高等代数拓展容之十八
从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
侯维民
（师学院数学系，，741001 ）
摘要：本文以数学方法论为指导，发掘了高等代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念诸方面的联系．以此说明：注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．
关键词：高等代数；中学数学；数学知识；数学思想方法；数学观念
中图分类号：G304，G642.42 文献标识码：A
数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能．为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究”，“中学数学教材教法”等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析”、“高等代数”等高等数学类的课程．然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着两方面的问题．一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课产生了为难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然．为了
【作者简介】侯维民（1947—），男，卫辉市人，师院教授，大学本科毕业，研究生课程结业，主要从事代数学，数学教育及周易数理研究.．
解决上述长期存在的问题，笔者认为措施之一是用数学方法论[1]的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系．不但挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高、在思想方法上是中学数学的因袭和扩，在观念上是中学数学的深化和发展．[2]这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强．
下面以高等代数[3]课为例，从数学知识，数学思想方法、数学观念三个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学[4、5、6]的联系．
1 高等代数与中学数学在知识方面的联系
这个问题至少可由以下6点说明．
（1）中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则．高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．（2）中学代数给出了多项式因式分解的常用方法．高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定．
（3）中学代数讲一元一次、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介．（4）中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系．
（5）中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．中学代数学习
的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．
（6）中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型．三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型．线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．
综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等；而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的．
2 高等代数与中学数学在思想方法方面的联系
以下就十种数学思想方法对照二者之间的联系．
（1）抽象化思想．小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期．中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期．高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——向量空间、欧氏空间．随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大．
（2）化归思想．中学数学里，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想．在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究，将二次型的研究转化为实对称矩阵的研究等，这些也都用到化归思想．
（3）分类思想．中学按概念对研究的对象分类，例如对数分类，对代数式分类等．高等代数除按概念分类，如将次数大于0的多项式分为可约与不可约两类，将二次型分为正定、负定、不定三类等，还按元素间的等价关系分类，例如分别依矩阵的等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类．利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等．
（4）结构思想．现代数学通过三种数学结构将数学各分支联系成一个整体．中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材，两者的许多概念、性质及运算律具有相似性．从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律，由数的大小关系到集合的包含关系、多项式的整除关系再到集合的偏序关系．这些容全都反映了结构思想．
