用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自新人教Ａ版必修１第三章第一节的第二课时，是利用前一节课中的函数的零点和方程的根的关系来才解方程的根，而如何求得函数的零点，就是本节课的主要内容。这里要求学生懂得二分法的求解的过程，理解二分法求解的原理，更重要的是，有了计算机这种高科技产品，使得复杂的计算变成了简单，使得这种近似的计算方法有了更广泛的应用空间。为必修3算法提供了技术支持。同时让学生对函数与方程的思想，数形结合思想以及逼近的数学思想有了进一步的认识。
二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而通过生活中的案例来接触二分的思想，使二分法不要变化抽象，能够激发学生的学习兴趣，使学生明白数学就在我身边，数学无处不在的。学生也能够很容易理解这种方法。对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．
三、教学目标
通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
四、教学重点和难点
1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
2．教学难点：方程近似解所在起始区间的确定，近似解与精确度的关系。
五、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题
体会一分为二的“逼近”思想
问题1：在班级举办的新年晚会上，有一支有100个小彩灯组成的串联彩灯电路突然不亮了，知道只有一个灯泡烧毁，如何迅速找出烧掉的灯炮并换掉，让欢乐的气氛得以继续？
这个问题会让学生有身临其境的感觉，确实，这个欢快的场面，出现了这个大杀风景的事，是有点不爽，越快找出烧毁的灯炮越好。
[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：
思路1：用万用表按顺序一个一个灯泡去测试．
思路2：通过先找到中间的灯泡，测试两次，这样就剩下50个灯泡，以此类推不用几次即可找出烧毁的灯泡。
老师从思路2入手，引导学生解决问题：
如图，首先找到中间灯炮的接点A51．用万用表测量A1与A51之间的电阻，如果指针不动，说明电阻无穷大，烧毁的灯光就在A1与A51之间，否则烧毁的灯光就在A52与A101之间，若是在A1至A51之间，再测量A1至A26之间和A26至A51之间，找出烧毁灯泡所在的电路段，以此类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就可以烧毁的灯光．接下来教师现场演示测量过程．
在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．
[设计意图] 从实际问题入手，现场演示用二分法思想查找烧毁的灯泡，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．
（二）师生探究,构建新知
问题2：现在我把烧毁的灯泡比作函数()ln26
=+-的零点，请同学们
f x x x
先猜想它的零点大概是什么？
1．教师引导学生计算)2(f，)3(f的值，以及()ln26
=+-在（2,3）是
f x x x
否有定义。
计算结果：()ln26
f＞
=+-在（2,3）是连续函数，而且(2)
f x x x
f＜0，(3) 0.
教师演示：用毛线比作函数曲线，因为(2)
f＞0.所以横坐标为2
f＜0，(3)
的点在x轴下方，横从标为3的点在x轴上方，将毛线的两端分别固定在x轴的上方或下方，无论毛线如何放置，始终与x轴交于2至3之间
结论：实际上在闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程()0
f x=在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．也就是()ln26
=+-在区间（2，3）内有零点。
f x x x
2．我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间（2，3）内有零点，且(2)f ＜0，(3)f ＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？
合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）
学生的结论：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，经过多次以后，我们可以得到零点.
