第一章数学中使用的一般科学方法（共10学时）
[教学目的和要求] 要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。
[教学内容]
第一节观察与实验（2学时）
1．观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法
2．观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用
第二节比较与分类（2学时）
1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法
2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用
第三节归纳与类比（4学时）
1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法
2. 归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用
习题课（2学时）
通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
[教学重点]
观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
[教学难点]
根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。
[教学建议] 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
［教学过程］
在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。
综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20世纪最伟大的数学家冯··诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》）
菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学
的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点。
§数学中的观察与实验
一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。
观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。
在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。
数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。
实验是根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地变革、控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取经验材料的研究方法。
实验方法在数学活动中有助于数学理论的研究与发展；有助于启发数学解题思路；有助于在数学教学中创设思维情景。
由于实验总是和观察相互联系，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。而实验比观察有更大的优越性，主要表现在以下两个方面：
（1）实验方法具有简化和纯化数学对象的作用。因为实验可借助专门仪器工具，人为地变更、控制和模拟客观对象，因而能把握实验者的需要，突出某些主要因素，排除或减少其他次要的、偶然因素的干扰，使研究对象中为研究者所需要的某些属性或关系在简化、纯化的形态下暴露出来，从而准确地认识它。
（2）实验方法可以重复进行或多次再现被研究的对象，以便进行反复的观察。
数学不是实验性的科学，因此不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题的真假性的充分依据，但它们在数学发现及探求数学问题的解决思路的过程是起着重要作用的，欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的；只有观察才使我们知道这些性质。因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托在
观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质。”随后欧拉又指出了观察的局限性，告诫人们要把“这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识，必须谨慎地与真理区别开来，”“不要轻易地把观察所发现的和仅从归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。”欧拉还指出：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。”
下面我们将通过一些例子来说明观察与实验在数学研究中的重要作用。
【例1】兔子繁殖问题
13世纪初，意大利数学家裴波那契（）在他所着的《算盘书》中，提出了一
个十分有趣的题目：
“有一个人把一对小兔子放在四面都围着的地方，他想知道一年以后总共有多
少对兔子。假定一对小兔子经过一个月以后就长大成为一对大兔子。而一对大兔子经过一个月就不多不少恰好生一对小兔子（一雌一雄），并且这些生下的小兔子都不死。”
这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖
的规律，我们引进记号：
1——表示已长大成熟的一对大兔子；
0——表示未成熟的一对小兔子；
用n F 表示在n 月1日总共有兔子的对数，用 )()(,小大n n F F 分别表示n 月1日大
兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察有：
，，，，，，，138532117654321=======F F F F F F F …
由此表可得：
)(1大+=n n F F （用实箭头表示）
)(1)(小大+=n n F F （用虚箭头表示） 进一步考虑，又可得：
（1）当 1≥n 时，由,n F )()(,小大n
n F F 的定义，有
（2）当3≥n 时，由（1）得 由以上观察和归纳所得的结果，我们知道当 3≥n 时，通过21211--+===n n n F F F F F 和便可计算出n F 的值。
显然，上面的结果纯粹是建立在观察和实验的基础之上的，是否带有普遍意义，
亦即对一切N n n ∈≥,3结论是否成立，还需要进行严格论证。但是，这个结果的确给我们带来了解决一般问题的曙光，我们有理由猜想兔子的繁殖规律可以用一个
明确的递推关系来描述，即
21--+=n n n F F F （N n n ∈≥,3） ①
正如当代最着名的数学教育家波利亚（）所说：“数学家好似自然科学家，在他用一个新观察到的现象来检验一个所猜想的一般规律时，他向自然界提出问题：‘我猜想这规律是真的，它真的成立吗’假如结果被实验明确证实，那就有某些迹象说明这个规律可能是真实的，自然界可以给你是或非的回答。”对于递推关系式①，其正确性是肯定的，这可以用数学归纳法加以证明，后人为纪念兔子繁殖问题的提出人，将数列{}n F 称为裴波那契数列，这个数列的每一项都叫做裴波那契数，裴波那契数列在数学、物理、化学、天文等学科中经常出现，并且有许多有趣的性质。由于裴波那契数列可用于优选法，因而近年来有越来越多的人去研究它。
【例2】 投针问题
1777年，法国科学家蒲丰（ Buffon ）提出并解决了一个概率问题：投针问题。
这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下：
平面上画着一些间隔为a 2的一组平行线，在平面上随机的投掷一枚长为l 2并
且质量均匀的针，假定a l ＞，试求此针与平行线相交的概率。
从几何概率来看，投针问题的解法是：用M 表示针的中点，X 表示M 到与它最
近的一条平行线的距离，?
那么 决定了平面上一个矩形S ；同时为了线相交， ?sin l x = 当且仅当X ，?满足不等式
于是，我们的问题就等价于在S 中随机地掷一点，
求此点落在区域A 中的概率（图）由积分的 几何意义可知，区域A 的面积是
故所求的概率
投针问题的结果，提供了用实验方法求π值的理论依据。设n 是投针的总次数，m
是针与平行线之一相交的次数，由概率的统计定义，ρ近似等于n m
，于是得
在历史上，有不少人利用上述结果做过实验。
1850年，瑞士数学家沃尔夫（Wolfe ）在苏黎世，用一根长36mm 的针，平行
线的距离为45mm ，投掷了5000次，得到π的近似值为。
1855年，英国人史密斯（Smith ）投掷 了3200次，得到π的近似值。
1864年，英国人福克斯(Fawkes)投郑了1100次。得到π的近似值为。
1901年，意大利拉泽里尼(Lazzerini)投郑了3480次，得到的 π值准确到第
六位小数，但有人对些结果持怀疑态度。
am
ln
2 图
蒲丰投针实验提示了数学方法的多样性和灵活性，投针问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果。由于几何概率的研究要以有关图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。在现代，由于大型电子计算机的出现，一种新型的数学实验近似计算方法——蒙特卡罗（Monte-Carlo ）方法迅速地发展起来。这种方法以概率和统计的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。多用于求
例如要计算积分 ?10)(dx x f ）（x f 知道这就是要求计算图中的区域A 的面积。即 由几何概率的定义，这就相当于“向正方形S 地掷一点”，求此点落在区域A 中的概率ρ，又由概率
