数学建模报告：函数
引言
函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。通过研究函数，
我们可以更好地理解和解决各种实际问题。本文将介绍函数的基本概念、性质和常见类型，以及如何运用函数来解决实际问题。
一、函数的定义和表示
函数可以看作是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元
素上。形式上，函数可以用以下方式表示：
f: A → B
其中，A 是函数的定义域（输入的元素所在的集合），B 是函数的值域（输出
的元素所在的集合）。函数 f 把定义域 A 中的每个元素映射到值域 B 中的一个元素。
二、函数的性质
函数具有多个重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质。
1. 定义域和值域
函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。一个函数的定义域可能是实
数集、整数集等不同的集合，而值域也可以是不同的集合。
2. 单射、满射和双射
函数可以分为三类：单射、满射和双射。一个函数是单射（或一一对应），当
且仅当不同的输入对应不同的输出；一个函数是满射，当且仅当它的值域等于目标集合；一个函数是双射，当且仅当它同时是单射和满射。
3. 复合函数
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。例如，如果有函数
f(x) 和 g(x)，那么复合函数可以表示为 f(g(x))，它先对 x 进行 g 函数的计算，再对
结果进行 f 函数的计算。
三、常见函数类型
函数可以分为几种常见类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数
等等。下面介绍其中几种常见的函数类型。
1. 线性函数
线性函数是一种最简单的函数类型，它的表达式可以表示为 f(x) = ax + b，其中
a 和
b 是常数。线性函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
2. 二次函数
二次函数是一种形式为 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a
不等于零。二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向和开口的大小由 a 的正负决定。
3. 指数函数
指数函数是以常数 e 为底的指数幂函数，其表达式为 f(x) = a^x，其中 a 是常数。指数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线，其斜率由 a 决定。
4. 对数函数
对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = logₐ(x)，其中 a 是常数且大
于 0，且不等于 1。对数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线，其变化趋
势与指数函数相反。
四、函数的应用
函数在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍其中两个常见的应用场景。
1. 经济学中的边际分析
在经济学中，函数可以用来描述不同变量之间的关系。例如，边际产出函数描
述了单位劳动力投入增加时的产出增加量。通过分析边际产出函数，可以优化生产过程，提高效率。
2. 物理学中的运动学
在物理学中，函数可以用来描述物体的运动状态。例如，位移函数描述了物体
在不同时间点的位置。通过分析位移函数，可以预测物体的运动轨迹和速度变化。
结论
函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。通过研究函数，
我们可以更好地理解和解决各种实际问题。本文介绍了函数的基本概念、性质和常见类型，以及函数在经济学和物理学中的应用。希望读者能通过本文对函数有更深入的理解，并能将其应用到实际问题的解决中。
数学建模实验报告 实验一计算课本251页A矩阵的最大特征根和最大特征向量 1 实验目的 通过Wolfram Mathematica软件计算下列A矩阵的最大特征根和最大特征向量。 2 实验过程 本实验运用了Wolfram Mathematica软件计算，计算的代码如下：
3 实验结果分析 从代码的运行结果，可以得到最大特征根为5.07293，最大特征向量为 {{0.262281},{0.474395},{0.0544921},{0.0985336},{0.110298}},实验结果 与标准答案符合。
实验二求解食饵-捕食者模型方程的数值解 1实验目的 通过Wolfram Mathematica或MATLAB软件求解下列习题。 一个生物系统中有食饵和捕食者两种种群，设食饵的数量为x（t），捕食者为y（t），它们满足的方程组为x’(t)=(r-ay)x,y’(t)=-(d-bx)y,称该系统为食饵-捕食者模型。当r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02时，求满足初始条件x（0）=25，y（0）=2的方程的数值解。 2 实验过程 实验的代码如下 Wolfram Mathematica源代码： Clear[x,y] sol=NDSolve[{x'[t] (1-0.1y[t])x[t],y'[t] 0.02x[t]y[t]-0.5y[t],x[0 ] 25,y[0] 2},{x[t],y[t]},{t,0,100}] x[t_]=x[t]/.sol y[t_]=y[t]/.sol g1=Plot[x[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotRange->{0,11 0}] g2=Plot[y[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],PlotRange->{0,40 }] g3=Plot[{x[t],y[t]},{t,0,20},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0],RGBColor[ 0,1,0]},PlotRange->{0,110}] matlab源代码 function [ t,x ]=f ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45('shier',ts,x0); End function xdot=shier(t,x)
《数学建模实验》 实验报告 学院名称数学与信息学院专业名称 提交日期课程教师