（5）类比推理思想．在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质．由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系．由直角三角形的勾股定理类比推理具有三直角顶点四面体的勾股定理．在高等代数中，由整数的整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论．由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、积、距离公式类比推理规正交基下，n维欧氏空间中向量的长度、夹角、积、距离公式．（6）严格的逻辑推理方法．受中学生理解能力的限制，中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形．但常用的证题方法，如反证法、同一法、综合法、分析法、数学归纳法等，学生已有接触．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．同中学数学相比，高等代数具有提出问题一般，理论推导严格，讨论问题深入，知识体系完备的优点．
（7）公理化方法．中学平面几何将利用直觉经验不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法．高等代数中的向量空间、线性变换、欧氏空间都将若
干条假设作为公理，利用这些公理，再推导出各自的理论体系，这已用到形式公理化方法．由实质公理化方法到形式公理化方法体现了公理化方法的发展．
（8）坐标方法．中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标．高等代数通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式．欧氏空间一章还给出了在规正交基下，向量的长度、积、投影、距离、夹角的坐标计算公式，这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广．
（9）变换方法．中学数学学过线性方法组的同解变换．高等代数将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法——矩阵的初等变换法．利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解部分矩阵方程等．
（10）构造性方法．中学数学中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法都属于构造性方法．高等代数不但继续用构造性方法解题，例如，判断整系数多项式可约性的克罗克方法，求排列反序数的方法，求线性方程组解的行列式法和矩阵消元法等．还用构造性方法证明定理，例如，证明带余除法定理，证明最大公因式的存在性定理，证明正交基的存在性定理，证明对称矩阵与对角形矩阵合同定理等．
综上所述可知，高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的．只是由于中学数学的知识较浅，容较窄，对思想方法的巨大作用体会不深而已．通过学习高等代数等近、现代数学课程，人们越来越深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的在联系，培养多种数学能力方面的巨大威力，从而学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强．而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的．
3 中学数学与高等代数在观念方面的联系
在中学数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点，等，在高等代数中将得到深化和发展．
关于数学研究的对象，由中学代数研究的数、代数式、方程、函数等容，中学几何研究的点、线、面、常见图形等容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．
关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．
首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数、诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用，但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微．通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．例如，从几何向量等数学对象关于加法和数乘的共性中，可以抽象出向量空间的概念，再将几何向量等数学对象关于积的共性抽象并赋予实数域上的向量空间就得到欧氏空间的概念．而当人们只把注意力集中到欧氏空间等代数系统的“距离”的本质属性——非负性、对称性、三角不等式时，就抽象出“距离空间”的概念．当人们再注意到由距离所产生的拓朴结构只是一种特殊的拓扑结构时，又抽象出拓朴空间的概念，可见随着抽象程度的不断提高，数学研究的对象日益扩大，结论更加本质．再看严谨性．受中学生理解能力的限制，中学数学的严格定义较少，几何问题的推导还常常借助直观图形，数学推理的严谨性并不十分明显．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定
义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．推理的严谨性随处可见．最后看应用的广泛性．中学数学除了它的教育功能外，还能解决一些简单的实际问题，如工程、行程、浓度、面积、体积等．而高等代数除了它的教育功能外，还能进一步解决一些较为复杂的问题，如电力系统、线性规则、投入产出模型等．总之学习高等数学类课程越多，数学应用的广泛性就体现得越全面．
参考文献
[1] 马忠林，毓信．数学方法论[M]．：广西教育,1996．34－98．
[2] 世明，等．MM教育方式的理论与实践[M]．：新闻，2002．54－87．
[3] 禾瑞，郝鈵新. 高等代数(第四版)[M]．：高等教育，1999．1－3．
[4] 人民教育中学数学室．全日制普通高中教科书·数学(一、二、三册)[M]．：人民教育，2001．1－2．
[5] 人民教育中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·代数(一、二、三册)[M] .：人民教育，2001．1－2．
[6] 人民教育中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·几何(一、二、三册) [M].：人民教育，2001．1－2．