的统计定义，为求得ρ的近似值，只要求得此点落在区域A 中的频率，即
随机地掷一点于正方形的试验可以由计算机来做，并且可以由计算机来算出n 次试验中落在区域A 的频率——概率的近似值，也就是积分?1
0)(dx x f 的近似值。当试验次数n 充分大时，它与ρ的误差可以很大的概率控制在所需要的精确度内。由于大型计算机的运算速度很快，所以可在很短的时间内求得所要求的结果。 人们在学习数学或解决数学问题的过程中，也免不了观察和实验。而决定观察与实验的质量的主要条件是目的性、计划性、全面性以及主体的良好知识结构。深入的观察和良好的实验可引起广泛的联想和知识迁移，使我们不断地调整步骤，通过简单的情形，去理解和发现研究对象的性质和规律，还可使我们更快地产生顿悟，找到解决问题的关键。
例如，为了得到“三角形内角之和等于180o ”这个定理，我们可通过下面的两个实验：一是用量角器分别测量三个内角的大小，求和；二是在纸上裁下一个三角形（记为ABC ?）如图所示，剪下∠A 与∠B ，把它们和∠C 拼在一起。这时可发现CD 恰好为BC 之延长线。通过实验，不仅帮助我们建立命题，而且实验二还指出了这个命题证明方法的启示。
【例3】 如果正整数N （N ＞1）的正约数的个数是奇数，求证N 是完全平方数。 此题的证明方法并不显然，我们做一个实验，观察n 个特殊的正整数，其中包括一些非完全平方数和一些完全平方数，考虑它们的正约数的个数呈现什么规律，x
两端等距离的两个正约数的乘积为N ，如
12=1×12=2×6=3×4；
对完全平方数来说，它们的正约数序列中，除了首未两端等距离的两个正约数的乘积为N 之外，中间还剩一个正约数，如
36=1×36=2×18=3×12=4×9=62
以上实验，也使我们更加确信：正约数的个数是偶数的正整数必为非完全平方数；正约数的个数是奇数的正整数必为完全平方数。
根据实验中我们所观察到的正整数的正约数的个数规律的启示，得到本例的证法如下：
设i d 是N 的正约数则i d N 必为N 的正约数，因为N d N d i i =?。若N 不是自然数，
则i d ，i d N 必有一个小于N ，另一个大于N 。因此，N 的正约数是成双出现的。即N 的正约数的个数必为偶数，这与已知条件相违。由此推出N 是自然数，即N 为完全平方数。
§数学中的比较与分类
比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。比较的过程是先对有关事物进行分析，区别每个事物各方面的特征，再将有关事物按其特征进行对比，得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有区别性，从而鉴别这些事物间的异同，比较是概括的基础，通过抽象得出的属性是在比较以后才能认识其共性的。通过比较，可以从思想上把握现实世界对象的本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系而存在的实际情况，达到正确认识事物的目的。正如俄国教育家乌申斯基所说：“比较是一切理解和一切思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的”。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用。
在数学研究中通过比较方法确定研究对象的共同点和差异点，为开发新的研究领域提供指导与线索。数学中的许多发现都是应用比较方法完成的。数学中的比较是多方面的，有量的大小的比较，有形式结构关联的比较，也有实质方面的比较。比较的目的是把握有关事物的区别和联系，达到正确认识事物。
例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还存在两种非欧几里得几何，即罗巴切夫斯基几何和黎曼几何，对于欧几里得《原本》第五公设来说，这两种非欧几里得几何分别对应于下列两个公理。
罗巴切夫斯基几何 已知在一平面内有一条直线l 和不在l 上的一点P ，则过点P 至少存在两条平行于l 的直线。
黎曼几何 已知在一平面内有一条直线l 和不在l 上的一点P ，则过点P 不存在任何平行于l 的直线。
数学家们在关于欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何的比较研究，给出了三套迥然相异的命题，为了弄清三者之间的基本差别，普伦诺威茨
（Prenowitz）和若尔当在《几何学的基本概念》一书中列出下面表格加以比较。
通过对下表所述的三种几何学的特征的差别的比较，就可以从思想上把三种几
（1）勾股定理（毕达哥拉斯定理）
欧几里得几何 222b a c += 罗巴切夫斯基几何 );)(()(2k
b k b k a k a k
c k c e e e e e e ---++=+
这里k 是某个确定的常数，e=…
黎曼几何 2222dy dxdy adx ds γβ++=
这里 ???? ??γββα 是正定的。 （2）半径为r 的圆的周长C
欧几里得几何 2C r π=
罗巴切夫斯基几何 ()r r k k
C k e e π-=-
黎曼几何 无法用简单的式子表示。
在数学中，从概念的发展、命题的推演或证明，到数学问题的解决，都渗透着比较方法的运用。
在数学教学中，有经验的教师通过旧知识引进新知识，让学生在新旧知识的比较中，提出疑问，创设问题情境。比较在数学学习中不仅是一种科学的认识方法，而且已发展成为一种独立的数学解题方法。
数学思维的基本形式是：概念、判断和推理，其中判断和推理是以概念为基本要素。判断是在比较两个或两个以上概念的特性之后，对命题作出肯定或否定的思维形式；数学中推理以归纳和演绎为主要推理形式，其中归纳推理以比较同类事物的特性为前提，演绎推理则需在比较一般原理与具体事物的性质的基础上进行。所以在数学教学中对概念（包括相对概念，易混淆概念）或同类事物进行比
较；不仅有利于提高学生的认识能力，而且直接关系到解题能力的形成。
不等式的证明方法，因题而异，但是比较法是一种普适性较大的方法。
【例1】 设c b a ，，为三角形的三边，求证22b a +＞22
c 。
证一：作差法，因为
22b a +-)22(2122222c b a c -+=
由于C ab b a ab b a cos 2c , 222222-+=≥+又代入上式得
∵ 0＜C ＜π， ∴ -1＜CosC ＜1
∴ 1+cosC ＞0, 而a ＞0,b ＞0,这就证明了
222
2c b a -+＞0，即22b a +＞22
c 证二：作商法，因为
∵ c b a 、、为三角形的三边，∴b a +＞c
这就证明了
222
2c b a +＞1, 即 22b a +＞22
c 【例2】 已知P 为ABC ?内的一点，
θ=∠=∠=∠CAP BCP ABP ，
求证：C B A cot cot cot cot ++=θ
分析：由图形的特征上可以联想有面积关系：
比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同，
只需从面积关系入手进行转化即可，于是思路打开。
同理有： θcot 4222y a z S BPC -+=?， θcot 42
22z b x S CPA -+=?
∵ CPA BPC APB ABC S S S S ????++= θcot 4 2
22c b a ++= （1）
又 )cot (cot 2)sin(2sin sin 22C B a C B C B a S ABC +=+=?
同理，
应用等比定理有：
)cot cot (cot 4222C B A c b a S ABC ++++=? （2）
比较（1）、（2）两式，即得结论。
分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。分类的目的在于使知识条理化，并进而系统化，促进认识结构的发展，分类方法虽侧重于理性思维，但是条理化、系统化的信息便于检索和储存，对知识的巩固、理解的深化、后续学习的进行和问题的解决都起着重要的指导作用。
当面临较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分成几个部分，逐一加以研究，再综合之，以达到认识对象全体的目的。这种分类方法在科学研究中是广为运用的。生物学家通过直觉归纳、解剖等手段，运用分类方法，编排出动植物的谱系；化学家在分类的基础上，根据元素的周期现象，预言新元素的存在及其性状。
在数学中则把分类作为一种揭示概念外延的逻辑方法，当我们要弄清某个数学概念是由哪几种子概念构成的时候，就提出了概念分类（或称为概念划分）的任务。如关于数的概念可分类如下：
上表采用了二分法，即把属概念（复数）连续地分为两个互相矛盾的概念，直到适当的情况为止，用二分法分类，条理清楚，对于从整体上认识种概念也属概念之间的关系较为有利。如
都是概念的二分法分类的例子。
概念的分类必须遵守以下规则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象。
1．分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外延相等。 如三角形以角的大小为标准，可分为
?????钝角三角形直角三角形
锐角三角形三角形 （※） 因为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外延的总和，恰好与三角形的外延相等。而
就不是正确的分类，这里，第一，二，三，四象限的角的外延的总和狭于被分类的概念的外延，遗漏了“轴线角”这一子项。
2．分类所得的各子项，应当是互相排斥的。
就是说，某一概念被分类后，其各子项每两项都应当是并列关系，而不是交叉关系或从属关系。如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了规则1，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病。
3．分类应按同一标准进行。
在分类前，应当从被分类的概念的属性中，取出一个属性作为依据。如三角形以“角的大小”为标准，得到的分类是（※）；如以“边的相等关系”为标准，得到的分类则是
