3.2 不等式的基本性质
A 组
1．若x ＞y ，则下列式子中，错误的是(D )
A ．x －3＞y －3
B ．x 3>y 3
C ．x ＋3＞y ＋3
D ．－3x ＞－3y
2．已知实数a ，b 满足a ＋1>b ＋1，则下列选项中，错误的是(D )
A ． a >b
B ． a ＋2>b ＋2
C ． －a <－b
D ． 2a >3b
3．若x ＋5>0，则(D )
A ．x ＋1<0
B ．x －1<0
C ．x 5
<－1 D ．－2x <12 4．若a__－b ＋1；(m 2＋1)a__<__(m 2＋1)b ．(填“>”“<”或“＝”．)
5．满足不等式12
x<1的非负整数是__0，1__． 6．现有不等式的两个性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．
②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a≠0)．
(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a≠0)．
【解】 (1)当a ＞0时，a ＋a ＞a ＋0，即2a ＞a ．
当a ＜0时，a ＋a ＜a ＋0，即2a ＜a ．
(2)当a ＞0时，由2＞1，得2·a＞1·a，即2a ＞a ．
当a ＜0时，由2＞1，得2·a＜1·a，即2a ＜a ．
7．已知x (1)3x －1与3y －1． (2)－23x ＋6与－23 y ＋6． 【解】 (1)∵x ∴3x<3y(不等式的基本性质3)， ∴3x －1<3y －1(不等式的基本性质2)． (2)∵x ∴－23x>－23y(不等式的基本性质3)， ∴－23x ＋6>－23 y ＋6(不等式的基本性质2)． 8．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x (1)x ＋2>7． 【解】 两边都减去2，得x>5． (2)3x<－12． 【解】 两边都除以3，得x<－4． (3)－7x>－14． 【解】 两边都除以－7，得x<2． (4)13x<2． 【解】 两边都乘3，得x<6． B 组 9．已知关于x 的不等式x>a －32 在数轴上的表示如图所示，则a 的值为(A ) （第9题） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 【解】 由题意，得a －3 2＝－1，解得a ＝1． 10．当0 的大小顺序是(A ) A ． x 2 【解】 在不等式0 在不等式0 ． 11．已知关于x 的不等式(m －1)x ＞6，两边都除以(m －1)，得x ＜6m －1 ，则化简：|m －1|－|2－m|＝__－1__． 【解】 不等式(m －1)x ＞6两边都除以(m －1)，得x ＜6m －1 ，∴m －1＜0． 两边都加上1，得m ＜1，∴2－m ＞0， ∴|m －1|－|2－m|＝(1－m)－(2－m) ＝1－m －2＋m ＝－1． 12．已知表示有理数a 的点在数轴上的位置如图所示： (第12题) 试比较a ，－a ，|a|，a 2 和1a 的大小，并将它们按从小到大的顺序，用“＜”或“＝”连接起来． 【解】 由数轴可知－1＜a ＜0， ∴0＜－a ＜1，|a|＝－a ，－1a >0． 在不等式－1＜a ＜0的两边都乘a ，得0＜a 2＜－a ． 在不等式－1＜a ＜0的两边都乘－1a ，得1a ＜－1＜0． ∴1a ＜a ＜a 2＜－a ＝|a|． 13．某单位为改善办公条件，欲购进20台某品牌电脑，据了解，该品牌电脑的单价大致在6000元至6500元之间，则该单位购进这批电脑应预备多少钱？ 【解】 设该品牌电脑的单价为x 元． 则6000≤x≤6500． ∴6000×20≤20x ≤6500×20(不等式的基本性质3)， 即120000≤20x≤130000． 答：该单位购买这批电脑应预备的钱数在12000元至13000元之间． 数学乐园 14．已知a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b <2．导学号：91354019 【解】 由“三角形两边之和大于第三边”可知， a b ＋c ，b c ＋a ，c a ＋b 均是真分数． 再利用分数与不等式的性质，得 a b ＋c ． 同理， b c ＋a <2b c ＋a ＋b ，c a ＋b <2c a ＋b ＋c ． ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b <2a b ＋c ＋a ＋2b c ＋a ＋b ＋2c a ＋b ＋c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 8.1 认识不等式教学设计（公开课） 【教学目标】 1．知识与技能：了解不等式及其解的意义； 2．过程与方法：分析和探索实际问题中的数量关系； 3．情感态度与价值观：通过对实际问题的探索，体会现实世界中大量存在着数量间的不等关系，比较数量的大小，研究它们的变化规律，是人们在工作和生活中解决实际问题的需要。 【教学重点和难点】 1．重点：了解不等式的意义； 2．难点：不等式的解的探索过程。 【学法指导】 1．独立思考与合作探究； 2．