Explore Relations between the Higher Algebra and the Mathematics of
Middle School by Mathematical Methodology
Hou Weimin
(Department of Mathematics , Tianshui Teachers’ college , Gansu Tianshui , 741001)
Abstract ：This article quide by mathematical methodology，it explore the relations on mathematical knowledges，mathematical thoughts and methods，mathematical senses．It show that if we notice the connections and comparisons of Higher Algebra and Middle School Math，this not only reduce the difficulty of Higher Algebra’s study，and also strengthen the quiding actions of Higher Algebra on training mathematical teachers of middle school ．
Key Words：Higher Algebra，Middle School Math，mathematical knowledge，mathematical thought and method，mathematical sense．
教学大纲 一．课程的教学目的和要求 通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。 二．课程的主要内容： 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。 三．课程教材和参考书： 教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版 参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987） 3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）
1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称 3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。 4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律 5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题 6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾 7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法 8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式 数学问题在数学发展以及数学教育的意义 （一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
初中数学教师学科专业素养“三级标准”试题 一、选择题 1、强调学生用数学的眼光看问题，意思是说（d ） a. 去课外学习 b. 到车间、农村去学数学c．深刻地理解数学d．用数学知识去观察周围的实际情景 2、数学方法的产生是（ a ） a．伴随数学问题的解决而产生的b.一些人头脑里想出来的c.外国科学家研究出来的 d.做数学题中发现的 3、有学者认为，体验学习是一种以（a ）为中心的、从体验和反思中获得进步的学习方式。 a. 学习者 b.培训者 c.培训容 d.培训手段 4、下面的教学方式适合学生交流思想和感受的是（ b ）。 a.自主探究 b.对话教学 c.体验教学 d.接受学习 5、在对课程目标的认识中，正确的是（d ） a.知识与技能是有效教学成功与否的关键 b.情感态度价值观是有效教学成功与否的关键 c.能力是有效教学成功与否的关键 d.过程是有效教学成功与否的关键 6、教学中教师“包办代替”，会（ a ） a.剥夺了学生能力发展的权利 b.启发学生的思维 c.调动学生学习的积极性 d.有利于学生很好的掌握知识 二、填空题 1、1935年爱因斯坦在纽约州立大学的一次毕业典礼上，指出旧学校给学生太多的“好 2、在1983年问世的《数学方法论选讲》中，徐利治教授对“数学方法论”又给出了如下的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中 值观转变为坚定的信念，进而在行动中体现出来。 问题，以增进教学主体间的理解，提升师生教学生活质量的过程。
进了学生的学习，相对有效地达到了预期教学效果的教学. 6、忽视知识生成发展过程，就是在课堂教学中，教师常常把较少的时间用于新知识 新知识的记忆、应用）。 三、简答题 1、请画出初中数学知识导航图。 2、1901年，英国工程师皇家理科学院教授j．培利主“关心一般民众的数学教育”，取消欧几里得《几何原本》的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算、运用坐标纸画图、尽早接触微积分。他归纳学习数学的“理由”有七条，请回答这七条理由。 3、简述研究数学方法论的意义和目的。 4、教学中可以在哪些过程实施体验教学？ 5、怎样确定体验教学目标？ 6、对话教学的表现形式有哪些？ 7、简述在教学设计中，教材的有效分析。8、简述在教学设计中，学情的有效分析。 9、简述在教学设计中，教学方法的解析。 四、论述题 1、结合自己的体会，谈东西方数学教育的平衡。 2、结合自己的实际，谈数学方法论的文化教育功能。 3、结合自身的实际，谈体验学习能速成吗？ 4、结合教学实际说明体验教学的必要性。 5、结合实际教学说明知识在对话中生成。 6、结合自身的实际，谈在教学程序设计中容成分的有效分析。 7、结合自身的实际，谈在教学程序设计中教学环节的解析。8、结合自身的实际，谈知识的形成和发展过程会带给学生什么？ 9、结合自身的实际，谈教学中的“包办代替”现象的具体体现及导致的后果。 参考答案 三、简答题 1、 2、（1）培养高尚的情操，唤起求知的喜悦。（2）以数学为工具学习物理学。 （3）为了考试合格。（4）给人们以运用自如的智力工具。 （5）认识独立思考的重要性，从权威的束缚下解放自己。（6）使应用科学家认识到数学原理是科学的基础。 （7）提供有魅力的逻辑力量，防止单纯从抽象的立场研究问题。