这里的不等边三角形是指任何两条边都不等的三角形；二等边三角形是指有且仅有两条边相等的三角形。如果二等边三角形是指通常的等腰三角形，那么这一分类就违反了规则2。
分类方法在数学中有广泛的运用，这是因为一切事物都必须分门别类加以研究，才能条理清楚、泾渭分明，区别事物间的千差万别，明确事物间的联系，作为反映现实世界各种现象普遍联系和制约关系的数学，是以概念为支柱的，没有分类，数学概念就不复存在，也就无法建立和发展。分类往往可使复杂的问题化简单，使隐晦的条件变为明显，从而有助于我们分别思考，各个击破，大到一个数学分支学科，小到某个具体问题，几乎一切数学问题都与分类有关。学会在不同的场合把复杂的对象按我们的需要进行分类，是数学研究中一种很重要的基本功。
【例3】 试讨论三平面的一切可能的位置关系。
分析：空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。怎样分类才能做到既无重复又无遗漏呢这应抓住分类各个阶段的分类标准。首先抓三个平面有无重合，在有二个重合的条件下再按与第三个平面是相交还是平行进行分类；对三个平面都不重合的情况下再按有几个平面平行来分类；对三个平面都不平行的情况再按三条交线是否重合，平行、相交来分类。这样逐级进行分类，才可避免重复与遗漏。
三个平面的一切可能的位置关系为：
1． 三个平面重合；
2． 二个平面重合?????与第三个平面平行与第三个平面相交21
3． 三个平面平行
4． 两个平面平行
5． 三个平面两两相交????????三交线相交三交线平行
三交线重合321
【例4】 有标有0、1、2、3、4、5、6、7、8的卡片9张，从中选3张，用其数字组成无重复的数字的三位数。如果卡片6也可以当9用，试问：这样组成的三位数有多少个
解：由于卡片6的特殊性，按数字6进行分类，分为三类：
（1）不含6，这样的三位数由0、1、2、3、4、5、7、8、9中选三个数字组
成，共有4482818=P P 个。
（2）含6不含零，这样的三位数由1、2、3、4、5、7、8中选两个数字与6
组成，因而，共有1263327=P C 个。
（3）含6又含零，这样的三位数由1、2、3、4、5、7、8中选一个数字与6
和0组成，因而，共有
28)(223317=-P P C 个。 综合（1）、（2）、（3）可知，这样的三位数总共有
【例5】 试证不小于5的质数的平方与1的差必为24的倍数。
分析：如何表示不小于5的质数，是解决本题的关键，而质数又无简单的通项公式。因而进一步去考虑将不小于5的质数扩大为不小于5的自然数，并分为如
下六类：6n ，6n+1，6n+2，6n+3，6n-2，6n-1。因为不小于5的质数不可能为偶数或3的倍数，所以不小于5的质数只可能落在16±n 之中，若我们能证明：1)16(242
-±n ，则命题也自然得证。 事实上，
又)1(±n n 必为偶数，所以，1)16(242
-±n 。
运用分类法解决数学问题的关键，就在于分类对象或范围要选得准，并找到适当的分类标准。为此就必须运用辩证的逻辑思维，具体事物具体分析，在表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，在表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点，发现事物的本质特征。这样才能揭示数学对象之间的内有联系，暴露所涉及范围的制约关系。
【例6】 已知在20个城市之间共辟有172条航线，证明：利用这些航线，可以从其中任何一个城市飞抵其余任何一个城市（包括中转后抵达）。
证：假设其中存在某个城市A ，由它仅能飞抵n 个城市，我们将所有的城市分为两类：一是将A 及由A 可以飞抵的n 个城市归入X 类；二是将A 不能飞抵的19n -个城市归入Y 类。于是在分属X 类与Y 类的任意两个城市之间都没有航线连能（否则由A 即可以经过中转而飞抵属于Y 类城市）。这样一来，航线的总数目就应超过 注意到018n ≤≤，对于这样的整数n ，显然()()19119n n -+≤-。于是就有
()()190191171n n +-+≤条。 这与已知的共有172条航线的事实相矛盾，可见不存在所述城市A ，即是说，由这20个城市中的任一城市都可飞抵其余任何一个城市。
§提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
猜想是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动性，对未知量及其关系所作出的一种猜测性的推断。恩格斯说过：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。”数学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展的一种重要形式。
无论是数学家或是正在学习数学的学生，在研究数学、学习数学时，令人最感到困惑也是最引人入胜的环节之一，就是如何发现定理以及怎样才能证明定理。牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”波利亚也说过：“对于正积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像猜想游戏：在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想出证明的主导思想。”由于猜想都是对事物的现象和规律的推测，尚未达到确切可靠的认识，因而有待于进一步通过科学实验来检验或证实，作为数学猜想，则应通过严格的论证以确认。从词义上来看，猜想与假说、合情推理视为同义。
由于猜想都是对事物的现象和规律的推测，尚未达到确切可靠的认识，因而有待于进一步通过科学实验来检验或证实，作为数学猜想，则应通过严格的论证以确认。
在数学发展的历史上，曾经有过许多着名的猜想，如哥德巴赫猜想、费马猜想
（费马大定理）、欧拉猜想（36名军官问题）、黎曼猜想、比勃巴赫猜想、希尔伯特猜想（希尔伯特23个问题）和四色猜想等等，这些猜想，有的经过长期努力得到了证明，如哥德巴赫猜想、四色猜想和希尔伯特23个问题中的第一、第三、第
五、第九、第十七、第二十一问题等；有的则给出了否定的解决，如欧拉猜想、希尔伯特23个问题中的第十、第十四问题等；还有更多的猜想人们正在继续努力，或有所进展或突破，或接近于解决，或尚未取得重大的成果。众多的数学家在研究和探索猜想的过程中，不仅极大地丰富了数学本身的内容，而且推动着数学向前发展。
“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”高斯也说过：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。”
归纳法是从个别事实中概括出一般原理的科学方法，归纳法有全归纳法和不完全归纳法之分。
我们这里所论述的主要是不完全归纳法，它是指由个别性前提推出一般性结论的推理。归纳法是由一定数量的单称陈述出发，通过思维的“顿悟”过渡到全称陈述，这就是猜想，由归纳法提出的猜想，虽然不具备演绎推理的那种必然性，但它是一种经过若干事例验证了的猜想，经过验证的事例越多，猜想的置信度就越高。在数学发展史上，通过归纳法提出的猜想不计其数。着名的哥德巴赫猜想就是一例。
1742年，德国的一位中学数学教师哥德巴赫（）根据奇数77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等个别例子看出，每次相加的三个数都是素数，于是他提出猜想，所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和，他将此猜想告诉欧拉，欧拉肯定了他的想法，并补充提出：所有大于4的偶数都可分解为两个素数之和，这二者后来即称为哥德巴赫猜想。这个猜想提出至今已有近260年的历史，在这漫长的岁月里，也有人对此提出过怀疑，于是不断有人进行过大量的验算，至今已验算到5×108以内的偶数都是对的。虽然到目前，哥德巴赫猜想尚未被证明为正确，也没有人予以否定，但是围绕这个猜想所作的研究，却积累了相当多的资料与成果，特别近半个世纪以来，进展迅速，成绩显着，达到了非常精深的境界，在这些成绩中，包括陈景润，王元等在内的我国数论学派占世界领先地位。
通过归纳方法提出猜想，尔后又被证明是正确的，这样的例子当然很多，如关于凸多面体的欧拉定理
其中F ，V ，E 分别表示凸多面体的面、顶点和棱，就是着名的一个。又如数论中的“四方定理”，即方程
对任何自然数n 都有x ，y ，z ，ω“巴切特猜想。”后来，巴切特自己得到了证明，“猜想”才成为“定理”。不过由于归纳方法得到的结论并非必然，所以由归纳方法产生的猜想以后被否定的情况亦不鲜见。如法国数学家费马曾经认为：
对于任何非负整数n ，形状如122+n
的数都是素数。这样的数叫做“费马数”
而用符号n F 来表示，则 ……
费马根据对前五个数43210,,,,F F F F F 的观察，通过归纳，就认为他的结论是正确的，但欧拉在 1732年发现
670041764142949672975?==F ，
这就是说，费马的这一猜想是错误的，要注意，在费马数n F 中间，当n ＞4时，目前人们还没有找到一个素数，而其中有些n F 却已经被证明是合数，如1212838860822323
+=+=F 23F 的全部素因数，23F 是一个2525223位数字，如果用本书中的字体印出来，就要有5km 的长度。在费马数中，是否有无穷多个素数或者是否有无穷多个合数都是没有解决的问题。
当然，通过归纳得到的猜想的过程也并不是一蹴而就的，因为手头上的经验材料大多是支离破碎的，不经过一番仔细的分析、研究，将很难发现蕴涵在其中的关系，而这些关系正是归纳赖以进行的依据。下面我们来看一例。
【例1】 证明数列12，1122，111222，……，每项都是相邻的两整数之积。 分析：下面我们对数列的前几项进行考察（对含“1”的个数）
当n=1时，12=3×4，命题成立。
当n=2时，要把1122分解就不容易了，这时我们设定命题成立，即设1122=n(n+1)，则