培养学生分析问题、解决问题的能力； 3．培养学生寻找、探索规律； 4．归纳概括的能力； 5．联系生活、联系实际； 6．类比学习的方法。 一、设置情境,引入概念 世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？ 问题1：究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢？ [算一算] 买27张门票，要付款 5×27＝135（元） 买30张门票，要付款 4×30＝120（元） 显然120<135 这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，实际上反而节省了。 问题2：“当人数少于30人时，至少要有多少人去世纪公园买30张票反而合算”依题意你能列出数学式子解决这个问题吗? [师生问答] 问：假设有x人进公园, x＜30,那么,按实际人数买票X张,每张5元,要付款多少元？ 答：5x元 问：如果买30张票时付款多少元呢？ 答：30×4＝120元 问：如果买30张票合算,应有什么关系？ 答：120＜5x [概念引入1] 仔细观察下式,指出它们的共同点: 120＜135，x ＜30,120＜5x , 再如3+4>1+4, 2x+3≥6,3a-4≤6 , a≠b等。 不等式的概念：一般地，用不等号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）, “≠”连接表示不等关系的式子叫做不等式。 [仔细想一想] 判断下列各式中哪些是不等式： ⑴x＋1＝2 ⑵5m－3＞1 ⑶x－6 ⑷11a－4≤6 ⑸7＞ 4 ⑹2x－y≥0 [联系实际] 让学生自己列举生活中不等关系的实例。 问题3：当x取哪些数值时，120＜5x成立？ 前面已经算过，当x＝27时，上式成立。让我们再取一些值试一试，将结果填入下表。 当x=25，26，27，28，29时，不等式120＜5x成立； 也就是说，少于30人时，至少要25人进公园，买30张票反而合算。 [概念引入2] 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解 不等关系 ※ 1. 一般地 ,用符号“ <”(或“≤” ), “>”(或“≥” )连接的式子叫做不等式 . 2.要区别方程与不等式 : 方程表示的是相等的关系 ;不等式表示的是不相等的关 系 . ※ 3. 准确“翻译”不等式 ,正确理解“非负数” 、“不小于”等数学术语非负数 <===> 大于等于 0( ≥0) <===> 0 和正数 <===> 不小于非正数 <===> 小于等于 0( ≤0) <===> 0 和负数 <===> 不大于. 0 0 1．实数a，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（）A． ab＞0 B．a+b ＜0 C．＜1 D．a-b ＜0 2．在数轴上与原点的距离小于A． -8＜x＜8B．x＜-8 8 的点对应的 x 满足（ 或 x＞8 C．x＜8 ） D． x＞ 8 3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（） A． +1 ＞2 B．x2＞ 9 C．2x+y ≤ 5D．＜ 0 4．下列表达式：① -m2≤0；②x+y＞ 0；③ a2+2ab+b 2；④（ a-b ）2≥0； ⑤ --（ y+1 ）2＜ 0．其中不等式有（） A． 1 个B．2 个C．3 个D． 4 个 5．若 m 是非负数，则用不等式表示正确的是（A． m＜0B．m ＞0C．m≤0） D． m≥0 6．无论 x 取什么数，下列不等式总成立的是（） A． x+6＞0 B．x+6 ＜0 C．- （x-6 ）2＜0 D．（ x-6 ）2≥0 7．下列不等关系中，正确的是（） A． a 不是负数表示为 a＞0 B． x 不大于 5 可表示为 x＞5 C． x 与 1 的和是非负数可表示为x+1＞0 D． m 与 4 的差是负数可表示为m-4 ＜0 教学重点：学会运用移项法解一元一次方程； 教学难点：归纳移项法解一元一次方程的步骤； 预设方案：先利用等式的性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程，当然今天是第一次接触这部分内容，所以在方程的选择上，都是移项后，同类项的合并比较简单，与前一节内容相比较，可轻易感受到这种解法的简洁性；讲解完成后，进一步给出了练一练的几个方程，让学生动手去做。 学生做题过程大致有以下几种比较常见的情况：①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号；（①、②两种情况出现最多）；针对以上情况，我在上课时，先让有困难的学生说一下自己在解题过程中出现的困难，让其他同学帮助他找出错误并加以解决，这样更能促进同学间的相互进步。再让学生总结注意点，教师进行点拨。最后对解一元一次方程的一般步骤进行了小结，通过小结教师能很好地看出学生的知识形成和掌握情况。 作为本堂课的难点，也就是解方程过程中的移项变号问题，我认为：虽然教师的主导作用发挥出来了，但学生的主体作用没有得到很好的发挥，移项变号的法则不应是让学生记住其概念，而应是让学生在探究中去理解和掌握，在课堂上应让学生有足够的时间去讨论，去练习，教师有针对性的给学生中出现的错误予以纠正，这样才能达到事半功倍的效果，才能真正掌握好这一知识点。