实验一：数学规划模型AMPL求解 实验内容 1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析: 一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。 （1）建立模型文件： milk.mod set Products ordered; param Time{i in Products }>0; param Quan{i in Products}>0; param Profit{i in Products}>0; var x{i in Products}>=0; maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i]; subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50; subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480; subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100; （2）建立数据文件milk.dat set Products:=A1 A2; param Time:=A1 12 A2 8; param Quan:=A1 3 A2 4; param Profit:=A1 24 A2 16; (3) 建立批处理文件milk.run model milk.mod; data milk.dat; option solver cplex; solve; display x; (4)运行 运行结果： CPLEX 11.0.0: optimal solution; objective 3360 2 dual simplex iterations (1 in phase I) x [*] := A1 20 A2 30 ; （5）灵敏度分析：
数学建模实验报告 姓名： 学院： 专业班级： 学号：
数学建模实验报告（一） ——用最小二乘法进行数据拟合 一．实验目的： 1.学会用最小二乘法进行数据拟合。 2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。 3.掌握数据可视化的基本操作步骤。 4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。 二．实验任务： 来自课本64页习题： 用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合： 三．实验过程： 1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。
2．程序： x=[19 25 31 38 44] y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8] ab=y/[ones(size(x));x.^2]; a=ab(1),b=ab(2) xx=19:44; plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.') 3.上机调试 得到结果如下： x = 19 25 31 38 44 y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000 a = 0.9726 b = 0.0500 图形：
四．心得体会 通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。
数学建模实验报告（二） ——用Newton法求方程的解 一．实验目的 1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。 2.利用Matlab进行编程求近似解。 二．实验任务 来自课本109页习题4-2： 用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解 三．实验过程 1.实验原理： 把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 2.程序设计： function y=nd(x)
数学建模实验报告一．电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一 层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 1.实验分析： 这个实验用直接计算分析的方法比较困难，故可采用计算机多次模拟仿真实验来计算估计值。通过多次产生在0~1之间的随机数，进而转化为在0~n之间的随机数，代表上电梯的一个人要到的层数。此处由于实际原因，需要把0、1去掉，都归到2里头。每次试验都要计算出r个人停的层数，如果在一层有人下，
则在这一层要停，最终计算出需要停的总数。统计完停的次数后，算出每一个次数的频率，相当于概率，然后用期望的计算方法算出期望。 2.matlab程序 n=10; %将r与n都设定为n r=10; num=10000; %设定模拟实验次数 t=0; qiwang=0; %期望值 a=rand(1,r); s=rand(1,n); v=rand(1,n); for i=1:num %开始模拟 for j=1:n s(j)=0; end for k=1:r a(k)=round(rand(1,1)*n);%将0~1之间的随机数变为0~n的 if(a(k)<2) %小于2的当2 a(k)=2; end end for m=1:r s(a(m))=1; %如果有人在某层下，则将对应数组元素置1 end for u=1:n %计算需停电梯的次数 if(s(u)==1) t=t+1; end end v(t)=v(t)+1; %计算需停电梯次数的各对应频数 t=0; end for e=1:n %计算期望值 v(e)=v(e)/num; qiwang=qiwang+e*v(e); end v qiwang 3.运行结果
