新初中数学函数之平面直角坐标系图文解析
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知Rt ABC ?中的直角顶点C 落在第一象限，()0,0A ，()10,0B ，且6BC =，则C 点的坐标是（ ）
A ．()6.4,4.8
B ．()8,6
C ．()8,4.8
D ．()3.6,4.8
【答案】A
【解析】
【分析】
作CD ⊥OB 交OB 于D ，由勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，即可求出点C 的坐标.
【详解】
作CD ⊥OB 交OB 于D ，
∵()10,0B ，
∴OB=10，
∵∠C=90°，
∴AC=221068-=， ∵
1122
OC BC OB CD ?=?， ∴8×6=10CD ，
∴CD=4.8， ∴OD= 228 4.8 6.4-=，
∴C 点的坐标是 ()6.4,4.8.
故选A.
【点睛】
本题考查了图形与坐标的性质，勾股定理，以及面积法求线段的长，根据面积法求出CD 的长是解答本题的关键.
2．在平面直角坐标系中，点(),P x y 经过某种变换后得到点()'1,2P y x -++，我们把点()'1,2P y x -++叫做点(),P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为2P ，点2P 的终结点为3,P 点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234,,,,,n P P P P P ???.若点1P 的坐标为(50,)，则2017P 点的坐标为( )
A ．()2,0
B ．()3,0
C ．()4,0
D ．()5,0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意先求出12345,,,,P P P P P L 的坐标，然后找到规律，利用规律即可求出答案．
【详解】 ∵点1P 的坐标为(5)0，
，根据题意有 ∴2345(1,7),(6,3),(2,4),(5,0)P P P P ---，
由此可见，n P 点的坐标是四个一循环，
201745041÷=Q L ，
∴2017P 点的坐标为()5,0，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查点的坐标的规律，找到规律是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，()11A ，，()11B ，-，()12C --，
，()12D -，，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细不略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A -----…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（1，1）
C ．（-1，1）
D ．（-1，-2）
【答案】A
【解析】
【分析】 根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长
度，从而确定答案．
【详解】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2019÷10=201…9，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第9个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是（1，0）．
故选：A．
【点睛】
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，点,B C在x轴上，点A的坐标为()
0,23,分别以点,A B为
圆心、大于1
2
AB的长为半径作弧，两弧相交于点,E F．直线EF恰好经过点,D则点B的
坐标为（）
A．()
1,0B．)3,0C．()2,0D．()3,0
【答案】C
【解析】
【分析】
连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出OB＝2，从而得到B点坐标．
【详解】
解：连接DB，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，AD ＝AB ，
∴AD ＝AB ＝DB ，
∴△ADB 为等边三角形，
∴∠DAB ＝60°，
∴∠ABO ＝60°，
∵A （0，23），
∴OA ＝23，
∵∠ABO ＝60°，∠AOB ＝90°，
∴∠BAO ＝30°，
∴在Rt △AOB 中，AB ＝2OB ，
∵OB 2＋OA 2＝AB 2，
∴OB 2＋()
232＝（2OB ）2，
∴OB ＝2（舍负），
∴B （2，0）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质以及30°的直角三角形的特殊性质．
5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如()()()()()()1,02,02,11,11,22,2，，，，，······根据这个规律，第2019个点的纵坐标为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…
右下角的点的横坐标为n 时，共有n 2个，
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2019个点是（45，6），
所以，第2019个点的纵坐标为6．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．
6．已知点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，点(),P a b --在第( )象限
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点A 、点B 关于y 轴对称，求出a ，b 的值，然后根据象限点的符号特点即可解答.
【详解】
∵点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，
∴a=3，b=3，
∴点P 的坐标为()3, 3 --，
∴点P 在第三象限，
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了轴对称和象限内点的符号特点，解题的关键是熟练掌握其性质.
7．若点M的坐标为b|+1),则下列说法中正确的是()
A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据二次根式的定义及绝对值的性质分别判断出点M的横、纵坐标的符号；
然后根据坐标轴上点的坐标特征进行分析即可作出判断.
【详解】
有意义，则－a2≥0，
∴a＝0.
∵|b|≥0，
∴|b|＋1＞0，
∴点M在y轴的正半轴上.
故选C.
【点睛】
本题考查的是点的坐标的知识，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征.