因此，在以后的教学中，首先在备课这一环节上，备课就是备学生，要充分朝学生方面考虑，有针对性地对教学重点和难点设计题型；同时在教学过程中要留有一定的时间让学生充分地探讨和交流，发挥学生学习的主观能动作用；再者，要有针对性地布置适量的练习，让其巩固，这样才能达到预期的教学效果。我想：对于本堂课存在的问题在以后的教学中要及时的进行解决，认真反思自己的教学方法和手段，及时反馈学生学习的信息，注重课堂教学效果。 1. 1不等关系 一、基础过关 1 ?下而给出了 5个式子：①3>0,②4x+3y>0,③x=3, ?x-l,⑤x+2W3,其中不等式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） _j _______ L A. a>0, b<0 B. a<0, b>0 C. ab>0 D.以上均不对 b ° 2题 3. 8是非负数的表达式是（ ）A. a>0 B ?a $0 C ?a^O D ?a^O 高高的.”如果设苹杲的实际质量为x 斤，用不等式把这个 x>2 D ? x<2 7. A. a 数学测试（1） 一、选择题 1． 由x ＜y 得到ax ＞ay ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ≤0 ２．不等式 21 x ＜2的非负整数解有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．3个 D ．2个 ３．－5x ＞3的解集是（ ） A ．x ＞－ 53 B ．x ≥－53 C ．x ＜－53 D ．x ≤－5 3 ４．不等式组? ???-≥-040 12x x 的解集是（ ） A ． 21≤x ≤4 B ．21＜x ≤4 C ．21＜x ＜4 D ．2 1 ≤x ＜4 ５．在数轴上表示不等式x ≥－2的解集，正确的是（ ） A ． B 。 C ． D 。 6．满足不等式组?? ??-≥+7107 12m m 的整数m 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．若方程组?? ?=++=+3 31 3y x k y x 的解x ，y 满足0＜x ＋y ＜1，则k 的取值范围是（ ） A ．－4＜k ＜0 B ．－1＜k ＜0 C ．0＜k ＜8 D ．k ＞－4 ８．某种植物适宜生长温度为18～20的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现测得山脚下的气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜？如果设该植物种植在海拔高度为x 米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（ ） A ．18≤22－ 100x ×0.55≤20 B ．18≤22－100x ≤20 C ．18≤22－0.55x ≤20 D ．18≤22－ 10 x ≤20 10．已知关于x 的不等式组???+?-≥-1 22b a x b a x 的解集为3≤x ＜5，则a b 的值为（ ） A ．－2 B ．－ 21 C ．－4 D ．－4 1 二．填空题 11．若 2 1x 2m －1 －8＞5是关于x 的一元一次不等式，则m ＝_____。 12．若x ＜－1，则x_____x 1 （填“＞”、“＜”）。 13．不等式6－12x ＜0的解集是_____。 14．不等式组?? ??+?-15 323 1x x 的解集是_____。 15．不等式组11 425 ?????? ? ?≥-+x x 的非负整数解是_____。 16．若不等式（2k ＋1）x ＜2k ＋1的解集是x ＞1，则k 的范围是_____。 17．如果不等式3x －m ≤0的正整数解是1，2，3，那么k 的范围是_____。 18．如果n 是一个正整数，且它的3倍加10不小于它的5倍减2，则n 为_____。 19．已知关于x 的方程组? ? ?-=++=+1341 23p y x p y x 的解满足x ＞y ，则p 的取值范围是_____。 20．一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分子一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6名同学在操场上踢足球，则这个班的学生共有_____人。 三．解答题 21．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。 （1）2（x ＋1）－3（x ＋2）＜0 （2）31-x ＜4 1 +x －2 七年级上册数学一元一次方程重点难点题型全覆盖试卷附详细答案 一、单选题（共11题；共22分） 1.方程2- =－ 去分母得（ ） A. 2－5(3x －7)= －4(x+17) B. 40－15x －35=－4x －68 C. 40－5(3x －7)= －4x+68 D. 40－5(3x －7)= －4(x+17) 2.