是多少 1 2 3 n a3……an 都是合数 N 的质因数，且 a1 个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。 104.已知两个质数的和是 40，这两个的积最大是多少 、B、C、D 四个数的平均数是75，A 与B 的平均数比C 与D 的平均数 多2，A 是90，B 是多少 111.某校有100 名学生参加第四届小学“希望杯”数学竞赛，平均分是63 分，其中参赛男同学平均分是60 分，女同学平均分是70 分，那么该校参赛男同学和女同学各多少人 112.某人上山速度为4 公里每小时，下山速度为6 公里每小时，求此人上下山的平均速度。 A 整数进制 ¤其它进制化十进制：基加权 ¤十进制化其它进制：短除法 ¤非十进制间的互化：用十进制做桥梁 113.将(821)9 化成十进制； 114.将(147)10 化成七进制； 115.将(2761)8 化为五进制数； 116.将(10001)2 化为十进制数； A 数的整除 整除的判断方法： ①、能被2 整除的特征：个位数字为0、2、4、6、8 的整数。 ②、能被3 整除的特征：各个数位数字和能被3 整除。③、能被4 整除的特征：末两位数能被4 整除。 ④、能被5 整除的特征：个位数字为0 或5 ⑤、能被8 整除的特征：末三位数能被8 整除。 ⑥、能被9 整除的特征：各个数位上的数字之和能被9 整除。 ⑦、能被7 整除的特征： ⑴，末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除。 ⑵，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 被后能被7 整除。 ⑧、能被11 整除的特征： ⑴末三位上的数字所组成的数与末三位以前组成的数字所组成的数之差 能被11 整除。 ⑵，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11 整除。 ⑶，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。 ⑨、能被13 整除的特征： ⑴，末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。 ⑵，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 被后能被13 整除。117.六位数A4273B，能被72 整除，求A 和B 的值 118.一个三位数能被3 整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数。这样的三位数中，最大的是多少 119.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么最后三位是什么 120.六位数x1991y 能被26 整除，求满足条件的所有六位数。 A 余数与同余 ☆关于乘方的预备知识： ①若A=a×b，则M=M=（M） ②若B=c+d 则M=M=M×M ☆同余的定义： ①若两个整数a、b 除以m 的余数相同，则称a、b 对于模m 同余。 ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)，读作a 同余于b 模m。 ☆同余的性质： X自身性：a≡a(mod m)； X对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)； X传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)； X和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c ≡b-d(mod m)； X相乘性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡b×d(mo d m)； X乘方性：若a≡b(mod m)，则a≡b(mod m)； X同倍性:若a≡b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mo d m×c)； +2+3+4+5+6+7+8+9除以3 的余数是多少 122.有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。 问这个整数是几 ，14903，14177 除以m（m 不为0）的余数相同，求m 最小是多少最大是多少 124.求+除以7 的余数 A 高斯取整 在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用5 米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2 米，求这块布料们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下月一起收．所以数学上引进了符号[ ]，使我们的表述简明． [a] 表示不超过a 的最大整数，称为a 的整数部分． [a] 显然有以下性质： ①[a] 是整数； ②[x]≤x； ③x＜[x]+1； ④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；若 b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．请你自 己举些例子验证前三条性质．性质 ④举例：a 取，则〔a〕=2． 若b=，那么〔a＋b〕=〔+〕=3>2=〔a〕． 若b=，那么［a＋b］=［+］＝〔〕=3=〔a〕+1； 若b=，那么［a＋b］=〔〕=2<〔a〕＋1． 〔a〕还有许多性质．例：若n 是整数，则有：〔a+n〕=〔a〕+n． 与〔a〕相关的是数a 的小数部分，我们用符号{a}表示． 高斯方程（取整）的性质： 性质1 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1. 性质2 对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1). 性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2]. 性质4 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明 y={x} 是一个以1 为周期的函数. 性质5 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. 性质6 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. 性质7 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰有[x/n]个整数是n 的倍数. 125.解方程：［ｘ］+ 2x =10 126.记符号n!=1x2x3x……n, 求100！后面有多少个零 127.解方程：2x -［ｘ］= 4 A 不定方 程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如 要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢 番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。 不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较 为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每 年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学 生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等 数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧， 创造性的解决问题。 不定方程的两种基本思路： *是否整除 *分情况讨论 128.不定方程3x+5y=1204 有多少组自然数解。 129.甲种铅笔7 分钱一支，乙种铅笔3 分钱一支，张明用6 角钱恰好买两 种不同的铅笔共多少支 130.