初中数学竞赛辅导资料(28)
三角形的边角性质
甲内容提要
三角形边角性质主要的有:
1. 边与边的关系是:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边,反
过来要使三条线段能组成一个三角形,必须任意两条线段的和都大于第
三条线段,即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下:
a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-???
????????>+>+>+?<
推广到任意多边形:任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是:三角形三个内角和等于180 ;任意一个外角等于和
它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形:四边形内角和=2×180 , 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n -2) 180
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中,等边对等角,等角对等边;
大边对大角,大角对大边。
② 在直角三角形中,
△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+?(勾股定理及逆定理)
△ABC 中??
??=∠∠=∠ 30A Rt C a :b :c=1:3:2 △ABC 中??
??=∠∠=∠ 45A Rt C a :b :c=1:1:2 乙例题
例1.要使三条线段3a -1,4a+1,12-a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
解:根据三角形任意两边和大于第三边,得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得??
???<->>51135.1a a ∴1.5 答当1.5 例2.如图 A B C D AB=x ,AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转,使点A 和D 重合组成三角形,下列不等式哪些必须满足? ① x<2z , ②y z 解由已知AB=x, BC=y -x, CD=z -x 要使AB ,BC ,CD 组成三角形,必 须满足下列不等式组: ?????>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即?????>>+>x z y z x z y 2222∴???? ?????<+<>222z x z x y z y 答y z 必须满足。 例3.已知△ABC 的三边都是正整数,a=5, b ≤a ≤c,符合条件的三角形共有 几个?试写出它们的边长。 解:由已知a=5,1≤b ≤5,∵c ∴符合条件的三角形共有15个,(按b,a,c 排列) 它们的边长是:155;255,256;355,356,357;455,456,457,458; 555,556,557,558,559。 例4. 如图求角A ,B ,C ,D ,E ,F 的度数和 解:四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B ,∠2=∠C+∠D ∠1+∠2+∠E +∠F = 360度 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 例5.△ABC 中,∠A ≤∠B ≤∠C ,2∠C=5∠A ,求∠B 的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 21N M A B C D E F 解:根据题意,得 ?? ???=∠+∠+∠∠=∠∠≤∠≤∠ 18052C B A A C C B A 得∠C=75(180 -∠B),∠A =72(180 -∠B) ∴72(180 -∠B)≤∠B ≤7 5(180 -∠B) ∴ 40 ≤∠B ≤75 例6.在凸四边形ABCD 中,AB =BC =CD ,∠A :∠B :∠C =1:1:2 求各内角的度数 解:作∠BCD 的平分线交AD 于E , △BCE ≌△DCE (SAS ) ∴∠D =∠CBE △BCE ≌△BAE (SSS ) ∴∠CBE =∠ABE =∠D 设∠D =X 度,则2X +2X +4X +X =360 ∴X =40(度) 答∠DAB =∠ABC =80 ,∠B ∠D =160 ,∠D =40 丙练习28 1. △ABC 中,a=5,b=7,则第三边c 和第三边上的高h c 的取值范围是__ 2. a,b,c 是△ABC 的三边长,化简22)()(c b a c b a --+-+得__ 3. 已知△ABC 的两边长a 和b (a 是_________ 4. 三边长是连续正整数,周长不超过100的三角形共有___个,按边长 的数字写出这些三角形___________________ (按由小到大的顺序排列,可用省略号)(1987年全国初中数学联赛题) 5. 各边都是整数且周长小于13,符合条件的 ① 不等边三角形有___个,它们的边长是:_________ ② 等腰三角形有______个,它们的边长是:___________ 6.如果等腰三角形的周长为S ,那么腰长X 的适合范围是________ 7.四边形ABCD 中,AB =2,BC =4,CD =7,边AD 的适合范围是___ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有_____个钝角 (1986年泉州市初二数学双基赛题) 9.△ABC 中,a>b>c,那么∠C 的度数是范围________ ( 1987年泉州市初二数学 双基赛题) 10.△ABC 中,∠C 、∠B 的平分线相交于O ,∠BOC =120 ,则∠A =__ 11.△ABC 中,AB =AC ,∠A =40 ,点D ,E ,F 分别在BC ,AC ,AB 上,CE =BD ,BF =DC ,则∠EDF =__(1986年泉州市初二数学双基赛题) A 4 23 1B C D 12.如图∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_____度 (1986年泉州市初二数学双基赛题) 13.如图∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠H =__度 14.如图△ADE 中,∠ADE =140 且AB =BC =CD =DE ,则∠A =__ 15.如图∠A +∠B +∠C +∠AED =_度(1988年泉州市初二数学双基赛题) (这里∠AED 是指射线EA 绕端点E 按逆时针方向旋转到ED 所成的角) 16.△ABC 的AB =AC =CD ,AD =BD ,则∠BAC =___度 (1988年泉州市初二数学双基赛题) 17.△ABC 中,∠A =Rt ∠,∠B =60 ∠B 的平分线交AC 于D ,点D 到边BC 的距离为2cm,则边AC 的长是__cm (1988年泉州市初二数学双基赛题) C B A E B C D D A 18.△ABC 中,AB =AC ,M 是AC 的中点,则 BM AB 的值是( ) (A ) 大于21(B )大于32(C )大于31(D )大于43 19不等边三角形的三边长均为整数,其周长是28,且最大边与次大边的差比次大 边与最小边的差大1,则这样的三角形共有__个,它们的边长是:___________。 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 20.菱形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,且△AEF 为等边三角形,求∠C 的度数。 返回目录 参考答案 D 7654321A F E D C B A B C E J A B C D 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 欧拉(Euler)线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆: 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆; 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点: 已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦(Heron)公式: 塞瓦(Ceva)定理: 在△ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1;其逆亦真。 