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知：点A的横、纵坐标相等或互为相反数，然后列出方程即可求出a的两个值，最后根据点A在y轴的右侧，即可得出结论．
【详解】
解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴3a﹣5＞0，
∴a＞5
3
，
∴a＝3，故选：C．【点睛】
此题考查的是点的坐标特征，掌握点到x 轴的距离与到y 轴的距离相等则点的横、纵坐标相等或互为相反数是解决此题的关键．
9．在平面直角坐标系中，过点(3,2)A -画直线a x ⊥轴，过点(1,2)B -画直线b y ⊥轴，直线,a b 相交于点P ，则点P 的坐标是（ ）
A ．()3,2
B ．()2,3
C ．()3,1-
D ．()
2,2- 【答案】A
【解析】
【分析】
根据过点(3,2)A -画直线a x ⊥轴可以知道P 点的横坐标，根据过点(1,2)B -画直线b y ⊥轴可以知道p 点的纵坐标，由点P 的横纵坐标即可得到答案.
【详解】
解：∵点p 是通过点(3,2)A -画直线a x ⊥轴，过点(1,2)B -画直线b y ⊥轴得到的交点，
∴点P 的横坐标与点A 的横坐标相同，即3，
点P 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即2，
因此，点p 的坐标为
()
3,2， 故A 为答案.
【点睛】
本题主要考查了与直角坐标系有关的知识，掌握向x 轴画垂线得到的点横坐标相同，向y 轴作垂线得到的点纵坐标相同是解题的关键.
10．课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用(0,0)表示，小军的位置用(2,1)表示，那么小刚的位置可以表示为( )
A ．(5,4)
B ．(4,5)
C ．(3,4)
D ．(4,3)
【答案】D
【解析】
【分析】 根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标即可解答．
【详解】
如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，
所以小刚的位置为（4，3）．
故选D ．
【点睛】
本题利用平面直角坐标系表示点的位置，关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置．
11．若点A(a ＋2，b －1)在第二象限，则点B(－a ，b －1)在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为点A(a ＋2，b －1)在第二象限，所以a ＋2＜0，b －1＞0，则-a ＞2，，b －1＞0，即点B 的横坐标为正数，纵坐标为正数，所以点B 在第一象限，
故选A
12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把点()1,1P y x '
-++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点123,,,,,n A A A A L L ．若点1A 的坐标为()3,1，则点2019A 的坐标为（ ） A ．()0,2-
B ．()0,4
C ．()3,1
D ．()3,1-
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“伴随点”的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A 2019的坐标即可．
【详解】
解：A 1的坐标为（3，1），
则A 2（-1+1，3+1）=（0，4），
A 3（-4+1，0+1）=（-3，1），
A 4（0，-2），A 5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2019÷4=504…3，
∴点A 2019的坐标与A 3的坐标相同，为（-3，1），
故选D.
【点睛】
本题考查点的坐标规律，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
13．如图，在菱形OABC 中，30AOC ∠=?，4OA =，以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图.按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，以大于2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN 交BC 于点P .则点P 的坐标为( )
A ．(4,2)
B ．438,2??- ? ???
C ．234,2??+ ? ???
D ．()
33,2 【答案】C
【解析】
【分析】 延长BC 交y 轴于点D 可求OD ，CD 的长，进一步求出BD 的长，再解直角三角形BPE ，求得BP 的长，从而可确定点P 的坐标.
【详解】
延长BC 交y 轴于点D ，MN 与AB 将于点E ，如图，
∵四边形OABC 是菱形，∠AOC=30°,
∴OA=OC=AB=BC=4，BC ∥OA ，∠ABC=30°,
∴∠OCD=∠AOC=30°，
∴OD=1
2
OC=2，即点P的纵坐标是2.
∴
DC=23,
∴BD=BC+CD=4+23,
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BE=1
2
AB=2，
∴BP=
43 cos303
BE
==
?
∴DP=BD-BP=4+23-43
=4+
23
.
∴点P的坐标为
23 4,2??+
? ???
故选C.
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质，也考查了菱形的性质和解直角三角形．
14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为()
A．(14，8)
B．(13，0)
C．(100，99)
D．(15，14)
【答案】A
【解析】
【详解】
由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
∵1＋2＋3＋…＋13＝91，1＋2＋3＋…＋14＝105，
∴第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14．
∵在第14行点的走向为向上，
∴纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；
∴第100个点的坐标为（14，8）．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了根据图形的变化找规律的方法，首先要分析图形中每一列的点人个数的变化规律是，1，2，3，4，5，…，由此找出第100个点所在的列，再根据奇数列是从上往下依次增加1，偶数列是从下往上依次增加1，由此即可找到第100个点所对应的坐标.