自制数学游戏棋——让大班孩子在玩中学 每到自由活动时间，孩子们就三五成群地玩起了棋类游戏，五子棋，象棋，飞行棋……玩得不亦乐乎。能不能利用棋对孩子的吸引力和它本身的作用，将枯燥乏味的数学知识融人棋类游戏之中，让孩子们积累数学经验，体验用数学方法解决游戏中某些简单问题的乐趣?于是，结合大班幼儿的年龄特点和课程要求，我们开始了自制数学游戏棋的尝试。 自制数学棋的类型 1．自娱自乐型(单人)：如“独一无二棋”(棋盘设计成三角形或正方形，棋子用瓶盖，棋格是圆形，大小等同瓶盖)每格放一个棋子，先从棋盘上取走任意一个棋子，造成一个空格(每个空格都有一个简单算式)，走法如跳棋：每走一步，即将手上的棋子眺过旁边的棋子，跳进一个空格内，算出此空格内算式得数，就可以把被它跳过的棋子拿走，最后棋盘上只剩下一个棋子获胜。此类游戏对培养幼儿的坚持性有很大帮助。 2．方格对阵型(双人对弈)：如“瓶盖五子棋”，在两种不同颜色的瓶盖上贴上不同的两种图形贴纸，二人各执一种图形棋子，每人都要尽快把自己的棋子摆成五子相连的一排(横、竖、斜排均可)，同时阻断对方的五子连接，最后五子相连排数多者为赢。这类棋对提高幼儿辨别思维能力有很大帮助。 3．起点终点型(适合2—4人)：如从同一个起点走到终点的“曲线棋”，由两个起点走到一个终点的“图形棋”。棋谱的线路也是灵活多变的：S形、阶梯形、方形、圆形等。如“单双数棋”(阶梯型)，幼儿任意抓取雪花片若干，点数后说出总数并判断该数是单数还是双数，若是单数可走一格，若是双数走两格，先到达终点——城堡为获胜者。 玩法指导 1．创造环境，激发棋趣 蒙台梭利认为：幼儿的身心发展是在活动中实现的，所以教师应该为幼儿提供“有准备的环境”。兴趣乃动力之源，创造富有刺激的环境是基础。在教室，我们为幼儿专门设立了“数学游戏棋类区”，设计制作了十几副数学游戏棋，幼儿可以根据自己的能力水平，自主选择棋类内容和游戏伙伴，有很大的自主权，体现了游戏的自主性。在自由活动时间，幼儿可以随时去那儿活动，根据自己的兴趣选择数学棋内容，自由结伴下棋、比赛，这有助于培养幼儿的独立、自主、自信、创新精神。同时能兼顾个别差异，因为每种棋类游戏的难度都有层饮设计，各种能力的孩子都能在这里找到适合自己层次的玩法，因此不会使孩子产生压力。 为更好地激发幼儿的参与兴趣，我们还设立了记分牌(用旧台历)、专门的裁判牌、观战台，提高游戏的真实性。此方法果然起效，激发了孩子强烈的竞争意识，观战的孩子也在积极动脑思考，尽力做到“观棋不语”，小裁判也能很好地维持赛场规则，一派“棋乐融融”的景象。 2．充分探索，理解棋规 根据课程及孩子的发展水平，我们会推陈出新，在介绍新的数学游戏棋时，重点引导幼儿积极感知，充分探索，去发现棋的规则。如起点和终点在哪里，一共有几个格子，可以几个人玩，和以前玩的棋什么不同。再引导幼儿观察不同的规则符号，思考游戏的规则，最后组织大家共同商讨，得出游戏棋的规则，教师再重点强调。如此一来，孩子们很快就掌握游戏规则了。在幼儿认识数学游戏棋规则的过程中，我们发现指导孩子认识棋规则里的常见字也非常必要：如前进、后退，停一次等等，当孩子们认识了这些字后，游戏棋玩起来就更容易了。 3．适时指导，提高棋技 游戏的开展离不开教师的适时指导，观察非常重要，可以及时了解幼儿的需要、困惑进行启发引导，帮助幼儿领悟发现、总结经验。对于一些数学能力较差、自信心不强的孩子，我们的目的是鼓励他去大胆尝试，产生兴趣，体验数学游戏的快乐；对于有一定下棋经验的孩子，在出现新问题或遇到一些困难时，我们鼓励孩子要坚持，静下心来思考，适时地点拨，提高棋艺，积累经验；对于数学能力强、下棋水平高的孩子，鼓励他们挑战，进一步肯定和鼓励幼儿体验成功和快乐，让孩子在活动中树立
目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
chap1 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，发明与创新等法则的一门学问。 chap2 1.数学问题的来源 （1）外部世界的需求 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 （2）数学内部产生的问题 几何三大难题 高次代数方程可解性问题 哥德巴赫猜想
第五公设问题 2.波利亚的数学解题表， 怎样解题表： 理解题目，拟定方案，执行方案，检验回顾。 3.解题模式 双轨迹模式 笛卡儿模式，将所有的问题都转化为代数解方程递归模式 叠加模式
chap3合情推理 1.类比推理是根据两个对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其它属性也相同或相似的推理，它是由特殊到特殊的思维过程 举一例 作用: （1）数与式的类比 （2）类比在求解问题中也有着广泛的应用 （3）类比可用于猜测进行检验 2.归纳法 归纳是指通过对特殊的观察和综合去发现一般规律。它是由特殊到一般的推理形式 归纳法的类型及特点 完全归纳法，是研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。 特点：1.对科学作用不大 2.有助于问题的证明或解答 不完全归纳法，是通过对某类事物中部分对象的研究，概括关于该类事物的一般结论。 作用，1有助于数学发现 2归纳推理具有或然性
3.数学归纳法 数学归纳法不属于合情推理，为演绎推理。 合情推理:前提是真，结论不一定为真 数学归纳法，前提是真，结论一定为真 常见的形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法 二重归纳法 4.数学合情推理在数学教育中的意义 （即归纳，类比，观察，实验） chap4 数学中的典型方法，包括数学公理化方法，数学模型方法，数学结构方法，数学构造方法 1.所谓公理化方法就是尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公里，公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法 公理化方法的现实原型，欧几里得的《几何原本》 数学公理化方法的特点与基本问题 特点:公理系统是一个有序的整体 公理系统是纯粹的演绎系统 公理系统是形式化的 $希尔伯特公理体系（数学公理化方法的产生与发展）
