第四章 第一节 行列式的定义
『教案』
一、教学目标：
1. 了解行列式的定义和性质；
2. 掌握二阶、三阶行列式的计算法，会计算简单的n 阶行列式；
3. 了解排列与对换；
4. 会用Gramer 法则解线性方程组。
二、教学重点：
1. 行列式的计算方法。
2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。
3. 克莱姆法则。
三、教学难点：
1、行列式的按行（列）展开。
2、、克莱姆法则。
四、教学的必要条件及方法：
1.条件：多媒体网络教室（联网）、黑板
2.教学方法：讲练结合 五、教学课时：2 课时 六、教学环节：
一． 二阶行列式 设二元一次方程组（*）??
?=+=+2
221
11c y b x a c y b x a
（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）:
当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：???
?
???
--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，
引入记号
2
1a a
2
1b b 表示算式1221b a b a -，即
2
1a a
2
1b b 1221b a b a -=．
举例说明： 课本例1
从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行
列式的元素、对角线法则等． 记=
D 2
1a a
2
1b b ，=
x D 2
1c c
2
1b b ，=
y D 2
1a a
2
1c c ，
①则当=
D 2
1a a
2
1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，
可用二阶行列式表示为???
?
??
?==D
D y D D x y x
． ②当D =0时,0x y D D == 无穷组解； ③当D =0时,0,0x y D or D ≠≠ 无解。
系数行列式1
1
2
2
a b D a b =
也为二元一次方程组解的判别式。 二． 三阶行列式 对角线方式展开
三．n 阶行列式
七、教学反思与改进
本次课，让学生掌握了求极限的方法，以及两个重要极限的应用，并举例子让学生练习巩固学生学习。
第四章 第三节 行列式按行（列）展开 『教案』
一、教学目标：
1. 掌握行列式掌握；
2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵.
二、教学重点：
1. 行列式的计算方法。
2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。
三、教学难点：
1、行列式的按行（列）展开。
2、、用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。
四、教学的必要条件及方法：
1.条件：多媒体网络教室（联网）、黑板
2.教学方法：讲练结合 五、教学课时：2 课时 六、教学环节：
一．三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开
②按某一行(或列)展开法
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---
=11
a 33
32
2322a a a a -12
a 33312321a a a a +13a 32
31
22
21
a a a a
记 322211a a M =
33
23a a ，111
111)
1(M A +-=；31
2112a a M =
33
23a a ， =12A 122
1)
1(M +-；
31
2113a a M =
32
22a a ， 133
113)1(M A +-= 。
称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，
j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。
则三阶行列式就可以写成D =33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,
这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将D 按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。 范德蒙德(Vandermonde)行列式
1222212
1
1
1112
111()n n i j n i j
n n n n
x x x x x x x x x
x x ≥>≥---=
-
∏
（2）三阶行列式的性质
①
行、列依次对调,行列式的值不变,即
② 两行(或两列)
对调,行列式的值变号,例如
③ 某行(或列)所有元素乘以数k,所得行列式的值等于原行列式值的k 倍,
例如
④ 某两行(或两列)的元素对应成比例,行列式的值为零,例如
⑤ 某行(或列)的元素都是二项式,该行列式可分解为两个行列式的和,例如
⑥ 某行(或列)的所有元素乘以同一个数,加到另行(或列)的对应元素上,行列式的值不变,例如
性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。
将三阶行列式的求法推广到n 阶行列式。举例说明： 课本例1、2、3
七、教学反思与改进
本次课，让学生掌握了求极限的方法，以及两个重要极限的应用，并举例子让学生练习巩固学生学习。
第四章 第四节 克莱姆法则
『教案』
一、教学目标：
掌握用Gramer 法则解线性方程组。
二、教学重点：
用Gramer 法则解线性方程组 3. 克莱姆法则。
三、教学难点：
用Gramer 法则解线性方程组
四、教学的必要条件及方法：
1.条件：多媒体网络教室（联网）、黑板
2.教学方法：讲练结合 五、教学课时：2 课时 六、教学环节：
克莱姆法则
设三元一次方程组 (﹡)???