15．如图所示，长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别由点A(2， 0)同时出发，沿长方形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度秒匀速运动，则两个物体运动后的第2020次相遇点的坐标是( )
A ．(2，0)
B ．(-1，-1)
C ．( -2，1)
D ．(-1， 1)
【答案】D
【解析】
【分析】 利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答；
【详解】
∵A （2，0），四边形BCDE 是长方形，
∴B （2，1），C （-2，1），D （-2，-1），E （2，-1），
∴BC=4，CD=2，
∴长方形BCDE 的周长为()2422612?+=?=，
∵甲的速度为1，乙的速度为2，
∴第一次相遇需要的时间为12÷（1+2）=4（秒），
此时甲的路程为1×4=4，甲乙在（-1，1）相遇，
以此类推，第二次甲乙相遇时的地点为（-1，-1），
第三次为（2，0），
第四次为（-1，1），
第五次为（-1，-1），
第六次为（2，0），
L L，
∴甲乙相遇时的地点是每三个点为一个循环，
÷=L，
∵202036733
∴第2020次相遇地点的坐标为（-1，1）；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了规律型：点的坐标，掌握甲乙运动相遇时点坐标的规律是解题的关键. 16．已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是( )
A．(3,4) B．(-3,4) C．(-4,3) D．(4，3)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】
解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，
∴P点在第一象限，
又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，
∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）．
故选A．
【点睛】
本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．
17．如图，在直角坐标系内，正方形如图摆放，已知顶点 A(a，0)，B(0，b) ，则顶点C的坐标为（）
A．(-b，a + b) B．(-b，b - a) C．(-a，b - a) D．(b，b -a)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意首先过点C作CE⊥y轴于点E，易得△AOB≌△BEC，然后由全等三角形的性质，
证得CE=OB=b ，BE=OA=a ，继而分析求得答案．
【详解】
解：如图，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO ，
在△ABO 和△BCE 中，
90AOB CEB BAO CBE
AB BC ????∠∠?∠∠?
＝＝＝＝ ∴△AOB ≌△BEC （AAS ），
∴BE=OA=a ，CE=OB=b ，
∴OE=OB-BE=b-a ，
∴顶点C 的坐标为：（-b ，b-a ）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法以及注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
13
，则点A 的对应点A′的坐标是( )
A ．(2，3)
B ．(6，1)
C ．(2，1)
D ．(3，3)
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出点A的坐标为（6，3），纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1
3
，即可判断出答
案．
【详解】
点A变化前的坐标为(6,3)，
将纵坐标保持不变,横坐标变为原来的1
3
，
则点A的对应点A′坐标是(2,3).
故选A.
【点睛】
本题考查的是坐标，熟练掌握坐标是解题的关键.
19．会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（）
A．（3，2）B．（2，3）C．(-3，-2) D．（-2，-3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有序数对的意义求解.
【详解】
会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（3，2）.
故选：A
【点睛】
关键是理解题意，理解有序数对的意义.．
20．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
【答案】A
【解析】
试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单
位处．如下图，O1符合．
考点：平面直角坐标系．
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
2020中考数学 函数的定义及其图象专题练习（含答案） 典例探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2018年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数自变量取值范围是（ ） A ．且 B ． C ． D ． 且 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） 3 y x = -x 1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠1x >3x ≠
巩固练习 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =中，当x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注水 过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） x x
初中数学函数三大专题复习 目录 专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (5) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37)
专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 1.（2006·梅列区）函数y = 3 x+1 中自变量x 的取值范围是 .x ≠-1 2．（2006·晋江市）函数3 21-= x y 中，自变量x 的取值范围是 . x ≠2 3 3.（2006·旅顺口区）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围 ． －2＜x ＜0或x ＞3 4．（2006·南通市）在函数5 2-=x x y 中,自变量x 的取值范围是_ ________．x>5 5．（2006·衡阳市）函数y =中自变量劣的取值范围是 . x ≥1 6．（2006·盐城市）函数y= 1 -x 1中，自变量x 的取值范围是 . x ≠1 7．（2006·永州市）函数y =中自变量x 的取值范围是 ．3x ≤ 8．（2006·潍坊市）函数12 y x -=-中，自变量x 的取值范围是（ ）Ｄ A ．1x -≥ B ．2x > C ．1x >-且2x ≠ D ．1x -≥且2x ≠ 9．（2006·广东省）函数1 1+= x y 中自变量x 的取值范围是 ( A ) A ．x ≠-l B ．x >-1 C ．x =- 1 D ．x <- 1 10．（2006·永州市）小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）D 11．（2006·湛江市）小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ ）A A ． B ． C ． D ． （分）
1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多 少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
初中数学二次函数图像性质练习题(附答案) 1、函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()232 1-- =x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 （1）右移2个单位；（2）左移3 2个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。 4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知2 1=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。 5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。 6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。求：（1）求出此函数关系式。（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。 7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。 2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。 5、已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y 。 （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。 （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。 （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标； （6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的 8、已知函数()412-+=x y 。 （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。 3、c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
人教版初中数学二次函数解析 一、选择题 1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ） A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2． 由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42 x x ==- ≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】 答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12 ．
第二课时 一、教学目标 1． 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2 )(的图像； 2． 使学生知道抛物线k h x a y +-=2 )(的对称轴与顶点坐标； 3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力； 4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想； 5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。 二、教学重点 会画形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。 三、教学难点：确定形如 k h x a y +-=2 )(的二次函数的顶点坐标和对称轴。 4．解决办法： 四、教具准备 三角板或投影片 1．教师出示投影片，复习2 2 2 )(,,h x a y k ax y ax y -=+==。 2．请学生动手画1)1(2 1 2-+- =x y 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。 3．小结k h x a y +-=2 )(的性质??? ?? ??平移顶点坐标对称轴开口方向 4．练习 五、教学过程 提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？ 答：形如2 2 2 )(,h x a y k ax y ax y -=+==和。（板书） 2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下