某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用x 天，则下列方程正确的是（ ） A. x+312+x 8=1 B. x+312+ x?3 8 =1 C. x 12+x 8=1 D. x 12+ x?3 8 =1 3.某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于10%，那么至多打（ ） A. 9折 B. 8折 C. 7折 D. 6折 4.某种商品的进价为1200元，标价为1575元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%,则至多可打（ ） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 5.某中学向西部山区一中学某班捐了若干本图书.如果该班每位同学分47本，那么还差3本；如果每位同学分45本，那么又多出43本，则该班共有学生( )名. A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6.若x ＝2是方程k （2x －1）＝kx ＋7的解，那么k 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 7 D. -7 7.商店同时以60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的是（ ） A. 不赔不赚 B. 亏损8元 C. 盈利3元 D. 亏损3元 8.下列式子中，是一元一次方程的是（ ） A. x+2y=1 B. ?5x +1 C. x 2=4 D. 2t+3=1 9.某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润率由m%提高到(m+6)%，则m 的值为( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 1 10.一个教室有5盏灯，其中有40瓦和60瓦的两种，总的瓦数为260瓦，则40瓦和60瓦的灯泡个数分别是（ ） A. 1，4 B. 2，3 C. 3，2 D. 4，1 11.一益智游戏分二阶段进行，其中第二阶段共有25题，答对一题得3分，答错一题扣2分，不作答得0分．若小明已在第一阶段得50分，且第二阶段答对了20题，则下列哪一个分数可能是小明在此益智游戏中所得的总分（ ） 八年级上册数学-一元一次不等式应用题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 1、某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。 （1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ （2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？ 2、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 3、（2008?厦门）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过多少cm？ 4、某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每时可处理垃圾55吨，每时需费用550元；乙厂每时可处理垃圾45吨，每时需费用495元。 （1）若甲厂每天处理垃圾x时，则乙厂每天应处理垃圾多少时间刚好处理完（用关于x的代数式表示）？ （2）若规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，则甲厂每天处理垃圾至少需多少时间？ 5、某汽车租凭公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆 轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1 500元，那么应该选择以上哪种购买方案？ 6、（2012?益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． （1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ （2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 7、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来,并求出最低的租车费用． 初中八年级数学不等式习题 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;做八年级数学练习题应知难而进。为大家整理了初中八年级数学不等式习题，欢迎大家阅读! 初中八年级数学不等式练习题1、根据a的2倍与-5的和是非负数列出不等式是 . 2、当x满足条件，代数式x+1的值大于3. 3、不等式-3x 6的负整数解是 . 