求方程7x+19y=213 的所有正整数解． +10y=140. 11x+3y=89 A 最值与优化 本知识点难度非常高，不在课堂讲授，请同学们课外自行复习巩固。 挑战华罗庚金杯决赛压轴题： 132.（第十届决赛）已知A、B 均为自然数，且满足 求A+B 的最大值。（需详细解题过程） 第四部分图形知识 图形属于小学奥数三大专题之一，主要考察学生们对平面图形和立体 图形的认识、建构、以及对周长、面积、表面积、体积的计算等方面的知 识，图形问题的重点在于等积变换的直线型面积 数论知识点列表 A 几何计数 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三 角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺 第十九讲数字谜综合（二） 内容概述 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题． 典型问题 1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数． 【分析与解】714=2×3×7×17． 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5． 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字． 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质． 显然,263与5也互质． 因此,其他两个数为263和5． 2.如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少 【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以4S=2S+20,即S=10． 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是： 2×2×3×3×5×5=900 3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． 【分析与解】记两个乘数为7a b和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7． 由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位数字都不是质数.因此b是5,c是3、5、7中的一个,同样道理,d也是3、5、7中的一个． 在这一节课中，教材内容中主要是通过不同的符号，汉字或字母来组成各种不同的竖式数字谜，让学生根据竖式的结构来计算（求出）这些未知的数字.弄清楚加减法各部分之间的数量关系是我们学习数字谜的基础.解答数字谜的关键是找准突破口.通过这节课的学习，要使学生掌握解答竖式数字谜的一般技巧.先要观察数字的特点，然后找出“关键位置”认真分析，一般可以引导学生从各个不同的数位进行考虑.解答完题目以后，教师还要培养学生验算的好习惯. 我们经常会看到一些残缺不全的算式，要求我们在方格内填上合适的数字，使算式成立.我们也经常看到在一个算式里面有很多的汉字或字母，要我们猜猜它们代表几，像这样的问题都是数字谜问题.在填数字时，要认真分析数字的特点，充分运用加、减法之间的关系，巧妙地安排每一个数，很快就能求出方格里应填的数字.今天这节课我们就一起来解答数字谜问题. 解这种题应按三个步骤分析思考： （1）审题 审题就是找出算式中数字之间的关系和特征，挖掘题目中的隐含条件，它是确定各空格内应该填什么数字的主要依据． （2）选择解题突破口 在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出或关键性的空格，做为解题的突破口．这一步是填空格的关键． （3）确定各空格填什么数字 从突破口开始，依据竖式的已知条件，逐个填出各空格中的数字． 【例1】 在“庆元旦”晚会上，主持人小丽出了这样两道题目： 请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字? 【例2】 在下面算式的空格内，各填上一个合适的数字，使算式成立． 例题精讲 知识框架 竖式谜 【例3】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出3个数字，请把这个算式补齐． 【例4】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 【例5】把数字1～5分别填写在下面算式中的口里． 【例6】下面的算式里四个小纸片各盖住一个数字，问被盖住的四个数字的和是多少? 【例7】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 【例8】算下面竖式中的汉字各代表多少? 小学奥数系统总复习Revised on November 25, 2020 《小学奥数系统总复习》试题精选——四年级 试题 1.难度：★★★★ 将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立。 【分析】①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从1～9这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键. ③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有2×3＝6和2×4＝8.如果第三式填2×3＝6.则剩下的数是1，4，5，7，8，9，共两个偶数， 四个奇数.由整数的运算性质知，两个样填：（答案不是惟一的，这里只填出一个）.如果第三式填2×4＝8，则剩下的数是1，3，5，6，7，9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式. 解：本题的一个答案是： 2.难度：★★★★ 数出下图中总共有多少个角. 【分析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠ C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠ C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）. 解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 试题 1.难度：★★★★ 由数字0、1、2、3共可组成多少个三位数可组成多少个没有重复数字的三位数【解答】由乘法原理 ①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数； ②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数． 2.难度：★★★★ 数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字谜问题 一、数字迷加减法 1.个位数字分析法 2.加减法中的进位与退位 3.奇偶性分析法 二、数字谜问题解题技巧 1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异； 2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算； 3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； 4.注意结合进位及退位来考虑； 模块一、加法数字谜 【例 1】 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华 罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？ 01 9 1杯华 2 4 ＋ 【例 2】 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少? 1 ＋ 4 9 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-2-1.