密格尔(Miquel)点: 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF, 则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。 葛尔刚(Gergonne)点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F, 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。 西摩松(Simson)线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足, 则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。 黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割。 帕普斯(Pappus)定理: 已知点A1、A2、A3在直线l1上,已知点B1、B2、B3在直线l2上,且A1 B2与A2 B1交于点X,A1B3与A3 B1交于点Y,A2B3于A3 B2交于 点Z,则X、Y、Z三点共线。 初中数学竞赛辅导资料(65) 图象法 甲内容提要 1. 在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数 根,有理数根,整数根的充分必要条件. 2. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中, ① 有两个实数根的充分必要条件是?? ?≥?≠0 a ②有两个正实数根的充要条件是?????? ??? >>≥?00-0a c a b (a ≠0包含在0 >a c 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是 00均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???????<-<00a b a c 3. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组. 4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象. 乙例题 例1..已知:方程7x 2-(k+13)x+k 2-k -2=0的两个实数根x 1,x 2满足:0 解这个不等式组得?? ? ??><<<->-<.30422 1k k k k k 或;;或 ∴原不等式组解集是 -2 初中数学竞赛辅导资料(12) 用交集解题 甲内容提要 1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个. 2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集. 3. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集. 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3. 4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2) 乙例题 例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……} 除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……} 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数. 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9}; 其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组; 平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组. 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组. 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们 初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a=ba=ba=b ③对任意实数a则a≥a a≥-a ④a·b=ab b≠0 ⑤a-b≤a±b≤a+b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n=1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 = 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数 2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x+y+z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b=且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则 初中数学竞赛重要定理、公式及结论 代数篇 【乘法公式】 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, 立方和(差)公式:(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4) (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5) ………… 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … +ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知:当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式) (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。当被 除式f(x)除以除式g(x),(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时,就有下列等式: f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数,或者r(x)=0。当r(x)=0时,就是f(x)能被g(x)整除。 【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。 【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和,称为将分式化为部分分式,它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有:换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。 【素数和合数】2是最小的素数,也是唯一的一个既是偶数又是素数的数. 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法 1.添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 例2因式分解:①x3-11x+20②a5+a+1 ①分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里 16是完全平方数) ②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) ③分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1) 2.运用因式定理和待定系数法 定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。 例3因式分解:①x3-5x2+9x-6②2x3-13x2+3 初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 初中数学竞赛常用公式内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线初中数学竞赛辅导资料
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