数学建模报告：函数 引言 函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。通过研究函数， 我们可以更好地理解和解决各种实际问题。本文将介绍函数的基本概念、性质和常见类型，以及如何运用函数来解决实际问题。 一、函数的定义和表示 函数可以看作是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元 素上。形式上，函数可以用以下方式表示： f: A → B 其中，A 是函数的定义域（输入的元素所在的集合），B 是函数的值域（输出 的元素所在的集合）。函数 f 把定义域 A 中的每个元素映射到值域 B 中的一个元素。 二、函数的性质 函数具有多个重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质。 1. 定义域和值域 函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。一个函数的定义域可能是实 数集、整数集等不同的集合，而值域也可以是不同的集合。 2. 单射、满射和双射 函数可以分为三类：单射、满射和双射。一个函数是单射（或一一对应），当 且仅当不同的输入对应不同的输出；一个函数是满射，当且仅当它的值域等于目标集合；一个函数是双射，当且仅当它同时是单射和满射。 3. 复合函数 复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。例如，如果有函数 f(x) 和 g(x)，那么复合函数可以表示为 f(g(x))，它先对 x 进行 g 函数的计算，再对 结果进行 f 函数的计算。 三、常见函数类型 函数可以分为几种常见类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数 等等。下面介绍其中几种常见的函数类型。
1. 线性函数 线性函数是一种最简单的函数类型，它的表达式可以表示为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数。线性函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。 2. 二次函数 二次函数是一种形式为 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于零。二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向和开口的大小由 a 的正负决定。 3. 指数函数 指数函数是以常数 e 为底的指数幂函数，其表达式为 f(x) = a^x，其中 a 是常数。指数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线，其斜率由 a 决定。 4. 对数函数 对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = logₐ(x)，其中 a 是常数且大 于 0，且不等于 1。对数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线，其变化趋 势与指数函数相反。 四、函数的应用 函数在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍其中两个常见的应用场景。 1. 经济学中的边际分析 在经济学中，函数可以用来描述不同变量之间的关系。例如，边际产出函数描 述了单位劳动力投入增加时的产出增加量。通过分析边际产出函数，可以优化生产过程，提高效率。 2. 物理学中的运动学 在物理学中，函数可以用来描述物体的运动状态。例如，位移函数描述了物体 在不同时间点的位置。通过分析位移函数，可以预测物体的运动轨迹和速度变化。 结论 函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。通过研究函数， 我们可以更好地理解和解决各种实际问题。本文介绍了函数的基本概念、性质和常见类型，以及函数在经济学和物理学中的应用。希望读者能通过本文对函数有更深入的理解，并能将其应用到实际问题的解决中。
数学建模小论文·正弦型函数与气温变化曲线 原问题： 从教材上的一道习题（人教B版必修四P71—7）谈起 如图所示,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y= Asinωx+φ+b,其中A＞0,且函数在6时与14时分别取得最小值（最 低温度）和最大值（最高温度）. (一)对原题的解答【对应作业2.1】 由图像可直接得到: 最低温度为10℃,在6h时达到,最高气温为30℃,在14h时达到; 这段时间的最大温差为30-10=20℃.T(周期)=16h. 根据y=Asinωx+φ+b,A=10,b=20; 又ω=2π/T,解得ω=π/8. 由x=10时为中心对称点得 2πk=π ?10+φ 解得φ=3/4?π 故,此图象拟合为正弦型函数后表达式为 y=10sin8/π?x+3/4?π+20 (二)日气温变化规律与其科学依据【对应作业中2.1&2.2】
散点图象： 拟合曲线方程： y=7sin π ?x?8.8+4 拟合图：
图像分析与科学依据： 图像可得每日的最高温出现在14:00，不是12:00；最低温出现在6:00附近(日出前)。 天气的冷热，主要决定于空气温度的高低，而影响空气温度的主要因素，是由太阳辐射强度所决定的。但是，太阳光热并不是直接使气温升高的主要原因。空气直接吸收阳光的热能总共只有14％左右，而有43％左右被地面吸收了。当地面吸收了太阳的辐射热量之后，再通过辐射、对流等形式向空气中传导，这是气温升高的主要原因。 太阳光照射到地面上，晒热了地面，地面吸收的热再释放出去烘热空气，所以地面受热以后，还需要一段时间，才能使气温升高。在中午以后，地面放出的热量，仍少于太阳供给的热量.直到下午二、三点钟，地面温度才能升到最高，气温也才是最高。 同理，太阳下山后，失去了阳光热的供应，因此，开始不断散失热量，气流也就不断降低，到了凌晨，这时地面温度降到最低值，所以气温在此时为最低。 这也是每日气温变化并不十分对称，也就不能与正弦型函数十分契合。 （三）月平均气温变化和月极端气温变化规律【对应作业中的2.2&2.3】
数学建模建立函数模型解决实际问题 课标要求素养要求 收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养 . 教材知识探究 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的. 问题你知道什么是数学建模吗？ 提示数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识
与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题. 1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤 (1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析； (2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系； (3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型； (4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型； (6)检验模型：利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的. 2.数学建模活动的要求 (1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示. 教材拓展补遗 [微判断] 1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.(√) 2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.(√) 3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.(√) [微思考] 数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？ 提示科学研究通常需要经历四个基本步骤 (1)选题；