加减法数字谜 【例 3】 在下边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加数至少是多少？ 【例 4】 两个自然数，它们的和加上它们的积恰为34，这两个数中较大数为（ ）． 【例 5】 下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 1 9 9 1 ＋ 【例 6】 在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =______ s t v a v t s t t t v t t + 【巩固】 下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？ D D D +A C D E E B E C B A 第六讲 数字谜 知识要点：猜谜语我们小朋友都喜欢吧。数字谜通常是给出一个 算术运算的式子，但式子中都含有一些图形、数字、字母、符号 等，用它们来表示特定的数字。要小朋友们动脑筋，想办法，找 到这些图形所表示的数。 [ 例1 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数: 分析：根据加法之间的关系，先看个位,两数相加的和是7,其中 一个加数是5,就可以推算出另一个加数△代表的数是2; 再看 十位数,□＋1=4, 可以推算出□代表的数是3.这个加法算式 是:35＋12=47. [ 例2 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? 分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于6,可能有两种 情况:3＋3=6,8＋8=16. 如果爱是3,十位不可能得到9.因此爱 是8. 这个加法算式是:88＋ 8=96. + 1 7 4 + 爱 6 9 爱 爱 [ 例3 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? 分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于0,可能有两种 情况:0＋0=0,5＋5=10. 如果“学”是0,十位0＋( )=10呢?我 们发现不可能得到10.那么如果“学”是5,因为有进位,所以十 位5＋( )=9就可以了,可以推算出5＋4=9,再加上进位正好是 10.因此“学”是5,“数”是4. 这个加法算式是:45＋55=100. [ 例4 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数: 分析：根据减法之间的关系，先看个位,两数相减等于8， 可能 有三种情况：9－1=8，8－0=8，13－5=8。如果第一种情况☆=9， 十位5－9不可能；如果第二种情况☆=8，十位5－8也不可能； 那么☆只能是3，□=5，3－5不够，向十位借1，13－5=8。十 位5退1是4，4－3=1。这个减法算式是:53－35=18。 [ 例5] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? + 学 0 0 学 数 1 学 － 8 1 － 0 学 5 学 数 2 + 1 好 奥数教学简介 一、课程特色： 1、教材与现行小学奥数教程同步； 2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。 二、教学理念： 通才教育和趣味教育。 三、教学目标： 以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的基础。 如何学好奥数？ 1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。 2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。 3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。 4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。 5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。 6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。 2019年小学奥数竖式数字谜1．在图算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。 2．如图，用0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这l 0个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少? 3．在如图所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少? 4．在图所示的算式中，加数的数字和是和数的数字和的3倍。问：加数至少是多少? 5．在图所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的4个数字总和是多少? 6．在图所示的算式里．每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少? 7．请你把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填到图所示的方框内，要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大。问：这样的排列方法共有多少种？ 8．将l至9这9个数码分别填入图的9个空格中，要求先填1，再在与1相邻(即左、右或上、下)的空格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，……，最后填9，使得加法算式成立． 9．在图所示竖式的方框内填入4至9中适当数字，使得第一个加数的各数数字互不相同，并且组成它的4个数字与组成第二个加数的4个数字相同，只是排列顺序不同。10．图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立． 11．在图的方框内填入适当数字，使减法竖式成立． 12．在图所示减法竖式的每个空格内填入一个数字，使算式成立． 13．图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少? 14．用1至9这9个数字可以组成一个五位数和一个四位数，使得两数之差是54321，例如： 56739－2418＝54321， 58692－437l＝54321。 请你在图中给出另外一个不同的答案． 15．在图算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式，那么所填的7个数字之和最大可能是多少? 16．把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成立．现有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字。 17．图是一个乘法算式，当乘积最大时，方框内所填的4个数字之和是多少？ 18．请补全图所示的残缺算式，问其中的被乘数是多少？ 19．图是一个残缺的乘法算式，那么乘积是多少？ 20．图是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个位置上数字为8，那么这个算式的乘积是多少？ 21．图是一个残缺的乘法算式，补全后它的乘积是多少？ 22．在图所示的残缺算式中只知道3个位置上的数字是4，那么补全后它的乘积是多少？23．图是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 24．图是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 25．图中的竖式由1，2，3，4，5，6，7，8中的7个数码组成，请将空缺的数码填上， 竖式数字谜 第1部分：加、减法竖式数字谜 这一部分主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基 本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还 要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破 口”。