For personal use only in study and research; not for commercial use 《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分） 1，数学研究主要的就是发现问题和问题。 2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。 3，化归是实现化归的关键。 4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。 5，爱因斯坦于1905年提出了。 6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。 7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。 9，解题“三步曲”是指观察、和转化。 10．应该反映原型，但又不等于原型。 二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×） 1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。 3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。 4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。 5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。
三，选择题（15分，每题3分） 1，求高次方程的近似解法较早出现在（） A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》 2已知f(x+1)=x2,f(x)=( ) A x+1 B x2-2x+1 C x2-x C x2+2x+1 3非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理 C 综合法 C 否定肯定式 4“万物皆数”的说法出自( ) A 欧拉 B 高斯 C 王阳明 D 毕达哥拉斯 5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性 C 综合性 D 观念意识性 四.名词解释(10分,每题5分) 1.归纳法 2.公理化方法的含义 五.解题研究:(30分, 每题15分) ^ 值,并证明其结果. 1,研究cos 2n
小学一年级数学教案：让孩子在玩中学，在乐中学 一、教学目标 1、使学生能够认识长方体、正方体、圆柱、球等物体和图形的特征。能够识别这几种物体和图形，初步理解这几种概念的意义。 2、使学生形成一定的观察能力和操作实践能力。 3、使学生形成一定的合作意识和创新意识。 二、教学重点、难点 引导学生认识长方体、正方体、圆柱和球的实物与图形的特征为教学的重点，引导学生初步理解概念的意义为教学的难点。 三、教具 1、投影仪和相关的投影片。 2、相关的图片。 四、教学过程及教学方法 （一）感知物体的形状 导语：小朋友们，今天有几位朋友要到咱们班来做客，咱们欢迎不欢迎？
我们欢迎客人们上场（响起了热烈的掌声），四个小朋友分别拿着球、圆柱、正方体、长方体。 （二）初步了解物体的外形特征 师一一介绍给学生： ★球是圆乎乎的，没有平平的面，放在桌子上可以任意到处滚动。（学生在学具袋里找一个球，用手摸一摸、滚一滚，亲自感知球的特性） ★圆柱是直筒筒的，上下一样粗，两头是圆圆的，平平的。如果躺在桌子上，它就能够滚动；但是如果立在桌子上，就不能滚动了。像这样的物体，不管它是长的，还是短的；是粗的，还是细的，都叫圆柱。（学生找到摸一摸、滚一滚。） ★正方体是四四方方的，有6个平平的面，每个面的大小都是一样的。（学生拿一个正方体摸一摸、看一看） ★长方体是长长方方的，也有6个平平的面，但是，这些面的大小不是一样的，有的大一些，有的小一些。（拿长方体看一看、摸一摸、比一比） （三）认识图形
出示投影片 你还能认识它们的照片吗？（学生分别说出图形名称） 这些朋友把它们家的照片也拿来了，你能认出它们吗？ （学生戴着头饰进场，指名认，并说出名称） 告诉大家一个秘密，这些朋友都很奇怪，那就是它们一家人都长一样，只不过高些，有的矮些；有的胖些，有的瘦些。你知道谁和谁是一家人吗？（指名来分） 游戏：客人喜欢做捉迷藏的游戏，你想不想陪它们做？它们已经藏起来了，谁来找？学生按要求在袋子里摸出相应的物体，摸对的奖励一朵小红花。） （四）进一步巩固所学知识 出示各种图形的投影片（学生观察图形，说出名称，数出数量） （五）总结与迁移练习 ★说一说（引导学生对所学知识进行综合概括）：我们今天学习了四种图形，它们是长方体、正方体、圆柱和球。现在请同学们对照桌子上的各种物品，一起说说这四种图形分别上什么样子的。
数学方法论 课程考 试查 试题册B 答案 试题使用对象 ： 数学与统计学院 2011 级 数学与应用数学 专业(本科) 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。 2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 填空题（本题共30 分，共10小题，每题各3 分） 1．在化归过程中应遵循的原则是 。简单化原则、熟悉化原则、和 谐化原则 2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时， 的一种思想方法。 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 3． 即所谓“由因导果”的方法。 完全归纳法又分为 和类分法两种类型。穷举归纳法 4．《几何原本》所开创的 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。．公理化 5．类比法是指 的一种推理方法。由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 6．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。．寻找反例说明此猜想为假 7．化归方法包含的三个要素是： 。化归对象、化归目标、化归途径 8．已知n m ,是互不相等的实数，且使等式022 =+-m m ， 022 =+-n n 成立，则n m 1 1+= 。1/2 9．已知在ABC ?中，满足 ++B A 22s i n s i n B A A C C B C s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n 2 ++= 则ABC ?为 三角形。等边 10．设 05422 2 =++-+y x y x （x ，y 为实数），则x y 的值为 。2