数学建模试验报告（七） 姓名 马震 学号 20073492 班级 软0708班 问题：.（插值） 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。 问题的分析和假设： 分析:本题利用插值法求出水深小于5英尺的区域，利用题中所给的数据，可以求出通过空间各点的三维曲面。随后，求出水深小于5英尺的范围。 基本假设：1表中的统计数据均真实可靠。 2矩形区域外的海域不对矩形海域造成影响。 符号规定：x ―――表示海域的横向位置 y ―――表示海域的纵向位置 z ―――表示海域的深度 建模： 1.输入插值基点数据。 2．在矩形区域（75,200）×（－50,150）作二维插值，运用三次插值法。 3．作海底曲面图。 4．作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。 x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 x y z 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9
求解的Matlab程序代码： x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9]; cx=75:0.5:200; cy=-50:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic'); meshz(cx,cy,cz),rotate3d xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') %pause figure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);grid hold on plot(x,y,'+') xlabel('X'),ylabel('Y') 计算结果与问题分析讨论： 运行结果： Figure1:海底曲面图：
指数函数与对数函数在数学建模中的作用在数学建模过程中，指数函数与对数函数是非常重要的工具。它们在各种实际问题的求解中发挥着重要的作用，无论是描述增长模型还是解决复杂的方程，都可以通过这两种函数来进行建模和求解。本文将从指数函数和对数函数的定义、性质以及在数学建模中的具体应用等方面进行探讨。 一、指数函数的定义与性质 1.1 指数函数的定义 指数函数是自然对数函数的反函数，一般表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，y为对应的函数值。指数函数的底数a通常为正实数且不等于1。 1.2 指数函数的性质 指数函数具有以下性质： a) 当底数a＞1时，指数函数是严格递增函数，即随着自变量x的增大，函数值y也逐渐增大； b) 当0＜a＜1时，指数函数是严格递减函数，即随着自变量x的增大，函数值y逐渐减小； c) 当指数x取0时，指数函数始终等于1，即a^0 = 1； d) 当指数x取负无穷大时，指数函数的值趋近于0。
二、对数函数的定义与性质 2.1 对数函数的定义 对数函数是指数函数的反函数，一般表示为y=logax，其中a为底数，x为真数，y为对应的函数值。对数函数的底数a通常为正实数且不等于1。 2.2 对数函数的性质 对数函数具有以下性质： a) 当底数a＞1时，对数函数是严格递增函数； b) 当0＜a＜1时，对数函数是严格递减函数； c) 当真数x取1时，对数函数始终等于0，即loga1 = 0； d) 当真数x取正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。 三、指数函数与对数函数在数学建模中的应用 3.1 指数函数在增长模型中的应用 指数函数常常用来描述具有指数型增长特征的模型。例如，在人口增长模型中，可以用指数函数来描述人口数量随时间的变化。另外，指数函数还可以用于描述生物学中的物种增长模型，经济学中的经济增长模型等。 3.2 对数函数在解决方程中的应用
八年级数学研究性学习之二 课题《反比例函数建模》 一、课题背景 我们已经学习了函数的共性知识，又学习了一次函数（含正比例函数）、反比例函数的定义，图像和性质。对于简单的实际应用问题学生可以尝试建立数学模型，利用函数的知识加以解决。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。 二、学习方法：实验探究，合作交流 三、活动过程： 活动1、请同学们完下表，再按照表中的数据再纸上画出9个面积相等的矩形，其中∠A为9 9个点用平滑的曲线连接起来。这条曲线是反比例函数的一支吗，为什么？ 画图： 理由： 数学发现：这些面积相等的矩形中，边长___________时，周长最小。试一试证明这个结论。 结论推广：过双曲线上任意一点，分别向X轴，Y轴做垂线构成的所有矩形中，边长______________时周长最小。
活动2如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表： （1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm？ （4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
浅谈数学建模在三角函数应用中的运用 一、对数学建模的基本理解 （一）数学建模的概念 数学建模是一种新的数学学习方式，是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也就是把现实世界中的实际问题提炼、抽象，做出相应的数学模型，然后求出模型的解，验证模型的合理性，并能用该数学模型的解来解释一类现实问题的过程。 数学建模的一般步骤为： 分析问题：了解对象的实际背景知识，根据实际背景和要求进行“问 题分析”。 假设模型：根据问题分析和建立数学模型的目的做出合理简化的“模 型假设”。 建立模型：在问题分析与模型假设的基础上“建立数学模型”。 求解模型：选择适当的数学工具“求解数学模型”。 分析解决：对模型结果进行“模型分析”，如果合乎实际要求就用来 解决实际问题，如果不合乎实际要求就回到②继续。 数学建模的特点有：①问题来源于实际，②需要假设，③需要验证、讨论，④没有唯一解，⑤模型逼真可行，⑥模型可渐进，⑦模型可转移，⑧没有统一固定方法。 （二）三角函数的应用教材分析