题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。 例1：在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立 解：加数都是两位数，从第一个加数个位是5与和的个位数是9，可以推断第二个加数的个位数必定是4。即5+？=9。从和的百位数与十位数是18，可断定，两个加数的十位数都是9，这样，谜便揭开了. 例2：在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立 解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是7、5，而和的个位却是8，肯定是进位造成的。从7+5+？=□8，可判断另一个加数的个位必为6，十位上5+□+7=□7，可断定：□加上个位进上来的1是5，去掉进上来的1应是4。百位上2+□=6，可知：□=4，去掉进上来的1，□=3。 例3：在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立 解：这个减法算式，只告知了减数是1，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。被减数有四位，减去1后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去1需要向高位借数呢？只有“0”！而最高位退1后成了0，表明被减数的最高位就是“1”。这样，就可以断定被减数是1000。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！ 例4：在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立 解：个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。那么，？-8=9，可知被减数十位上是7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。 例5：下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四个数字的和吗？ 解：和的个位数是9，可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字和是9。和的百位与十位上的数是18，便是两个加数十位数字的和。所以，被污染的四个数字的和是：18+9=27。 例6：下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。 解：这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是29，可断定三个加数的百位必须是9，因为三个9的和才是27，多出的部分便是进位造成的。同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是9，多出的2（29-27），是个位进位造成的。而和的个位数是1，断定三个加数的个位数字和是21。 2015年小学奥数竖式数字谜 1．在图算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。 2．如图，用0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这l 0个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少? 3．在如图所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少? 4．在图所示的算式中，加数的数字和是和数的数字和的3倍。问：加数至少是多少? 5．在图所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的4个数字总和是多少? 6．在图所示的算式里．每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少? 7．请你把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填到图所示的方框内，要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大。问：这样的排列方法共有多少种？ 8．将l至9这9个数码分别填入图的9个空格中，要求先填1，再在与1相邻(即左、右或上、下)的空格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，……，最后填9，使得加法算式成立． 9．在图所示竖式的方框内填入4至9中适当数字，使得第一个加数的各数数字互不相同，并且组成它的4个数字与组成第二个加数的4个数字相同，只是排列顺序不同。 10．图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立． 11．在图的方框内填入适当数字，使减法竖式成立． 12．在图所示减法竖式的每个空格内填入一个数字，使算式成立． 13．图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少? 14．用1至9这9个数字可以组成一个五位数和一个四位数，使得两数之差是54321，例如： 56739－2418＝54321， 58692－437l ＝54321。 请你在图中给出另外一个不同的答案． 15．在图算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式，那么所填的7个数字之和最大可能是多少? 16．把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成立．现有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字。 3 67□□ □□□ □ +? 17．图是一个乘法算式，当乘积最大时，方框内所填的4个数字之和是多少？ □ □□ □5? 18．请补全图所示的残缺算式，问其中的被乘数是多少？ 6 923767□□□ □□? 19．图是一个残缺的乘法算式，那么乘积是多少？ 推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国著名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度： 欢迎阅读竖式数字谜 第1部分：加、减法竖式数字谜 这一部分主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还 解：个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。那么，？-8=9，可知被减数十位上是7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。 例5：下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四个数字的和吗？ 解：和的个位数是9，可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字和是9。和的百位与十位上的数是18，便是两个加数十位数字的和。所以，被污染的四 个数字的和是：18+9=27。 例6：下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。解：这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是29，可断定三个加数的百位必须是9，因为三个9的和才是27，多出的部分便是进位造成的。同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是9，多出的2（29-27），是个位进位造成的。而和的个位数是1，断定三个加数的个位数字和是21。 因此，被遮盖的数，数字和是：27+27+21=75 针对练习 —2□ 2 4 —□□7 1 7 5 —□□8 5 3 6 5.