教师问：要经过多少次缩小范围呢？
学生：因为我们这节课的课题是求近似解，近似解有精确度问题，所以只要指定精确度，就可以解决这个问题。
师问：那如何缩小范围呢？
这个问题学生可能有两种回答：
1.通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
2.通过“取三等分点或四等分点”等方法逐步缩小零点所在的范围，因为他看到了找烧毁灯泡的过程中，中间点并不中间。
教师总结：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便（便于实现必修3中的算法设计）.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2
a b x +=． 合作探究：（学生4人一组互相配合，事先确定好精确度，一人按计算器，一人记录过程．另1人确定每次计算得到的零点所在的区间，最后一人监督计算结果是否符合要求，即区间的长度是否<=精确度，若是即得到近似值。）
步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<. 由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ?<，所以零点在区间(2.5，3)内。
步骤二：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得(2.75)0.5120f ≈>.因为(2.5)(2.75)0f f ?<，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)??，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间内的任一点作为函数零点的近似值．
初始区
取区间中点 中点函数值为零 取新区间
满足精确度
结束 否 是
否 是 引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．
[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表3—2，找出零点的大概位置．
[设计意图]从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
3.问题3：对于问题2，将区间改为（1,4）是否也可以用以上方法求近似解呢？若把函数改为其它函数呢？
结论：只要满足以下几条：1.闭区间[a,b]连续，2。端点的函数值异号，就可以用以述解法。
给出定义：对于在区间a [，]b 上连续不断且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：
1、确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精确度ε；
2、求区间a (，)b 的中点c ；
3、计算()f c ：
（1）若()f c =0，则c 就是函数的零点；
（2）若)(a f ·()f c <0，则令b =c （此时零点0(,)x a c ∈）；
（3）若()f c ·)(b f <0，则令a =c （此时零点0(,)x c b ∈）；
4、判断是否达到精确度ε：
即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2—4． 利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．
[学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数
()ln 26f x x x =+-的图象去体会二分法的思想．
结合二次函数图象和标有a 、b 、0x 的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．
[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．
（三）例题剖析，巩固新知
例：借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确度0.1）. 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评.
本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法.
小结用二分法求方程零的步骤：
1构造对应的函数，强调一边应化为零，否则求出结果就不是方程的根。
2.求出函数的零点，该零点即是原方程的根。
[设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用．同时强化了方程的根与函数零点之间的关系。
思考：是否所有的零点都可以用二分法来解呢？
学生讨论，教师总结用二分法求解的条件——异号，连续。
（四）尝试练习，检验成果
1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.
[设计意图]让学生明确二分法的适用范围. (A) (B) (C) (D) 。
x
y
o
2、用二分法求图象是连续不断的函数)
y=在x∈(1,2)内零点近似值的过程
(x
f
中得到0
)1(<
f,0
.1(<
25
f,则函数的零点落在区间（）.
)5.1(>
f,0
)
(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能确定
[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法.
3．借助计算器或计算机，用二分法求方程3lg
=-在区间（2，3）内的近似解
x x
（精确度0.1）.
[设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解.
（五）课堂小结，回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断，而且端点函数值要异号。
2、用二分法求方程的近似解的步骤.
[设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化.
（六）课外作业
2．思考:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起?
板书设计
§3.1.2用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义
2．用二分法求函数的零点近似值的步骤
3．用二分法求方程的近似解的骤
4．用二分法求函数的零点的条件
用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发
课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 【学习要求】 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理； 2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点. 填一填：知识要点、记下疑难点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？ 探究点一变号零点与不变号零点 问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？ 小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点． 探究点二二分法的概念 问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？ 例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)． 问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？ 问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？ 跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．
课题：§1.1 集合 1 2 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基4 础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型：新授课 6 课时：1课时 7 教学目标：1.知识与技能 8 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系； 10 （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 11 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述13 法）描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程，深入理解集合的含义。 17 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数20 学学习的兴趣。