《普通数学课程标准》（以下简称《标准》）将三角函数作为刻画现实世界的数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景一建立模型一数学结果一解释、应用与拓展”。《标准》对三角函数内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立三角函数模型（引出三角函数概念），再运用数学的方法研究三角函数模型的性质，最后运用三角函数模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题。这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识。 三角函数的应用学习要求是会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 教学重点是建立三角函数的模型，进而运用三角函数的相关知识与方法解决有关实际问题；教学难点是：建立三角函数的模型。 二、三角函数的应用教学内容 教材举了两个例子：一个是物理学中的简谐运动问题，一个是水车问题。 （一）物理学中的简谐振动 例1：如图1,点0为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。 （1）求物体对平衡位置 的位移x （cm）和时间t （s）的
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8919140584.html, 一次函数应用中的数学建模 作者：万广磊 来源：《初中生世界·九年级》2019年第04期 一、运动问题 例1 （2018·江苏盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地。两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示。 （1）根据图像信息，当t= 分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为米/分钟。 （2）求出线段AB所表示的函数表达式。 【解析】（1）根据图像信息，y=0时，表示甲、乙两人相遇，此时t=24。由图像，知甲用60分钟步行2400米，因此，用每分钟步行40米。 （2）当t=24时，甲、乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙从图书馆回学校的总时间即A点的横坐 标，用A点的横坐标乘甲的速度得出A点的纵坐标，再利用待定系数法可求出线段AB所表 示的函数表达式。 解：（1）24，40。 （2）根据题意，当t=24时，甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟），∵甲的速度为40米/分鐘，∴乙的速度为60米/分钟。乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40（分钟），∴甲步行的总路程为40×40=1600（米），则A点的坐标为（40，1600）。设线段AB 所表示的函数表达式为y=kx+b，得[40k+b=1600，60k+b=2400，]解得[k=40，b=0，]∴线段 AB所表示的函数表达式为y=40x。 【点评】在解决第二问时，要确定点A的坐标，其表示的意义就是乙到达学校时甲走完 的总路程，可以利用行程问题的示意图分析甲、乙运动的时间与对应的路程。 二、销售问题 例2 （2018·江苏无锡）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果。已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润。
上次作业: 利用Matlab帮助系统查询特殊矩阵函数zeros,并输出2行3列、3行3列这样的矩阵。 一．Matlab6.5的常用的命令和技巧：1．常用的命令 >>disp(‘应用数学系’) 2．工作区和变量的基本命令
3．Matlab6.5中的预定义变量
例如：输入：x=0;sin(x)/x 输出：NaN 4．数值的输出格式 >>pi %系统默认的输出格式 ans= 3.1416 >>format long; %以14位小数的浮点格式输出>>pi ans= 3.14159265358979 5．一些常用操作技巧
6.Matlab常用的标点符号的功能 二．Matlab6.5的常用的函数1.Matlab最常用的数学函数：
>>abs(x) %求-56的绝对值 ans= 56 >>abs(3+4i) %求复数3+4i的模 ans= 5 2.Matlab常用的三角函数: 注:以上x均为弧度 3.取整函数及相关函数 例如：x=36,y=4求x整除y的余数，x,y的最大公因子和最小公倍数>>x=36,y=4; >>rem(x,y) %求x/y整除后的余数ans=
>>gcd(x,y) %求x,y 的最大公因子 ans= 4 >>lcm(x,y) %求x,y 的最小公倍数 ans= 36 三．Matlab6.5的算术表达式 1.Matlab 的变量命名的规则: a.区分变量名的大小写。 b.变量的第一个字符必须为英文字母，而且不能超过63个字符。 c.变量名可以包含下连字符、数字，但不能为空格符、标点。 d.利用MAT 文件可以把当前MATLAB 工作空间中的一些有用变量长久地保留下来， 扩展名是.mat 。 2.Matlab 的算术表达式: Matlab 的算术表达式由字母或数字用运算符号连接而成,十进制数字有时也可以使用科学记数法来书写,如2.71E+3表示31071.2⨯,2.5E-6表示6105.2-⨯.Matlab 的运算符有: +加 - 减 * 乘.* 两矩阵的点乘 / 右除(正常除法) \ 左除 ^ 乘方(幂运算) 例:a^3/b+c 表示c b a +÷3,a^3\(b+c)表示3)(a c b ÷-,A*B 表示矩阵A 和B 的正常乘法(条件是A 的列数必须等于B 的行数),A.*B 表示矩阵A 和矩阵B 的点乘,即A 和B 相应的元素相乘.(A 的行数等于B 的行数,A 的列数等于B 的列数) 3.Matlab 的关系运算符: < 小于 <= 小于等于 > 大于 >= 大于等于 = = 等于 ~= 不等于 四．Matlab6.5基本赋值和运算 利用Matlab 可以做任何简单运算和复杂运算,可以直接进行算术运算,也可以利用 Matlab 定义的函数进行运算;可以进行向量运算,也可以进行矩阵运算. 1. 简单数学运算