数学方法论 1研究数学方法论的意义和目的 什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为对象的一门学问。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自已的方法论。 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 数这是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起业还具有较高的抽象性特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学业教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。 由于数学领域的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法，所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然
辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辨证法。 我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。 从近代数发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾转绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还产生着不同程度的影响。 各个数学流派对数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者来说，无论为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映观点（即辩证法的反映观点）去考察问题和分析问题。 2宏观方法论与微观的方法论 数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉
方法论试题库（章节） 第一章绪论 名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。 简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究 答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等 3。试举四种数学中的一般科学认识方法 答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法 答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。 2。数学方法论的数学功能。 一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用 3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。 第二章化归 填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。 名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。 简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答：变换法，反证法，MM方法
第一部分数学史 第一章数学的起源和远古数学文献 1.计数意识的起源。 数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。 2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。 著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。 埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的 发展是极为不利的。 埃及几何的突出成就：埃及几 何的突出成就是金字塔数学。古埃 及人留下来的数学文献极少，但现 存的活文献——金字塔，却给现代 人留下了许多数学之谜。多少年 来，许多学者对埃及金字塔都进行 了实地考察，对于建于公元前3000 年至公元前2000年的古建筑提出 了不少难解之谜，尤其围绕着最大 的金字塔——胡夫金字塔（建于约 前26世纪）提出了下面这些不可 思议的问题：（1）塔底每边长 232m，误差小于20cm，塔高 146.5m，东南西北角误差仅为 1.27cm，直角误差仅为12”，方位 误差在2’~5’之间，这样的精确 度就是现代建筑也望尘莫及。（2） 用来砌塔的石块达230万块之多， 重量从2.5吨到50吨不等，石块间 的接缝之小连铅笔刀也难以插入。 （3）塔高的10亿倍恰巧等于地球 到太阳的距离，而塔底与塔高的2 倍之比近似等于3.1416，这是公元 3世纪时人们才得到的圆周率的最 高精度。（4）穿过塔的子午线恰 好把地球上的陆地与海洋分为两 半，而塔的重心正好落在引力中心 线上。它充分体现了古埃及人精确 的几何测量技术和高超的建筑技 术。 3.巴比伦数制和解二次方程 的方法。普林顿322号泥板书的数 学意义。 巴比伦数制：巴比伦人采用 60进位制记数法，采用了位置值 制，其记数法主要用加法原则并辅 之以乘法原则，高位数写在低位数 之左。但是由于巴比伦的位值制没 有零的记号，所以巴比伦的位值制 记数法并不完善，它所表示的数需 根据上、下文才能确定。巴比伦人 经常使用分数，且其分母总是常数 60，巴比伦人把分数当作“整体” 看待而并不看做一的几分之几。由 此可见，巴比伦记数并不属于严格 的位值制记数法。 解二次方程的方法：巴比伦数 他 们用特殊的方法能够解出一些一 次、二次甚至三次、四次方程。例 如：问题——求一个数，使它与其 倒数之和等于给定的数。用现代记 号表示即相当于： 。 这实际上是相当于解x2－bx ＋1＝0这样的一元二次方程。