4、构造两个一元一次不等式，使它们的解集都是x . ____________，______________。 5、不等式(m-2)x 2-m的解集为x -1，则m的取值范围是 . 6、说出下列各数轴所表示的不等式(组)的解集 (1) (2)__ (3) (4) __________________ ________________ ________________ ______________ 7、下列变形不正确的是( ). (A)若a b，则b-b，则b a (C)由-2x a，得x (D)由x -y，得x -2y 8、若x y，则ax ay，那么a一定为( ). (A)a 0 (B)a 0 (C)a 0 (D)a 0 9、如果不等式ax 2的解集是x -4，则a的值为( ). (A)a= (B)a (C)a (D)a 10、数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( ). (A)a b (B)ab 0 (C)a+b 0 (D)a+b 0 11、下列说法中，错误的是( ) A. 不等式的解集是 B. 是不等式的一个解 C. 不等式的整数解有无数个 D. 不等式的正整数解只有一个 12、如果0 A、x2 x B、x2 x C、x x2 D、x x2 13、已知当x取何值是?当x取何值时? 14、解下列不等式. (1)10-3(x+6) (2)(x-3) 1-2x;; (3)15-3(x+4) (4)x-3 1-2x;; (5) (6)-x-1 . 15、三个连续正奇数的和小于21，这样的正奇数组共有多少组?把它们都写出来. 16、求不等式的非负整数解 17、关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，求m的取值范围。 18、已知不等式5(x-2)+8 6(x-1)+7的最小整数值为方程2x-ax=4的解，求a的值。 一元一次不等式重难点突破(配套习题） 知识点1：不等式组基本性质（一看系数，二看符号） 1．若（m ﹣1）x ＞m ﹣1的解集为x ＜1，则（ ） A. m ＞1 B. m ＜1 C. m ＞0 D. m ＜0 2．下列不等式一定成立的是（ ） A.5a ＞4a B.x+2＜x+3 C.－a ＞－2a D. a a 24> 3．关于x 的不等式（m +1）x ＞m +1的解集为x ＜1，则（ ） A. m ＜0 B. m ＜﹣1 C. m ＞1 D. m ＞﹣1 4.当m ______________时，不等式(1 )8m x 的解集为81 x m 。 5.如果0< C 、a b x -< D 、a b x -> 6.已知关于x 的不等式ax b 的解集为2x ，则2ax b 的解集为 ，则不 等式2ax a bx b 的解集为 7.已知关于x 的不等式32ax x a 的解集为2x ，则a 的值为 若其解集为2x ，那么a 是否存在？请说明理由。 知识点2：不等式组的解集（5种基本形式，注意是否取“=”） 1、若不等式组? ??<<-a x x 312的解集是x<2，则a 的取值围是（ ） A.22 32 a x a x 无解，则常数a 的取值围是 . 典型例题：不等式 1．不等式3(x+1)≥5x?3的正整数解是____________． 答案：1，2，3 说明：不等式3(x+1)≥5x?3，可变形为3x+3≥5x?3，即?2x≥?6，两边同除以?2，得出x≤3，这时x可取的正整数为1，2，3． 2．下列说法中错误的是( ) A．不等式x+1≤4的整数解有无数个 B．不等式x+4<5的解集是x<1 C．不等式x>4的正整数解是有限个 D．0是不等式3x<1的解 答案：C 说明：不等式x+1≤4的解集为x≤3，即所有负整数和0，1，2，3是它的整数解，显然有无数个，选项A中说法正确；不等式x+4<5，两边同时减去4，即得到它的解集为x<1，选项B中说法正确；不等式x>4的正整数解为所有大于4的整数，有无数个，选项C中说法错误；当x=0时3x=0<1成立，所以0是不等式3x<1的解，选项D中说法正确；因此，答案为C． 判断正误： ①如果?a>?b，则a>b ( ) 错；?a>?b两边同乘以?1，不等号方向改变，得a?2b，则a>?b ( ) 对；2a>?2b两边同除以2，不等号方向不变，得a>?b ③如果ab>ac，则b>c ( ) 错；当a≤0时，由ab>ac无法得出b>c ④若x>x 1，则x>1 ( ) 错；取x=?21，则x>x 1成立，但此时x>1不成立 ⑤若a ?5>b ?5，则a>b ( ) 对；a ?5>b ?5两边同加5即a>b ⑥若a>b ，则a 2>b 2 ( ) 错；取a=?1，b=?2，此时a>b 成立，但a 2，则a< b ( ) 错；取a=1，b=?1，此时b a 33>成立，但a> b ⑧若a>b ，c>d ，则ac>bd ( ) 错；取a=1，b=0，c=?1，d=?2，此时a>b ，c>d 都成立，但ac 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 一元一次方程的重难点复习 授课教师：中山市东升旭日中学 何 勇 一、【学习目标】 1.知识与技能：回顾本章所学知识,梳理重要知识点,进一步系统理解和掌握； 2.过程与方法：通过知识梳理培养总结归纳能力;通过问题解决进一步体会解方程中蕴含的“化归思想”和实际问题中蕴含的“数学建模思想”； 3.