在方格中填上0—9十个数字，不能重复，使等式成立，你能做到吗？ □□4 +2 8□ □□□3 第2部分：乘、除法竖式数字谜 掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。 例1：在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。 例2：在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。 3□7 例1：在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。 例2：在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。 3□7 三、数字谜(B 卷) _____年级 _____班 姓名_____ 得分_____ 1. . 2. 代表除4以外的数字,请补全算式: 3. 把下面除法算式中缺少的数字补上. 4. 把下面除法算式中缺少的数字补上. 6 5. 从0,2,4,6,8五个数字中选取适当数字填入每一方框内. 6. 下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母,代表不同的数字,求这算式. Y T X I S N E T N E T Y T R O F + 7. 下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母,代表不同的数字,求这算式. E V L E W T O W T E E R H T N E V E S + 8. 下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母,代表不同的数字,求这算式. T H G I E E N O O W T E V I F + 9. 把除法算式中残缺的数字补上. * *********0 1 5 417 10. 下面的除法算式只给出了一个数字7,补上其余的数字. * **** **** ***************** **** **********70 11. 下面的算式中,只有四个4是已知的,要求补全其它数字. * *** ************* ******0 44 44 12. 除法算式中已知数字都是7,补全其它数字. * ****** ***** ******70 7777 13. 下面的乘除法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母,代表不同的数字,求这算式. G F I E G F H A G F G F E D A B C C B A ? 14. 下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母,代表不同的数字,已知2+=H C .求这算式. E H D G A B C F E D C B A + 八、倍数问题 “和倍”与“差倍”问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个数量的和（或差）与这两个数量的倍数关系，要我们求这两个数量分别是几。解答这类应用题时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和(或差)相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数，解题公式是： 1、和倍问题 和÷（倍数＋1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 和－1倍数=几倍数 2、差倍问题 差÷（倍数—1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 1倍数+差=几倍数 在解答这类题目时，线段图是一个很好的帮手。我们要根据题意，画出线段图进行分析，这样能很快地理清解题思路，找到解题的方法。 【例1】弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后，弟 弟的课外书是哥哥的 2 【点拨】.画线段图如下： 哥哥： 弟弟： 在观察上图的基础上，可先思考以下几个问题： （1） 哥哥在给弟弟课外书前后，题目里不变的数量是什么？ （2） 要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （3） 如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时（哥哥给弟弟课外 书后）弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍？ 在思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。 【解答】 （20＋25）÷（2＋1）=15（本） 25—15=10（本） 答：哥哥给弟弟10本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。 【操身演练】 1、甲、乙两数之和是180，已知甲数是乙数的2倍，甲、乙两数各是多少？ 第4讲竖式数字谜(二) 本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。 掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。 例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。 分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。 因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)。 例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。 分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。 乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由 可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算： (1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因 4+5=9)。这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不能是6。 (2)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。与(1)分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右式。 (3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。 当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。 (4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。而此时，积的最高两位是3，不合题意。 综上知，符合题意的填法有上面两种。 除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。 小学奥数知识点分类 小学奥数大约 80 个知识点，可分成 5 大类，数论和行程是重点也是难点。 求和公式二：12+22+32+……n 2 = 求和公式三：13+23+33+……n 3 = 6． 速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连 续数求和、基准法、分组法、拆分法 7． 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】， 【构造法】等较难的计算方法。 拆分裂项公式： 等差数列公式： 第一部分 计算能力 万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根 基，必须高度重视！ 