对于 这个二次方程，巴比伦人给出的答 案是： 普林顿322号泥板书的数学 意义：关于巴比伦数学，很令人感 兴趣的是“普林顿322号”泥板书 即1923年由收藏家普林顿收藏、 现存于哥伦比亚大学珍本图书馆 的第322号收藏品。该品有4列数 字，共15行，其数字皆为楔形文 字，跟普通的账单一样。认真研究 就会发现：两列中的对应数字（除 4个例外）构成一边长为整数的直 角三角形的斜边和一个直角边。现 在人们把（3，4，5）这样一组能 作为直角三角形的边的正整数称 为毕氏三数。从中可以看到巴比伦 的数学成果是十分丰富的。 第二章希腊数学的兴起和 发展 1.泰勒斯发现的数学定理和初 创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉 图学派的主要数学成就。 泰勒斯（约公元前624~前547 年）是希腊数学史上第一个著名数 学家，在历史上享有“希腊科学之 父”美称，被誉为“希腊七贤之一”， 比我国孔子还早100年。他创立了 爱奥尼亚学派。他发现的数学定 理：（1 分；（2）等腰三角形的两底角相 等；（3）两直线相交时，对顶角 相等；（4）若已知三角形的一边 和两邻角，则此三角形完全确定； （5）半圆周角是直角。他初创的 证明：他关于“等腰三角形底角相 等”的证明是这样进行的：如图所 示，α=β，γ=δ（同一弓形的角）， α—γ=β—δ（等量减等量差相 等），则∠OAB=∠OBA。尽管当 时人们对于角的概念还不完善，但 这一证明并不失为早起数学证明 的典范。世界演绎几何正是从这里 开始的。 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯 学派亦称“南意大利学派”，是一个 集政治、学术、宗教三位于一体的 组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所 创立。产生于公元前6世纪末，公 元前5世纪被迫解散，其成员大多 是数学家、天文学家、音乐家。它 是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。毕达哥拉斯学派以“万 物皆数”， 事物的性质是由某种数量关系 决定的，万物按照一定的数量比 例而构成和谐的秩序；据说毕达 哥拉斯学派最早发现了所谓“黄 金分割”规律，而获得关于比例 的形式美的规律。毕达哥拉斯学 派的美学观点是客观唯心主义 的，对柏拉图、新柏拉图主义及 文艺复兴时期的 名的“勾股定理”，据说，毕达哥 拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了 一百头牛，也正是由于勾股定理 的发现，导致无理数的发现，由 此产生了第一次数学危机。 柏拉图学派的主要数学成就。 柏拉图学派的代表人物是 柏拉图（约前427年－前347年）， 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏 格拉底学习哲学，受到逻辑思想 影响，尔后成为雅典举世瞩目的 大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯 学派吸收了许多数学观点，并运 用到自己的学说中，古希腊伟大 的哲学家，也是全部西方哲学乃至 整个西方文化最伟大的哲学家和 思想家之一，他和老师苏格拉底， 学生亚里士多德并称为古希腊三 大哲学家。他认为“数学是一切知 识中的最高形式”。公元前387年， 他在雅典城郊创办学园，世人称之 为柏拉图学园。该学园活动时间长 达900年，一直到公元529年学园 被封闭为止。柏拉图在数学的理想 思维上有重要贡献，他认为数学真 理只有通过概念思维才能被发现。 他坚持准确定义、清楚假设和逻辑 证明，并首先提出了系统的演绎推 理法则。柏拉图学派还发现了圆锥 曲线。 2.芝诺悖论，毕达哥拉斯—— 柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德 的数学哲学。 芝诺悖论是古希腊数学家 芝诺提系 不可分性的哲学悖论。这些悖论 《物 理学》一书中而为后人所知。芝 诺提出这些悖论是为了支持他 老师巴门尼德关于“存在”不动、 是一的学说。这些悖论中最著名 的两个是：“阿基里斯跑不过乌 龟”和“飞矢不动”。这些方法现 解释，但还是无法用微积分解 决，因为微积分原理存在的前提 是存在广延（如，有广延的线段 经过无限分割，还是由有广延的 线段组成，而不是由无广延的点 组成。），而芝诺悖论中既承认广 延，又强调无广延的点。这些悖 论之所以难以解决，是因为它集 中强调后来笛卡尔和伽桑迪为 代表的的机械论的分歧点。这些 1/0=无 穷。
第1页，共6页 第2页，共6页 任课教师签名： 命题教师签名： 系主任签名： 主管院长签名： A. 函数的本质是变量间的对应 B. 解析表达式就是函数 C. 函数是两个非空数集间的映射 D. 函数y=2与y=2x 0是同一函数 9．数学中存在的有[ ] A. 黄金椭圆 B. 欧拉三角形 C. 黄金四边形 D. 黄金曲线 10．整数分为奇数、偶数，还可分为质数、合数、0和1。这是[ ] A. 一次划分 B. 复分 C. 二分法 D. 连续划分 11．正方形概念与菱形概念是[ ] A. 交叉关系 B. 从属关系 C. 矛盾关系 D. 对立关系 12．与圆命名有关的名人有[ ] A.拿破仑 B. 赵爽 C. 柯西 D. 牛顿 13．欧拉圆又称为 [ ] A. 九点圆 B.庞加莱圆 C. 黎曼圆 D.都不是 14．属于“因果归纳法”的有( )。 A ． 求同法 B ．数学归纳法 C ． 枚举归纳法 D ．联想法 15．截立方体得到的多边形有( )种。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．与耐普尔共享发明对数的数学家有( ) A ．笛卡尔 B ．泰勒 C ．别尔基 D ．开普勒 17．“数学来源于逻辑”的观点来自于[ ] A. 罗素 B. 布劳威尔 C. 希尔伯特 D. 布尔巴基 18． “或”是[ ] 逻辑联结词 A. 合取式的 B. 析取式的 C. 等价式的 D. 都不是 19．联结判断与判断的是[ ] A. 判断 B. 推理 C. 证明 D. 都不是 20．与集中思维一致的是 [ ] A. 求异思维 B. 辐合思维 C. 发散思维 D. 幅射思维