情感与态度：通过师生互动,感受合作学习的快乐． 二、【重点难点】 1.学习重点：通过知识点的回顾，掌握解一元一次方程的五部曲，准确计算； 2.学习难点：掌握实际问题中蕴含的“数学建模思想”；求解实际问题． 三、【教学过程】 ◆◆活动1----独立思索与合作探究◆◆ ◆解下列方程 （1） （2） 师生活动：教师播放PPT,每小组学生完成． 设计意图：激起学生的知识回忆，训练学生解回忆求解方程的步骤，为整节课的学习铺垫基础． ◆展示成果,查找问题 解一元一次方程的五部曲 1.去分母（两边同时乘以最小公倍数、两边同 时，带上括号） 2.去括号（先定符号，再绝对值相乘） 3.移项（移动位置的项要改变符号，不动不变） 4.合并同类项（系数合并） 5.系数化为1 师生活动：教师播放PPT ，学生整体快速齐回答，学生整体齐读． 设计意图：计算练习过后，让学生总结归纳，熟记解一元一次方程的五部曲，为学生后面熟练地计算做好铺垫，促使学生快速集中精神投入整节课的学习，营造轻松愉快的学习氛围． ◆◆活动2----看图回忆，激趣诱思◆◆ 等式性质1：．，那么如果c b c a b a ±=±= 等式性质2：；，那么如果bc ac b a == ()．那么 如果c b c a c b a =≠=,0 43135x x ---=21136 y y -= - 八年级上册数学不等式教案 在初中数学教学过程中,教学质量的高低和有效的教案有着不可分割的联系。至于要如何做好一份优秀的教案呢?下面整理了人教版八年级上册数学不等式教案以供大家阅读。 人教版八年级上册数学不等式教案〖教学目标〗 在本学段，学生将经历从实际问题中建立不等关系，进而抽象出不等式的过程，体会不等式和方程一样，都是刻画现实世界中同类量之间关系的重要数学模型，同时进一步发展学生的符号感. (-)知识目标 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义. 2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法. 3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要. (二)能力目标 1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力. 2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力. (三)情感目标 1.通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识. 2.通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美. 〖教学重点备注：不等号的由来 ①现实世界中存在着大量的不等关系，如何用符号表示呢?为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰. ②后来，人们在表达不等关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多情况下，要用到一个数(或量)大于或等于另一个数(或量)，此时就把“>”和“=”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于或等于”，有时也称为“不小于”.同样，把符号“≤”读做“小于或等于”，有时也称为“不大于”. 那么如何理解符号“≥”“≤”的含义呢?用“≥”表示“>”或“=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.同样“≤”也有类似的情况. ③因此有人把a>b,b”或“=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立. 三、补充练习 作业：课本P4习题 5分钟练习 1.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为( ) 一. 教学内容： 1. 不等式及其基本性质． 2. 一元一次不等式（组）的解法． 3. 一元一次不等式（组）的应用． 二. 知识要点： 1. 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，但特别应注意不等式的基本性质3；在不等式两边都乘以（或除以）同一个__________时，不等号要__________． 2. 一元一次方程的标准形式为ax ＋b ＝0（a ≠0），类似地，一元一次不等式的标准形式为ax ＋b __________0或ax ＋b __________0（a ≠0）． 3. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程的过程类似，所不同的是：在“去分母”或“系数化为1”时，如果乘数或除数是负数，要__________． 4. 将一元一次不等式的解集在__________上表示出来，可以加深对一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集． 5. 