基本公式 1． 运算顺序 第一级：括号：（ ）→[ ] → { } 第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序 第三级：＋－： 同一级别可以交换运算次序 2． 去括号 ① a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c ② a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c ③a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c ④a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3．分配律/结合律 乘法: a×(b＋c) = a×b ＋a×c a×b＋a×c = a×(b＋ c) 除法：(a＋b) ÷c= a÷c ＋b÷ c a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c 4．两个必须掌握的性质两个数 的和一定，则两数越相近，积 越大两个数的积一定，则两数 越分散，和越大 5．几个计算公式 完全平方和（差）公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b) 求和公式一:1+2+3+……+n = 简单等比公式： 例题分析 1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402 2. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009×2009，B=2008×2010 3. 结果末尾有多少个零 4. 100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1 2019年小学奥数竖式数字谜 1．在图算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。 2．如图，用0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这l 0个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少? 3．在如图所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少? 4．在图所示的算式中，加数的数字和是和数的数字和的3倍。问：加数至少是多少? 5．在图所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的4个数字总和是多少? 6．在图所示的算式里．每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少? 7．请你把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填到图所示的方框内，要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大。问：这样的排列方法共有多少种？ 8．将l至9这9个数码分别填入图的9个空格中，要求先填1，再在与1相邻(即左、右或上、下)的空格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，……，最后填9，使得加法算式成立． 9．在图所示竖式的方框内填入4至9中适当数字，使得第一个加数的各数数字互不相同，并且组成它的4个数字与组成第二个加数的4个数字相同，只是排列顺序不同。10．图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立． 11．在图的方框内填入适当数字，使减法竖式成立． 12．在图所示减法竖式的每个空格内填入一个数字，使算式成立． 13．图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少? 14．用1至9这9个数字可以组成一个五位数和一个四位数，使得两数之差是54321，例如： 56739－2418＝54321， 58692－437l＝54321。 请你在图中给出另外一个不同的答案． 15．在图算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式，那么所填的7个数字之和最大可能是多少? 16．把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成立．现有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字。 17．图是一个乘法算式，当乘积最大时，方框内所填的4个数字之和是多少？ 18．请补全图所示的残缺算式，问其中的被乘数是多少？ 19．图是一个残缺的乘法算式，那么乘积是多少？ 20．图是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个位置上数字为8，那么这个算式的乘积是多少？ 21．图是一个残缺的乘法算式，补全后它的乘积是多少？ 22．在图所示的残缺算式中只知道3个位置上的数字是4，那么补全后它的乘积是多少？23．图是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 24．图是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 25．图中的竖式由1，2，3，4，5，6，7，8中的7个数码组成，请将空缺的数码填上，使得竖式成立。 26．在图所示除法竖式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是多少？ 27．补全图所示的除法算式。 第 1 页 《小学奥数系统总复习》试题精选 9.17试题 1.难度：★★★★ 将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立。 【分析】①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从1～9这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键. ③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有2×3＝6和2×4＝8.如果第三式填2×3＝6.则剩下的数是1，4，5，7，8，9，共两个偶数，四个 奇数.由整数的运算性质知，两个样填：（答案不是惟一的，这里只填出一个）.如果第三式填2×4＝8，则剩下的数是1，3，5，6，7，9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性 质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式. 解：本题的一个答案是： 2.难度：★★★★ 数出下图中总共有多少个角. 【分析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）. 解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 9.18试题 1.难度：★★★★ 由数字0、1、2、3共可组成多少个三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【解答】由乘法原理 ①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数； ②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数． 2019年小学奥数知识点大全 2019年小学奥数知识点大全：一年级—二年级一年级奥数 一年级的孩子刚刚踏入小学。不论是学习习惯还是学习方法，都需要全面的培养和正确的引导，这就需要家长对整个六年的小学学习有一个全面的规划。 学习重点难点解析： 巧算与速算的基本知识：对于一年级的学生来说，计算是学生学习时遇到的第一个问题。如果能够在看似无序的算式中寻找到一定的规律，化繁为简，那么学生一定能够增强学习数学的信心，提高学习数学的兴趣。