2n ＜1122=)1(+n n ＜2)1(+n
即 n ＜1122＜1+n
这个信息很重要，它表明n 和n+1可以用开方运算迅速地猜到：
经验证果然成立，同法可以分解出：
当n=3时， 111222=333×334
×3334；
……
继而归纳得出：
这纯粹是猜测，不能算作证明，但猜测到了积的结构，寻找证明就容易多了。 首先想办法变出第一个因子33…3，有利的条件是已经出现了11…1，相差不
远！
) 1 3 33 ( 3 33 2 22 1 11 1 n n n n 34 33 1122 33, n . 33 1122
于是 猜想
从例1看出，某些数学问题，其结论未直接给出，这就需要我们去探求，恰当地通过归纳，根据一定数量的事实建立猜想，就能较快地找到结论。
当面临一个生疏的或者是非常规的数学问题时，我们适当运用归纳法，建立猜想，也常是探索解决问题的方法的一个好途径。
【例2】 试把1991表成若干正整数之和，使这些数的积最大。
分析：把1991表成若干正整数的和的情形很多，直接一一列举是很困难的。也是不可能的，那我们还是回到最简单的情形进行考查，探求分解的规律，再推广到一般情形。
数2：只能表为1+1，但11 ＜2，这说明不如不变，看来从原数中分出1是不合算的，这种分解情况不再予以考虑；
数3：不如不变；
数4：表为2+2，因2×2=4，故变与不变无区别；
数5：表为2+3，因2×3=6，故积的最大值为6；
数6：表为3+3，则3×3=9；
表为2+4，则2×4=8；
表为2+2+2，则2×2×2=8；
后两种情况可归结为一种情况，因为4=2+2，故变与不变无区别，所以积的最大值为9，可见，表成3个2的和不如表为2个3的和；
数7：表为2+5，5应继续表为2+3，可见积最大为3×2×2=12；
数8：表为2+6，3+5，应把6，5继续表为若干个2的和。此外8表为4+4也可继续表为若干个2的和。可见积最大为3×3×2=18；
数9：表为2+7，3+6，4+5，同样7、6、5也应继续表为若干个2和3的和，这时也发现积最大为3×3×3=27。
经过上述枚举，可以猜想到：欲得所求，应该把数表为若干个2或3的和。 现在我们来证明这个猜想，首先把1991表成若干个正整数的和，欲使其积最
大，这些加数均不超过4，否则不妨假设存在某一加数为x ,，那么，x 可表4 x ) 1 3 33 ( 3 33 1) 3 9 99 ( 3 33 1) ( ) 1 3 1 10 ( 3 33 3
2 10
3 33 3) 33 ( 3 2 10 3 1 11 ) 2 10 ( 1 11 1 11 2 10
1 11
2 22 0 100 11 2 22 1 11 n n n
个 个 个
个 为了出现 为了出现 n n n n n n
为2+（x -2），但
2(x -2)=2x -4=x +(x -4)＞x
这就使得其积增大。
其次，我们可把4表成两个2的积，且应把3个2的和表为2个3的和，即加数中2的个数不宜超过2个。
因此，应把1991表为663个3与1个2的积，因此所求积的最大值为663
23?。 上述的结论可推广到任意大于1的自然数N ，即当N)(k 3∈=k N 时，N 可表示为k 个3的和，其所有加数的积最大，此积为3k ；当N =3k+1时，N 可表为k-1
个3与2个2的和，其所有加数的积最大，此积为1232-?k ；当N =3k+2时，N 可表为k 个3与1个2的积，其所有加数的积最大，所求的积的最大值为k
32?。
在数学教学中，我们也可以像数学研究一样，引导学生运用归纳等方法，通过猜想去发现新的命题，当然这个命题是有待于证明。
【例3】 试由下面一组等式出发，推测并证明一个定理：
32+42=52；
102+112+122=132+142；
212+222+232+242=252+262+272；
362+372+382+392+402=412+422+432+442；
………………………… 分析：通过观察所给等式结构上的特点，欲要找出奇数个连续自然数平方和的性质，其关键就在于找到各等式左端的首项构成的数列的性质。我们不难发现：这些等式左端的首项构成一个二阶等差数列：即
其中,.....2,1......,36211034321=====n a a a a ，
，，， 且容易求得：
n n a n +=22 根据所给的一组等式（不妨再可验证n=5时的等式），猜想：
命题：若，则有
证明：往证，等价命题：
类比是指在两类不同的对象之间，由它们的某些相似的属性推出另外的属性也相似的推理，类比方法是由此及彼的过程，是由个别到个别的逻辑推理。由类比方法提出猜想，虽然也不具备演绎推理的那种必然性，但是它是以两类对象之间的相似的属性愈多，其所推出的另外的属性也相似的结论的置信度就愈高。
在数学发展史上，通过类比方法提出的猜想也不少。例如，§的“自然数平方的倒数和”问题，就是欧拉运用类比方法获得猜想及精彩的结论的一个范例，又如“自然数的方幂和”问题，即
对于任意自然数m ，
是否都存在一个求和的方法
自古希腊以来，欧洲人一直对这个问题怀有兴趣，但到了17世纪，他们所知道的也仅限于m=1，2，3这三种情形，阿拉伯人知道得稍多一些，他们得到了
m m m n
2 1 ) 1,2, (n 2 2 n n a n
那么，进一步如何求自然数的五次方幂和、六次方幂和更一般地，自然数的m 次方幂和又怎样来求呢1638年，费马注意到公式：
他作了一个类比，得到
在证明了上式的正确性之后，费马进一步通过类比方法获得
①
此式可以通过数学归纳法加以证明。由此式费马得到了求自然数的方幂和的公式，如取p=3，则①式可化为
24)3)(2(1(+++=n n n n ） ② 将 2)1(1+=∑=n n k n k 及 )12)(1(6112++=∑=n n n k n k 代入②式就可求得
依此类推，利用求∑=n k k 1，∑=n k k 12及∑=n k k 13的公式，根据①式可得出求∑=n k k 14
的公
式。这样，费马就获得了根据前(n-1)个自然数方幂和公式导出第n 个自然数方幂和公式的递推方法，解决了求“自然数方幂和”的问题。
再如，我们知道，一个三角形任意两边之和必大于第三边，后来，人们在反复验算的基础上，受到上述三角形不等式的启迪，通过类比提出猜想：对于自然数x ＞1，y ＞1 ，总有
其中)(x π，)(y π，)(y x +π分别表示不超过,,x y x y +的素数的个数，这个猜想是否正确，至今尚未得出结论。
类比法是提出新问题和作出新发现的一种重要方法，是扩大知识范围，获得新知识的重要手段。天文学家开普勒(Kepler)曾经说过：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”。波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人”……“每当理智缺乏可靠的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”
类比法在求解问题中也有广泛的应用。波利亚指出：“选出一个类似的，较易的问题，去解决它，改造它的解法，以使它可以用作一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决。”“这种方法在外人看来似乎是迂回绕圈子，但在数学上或数学以外的科学研究中是常用的。”
【例4】 空间中没有任何二个平行，没有任何三个共线，没有任何四个共点的n 个平面可把空间分成多少区域 2 3 3 3 1 3 2 ) 1 ( 2 1 n n n k n k 1 2 3 ) 1 ( ) 1 ( p) 1)(n - p (n 1) n(n 1 2 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 p p p p p p k k k n k ) 1 3 3 )( 1 2 )( 1 ( 30 1 3 2 1
2 4 4 4 4 n n n n n n
分析：这个问题使我们容易联想到类似的一个平面问题：“平面中没有任何二条平行，没有任何三条共点的n 条直线可把平面分为多少个区域”
对于这个“平面问题”运用归纳法，考查n=1,2,3,4,…的个别情形可得：
()()()12;212224f f f ==+=+=;
()()()()323437;4347411f f f f =+=+==+=+=L ;
可以推测：当n k =时，()()1f k f k k =-+ （※）
这里()f n 表示n 条处于一般位置的直线将平面分成的区域数。
由递推关系（※）我们可以得到
将“立体问题”转化为“平面问题”，并在“立体问题”与“平面问题”的类比中得到启发，可利用“平面问题”的结论来解决“立体问题”。
设平面1+k α与平面k αααΛ,,21的交线依次为k l l l Λ,,21。由题设可知，这k 条直线无任何两条平行，无任何三条共点，于是由上述“平面问题”知1+k α被k 条直线
k l l l Λ,,21分成)1(211)(++=k k k f 个区域。
又设k 个平面k αααΛ,,21将空间分为()F k 个区域，若增加一个平面1+k α，则1+k α被k 条交线k l l l Λ,,21分成()f k 个区域，这时空间被分成的区域就增加了()f k 个即：
于是：
上面诸式相加，得：
【例5】 设r s t x y z 、、、、、都是正实数，且满足条件：
求x y z ++的最小值。
分析：这个问题条件很复杂，直接从给出条件求出x y z ++的表达式是很困难的，因此我们想到用类比法，从条件（1）的结构形式容易联想到三角形内角正切的恒等式
这个恒等式可作为条件（1）的类比对象，于是我们可令tan ,tan ,tan r A s B t C ===因r s t 、、、都是正实数，故A 、B 、C 都是锐角，而且A+B+C=180o 。由此我们又有 且 2A+2B+2C=360o
于是条件（2）、（3）、（4）又可化为
从（5）、（6）、（7）的结构形式可以联想到平面几何中一个相似的问题：在边长为1的正三角形中，求到三个顶点距离之和为最小的点及这个最小值。这个问题的结论是：到边长为1的正三角形三个顶点距离的和为最小的点是它的重心，其最小值为3。