教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 21 教学过程： 22 一、引入课题 23 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 25 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是26 高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习27 一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 （一）集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素35 组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 36 3.关于集合的元素的特征 37
例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 (2)10,(3)20f f =-<=>， 所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3) f f x <>?∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5) f f x <>?∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>?∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的 近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数lg y x =和3y x =- 的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与 点的横坐标就是方
第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
高一数学《用二分法求方程的近似解》教案 教学目标 知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备. 情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. 教学重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教材分析 本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点的步骤中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在阅读与思考中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. 学情分析 通过本节课的学习，使学生在知识上学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的绘制新函数功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作. 教学媒体分析 多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC 语言应用程序 教学方法
指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象
一、设计思路 指导思想 数学是一门具有严密推理能力和抽象概括能力的学科。本课以发展学生思维能力为核心，以学生发展为本，从本班学生的实际出发，培养学生观察能力，探究能力和抽象概括能力。 教材分析 本节课是学生在已知函数概念，并且已经掌握了函数的一般性质和简单的对数运算性质的基础上，进一步研究一类具体函数——对数函数，深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步学习函数的知识打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 教学目标 1、知识目标：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像、性质及其简单应用 2、能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，以及从特殊到一般等学习数学的方法，并体会数形结合思想 3、情感目标：通过学习，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 教学重点 通过对对数函数图像的的探究，得出的对数函数图像及其性质，以及图像和性质的简单应用，是本节课的重点。 教学难点 1.底数a的变化对对数函数图像及性质的有较大的影响，是本节课的一大难点。 2.底数不同时，如何比较两个对数的大小是本节课的又一个难点 教学准备 1、认真研究教材，与同课头老师探讨教学思路，听取有经验老师的意见！。 2、精心制作PPT课件和几何画板课件辅助教学。 3、安排学生预习。 教学过程设计 一．复习提问，引入新课
师：对数函数的概念？定义域是什么？ 生：一般地，函数，(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中定义域是（0，+∞） 师：对数的运算性质有哪些？ 生：(1); (2); (3). （4）对数的换底公式 (,且,,且,) 设计思路：从对数函数概念以及对运算性质引出课题，寻找学习最近发展区，为后面研究对数函数的图象和性质埋下了伏笔。 二.性质探究 1.探究一：对数函数的图像 操作1：同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。 在同一坐标系内画出函数和的图象。 师：画函数都有哪些步骤呢？ 生：列表、描点、连线。 （学生动手画图后，教师利用多媒体演示画图过程） 操作2：继续在同一坐标系中，画出下列函数图像 设计思路：通过描点法在同一坐标画出不同底数函数的图像，既有利于培养学生的动手能力，又有利于学生感知对数函数的图像的变化规律。 2.探究二 师：老师布置学习任务和组织学生探究： 请各小组根据同一坐标系中所画底数不同时对数函数的图像，归纳总结出对数函数具有哪些性质？最终请各小组派代表起来汇报本小组的探 究结果。 生：各小组积极探讨，把发现的性质归纳总结，记录下来。其中重点包含（但不限于）如下内容： v定义域与值域分别是什么 v当底数a变化时，对数函数图像如何变化? v经过哪个定点？ vy=logax与y=图像有什么关系
用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1) 【解】设f (x) x 2 2x 1， 先画出函数图象的简图.'i (如右 图所示) 丨 因为 ； f(2) 1 0, f (3) 2 0， 所以在区间(2,3)内，方程x 2.5，因为 f (2.5) 0.25 0， 所以 2人 2.5. 再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) 0.4375 0， 所以2.25 治 2.5. 如此继续下去，得 f(2) 0, f(3) 人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5) f(2.25) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.375,2.5) f (2.375) 0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 洛 2.4 . 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 . 点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区 间 区间中点函数 值 区间长 度 [2,3] f(2.5) 0 1 [2,2.5] f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5] f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5] f (2.4375) 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步. 1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数 例 2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1) 1-- 3 4 I I 斗- 3-' 分析：分别画函数y lg x 和y 3 x
二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便
2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0.