一元一次方程的解只有唯一一个，在数轴上用一个点表示；而一元一次不等式的解集中含有__________个数，在数轴上用__________点的集合表示． 6. 解一元一次不等式组分两个步骤： （1）________________________________________； （2）________________________________________． 7. 不等式的知识来源于生活，而我们又运用它来解决实际生活中的问题，因此我们要学会分析现实世界中量与量之间的不等关系，并抽象出__________，当求出不等式或不等式组的解集以后，还要认真检验其中哪些解__________，从而合理解释实际问题． 三. 重点难点： 重点是不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解法，难点是一元一次不等式（组）的实际应用问题． 四. 考点分析： 不等式的问题在中考当中是必考内容，一般是以填空题和选择题的形式出现，主要的考查有两点：一是不等式和不等式组的解法以及如何把不等式（组）的解集在数轴上表示出来，二是不等式（组）的应用问题．所占分值不高，大约6分． 【典型例题】 例1. （1）用不等式表示“x 的绝对值的相反数不是正数”是__________． （2）如果a ＜b ，那么－12a __________－1 2 b （填“>”或“<”）． 分析：（1）x 的绝对值的相反数表示为－︱x ︱，不是正数则为0或负数，即小于或等于0．（2） 经观察发现不等式的两边都乘以了－12．因为－1 2 ＜0，所以不等号的方向改变． 2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题9.6一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019?覃塘区三模）不等式1 2x +1＜3的正整数解有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2019春?霍邱县期末）使代数式4x ?32的值不大于3x +5的值的x 的最大整数值是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．（2020春?莒县期末）已知不等式2x ﹣a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞10 B ．10≤a ≤12 C ．10＜a ≤12 D ．10≤a ＜12 4．（2019?广元一模）不等式﹣4x ﹣k ≤0的负整数解是﹣1，﹣2，那么k 的取值范围是（ ） A ．8≤k ＜12 B ．8＜k ≤12 C ．2≤k ＜3 D ．2＜k ≤3 5．（2020秋?青田县期末）若关于x 的不等式3x +1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 6．（2020春?嘉祥县期末）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下 列的（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2020秋?余杭区期末）若关于x 的不等式组{x ?2＜03x +4＞a ?x 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．1 8．（2020?南山区三模）关于x 的不等式组{2x?13＜2?1+x ＞a 恰好只有4个整数解，则a 的取值范围为（ ） 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组整章水平测试 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1．若代数式的值不小于-3 ，则 t 的取值范围是 _________． 2．不等式的正数解是1，2， 3，那么 k 的取值范围是 ________． 3．若，则x 的取值范围是________． 4．若，用“＜”或“＞”号填空：2a______， _____． 5．若，则x 的取值范围是 _______． 6．如果不等式组有解，那么m的取值范围是 _______． 7．若不等式组的解集为，那么的值等于_______． 8．函数，，使的最小整数是________． 9．如果关于x 的不等式和的解集相同，则 a 的值为 ________． 10．一次测验共出 5 道题，做对一题得一分，已知26 人的平均分不少于分，最低的得 3 分，至少有 3 人得 4 分，则得 5 分的有 _______人． 二、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．当时，多项式的值小于0，那么 k 的值为 [ ]． A．B．C．D． 2．同时满足不等式和的整数x 是 [ ]． A． 1，2， 3 B ． 0， 1，2， 3 C． 1，2， 3， 4 D ． 0， 1，2， 3， 4 3．若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有[ ]． A． 3 组B．4组C．5组D．6组 4．