用这个问题与原问题类比，可令x y z 、、分别表示边长为1的三角形内一点到三个顶点的距离，运用类比推理就得到，x y z ++的最小值可能是3。
虽然这个结论仍是猜想，但我们是通过结构形式上的相似寻找类比对象的，而且正实数与两点间的距离这两个类比对象之间存在一一对应关系。这种对应在数学上称为同构对应，具有同构对应的两个类比对象，它们的基本性质尤其是运算性质也是对应的，所以这种推理的结论是正确的。
运用这种通过结构的相似找出类比对象的方法，就要善于把待解决的数学问题的条件或结论进行适当的变形，使它与某些已知的公式或定理的结构相似，进行类比，从而使问题获得解决。
例6、 若把n 个无区别的小球放入k 个不同的盒子中（k n ≤），问有多少种不同的放法
分析 这个问题较复杂，我们先考虑比较简单的情形，即不允许出现空盒的情形。
设想已把n 个小球一字排开，并用1k -块隔板把它们隔成k 段，然后再把各段分别对应各个盒子，显然隔板数目即为我们所求放法的数目，由于此时不能出现空盒，所以隔板只能放在n 个小球之间的1n -个间隔位置上，而且每个间隔位置至多只能放置一块隔板，这也就相当于从1n -个间隔位置上选出1k -个来放置隔板。
由此可知，共有11--k n C 种不同的隔法，因此也就有11--k n C 种合乎要求的放球入盒的方法。
再考虑一般情形，即允许出现空盒，如果我们把小球数目再增加k 个，总共n k +个，这样可按不允许出现空盒的情形来考虑，（即将增加的k 个球每个盒子放一个）
这样就有11--+k k n C 种不同的放法，然后再从已放好小球的k 个盒子中分别取出一个小
球，这样就可能出现空盒子，这样合乎要求的放法就有种11--+k k n C 。
这个题可类比到许多不同形式的问题上去，例如：
（1） 试问不定方程 n x x x k =+++Λ21共有多少组不同的正整数解非负整数解又有多少组
对于这个问题的前一问，我们可以设想与例题中不允许出现空盒的情形类比，
由此可知有11--k n C 组不同的正整数解。
对于后一问，可以与例题中允许出现空盒的情形类比，由此可知，共有11--+k k n C 组
不同的非负整数解。
（2） 在围棋擂台赛中，甲、乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场比赛，双方由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，则另一方获得胜利，形成一种比赛过程。试求所有可能出现的比赛过程的种数。
这个题也可与例题6类比，但这里是解法的类比，我们可以把负方的队员比作小球，因它们的顺序已排好，所以也可看成无区别的小球，胜方队员比作隔板。每一比赛过程按如下方式排列：负者排在前，胜者排在后，这样每一比赛过程就是一种队列，假定胜方出场k (17k ≤≤)名队员即可把负方7名队员全部淘汰，显然负方7号队员排在胜方k 号队员的前面，位置是固定的，所以，可能出现不同的队列是负方6个队员和胜方1k -个队员形成的队列，这种排队就可以看成，负方6个队员按原定顺序排好，胜方1k -个队员也按原来顺序插入形成5k +个队员的队列。这种排列与顺序无关，所以胜方1k -个队员插入形成可能出现不同的队列的
种数，就相当于从5k +个元素中取k-1个元素的组合数，即
15-+=k k k C s 。 由于胜方可能是甲队，也可能是乙队，所以，所有可能不同的比赛过程的种数是
网络出版时间：2012-11-12 13:10 网络出版地址：https://www.doczj.com/doc/3b3325410.html,/kcms/detail/43.1447.C.20121112.1310.001.html 自然的数学化与近代自然科学的建构 陈俊 （湖北省道德与文明研究中心、湖北大学哲学学院湖北武汉430072） 摘要：近代自然科学的建构无疑是人类思想史上一次深刻的观念革命。这一革命的最初动机就是近代科学革命的先驱们对“简单、和谐的宇宙”这一古希腊理想的不懈追求。哥白尼率先在天文学领域拉开了革命的序幕，他的后 继者们在对自然数学化的追求中以哥白尼本人并未意识到的方式建立起了宇宙空间的背景化和物质自然的对象化这 两个对建构近代自然科学极为重要的形而上学基础。 关键词：宇宙空间；物质自然；数学化；背景化；对象化 作者简介：陈俊（1976－）男，湖北孝感人，湖北省道德与文明研究中心研究员、湖北大学哲学学院副教授、中国社科院哲学所博士后，主要从事科学技术哲学与科技伦理学研究。 在沉寂了近千年之后，人类，至少是欧洲人的心灵在十六、十七世纪经历了一场深层的思想革命。 这场革命改变了人类的思维框架和模式。任何革命都是有其思想基础的。而这场革命最初的思想基础 就是对自然数学化这一古希腊理想的复兴。近代自然数学化过程的直接后果就是在欧洲人的思维框架 中建立起近代自然科学的两个重要的形而上学基础即：宇宙空间的背景化和物质自然的对象化。本文 试对这一思想历程进行初步的探讨。 一、自然数学化的古希腊背景 近代科学的思想渊源可以追溯到古希腊，古希腊是科学精神的发源地。正如有的学者所说：“整个世界的科学发展就是毕达哥拉斯数学主义的诠释史和德谟克利特的原子主义的论证史。”近代自然 科学的数学化就是直接复兴古希腊数学主义思想的结果。 公元前6世纪，古希腊自然哲学开始出现。这种哲学的出现并不是对远古时代的神话的一种简单取代。而本质上是一种新的哲学思维模式的出现。[1]这种新的思维模式的主旨在于它对宇宙的解释不 再诉诸于神灵，而是诉诸于自然主义的解释。最先对宇宙的起源诉诸自然主义解释的是米利都学派的 自然哲学家们。米利都学派的第一个哲学家泰勒斯首先提出“万物源于水”的思想。而他的弟子阿那 克西曼德则相信万物的基即是“无定形”。阿那克西米尼则认为基本的质料是“气”，它可以被“稀释” 和“浓缩”，从而产生我们所知世界中各种各样的物质。阿那克西米尼的思想实际上开始导向毕达哥 拉斯学派。因为他不仅研究了“万物起源于何物”这样的问题，而且还研究了“是什么使得万物彼此 呈现出差别”，即所谓“变化问题”。“变化问题”首先由赫拉克利特提出。他认为“万物皆变”。但赫 拉克利特所肯定的东西遭到巴门尼德的坚决反对。巴门尼德坚持认为所有变化在逻辑上是不可能的。 巴门尼德对变化可能性的否定对西方哲学思想史有着巨大的影响。他实际上提出了“变化无常的万物 背后不变的原因”这个根本的哲学问题。在某种程度上讲，这是西方科学理性的第一次显现。 毕达哥拉斯学派的自然哲学家们对这个根本的哲学问题给出了肯定的回答。即“是数学结构的不同导致了它们表现上的不同”，因而“数才是万物不变的本源”。他们认为世界上显然存在两类不同的 东西，一类是可感知的千变万化的表象世界，另一类则是不可感知的无形的、没有运动变化的世界，
高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=-
2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 数学思想方法 河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征 常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下： 类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想 【例1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径 的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π) 分析：本题考察了扇形面积和n 边形内角和公式，解题关键是：是求第n 个图形中(n ＋2)个半径为1的扇形的面积之和 解析：[]ππ2n 1802-2)(n 3601S 2 =?+?=，答案；π2 n 类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决； 【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD 中，A B ＝2，BC ＝1,动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 ( ) 分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分． 解析：当点P 在BC 上时，即0＜x ≤1时 x x 2PB AB S 2121PAB =??=?=? 当点P 在CD 上时，即1＜x ≤3时 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/3b3325410.html, 谈数学与自然辩证法 作者：金飞 来源：《中小企业管理与科技·中旬刊》2016年第10期 摘要：自然辩证法为数学提供世界观和方法论，数学的研究和学习有利于自然辩证法的发展。自然辩证法的基本内容为“两观一论”，本文分别介绍了数学与它们之间的关系，更加突出了数学与自然辩证法的密切联系，进一步帮助人们明确数学中的自然观，增强哲学素养，把握科技发展规律，拓展科技创新视野，熟悉科学方法特点。 关键词：数学；自然观；科技观；科学技术方法论 中图分类号： G4 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）29-109-2 0 引言 自然辩证法是研究自然界和科学技术发展一般规律以及人类认识自然和改造自然一般方法的学科。数学作为一门自然科学，其研究和学习过程中处处都蕴含着自然辩证法的思想。本 文分别讨论了数学与辩证唯物主义自然观、数学与辩证唯物主义科技观以及数学与科学技术方法论之间的关系，进而帮助人们更好的理解数学与自然辩证法之间的密切联系，使人们进一步明确数学中的自然观，增强哲学素养，把握科技发展规律，拓展科技创新视野，熟悉科学方法特点。 1 数学与“两观一论” 1.1 数学与辩证唯物主义自然观 首先，数学理论的产生和发展符合辩证唯物主义自然观的特点。数学是一个系统辩证的自然科学。不同的数学知识之间是相互联系的，它们共同构成了一个系统的数学学科。