另外，计算与速算是各种后续问题学习的基础。学好数学，首先就要过计算这关。 认识并学会数各种基本图形：正方形、长方体、圆和立方体等是小学学习中最常见的图形。通过系统的指导，使一年级的学生能够计算出各种基本图形的个数;使学生建立起有序思维，为建立思维模式打下基础。 学习简单的枚举法：枚举法对于一年级的学生来说的确是有一定的困难。在华数课本中，介绍这一难题时采用数数这种更为直观的方式，将复杂抽象的问题形象化，便于孩子们理解。 枚举法训练的重点在于有序的思维方式，学习之初将抽 象问题形象化，能够更好地引导学生去主动思考，建立起自己的思维方式。 数字的奇与偶、不等与相等等关于数论的基础知识：数论问题是后续学习中的一个重点，而这学期将要学到的：数字的奇与偶、不等与相等等无疑将会是今后学习的基础，在这里我们把数论问题分解为各种类型逐一讲解，使华数学习更加系统。 二年级奥数 二年级是开发孩子智力、形成良好思维习惯的最佳时期，学习奥数不仅能够极大地锻炼孩子的思维能力，也能为孩子之后的学习打下坚实的基础。对于二年级的学生家长来说，激发孩子对华数的兴趣是最主要的。 学习重点难点解析： 计算要过关：对于二年级学生的奥数学习来说，最先碰到的问题就是计算问题，计算问题是重点也是难点。 根据学校数学的学习情况，孩子还没有学习乘除法的列竖式，尤其是乘法的列竖式在二年级华数的学习中要求的比较多，比如华数课本下册第三讲速算与巧算中就多次用到了乘法，另外一些应用题中也会有所应用。所以对于学习下册华数的学生，首先计算关一定要过。 枚举是难点：对于二年级的学生来说，有序思维和抽象思维是比较困难的，对于问题，二年级的学生更多的愿意以 小学奥数横式数字谜Revised on November 25, 2020 横式数字谜 1．将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立. 2. 将1～9这九个数码分别填入下面四个算式的□中，使得四个等式都成立： □- □=1，□+□=9,□□÷□=9，□×□=9。 3.将1～9分别填入下面算式的□中，使每个算式都成立，其中1，2，5已填出. 4.把0～9这十个数字分别填入下面的□中，使各算式都成立. 5. 下题是由1～9这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立： 6．将1～8这八个数字分别填入下面算式的□中，使每个算式都成立. 7．将1—9分别填入下列各式的□中（每小题中填入的数字不得重复），使等式成立：□÷□=□÷□=□□□÷□□ 8.将1～9这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一个数字，使算式成立： □□□÷□□=□-□=□-7 9．从1～7中选出六个数填入下式的□中，能得到的最大结果是多少 □×（□-□）÷□-□×□。 10．从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○] 挑战自我： 1. 下面六个算式中有十个“□”，请你把0-9这十个数字分别填在“□”里，使等式都成立（每个数字只能用一次） ①5×（□－8）=5，②□÷2＋3=6，③□×□＋3=27， ④（□＋2）÷6=□，⑤2×□＋□=10，⑥2×（□－□）=10 2.把2～9这个八个数字分别填入下面的□中，使各算式都成立. 3．把1～9填入下面的空格中，每个空格只许填一个数字，使等式成立： 4. 由1～9这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立． 5．请你将1～9这九个数字分别填入下面各题的空格中，其中有的已填出，每个空格只许填入一个数字，使各算式都成立： 6.将2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字分别填入下面算式的方框中，使等式成立。 （□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□ ～9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：□□÷□=□□÷□=□□÷□ 8．将1～8八个数分别填入下列各式的八个□中，使得运算得到的结果是自然数，并且尽可能的小： ①□□□□-□□□□； ②□×□+□×□+□×□+□×□； ③（□+□+□□）×（□+□+□□）； 1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤， 得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 模块一、横式数字谜 【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、?、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是 _______. 12345□□□□ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分 【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到： 1 12345203 -÷+?=. 【答案】1 203 【例 2】 将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。11111 23456 □□□□ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-2-5.最值中的数字谜（二） 【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数 与另一个分数相加应尽量大， ，，，；，， ，；而 ， ， ， ； 其中最小的是，而，， 所以 最大 【答案】最大 【例 3】 将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式 成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为 ． ÷++=÷+ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为 628487÷+=，又3157987÷++=满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为87． 【答案】87 【例 4】 一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日 15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是 ． 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8题 【解析】 假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的 数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大． 显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个． 如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、 “秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况． 如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、 “秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+?++++=． 【答案】153 【例 5】 0. 2.0080.A BC C A B ??=??，三位数ABC 的最大值是多少？ 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第4题 【解析】 2.008化为分数是251125，可以约分为251125的分数有502250、753 375 ，所以ABC 的最大值为753. 【答案】753四年级奥数数字谜综合(有答案)
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