如果，那么[ ]． A．B．C．D． 5．某数的 2 倍加上 5 不大于这个数的 3 倍减去 4，那么该数的范围是[ ]．A．B．C．D． 6．不等式组的正整数解的个数是[ ]． A． 1B．2C．3D．4 7．关于 x 的不等式组有四个整数解，则 a 的取值范围是[ ]． A．B． C．D． 8．已知关于x 的不等式组的解集为，则的值为[ ]． A． -2 B．C．-4D． 9．不等式组的解集是，那么m的取值范围是[ ]． A．B．C．D． 10．现用甲、乙两种运输车将46 吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重 5 吨，乙种运输车载重 4 吨，安排车辆不超过10 辆，则甲种运输车至少应安排[ ] ．A． 4 辆 B ． 5 辆 C ． 6 辆 D ．7 辆 三、解答题（本大题，共40 分） 1．（本题 8 分）解下列不等式（组）： （ 1）； （2） 2．（本题 8 分）已知关于x， y 的方程组的解为非负数，求整数m的值． 3．（本题 6 分）若关于x 的方程的解大于关于x 的方程的解，求 a 的取值范围． 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 八年级数学（下）《不等式》测试题 姓名 班级 总分 一、填空题（每题2分，共计20分） ⑴用恰当的不等号表示下列关系： ①x 的3倍与8的和比y 的2倍小： ； ②老师的年龄a 不小于你的年龄b ： . ⑵不等式3(x+1)≥5x —3的正整数解是 ⑶当a 时，不等式(a —1)x ＞1的解集是x ＜ 11-a . ⑷已知x ＝3是方程2a x -—2＝x —1的解，那么不等式(2—5a )x ＜3 1的解集是 ⑸已知函数y=2x —3，当x 时，y ≥0；当x 时，y ＜5. X+8＜ 4x －1 ⑹若不等式组 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 x ＞m x －a ≥0 ⑺已知关于x 的不等式组 的整数解共有5个，则a 的取值范围是 3－2x ＞－1 2x －a ＜1 ⑻若不等式组 的解集为—1＜x ＜1，那么(a —1)(b —1)的值等于 x －2b ＞3 ⑼小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买 只钢笔. ⑽2001年某省体育事业成绩显著，据统计，在有关大赛中获得奖牌数如右表所示(单位：枚)如果只获得1枚奖牌的选手有57人，那么荣获3枚奖牌的选手最多有 人. 二、选择题（每题4分，共计40分） ⑾已知“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x 2—y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有 个. A.2； B. 3； C.4； D. 5. ⑿如果m 《一元一次不等式组》重难点突破 教学重点是一元一次不等式组的解法，教学难点是理解一元一次不等式组解集的含义． 一、一元一次不等式组 突破建议： 1．一元一次不等式组的的形成，同方程组一样，教材中未知数x满足两个不等量关系，即满足两个不等式，教师可类比方程组形成一元一次不等式组的的概念． 2．一元一次不等式组的定义教材中没有明确指出，只是说这两个不等式合起来就组成了一个一元一次不等式组，实际上一元一次不等式组可以由两个或更多的一元一次不等式组成． 二、一元一次不等式组的解集 突破建议： 1．一元一次不等式组中的每个不等式的解集的公共部分称之为这个不等式组的解集，这一点等同方程组的解． 2．解集公共部分有三种情况：①公共部分为各自其中的一部分或全部；②公共部分为一个点；③无公共部分． 3．一元一次不等式组的解集一方面从形上借助数轴来求，直观一目了然．另一方面从数来说，利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间夹，大大小小是无解”来求解．解一元一次不等式组的方法和步骤： ①解出不等式组的每个不等式的解集； 例题：1．解不等式组 ②利用数轴或解集规律即口诀求公共部分． 解析：解不等式组时，要先分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集，注意实心点和空心圆圈的区别． 例题:2．解不等式-3≤＜7 解析：这是一个连续的不等式，其实就是一个不等式组，先化为不等式组，再解不等式组． 三、一元一次不等式组和方程 把不等式和方程知识点结合，熟练掌握不等式和方程的解法，体会相互转化的思想． 例题: 1．不等式组的解集是0＜x＜2，求a+b的值 解析：本题为不等式与方程的综合运用，先用含a，b的式子表示不等式组的解集，再利用不等式组的解集的概念有对应关系建立含a，b的方程，求出a，b的值． 例题: 2．已知方程组的解满足x+y＜1，且m为正数,求m的范围．解析：可先解方程，用含m的式子表示x，y，再代入x+y＜1中转化为关于m的不等式，也可以应用整体思想将两个方程左右两边相加得到x+y与m的关系，再代入转化为m的不等式．八年级上册数学-不等式的认识
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