数学作为方法运用于自然科学，不断加深人们对自然界各个细节的了解，特别是对力学规律的把握，进而形成对自然界的总体认识。另外数学在科学发展过程中也具有指导科研的作用。数学以自然科学为中介，对辩证唯物主义自然观的丰富和发展表现在多方面。数学的各种理论常常为 物理学等学科的理论突破提供绝佳的语言工具，例如微积分是牛顿力学的基础；偏微分方程对麦克斯韦的电磁学理论的指导；随机数学是量子力学的基础。总之，数学中充满了辩证法的内容。 其次，数学理论的产生和发展丰富和发展了辩证唯物主义自然观，进一步推动了科学的发展，对人与自然的认识有了新的观点。16-18世纪的科学技术革命和机械唯物主义的自然观，数学是近代自然科学发展最充分的科学之一。笛卡尔开辟了“解析几何”的全新领域。我们所熟悉的x，y来自笛卡尔，正是这种代数对几何的应用铺平了微积分发展的道路。解析几何成了物理学与自然科学研究方法中的常用利器。由此可见数学与自然辩证法是紧密联系、相互促进 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 数学在计算机中的应用 摘要：结合自身的学习经历和所接触的数学与计算机知识，来谈一下自己对计算机应用的理解和认识，在文章中针对不同的课程可能会谈到一些具体的应用，但重点想突出数学方法与思维对计算机应用的影响。 关键字：离散数学C语言数字逻辑算法设计与分析 上了是十几年学，数学可以说是我的老朋友了。从幼儿园的识数开始，到如今的高等数学，数学学习始终贯穿这我的学习历程，中我们也不难发现数学在教育中的地位。数学作为一门基础课程，它的身影可以说是无处不在的。作为一名计算机系的学生，本来以为可以摆脱数学的”噩梦”的，但是接下来的学习让我再一次失望了。原来学计算机，除了学习高数，线性代数，数理统计外，还要学习一科专门为计算机开设的《离散数学》。 记得在一节课上，一位老师说过：“一位从本科就是计算机专业的博士说：‘研究计算机就是研究数学’。”虽然我现在无法体会到这句话，也不论这就话是否完全正确，但它总能说明了一点：数学在计算机中必然会发挥巨大的作用。 作为一个大三的本科生也许我的知识不够全面，理解也不是那么透彻，我在此只想根据自己的学习经历来谈一下个人的见解—数学在计算机中的应用。 也许我们小的时候，只知道学习数学有趣。等我们慢慢长大，随着学习的深入，我们总是喜欢问这样一个问题：学数学有什么用呢？我们总是告诉自己，学会加减乘除就足以应付生活了，再学深入那些抽象的知识一点用处也没了。其实数学作为一门基础课程也许在现实中确实没有什么用处，但数学作为一种工具，它很好地锻炼了我们的思维，让我们的思维变得活起来。而在计算机中，大家也都有一个共识：学不好数学的人也很难学好计算机。虽然这个也有点片面，但我们不否认这其中总有一定道理的。计算机的知识也是相当抽象化的模型，需要我们具有良好的逻辑思维户外清晰地脉络，而数学好的人这种思维往往是比较突出的。因此，我们经常发现，现实中有非常多的搞计算机搞得比较好的，他们的前身是学数学专业的。从基础方面，数学思维为计算机的学习打下一个良好的基础，站在今天，我不再去抱怨以前的数学学习是多么的艰难，而是有一种风雨之后见彩虹的喜悦，我不能否认，数学确实对我在计算机中的学习产生了潜移默化的影响，而这种影响确实是那么的有益。 记得刚开始学习编程的时候，接触的《C语言程序设计》，程序里的许多样题都是一些小的数学案例。用计算机程序计算和1+2+…+100=，求1！+2！+…+10!=….等，我想大家都不会陌生。是的正是这些小的数学例题，把我们的计算机学习一步步的引向远方。这些样题虽然不难，但它却包含了许多的思想。编程确实是用一种计算机的语言来表达数学的思想。我们必须像往常一样有一个明确的条理性，找出其中的规律，然后一步步求解。不过不同的是，现在不再需要我们在纸上用笔一步步的演算，而是把我们的思维赋予计算机来演算。 接下来的学习，作为一名计算机的学生，总要接触一门《离散数学基础》。刚开始我们会产生一个疑问，我们学计算机的干嘛要学习那么多数学。但随着老师的介绍，我们只能默默接受计算机学子的命运，别抱怨了，埋头学吧！介绍说：离散数学是研究离散量的结构和相互关系的学科，它在计算复杂性理论，软件工程，算法和数据结构，数字逻辑电路等各领域都有广泛应用，同时也能适当培养学生的抽象思维和慎密逻辑推理能力。也许那时候还感觉软件工程，数据结构还很陌生，感觉到学习数学依旧痛苦，没有感到那些抽象的理论到底有什么用啊，不会是在吓唬我们吧？但接下来在以后的学习中，它的确得到了广泛应用。 初中数学科学计数法试卷 一．选择题（共12小题） 1．在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（）A. 2.7×105 B. 2.7×106 C. 2.7×107 D．2.7×108 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（） A．5×109千克B．50×109千克C．5×1010千克D．0.5×1011千克 3．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（） A．11×104 B．0.11×107 C．1.1×106 D．1.1×105 4．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（） A．0.51×109 B．5.1×109 C．5.1×108 D．0.51×107 5．2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法表示为（） A．7.49×107 B．7.49×106 C．74.9×105 D．0.749×107 6．月球的半径约为1738000m，1738000这个数用科学记数法可表示为（） A．1.738×106 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×105 7．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（）A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109 8．用科学记数法表示316000000为（）A．3.16×107 B．3.16×108 C．31.6×107 D．31.6×106 9．今年5月份在贵阳召开了国际大数据产业博览会，据统计，到5月28日为止，来观展的人数已突破64000人次，64000这个数用科学记数法可表示为6.4×10n，则n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6 10．据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7 11．2014年我国的GDP总量为629180亿元，将629180亿用科学记数法表示为（） A．6.2918×105元B．6.2918×1014元C．6.2918×1013元D．6.2918×1012元 12．下列各数表示正确的是（）A．57000000=57×106 B．0.0158（用四舍五入法精确到0.001）=0.015 C．1.804（用四舍五入法精确到十分位）=1.8 D．0.0000257=2.57×10-4 数学：自然科学之基础 最近，传奇华裔数学家张益唐在清华大学演讲，分享了他的数学人生。他关于“孪生素数猜想”的证明震惊了世界。而此前，他默默无名，曾一度“流浪”美国各州，不时借住朋友家中，靠打零工为生。这一切，再次激起了人们对数学的浓厚兴趣。 数学是一门最古老的科学，有着悠久的历史。早在公元前3000年左右，古巴比伦、古埃及、中国就相继出现了算术、代数和几何，被应用于天文、税收及建筑等领域。想想看，在牛顿时代就可以算出每秒钟8公里的第一宇宙速度，为星际航行的开端迈出了第一步。爱因斯坦质能方程成就了核子物理，也为人类指出寻找新能源的方向。这些伟大发现的背后都离不开数学原理。 现代生活中数学更是无处不在，从指纹识别到CT技术，从数据处理到信息安全，从大气科学到火箭飞行器的设计，从地质勘探到施工建筑，形形色色的技术革命的背后，数学都扮演着不可缺少的角色。那么数学到底是怎样一个学科，包含了哪些专业，未来就业出路如何呢？ 目录 一、专业解析 二、专业与就业 三、报考指南 一、专业解析 数学是打开科学大门的钥匙——培根 什么是数学 什么是数学？很多科学家从不同的角度给过不同的定义。米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就。”爱因斯坦说：“纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。”伽利略说：“自然界这部伟大的书是用数学语言写成的。” 数学是自然科学之基础。从概念上讲，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。 数学有广阔的应用空间。著名数学家华罗庚说：“凡是出现‘量’的科学部门中就少不了要用数学。研究量的关系、量的变化、量的变化的关系，量的关系的变化等等现象都是少不了数学的，所以数学之为用贯穿到一切科学部门深处，而且成为它们的得力的助手和工具。” 数学也有纯粹理论的一面。现代数学已经发展出了众多的分支，而且不断深入。在纯数学很多领域，数学家的工作不为大众所了解，很可能也看不到什么应用前景，但是，数学的美激励着一代代数学家不断去探索未知。 大学里数学学什么？ 数学类专业属于理学，按照教育部《普通高等学校本科专业目录》（2012年）的划分，数学类专业主要包括数学与应用数学、信息与计算科学、数理基础科学（特设）等。 数学与应用数学包括基础数学和应用数学两方面。基础数学研究的是数学本学科的基本理论与发展规律，如著名的哥德巴赫猜想等问题就是基础数学的研究对象；应用数学就是由大量的实际问题引发的数学理论，解决现实生活或其他学科与科学技术中碰到的问题；信息与计算科学包括计算数学与信息处理中的数学两个方面，主要培养学生运用数学的思维和方法解决信息技术领域中的实际问题。另外，统计学是应用数学的一个分支，很多高校的数学学院除了有数学系、信息科学系外，还设有统计、精算、金融数学等科系。 