??=++=++=++3333
22221
111d
z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中z y x ,,是未知数，
)3,2,1(=i c b a i i i 、、、是未知数的系数，且不全为零，)3,2,1(=i d i 是常数项。
下面用加减消元法解方程组(﹡)：
我们把方程组(﹡)的系数行列式记为=D 1
11
2
223
3
3
a b c a b c a b c ，用D 的元素321a a a 、、的代数余子
式321A A A 、、依次乘以方程组(﹡)的各方程，得
11111111A d z A c y A b x A a =++
22222222A d z A c y A b x A a =++，
33333333A d z A c y A b x A a =++
将这三个式子相加，得：
332211332211332211332211)()()(A d A d A d z A c A c A c y A b A b A b x A a A a x A a ++=++++++++①
其中①式中x 的系数恰为(﹡)的系数行列式D ．
由于z y 与的系数分别是D 的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此z y 与的系数①都为零．
①式的常数项可表示为 1
112
223
3
3
x d b c D d b c d b c = 于是①式可化简为D ?x=D x 。
类似地，用D 的元素1b 、2b 、3b 的代数余子式1B 、2B 、3B 依次乘以方程组（*）的各方程，可推得D ?y=D y ；用D 的元素1c 、2c 、3c 的代数余子式1C 、2C 、3C 依次乘以方程组（*）的各方程，可推D ?z=D z ，其中
1
112
223
3
3y a d c D a d c a d c = 1112223
3
3
z a b d D a b a a b d = 由方程组x
y z D x D D y D D z D
?=??
?=???=?
可见， 对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D 。
（i ）当0D ≠时，方程组（*）有唯一解x y z D x D D y D D z D
?
=???
=
???=??
（ii ）当D =0时，方程组（*）无解，或者有无穷多解，
例如，方程组??
?
??=++=++=++531z y x z y x z y x ___无解___
而方程组133335555x y z x y z x y z ++=??++=??++=?，和1232324x y z x y z x y z ++=??
++=??++=?
___有无穷多解__
性质：
（1）线性方程组的系数行列式0D ≠,则它唯一解。 （2）Cramer 定理的逆定理是
推论: 如果线性方程组无解或解不唯一，则它的系数行列式必为零。 （3）定理
①齐次方程组一定有零解。即0,1,2,
,i x i n ≡=
②齐次方程组有唯一零解的充分必要条件是它的系数行列式不为零； ③齐次方程组有非零解得充分必要条件是它的系数行列式为零。
七、教学反思与改进
本次课，让学生掌握了求极限的方法，以及两个重要极限的应用，并举例子让学生练习巩固学生学习。
教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开 定义 在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、情景引入 1．观察
(1)观察二阶行列式的符号特征： 1325 023 1 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13112321=?-? 02013(2)3 1-=?-?- 6 12 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？ 问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了
第1章行列式（共4学时） 一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值 二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．n阶行列式的定义（2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开（2学时） 三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧 四、教学内容的深化和拓宽 行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广 五、思考题与习题 思考题：见讲稿 作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教学方式与手段 注意行列式定义的引入，应用启发式
讲稿内容 1.1 预备知识 为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点 ),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112 1 3 3 22 11 y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。 设有二元线性方程组 ?? ?? ?=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a 可用消元法来解该方程组。 1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-?-? 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-?-? 若0)(21122211≠-a a a a ，则21 1222112111122211222111222211,a a a a a b a b x a a a a a b a b x --=--= 如果我们定义 bc ad d c b a -=， d c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行 二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简 单表示为 D D x D D x 2211,== 其中22 211211a a a a D = 为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； 2221211a b a b D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） 2 211 11 2b a b a D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列） 类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： ??? ??=++=+=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋ 定义32211331231233221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==
第四章 第一节 行列式的定义 『教案』 一、教学目标： 1. 了解行列式的定义和性质； 2. 掌握二阶、三阶行列式的计算法，会计算简单的n 阶行列式； 3. 了解排列与对换； 4. 会用Gramer 法则解线性方程组。 二、教学重点： 1. 行列式的计算方法。 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。 3. 克莱姆法则。 三、教学难点： 1、行列式的按行（列）展开。 2、、克莱姆法则。 四、教学的必要条件及方法： 1.条件：多媒体网络教室（联网）、黑板 2.教学方法：讲练结合 五、教学课时：2 课时 六、教学环节： 一． 二阶行列式 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ??? --=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ， 引入记号 2 1a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 2 1a a 2 1b b 1221b a b a -=． 举例说明： 课本例1 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行