. 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1
人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题：集合的含义与表示(1) 课型：新授课 教学目标： （1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；（3）掌握常用数集及其记法； 教学重点：掌握集合的基本概念； 教学难点：元素与集合的关系； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的 东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一 些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理 由： （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程210 x+=的解； （5）某校2007级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中
《§3.1.2用二分法求方程的近似解》导学案 高一数学组编写人：刘慧影审核人：房淑萍使用日期： 【学习目标】： 1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【学习重、难点】 学习重点:：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。 学习难点：为何由I a — b丨＜￡便可判断零点的近似值为3(或b)? 【学法指导及要求】： 1、认真研读教材P89-P9I页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道 习题，不会的先绕过，做好记号； 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错 题本上，多复习记忆。 【知识链接】 1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？ (1)对于函数y = /(x),我们把使__________ 的实数兀叫做函数y = /(x)的零点. (2)方程/(x) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与x轴________________________ o函数 y = /⑴ ___________ ? (3)如果函数)u /(x)在区间［a,b］上的图彖是连续不断的一条曲线，并且 有______________ ，那么，函数y = /O)在区间(“)内有零点. 【学习过程】 %1.自主学习 探究任务：二分法的思想及步骤 问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法： 第一次，两端各放______ 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放________个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放______ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. %1.合作探讨 思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求)=lnx + 2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？ 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
人教A版高一数学 （必修1）教案 ！ 庐江三中：张先道
> 课题：§集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的 数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题， 感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； ? 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些 东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.? 3.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简 称集。 4.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的 例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 5.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 6.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A /
用二分法求方程的近似解（1） 【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解 2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解． 【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了． 本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法． 【例题精析】 例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05． 【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求． 【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间： 通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．
令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)． 令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)． 令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)． 令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)． 由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05， 此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336． 【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．) 例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序． 【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标； （2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；
用二分法求方程的近似解 一、教材分析 ⒈教材的地位和作用 用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容.为了帮助学生认识函数与方程的关系,教科书分三个层面来展现：第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根和函数的零点的联系.第二层面,通过二分法求方程近似解,体现函数与方程的关系.第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题,进一步体现函数与方程的关系.本课正处于第二个层面,要求学生根据具体函数的图像,能借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数,方程,不等式等高中的重要内容,同时为必修3的算法学习做准备. 本节内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想. ⒉教材的重点、难点和疑点 教学重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握； 教学难点：精确度概念的理解,二分法一般步骤的归纳和概括. 教学疑点：方程近似解的选取. 二、教学目标分析 通过本节的学习达到以下目标： 1、知识目标：理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,了解这种方 法是求方程近似解的常用方法. 2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力,通过让学生概括二分法 思想和步骤培养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力. 3、情感目标：在问题的发现、探究过程中,感受成功的体验,激发学习的兴趣. 从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足,是制定教学目标的重要依据.这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼,体现了学生的主体地位和新课程理念. 三、学况分析和学法指导 1、高一学生通过函数和本章第一节学习,对函数的基本性质及函数与方程的联系有了初步认识,初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力. 2、积极启发诱导,使学生学会观察问题、探究问题,自主归纳总结进而得出规律. 备课不只是对知识和教学过程的准备,也包括对学情的分析掌握和学法指导.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求. 四、教学方法和教学手段 建构主义认为,知识是在原有知识的基础上,在人与环境的相互作用过程中,通过同化和顺应,使自身的认知结构得以转换和发展.元认知理论指出,学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一.遵循教师为主导,学生为主体的教学原则,体现知识为载体,
课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上。此外，集合理论的应用也变得 更加广泛。 课型：新授课 课时：1课时 教学目标：1.知识与技能 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的问题。 2.过程与方法 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，深入理解集合的含义。 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 3.情感态度价值观 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣。教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 教学过程： 一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到 这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集 合（set）（简称为集）。 3.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 例： （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 例： （3）无序性：只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的。 例： 4.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学
教学目标： (1)了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征; (2)理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系; (3)掌握常用数集及其记法; 教学重点：掌握集合的基本概念; 教学难点：元素与集合的关系; 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。 3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数; (2)我国的小河流; (3)非负奇数; (4)方程的解; (5)某校2007级新生; (6)血压很高的人; (7)的数学家; (8)平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9)全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5.元素与集合的关系; (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A，记作：a∈A (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)A，记作：aA 例如，我们A表示"1~20以内的所有质数"组成的集合，则有3∈A 4A，等等。 6.集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C...表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,...表示。 7.常用的数集及记法： 非负整数集(或自然数集)，记作N; 正整数集，记作N*或N+; 整数集，记作Z; 有理数集，记作Q; 实数集，记作R; (二)例题讲解： 例1.用"∈"或""符号填空： (1)8N;(2)0N; (3)-3Z;(4)Q; (5)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。 例2.已知集合P的元素为,若3∈P且-1P，求实数m的值。 (三)课堂练习： 课本P5练习1; 归纳小结： 本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。 作业布置：