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 数学在生活作用 数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深——高斯，数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯。 现在的社会很注重文理双全，除了语文好数学也要好。对于我们学药剂的同学来说学数学是非常让人头大的事情。班里好的很好差的很差，真的是一个天一个地的差别。上课的时候很多同学都会念到“学数学有什么用，基本算数会就行了，再说了买菜的时候又不会用到三角函数，在厨房做菜又不用计数蔬菜面积，工作又不用积分求导，数学除了应付考试还能做什么”。 假设：生活中用到的数学只有算数。 喷泉它们划出的弧度和高度是如此的美丽让人惊艳，连接大陆和小岛的桥让两岸人民互相沟通交流，公园和后花园里的拱桥给风景添加诗意，弯曲的隧道让火车在山间来回穿梭。设计这些不只需要会算数，你还需要学会函数，抛物线，三角函数等。还有人在生活中的衣，食，住，行，都需要用到数学而不只至会算数，如果你开了一家服装店需要计数销售额，盈利率等才在知道本月是否赚了下个月应该进什么衣服来提高盈利。还有如果开了超市还要根据银行贷款年利率等考虑是年初售出还是年末售出来提高利润减少利息。如果需要购买房子还要考虑和计数如何分期付款和首付多久能还清。还有出行的 时候除了寻找景点还要计数路线还要计数如何出行可以省钱等等计 数这些就要学会一元一次方程，或一元二次方程。更不可事宜古人还用数学与对联相连在三强韩赵魏．九章勾股弦里，上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对。片刻，人皆摇头，无以对出。他只好自对下联“九章勾股弦”。此联全用“双联”修辞格。“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》。该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理。全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合。 数学还连接着科学，数学是打开科学大门的钥匙——培根。比如我们在熟悉不过的年，月，日。但你们知道吗？为什么二月只有28天或29天吗？实际上，人类精确的计算出地球绕太阳转一圈的时间为365天5小时48分46秒（即1年）．为了方便人们把1年定为365天，这样，每过4年就多出将近1天（5小时48分46秒×4≈24小时）来，就把这1天加在二月份里，这一年就成了闰年，有366天．因为每年按365天来计算，每过四年就多出23时15分4秒，这个数字很接近一天的时间．因此，规定每四年的二月份增加一日，以补上过去少算的时间．但这样实际上每四年又要亏44分56秒，推到100年时，亏了18时43分20秒，又将近一日了，所以规定到公元整百年时不增加这一天，而到整400年时再增加这一天．多不可思议啊！让人连连感叹！ 《科学计数法》教案 教学目标 1．借助身边熟悉的事物进一步体会大数． 2．了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比10大的数． 3．通过用科学记数法表示大数的学习，让学生从多种角度感受大数，促使学生重视大数的现实意义，以发展学生的数感． 教学重点 正确使用科学记数法表示大于10的数. 教学难点 正确掌握10n 的特征以及科学计数法中n 与数位的关系教学方法. 教学过程 一．创设问题情境 引入新课 1.太阳的半径约696 000千米； 2.富士山可能爆发, 这将造成至少25 000亿日元的损失； 3.光的速度大约是300 000 000米/秒； 4.全世界人口数大约是6 100 000 000. 这样的大数，读、写都不方便，如何用简洁的方法来表示它们？ 二．攻克新知 方法一：用更大的数量级单位表示：如将300 000 000表示为3亿． 观察与探索： 1．计算110，310，510，1010，并讨论2210表示什么?指数与运算结果中的0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系? 2．练习： （1）把下面各数写成10的幂的形式：1000，10000000，10000000000 （2）指出下列各数中是几位数：210，510，2110，10010 思考：利用前面的知识，你能把一个比10大的数表示成整数位是一位数的乘以n 10的 形式吗?试试看． 100＝1×________；3000＝3×________；25000＝2.5×________． 方法二：科学记数法 科学记数法定义：一个大于10的数可以表示成n a 10 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数方法叫科学记数法． 数学思想方法的应用 徐英 数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程. 数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题， 例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2 m . （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 图1 图2 分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′= 21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5 （3）由2x 2=2 1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒. 评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查. 所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现. 例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）． (1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。 解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙， 数学是自然科学最基础的学科，是中小学教育必不可少的的基础学科，对发展学生智力，培养学生能力，特别是在培养人的思维方面，具有其它任何一门学科都无法替代的特殊功能。我们研究中学生数学学习的心理障碍与消除的目的是：（1）便于对数学教学活动进行较为全面系统的回顾和反思，以总结经验，找准问题，发扬成绩，纠正错误；（2）把握中学生学习数学的心理状态，加强教学活动的针对性，提高数学课程教学的质量和效益；（3）试图探讨影响数学教学质量的因素及与素质教育相悖的有关问题，使数学学科价值能够在教育过程中得到充分展现和有效发挥，更好地为实施“科教兴国”战略和现代化建设服务。 一、中学生数学学习的有哪些心理障碍 中学生数学学习的心理障碍，是指影响、制约、阻碍中学生积极主动和持久有效地学习数学知识、训练创造性思维、发展智力、培养数学自学能力和自学习惯的一种心理状态，也即是中学生在数学学习过程中因“困惑”、“曲解”或“误会”而产生的一种消极心理现象。其主要表现有以下几个方面： 1、依赖心理数学教学中，学生普遍对教师存有依赖心理，缺乏学习的主动钻研和创造精神。一是期望教师对数学问题进行归纳概括并分门别类地一一讲述，突出重点难点和关键；二是期望教师提供详尽的解题示范，习惯于一步一步地模仿硬套。事实上，我们大多数数学教师也乐于此道，课前不布置学生预习教材，上课不要求学生阅读教材，课后也不布置学生复习教材，习惯于一块黑板、一道例题和演算几道练习题。长此以往，学生的钻研精神被压抑，创造潜能遭扼杀，学习的积极性和主动性逐渐丧失。在这种情况下，学生就不可能产生“学习的高峰体验”——高涨的激励情绪，也不可能在“学习中意识和感觉到自己的智慧力量，体验到创造的乐趣”。 2、急躁心理急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错。一是未弄清题意，未认真读题、审题，没弄清哪些是已知条件，哪些是未知条件，哪些是直接条件，哪些是间接条件，需要回答什么问题等；二是未进行条件选择，没对问题所需要的材料进行对比、筛选，就急于猜解题方案和盲目尝试解题；三是被题设假象蒙蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括“该数学问题解题方案是否正确？是否最佳？是否可找出另外的方案？该方案有什么独到之处？能否推广和做到智能迁移等等”。 3、定势心理定势心理即人们分析问题、思考问题的思维定势。在较长时期的数学教学过程中，在教师习惯性教学程序影响下，学生形成一个比较稳固的习惯性思考和解答数学问题的思维格式和惯性。虽然这种解决数学问题的思维格式和思维惯性是数学知识的积累和解题经验、技能的汇聚，它有利于学生按照一定的程序思考数学问题，比较顺利地求得同类数学问题的最终答案，但另一方面这种定势思维的深化和习惯性增长又带来许多负面影响，使学生的思维向固定模式方面发展，解题适应能力提高缓慢，分析问题和解决问题的能力得不到应有的提高。 4、偏重结论偏重数学结论而忽视数学过程，这是数学教学过程中长期存在的问题。从学生方面来讲，同学间的相互交流也仅是对答案，比分数，很少见同学间有对数学问题程的深层次讨论和对解题方法的创造性研究。至于思维变式、问题变式更难见有涉及。从教师方面来讲，也存在自觉不自觉地忽视数学问题的解决过程，忽视结论的形成过程，忽视解题方 最新高中数学思想 方法 经典例题 经典解析 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 小学数学教学中渗透数学思想方法的策略研究 小学数学教学中渗透数学思想方法的策略研究 上海市三新学校徐顺龙重视数学“双基”教学，是我国中小学数学教学的传统优势；但毋庸置疑，其本身也存在着诸多局限性。