列式的元素、对角线法则等． 记= D 2 1a a 2 1 b b ，= x D 2 1c c 2 1b b ，= y D 2 1a a 2 1c c ， ①则当= D 2 1a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为??? ? ?? ?==D D y D D x y x ． ②当D =0时,0x y D D == 无穷组解； ③当D =0时,0,0x y D or D ≠≠ 无解。 系数行列式1 1 2 2 a b D a b = 也为二元一次方程组解的判别式。 二． 三阶行列式 对角线方式展开 三．n 阶行列式 七、教学反思与改进 本次课，让学生掌握了求极限的方法，以及两个重要极限的应用，并举例子让学生练习巩固学生学习。 第四章 第三节 行列式按行（列）展开 『教案』 一、教学目标： 1. 掌握行列式掌握； 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵. 二、教学重点： 1. 行列式的计算方法。 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。
第一章 行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的． 设有二元线性方程组 ???=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法知，当a 11a 22 – a 12a 21≠0时，有：211222112122211a a a a b a a b x --=， 21 12221121 12112a a a a a b b a x --= (2) 这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -=为二阶行列式． 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
教案1：20071213 课题：9.3.1二阶行列式与二元一次方程组 教学目的：理解二阶行列式的定义； 掌握用二阶行列式解二元一次方程组； 用行列式判断二元一次方程组解的情况。 教学过程： 一、设问：什么叫二阶行列式？ （一）定义： 1、我们用记号1 122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1 122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1 122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，故把它叫做二阶行列式。 2、1221,a b a b -叫做行列式1 12 2a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。 3、1221,,,,a b a b 叫做行列式1 122a b a b 的元素。 （二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1 122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． （三）例和练习： 例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。 （1）1 11222a b c a b c （2）sin cos cos sin α ααα 2815 11112++--a a a 2815
（3）12 3456 （4）sin cos sin cos sin cos a a a a a a -+ （5 ）1212 3434 12242 363 -- 例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？ （1）221 4;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+ 例3用行列式解二元一次方程组 （1）???-=+=+61548 115y x y x （2）???=-+=--0120 53y x y x 二、用二阶行列式解二元一次方程组 (四)设有二元一次方程组 111222,(1) ().(2)a x b y c A a x b y c +=??+=? 用加减消元法
行列式的性质
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M M L ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L M M M L 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转 180o 所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所 谓行列互换）．
性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a L L M M M L 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = L L M M M L . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =+++L ， 1111212111T T T T n n D a A a A a A =+++L . 根据归纳假设11 11T A A =，于是 () 12 32212 133******** 131n n T n n nn a a a a a a D a A a a a a +=+-+L L M M M L () 122242213 13 23 43331 1241n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++L L L M M M M L () 122212113 23131 1211n n n n n n n n a a a a a a a a a a -+---L L M M M L . 由归纳假设，可以把上面1n -个1n -阶行列式都按第1列展开，并将含12 a 的项合并在一起，其值恰好等于1212a A ，事实上
第二章 n 阶行列式 课程教案 授课题目：第二节 行列式的性质 教学目的：1．掌握n 阶行列式的递推定义以及按行（列）展开定理． 2．理解n 阶行列式的性质，掌握行列式计算的基本思想方法和步骤． 教学重点：n 阶行列式的性质与计算． 教学难点：按行（列）展开定理． 课时安排：3学时． 授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容： §2.2行列式的性质 Laplace 定理 按行展开 ?? ?≠==∑=i j i j D A a jk n k ik , 01． 按列展开 ???≠==∑=i j i j D A a kj n k ki , 01． 行列式的性质 性质1 行列式转置，其值不变．即D D '=如 2112221122 21 1211a a a a a a a a -== 22 12 2111a a a a ． 例1 上三角阵的行列式等于对角线元的乘积 11121222112200 n n nn nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L ． （用性质1及上节例1）． 性质2 交换行列式两行（列），行列式的值变号． 推论 若行列式D 中有两行（列）对应元素相同，则行列式值等于零． 性质3 用数k 乘行列式D 的某一行（列），等于数k 乘这个行列式． 推论1 有一行（列）为零的行列式等于零． 性质4 有两行（列）成比例的行列式等于零． 性质5 nn n in in i i n a a b a b a a a Λ ΛΛΛΛΛΛΛ Λ1 1 1111++=nn n in i n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ 1 1 111+nn n in i n a a b b a a Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛ1 1111．按列也有类似性质．