数学建模-指数函数模型的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．观察实际情景，提出并分析问题 （1）实际情景 2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果. （2）提出问题 如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？ （3）分析问题 可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作. 2.收集数据 利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据. 例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数， 请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数. 3．分析数据 累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用
图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示： 当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型 根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型 画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好. 6．问题解决 该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施. 7．问题拓展
《数学建模实验报告》 Lingo软件的上机实践应用 简单的线性规划与灵敏度分析 学号： 班级: 姓名： 日期：2010—7—21 数学与计算科学学院一、实验目的：
通过对数学建模课的学习，熟悉了matlab和lingo等数学软件的简单应用，了解了用lingo软件解线性规划的算法及灵敏性分析。 此次lingo上机实验又使我更好地理解了lingo程序的输入格式及其使用，增加了操作连贯性，初步掌握了lingo软件的基本用法，会使用lingo计算线性规划题，掌握类似题目的程序设计及数据分析。 二、实验题目（P55课后习题5）： 某工厂生产 A、2A两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序， 1 如果每天可用于零件装配的工时只有100h，可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示： （1)试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案. （2）对产品 A的利润进行灵敏度分析 1 （3）对装配工序的工时进行灵敏度分析 （4)如果工厂试制了 A型产品，每件3A产品需装配工时4h,检验工时2h，可获 3 利润5元，那么该产品是否应投入生产？ 三、题目分析： 总体分析：要解答此题，就要运用已知条件编写出一个线性规划的Lingo 程序，对运行结果进行分析得到所要数据；当然第四问也可另编程序解答.
四、 实验过程： (1)符号说明 设生产1x 件1A 产品,生产2x 件2A 产品. （2）建立模型 目标函数：maxz=61x +42x 约束条件： 1） 装配时间：21x +32x <=100 2） 检验时间：41x +22x <=120 3） 非负约束：1x ，2x >=0 所以模型为： maxz=61x +42x s.t 。⎪⎩⎪ ⎨⎧>=<=+<=+0,12024100322 12121x x x x x x （3）模型求解： 1）程序 model: title 零件生产计划; max=6*x1+4＊x2; 2*x1+3*x2<=100; 4*x1+2＊x2<=120； end
内江师范学院中学数学建模 实验报告册编制数学建模组审定牟廉明 专业： 班级：级班 学号： 姓名： 数学与信息科学学院 2016年3月
说明 1.学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告； 2.要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；若学生无故旷课，则本次实验成绩不合格； 3.学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告； 4.实验成绩评定分为优秀、合格、不合格，实验只是对学生的动手能力进行考核，跟据所做的的情况酌情给分。根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。
实验名称：数学规划模型（实验一）指导教师： 实验时数： 4 实验设备：安装了VC++、mathematica、matlab的计算机 实验日期：年月日实验地点： 实验目的： 掌握优化问题的建模思想和方法，熟悉优化问题的软件实现。 实验准备： 1．在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2．需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 原料钢管每根17米，客户需求4米50根，6米20根，8米15根，如何下料最节省？若客户增加需求：5米10根，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种，如何下料最节省？ 实验过程： 摘要：生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题，将原材料加工成所需大小的过程,称为原料下料问题。按工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题。以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 对题目所提供的数据进行计算从而得出最优解。 关键词：钢管下料、线性规划、最优解 问题一 一、问题分析： （1）我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少； （2）我们要去确定应该怎样去切割才是比较合理的，我们切割时要保证使用原料的较少的前提下又能保证浪费得比较少； （3）由题意我们易得一根长为17米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一)： 表一：切割模式表 模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料/m 1 4 0 0 1 2 1 2 0 1 3 2 0 1 1 4 2 1 0 3 5 0 1 1 3 6 0 0 2 1