创设情景，让学生在生活中学数学 数学源于生活，生活中又充满着数学。数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。把高高在上的、独立于个体经验的数学知识与人们活生生的创造活动结合起来，使人们意识到数学只是人们在生产和生活实际中达成的共识而已，它可以改变，更可以创造，而不是独立于客观世界的另一种精神世界。因此，数学学习绝不是简单的接受的过程，而是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，提供学生现实的、有意义的、富有挑战性的学习材料，让学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流，经历数学知识的形成、发展过程。 新课程丛书之一《数学课程标准》（实验稿）提出实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标，其实现的基本途径是从学生自己熟悉的生活背景中发现数学，掌握数学和运用数学，体验数学与周围世界的联系以及数学在社会生活中的作用和意义，逐步领悟学习数学和个人成长之间的关系，感受成功，增进自信。数学的教学一旦离开现实生活是毫无意义的，在学生生活中，充满了与数学相关的内容，密切联系学生生活实际来学习数学，不仅可以调动学生的学习积极性，使其得到良好的情感体验。而且有利于对数的意义的理解。新课程标准将实践与综合运用作为数学知识技能的一个重要内容,强调数学知识在现实世界中的应用。这些新要求不仅使数学内容有了一定的弹性和开放性，同时也带来了传统学习方式的根本变化。学生通过一个个小调查、小专题进行自主探索、合作交流，在这个过程中提高了综合运用知识解决问题的能力这些活动使学生逐步认识到“数学就在我身边”，不仅有助于他们增强学习数学的兴趣，同时也将视野扩大到了课堂之外。若能在数学教学中创设源于生活的游戏、活动情景，学生将表现出在传统课堂中少见的主动、
数学方法论第二章作业 ：学号： 设x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，且x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0,求证：n是4的倍数。 证明： ∵x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0 ① 由于x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，根据正负抵消规律，n必为偶数。 设n=2k,k∈N+，方程①可变形为： ∵x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1= （1+1+…+1）（k个）+（-1-1-…-1）（k个）=0 ② ∴（x1x2）（x2x3）……（x n-1x n）（x n x1）=1k（-1)k =(x1x2……x n)2=1 从而k必为偶数，设k=2m,m∈N+，易得n=4m，m属于N+得证n是4的倍数。 数学方法论第五章作业 ：学号： 5.何谓计算证明法，有哪些具体的计算证明方法，它们又各是如何进行应用的，并应注意什么问题？
答：把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法,该方法一般思路单纯(即使算式紧杂但难度降低),较易著手,且能对免添加过多的辅助线。 1、代数法 代数法一一用代数知识来研究或证明几何问题的方法,该方法常用于涉及度关系的几何问题,主要用代数上的恒等变形方程知识。 教材上对于该方法的两个例题中,例5.1较简单。 2、三角法 三角法一用三角加识来研究或证明几何或代数间题的方法,该方法主要用三角函数、三角换元法、三角恒等变换,解三角方程、证明三角不等式等方面的知识。 3、坐标法 坐标法一一通过建立坐标系,用解析几何的知识证明几何问题的方法。 此法使用时注意选取坐标轴和原点尽量为已知元素(减少辅助线),尽量减少参数(可取单位1),以便点坐标或曲线方程表达简单、运算方便。 4、复数法 复数法一一用复数知识解答其他数学问题的方法。 5、向量法 向量法一一将几何问题转化为向量计算问题的方法,该方法对于几何中的平行、垂直、线共点、点共线等问题往往更有效。
综合作业 本卷共分为2大题40小题，总分100 分。本卷得分:100 1[论述题,2.5分]什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。 终止|结果|有限性 2[论述题,2.5分]变量数学产生的意义是什么？ 工具|发展|辩证法 3[论述题,2.5分]《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？ 明显的|定理|逻辑 4[论述题,2.5分]简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。 思想方法|数学知识|目的 5[论述题,2.5分]常量数学应用的局限性是什么？ 问题|运动|数量 6[论述题,2.5分]什么是类比猜想？并举一个例子说明。
属性|判断|对应 7[论述题,2.5分]简述计算机在数学方面的三种新用途。 应用|数学化|发展 8[论述题,2.5分]数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。 掌握|形成|结合 9[论述题,2.5分]简述化归方法的和谐化原则 统一|结构特征|总体思路 10[论述题,2.5分]简述化归方法在数学教学中的应用 新知识|指导解题|知识结构 11[论述题,2.5分]什么是归纳猜想？并举一个例子说明。 归纳|推测性|猜想 12[论述题,2.5分]简述特殊化方法在数学教学中的应用。 特殊值|特殊化|特例检验 13[论述题,2.5分]为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 逻辑规则|应用问题|演绎体系 14[论述题,2.5分]简述培养数学猜想能力的途径。
新知识|数学规律|解题思路 15[论述题,2.5分]我国数学教育存在哪些问题？ 重结果|重模仿|负担过重 16[论述题,2.5分]简述概括与抽象的关系。 不同|密切|联系 17[论述题,2.5分]简述数学抽象的特征。 无物质性|层次性|直觉 18[论述题,2.5分]在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？ 教学目标|过程|工作 19[论述题,2.5分]简述代数解题方法的基本思想。 代数式|方程|未知数 20[论述题,2.5分]为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ 数学模型|应用|方程 21[填空题,2.5分]分类必须遵循的原则是（），无遗漏，标准同一。