第（1）次课授课时间（）
基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22换 成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公式
（2）中 2 x的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 ? ? ? ?? ? ? = = D D x D D x 2 2 1 1其中0≠ D 例1.解线性方程组. 1 2 12 2 3 2 1 2 1 ? ? ? ? ? = + = - x x x x 同样,在解三元一次方程组 ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义. 二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 用消元法解得 定义设有9个数排成3行3列的数表 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 记 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a D=32 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a+ + = 33 21 12 32 23 11 31 22 13 a a a a a a a a a- - -,
教案
《线性代数》教案 教学教案设计（续页） 第一 章 行列式 §1.1 n 阶行列式定义 教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算 教学重点：n 阶行列式定义及计算 教学难点：n 阶行列式定义 一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。 二、新授 （一） 二阶、三阶行列式 对于二元线性方程组 ?? ?=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得 （a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12 第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得 （a 11a 22－a 21a 12）x 2=a 11b 2-a 21b 1 若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为 12 21221111 22211a a a a a b a b x --= 122122*********a a a a b a b a x --= （1.2） 容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。 称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。我们若记 22 2 1211a b a b D = 2 211 112b a b a D = 方程组的解（1.2）式可写成 D D x 11= D D x 22= 对三元线性方程组 ??? ??=++=++=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：
线性代数教案正式打印 版 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第（1）次课授课时间（）
基本内容备注 第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公 式（2）中 2 x的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 ? ? ? ?? ? ? = = D D x D D x 2 2 1 1 其中0 ≠ D
第三章行列式及其应用 本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用. 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1n 阶行列式的定义及性质 现将这些性质作为公理体系来定义n 阶行列式.设][ij a =A 是任意一个n 阶方阵,用i A 记其第i 行元素为分量的n 元向量,即 )(21in i i i a a a ,,, =A ,n i ,,, 21=, 并称其为行向量.有序向量组}{1n A A ,, 所定义的实值函数)(d 1n A A ,, 被称为n 阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t ,有 )(d )(d ,,,,k k t t A A =,n k ,, 1=. 公理2 对每行都具加性.即对任意n 元向量B ,有 .,, ,,,,,,,,,n k k k k k 1)(d )(d )(d 11=+ =++-A B A A B A 公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若1+=k k A A )11(-=n k ,, ,则0)(d 1=n A A ,, . 公理4 对于n R 中常用基}{1n e e ,, ,有 1)(d 1=n e e ,, . 当}{1n A A ,, 取定,则称)(d 1n A A ,, 为一个n 阶行列式.有时也简称为n 阶行列式函数为n 阶行列式.n 行列式常被记为det A ,|A |,或 nn n n n n a a a a a a a a a 2122221 11211 . 公理4意味着,对于n 阶单位方阵E ,有
《线性代数》 授课教案 代数几何教研室 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1 / 205
2 / 205 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
9.3（1）二阶行列式 一、教学内容分析 行列式是引入新的记号后的一种特定算式，是学习矩阵后的一个延续．二阶行列式的展开是本节教学内容的基础，用二阶行列式求解二元一次方程组或讨论它的解的情况是本节教学内容的核心． 二、教学目标设计 1.了解行列式产生的背景； 2.经历引入二阶行列式的过程； 3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 三、教学重点及难点 二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、介绍背景 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出
现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“b a ”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． [说明]教师、学生课前收集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种渗透． 二、学习新课 1．二阶行列式的引入 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有 唯一解：??? ? ??? --=--=1221122 112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 2 1a a 2 1b b 1221b a b a -=．