如何继承和发展“双基”教学，是当前数学教育研究的一个重要课题。《上海市中小学数学课程标准》对此明确指出，“应与时俱进地重新审视数学基础”，并提出了新的数学基础观，其中把数学思想方法作为数学基础知识的一项重要内容。中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”与以往教材相比，上海市小学数学新教材更加重视数学思想方法的教学，把基本的数学思想方法作为选择和安排教学内容的重要线索。让学生通过基础知识和基本技能的学习，懂得有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，运用数学的思想方法分析和解决问题，以更好地理解和掌握数学内容，形成良好的思维品质，为学生后续学习奠定扎实的基础。面对新课程背景下渗透数学思想方法教学的新要求，作为新教材的实施者，下面就小学数学课堂教学中渗透数学思想方法的策略，谈谈自己的一些认识与实践。 一、小学数学教学中渗透数学思想方法的着眼点 1、渗透数学思想方法应加强过程性 渗透数学思想方法，并不是将其从外部注入到数学知识的教学之中。因为数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出。例如学生写出几个商是2的除法算式，通过观察可以归纳出被除数、除数和商之间的关系，大胆猜想出商不变的规律：可能是被除数和除数同时乘以或除以同一个数（零除外），商不变；也可能是同时加上或减去同一个数，商不变。到底何种猜想为真？学生带着问题运用不完全归纳举例验证自己的猜想，最终得到了“商不变性质”。所以学生获得“商不变性质”的过程，又是归纳、猜想、验证的体验过程，绝不是从外部加上一个归纳猜想验证。学生一旦感悟到这种思想，就会联想到加减法和乘法是否也存在类似的规律，从而把探究过程延续到 数学与其他科学 太阳系中的行星之一——海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年发现了天王星后，观察它的运行轨道，总是和预测的结果有相当的差距。是万有引力定律不正确呢？还是有其它原因呢？有人怀疑在它的周围有另一颗行星存在，影响了它的运行轨道。1844年英国的亚当斯（1819——1892）利用万有引力定律和对天王星观察的数据，推算这颗未知的行星的轨道，花了很长时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天空的方位。亚当斯于1845年9月——10月把它的结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是，查理士和艾里迷信权威，把他的结果束之高阁，不予理睬。1845年法国一个青年天文学家、数学家勒维烈（1811——1877）经过一年多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒（1812——1910）。信中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶座，就是经度三百二十六度的地方，那时你将在那个地方一度之内，见到一颗九等亮度的星”。加勒按勒维烈所指的方位进行了观察，果然在离指出的位置相差不到一度的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心说的胜利，也是数学的伟大胜利。 这样的例子还很多。如1801年谷神星的发现，意大利天文学家皮亚齐（1746——1826）只记下了这颗小行星沿9度弧的运动，这颗星就又躲藏了起来，皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。德国二十四岁的高斯根据观察的数据进行了计算，求得了这颗小行星的轨道。天文学家在这一年的十二月七日在高斯预先指出的地方又重新发现了谷神星。 已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛地运用了现代数学。我们在这里先讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用。在19世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个关于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一个关于位移电流的方程。对于这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出发，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现在可以通过收音机、电视机接收的频率以及X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光是一种电磁现象。尤为值得注意的是我们对什么是电磁波并无丝毫的物理认识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创造了收音机和电视机的奇迹。 同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力场，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点像水波不断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理本质一无所知，它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、物体的运动，以及现在很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导数描述为消失的量的鬼魂，现代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的公式表示这些在现实中没有明显对应物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果，我们可以得到结论，而当我们用物理术语恰当地解释这些结论时，它们又可以用感性知觉来校验。 赫兹(Heinrich Hertz) 这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于电磁波能在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我们无一例外地感受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧超过我们，甚至超过那些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多得多”。 1930年英国物理学家荻拉克，利用数学推理及计算预言存在正电子。1932年美国物理学家安德逊在试验中证实了这一点。 20世纪最大的科学成就莫过于爱因斯坦的狭义和广义相对论了，但是如果没有黎曼于1854年发明的黎曼几何，以及凯莱，西勒维斯特和诺特等数学家发展的不变量理论，爱因斯坦的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述。爱因斯坦自己也不止一次地说过这一点。例如，1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但是为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花了3年的时间，最后，在数学家M·格拉斯曼的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具——以黎曼几何为基础的绝对微分学，也就是爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程，在该文中他说：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。他还说过“事实上，我是通过她（诺特）才能在这一领域内有所作为的。” 非欧几里德几何是从欧几里德时代起的几千年来，人们想要证明平行公理的企图中，也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。罗巴切夫斯基创立了这门新的几何学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指出它的现实意义，虽然他相信是会找到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多数人来说非但不是“想象的”，而且简直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫斯基的思想为几何学的新发展以及各种不同的非欧几里德空间的理论的建立打下了基础；后来这些思想成为广义相对论的基础之一，并且四维空间非欧几里德几何的一种形式成了广义相对论的数学工具。于是，至少看来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要的物理理论发展的有力工具。同样地，在原子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理论，比如，无限维空间的概念等等。 如果没有凯莱在1858年发展的矩阵数学及其后继者的进一步发展，海森伯和狄拉克就无法开创现代物理学量子力学方面的革命性工作。狄拉克甚至说，创建物理理论时，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信数学方案，甚至表面上看去，它与物理学并无联系。”论文：数学思想方法
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