我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？ 由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的有关问题．（板书） 一、复习引入 首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯） 请你在同一直角坐标系内，画出函数222)1(2 1 ,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标． 这里之所以加上画函数2)1(2 1 +- =x y 的图像， 是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y 轴，再沿x 轴移动的方式，也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、 更具体． 画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同 学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名 同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中． 然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数1)1(2 1 2-+- =x y 的图像？ 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验， 同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用． （l ）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点． 在选取x 的值之后，计算y 的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确． （2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．） （3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点． 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样 找一名同学板演． 学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问： （1）你能否指出抛物线1)1(2 1 2-+- =x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标？
中考专项复习三（函数及其图象） 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（ ）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（ ） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（ ） Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙： 函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：
人教版初中数学二次函数图文解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜110 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜ 2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣ 2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜ 110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0， 2a ＞0， ∴m +n ＜2a ；
∴D正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（） A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x， 关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4， ∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5， ∴﹣4≤t＜5； 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（） A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝?2， ∴y＝－x2?2x＋3，
人教版初中数学二次函数知识点 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：- 2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）
一次函数（图像题） 专项练习一 1．函数y=ax+b 与y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＞2时，y 2＞y 1，其中正确的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 3．一次函数y=kx+b ，y 随x 的增大而减小，且kb ＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax ﹣（a ﹣2）图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图所示，如果k ?b ＜0，且k ＜0，那么函数y=kx+b 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．如图，直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=﹣x ﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（ ）
A ． 第一部分 B ． 第二部分 C ． 第三部分 D ． 第四部分 7．已知正比例函数y=﹣kx 和一次函数y=kx ﹣2（x 为自变量），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．函数y=2x+3的图象是（ ） A ． 过点（0，3），（0，﹣）的直线 B ． 过点（1，5），（0，﹣）的直线 C ． 过点（﹣1，﹣1），（﹣，0）的直线 D ． 过点（0，3），（﹣，0）的直线 9．下列图象中，与关系式y=﹣x ﹣1表示的是同一个一次函数的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．函数kx ﹣y=2中，y 随x 的增大而减小，则它的图象是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知直线y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，满足b 1＜b 2，且k 1k 2＜0，两直线的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图所示，表示一次函数y=ax+b 与正比例函数y=abx （a ，b 是常数，且ab ≠0）的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．连降6天大雨，某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升．若该水库的蓄水量V （万米3）与降雨的时间t （天） 的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（） =-x+3 B. =2x D. 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升； ③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A 停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S；当点P与点A重合时，△ABP y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为（） S(S(1616
88t(s84Ot(s O84B）（（A） S(S(161688 t(s t(s O4884O）C（． 5、（2013四川南充，9，3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B 出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；；③直线NH的解析式为y=－t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为（） D. 1 A. 4 B. 3 C. 2 C 6、(2013年黄石)如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为，高度为，则关于的函数图像大致是（） 7、（2013?自贡）如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）
初中数学解题模型专题讲解 初中数学解题模型专题讲解 30 矩形大法 专题30 矩形大法 矩形大法 主要从三个方面和大家交流： 一：“矩形大法”的提出背景 二：“矩形大法”的基本构造 三：“矩形大法”的实例应用 一、矩形大法”的提出背景 问题：我们如何刻画一个角大小呢？ 是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。 如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。 但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？ 自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。 也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。 但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。 首先要提的就是南通2014年的28题第三问：
不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？ 能否在短时间中用传统方法解决？ 看到两角和差关系这样的条件想到什么？ 本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。 这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于： ⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。 ⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。 ⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。 于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！ 再譬如今年盐城的中考题第3问：
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0
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