初中数学二次函数的图象和性质2019年4月9日
(考试总分:160 分考试时长: 120 分钟)
一、单选题(本题共计 12 小题,共计 48 分)
1、(4分)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x 轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;
②abc>0;
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;
④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);
⑤当1 其中正确的是(). A. 5个B. 4个C. 3个 D. 2个 2、(4分)对于二次函数y=x2+1,则下列结论正确的是() A.图象的开口向下B. y随x的增大而增大 C.图象关于y轴对称D.最大值是1 3、(4分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣1)2+k(a、k为常数)与x轴交于点 A、B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴于抛物线交于点D,若点A的坐标为(﹣2,0),则线段OB与线段CD的数量关系为() A. OB=3CD B. OB=2CD C. 2OB=3CD D. 3OB=4CD 4、(4分)已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示,它与x,y轴的交点分别为A ,B ,P 是其对称轴x=1上的动点,根据图中提供的信息,给出以下结论:①2a+b=0,②x=3是ax 2+bx+3=0的一个根,③△PAB 周长的最小值是 +3 .其中正确的是( ) A . ①②③ B . 仅有①② C . 仅有①③ D . 仅有②③ 5、(4分)两条抛物线25y x =和25y x =-在同一坐标系内,下列说法中不正确的是( ) A . 顶点坐标相同 B . 对称轴相同 C . 开口方向相反 D . 都有最小值 6、(4分)下列函数中,y 是x 的二次函数的是( ) A . y=2x ﹣1 B . y= C . y= D . y=﹣x 2+2x 7、(4分)已知抛物线y= 14 x 2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F (0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如 图,点M ,3),P 是抛物线y=14 x 2 +1上一个动点,则△PMF 周长的最小值是( ) A . 4 B . 5 C . D . 8、(4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B ,C 满足二次函数2y ax bx =+的表达式,则对该二次函数的系数a 和b 判断正确的是( ) A . 00a b >>, B . 00a b <<, C . 00a b ><, D . 00a b , 9、(4分)如图是二次函数 y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b >2a ; ③3a+c=0; ④a ﹣b <m (ma+b )(m≠﹣1的实数); 其中正确的命题是( ) A . ①②③ B . ①②④ C . ②③④ D . ①③④ 10、(4分)在同一平面直角坐标系中,函数y =ax 2+b 与y =bx 2+ax 的图象可能是( ) A . A B . B C . C D . D 11、(4分)若将抛物线向右平移2个单位后,所得抛物线的表达式为22y x =,则原来抛物线的表达式为( ) A . 222y x =+ B . 222y x =- C . () 2 22y x =+ D .()2 22y x =- 12、(4分)在同一平面直角坐标系中,函数 y =ax+b 与 y =bx 2+ax 的图象可能是( ) A.B. C.D. 二、填空题(本题共计 4 小题,共计 16 分) 13、(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法:①ac>0;②2a+b=0;③a +b+c=0;④当x>1时,函数y随x的增大而增大;⑤当y>0时,- 1<x<3.其中,正确的说法有___________(请写出所有正确说法的序号). 14、(4分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点O,交x轴的另一个交点为A,过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线,交x轴、y轴于点C、D,则图中阴影部分图形的面积和为______ 15、(4分)如图,直线与坐标轴交于、两点,过,两点的抛物线与轴的另一交点为,为抛物线上的一动点,当时,点的坐标为________. 16、(4分)当-1≤x≤3时,二次函数y=-x2的最小值是_____,最大值是______. 三、解答题(本题共计 8 小题,共计 96 分) 17、(12分)已知点A(2,a)在抛物线y=x2上 (1)求A 点的坐标; (2)在x 轴上是否存在点P ,使△OAP 是等腰三角形?若存在写出P 点坐标;若不存在,说明理由. 18、(12分)如图,抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (2,-3),且与x 轴交点坐标为(-1,0),(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)在直线AB 下方抛物线上找一点D ,求出使得△ABD 面积最大时点D 的坐标; (3)点M 在抛物线上,点N 在抛物线的对称轴上,是否存在以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 19、(12分)已知:一个边长为的正方形,把它的边长延长 后得到一个新的正方形,那么,周长增大的部分 和面积增大的部分 分别是 的函数.求出这两个函数的表 达式,并判定它们的类型;如果是二次函数,写出表达式中,,的值. 20、(12分)已知函数y =(m 2-m)x 2+(m -1)x +2-2m. (1)若这个函数是二次函数,求m 的取值范围. (2)若这个函数是一次函数,求m 的值. (3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么? 21、(12分)已知二次函数y=2x 2﹣4x+1. (1)求出它的顶点坐标及对称轴; (2)画出这个函数的图象. 22、(12分)已知抛物线y=ax 2-bx+3的对称轴是直线x=-1 (1)求证:2a+b=0; (2)若关于x 的方程ax 2-bx-8=0的一个根是4,求方程的另一个根. 23、(12分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax 2+bx 经过点A (﹣3,4),直线l 与x 轴相交于点B ,与∠AOB 的平分线相交于点C ,直线l 的解析式为y=kx ﹣5k (k≠0),BC=OB . (1)若点C 在此抛物线上,求抛物线的解析式; (2)在(1)的条件下,过点A 作y 轴的平行线,与直线l 相交于点D ,设P 为抛物线上的一个 动点,连接PA 、PD ,当 PAD COB 2S S 3 时,求点P 的坐标. 24、(12分)如图所示,已知函数y=ax2(a≠0)的图象上的点D,C与x轴上的点A(-5,0)和B( 3,0)构成?ABCD,DC与y轴的交点为E(0,6),试求a的值. 一、 单选题 (本题共计 12 小题,共计 48 分) 1、(4分)【答案】C 【解析】∵对称轴x=- 2b a =1‘∴2a+b=0,①正确; ∵a<0,∴b >0,∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上,∴c>0,∴abc<0,②错误; ∵把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移3个单位,得到y=ax 2+bx-3,∴顶点坐标A (1,3)变为(1,0),抛物线与x 轴相切,∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根,③正确; ∵对称轴是直线x=1,与x 轴的一个交点是(4,0),∴与x 轴的另一个交点是(-2,0),④错误;∵1 2、(4分)【答案】C 【解析】A .∵a=1>0,∴二次函数y=x 2+1的图象开口向上,A 不符合题意; B .∵a=1>0,b=0,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,B 不符合题意; C .∵a=1>0,b=0,∴ 2b a =0,∴二次函数y=x 2+1的图象关于y 轴对称,C 符合题意; D .∵a=1>0,∴二次函数y=x 2+1有最小值,最小值为1,D 不符合题意. 故选C . 3、(4分)【答案】B 【解析】∵抛物线的解析式为y=a (x ﹣1)2+k , ∴抛物线的对称轴为直线x=1. ∵点A 的横坐标为﹣2,点C 的横坐标为0, ∴点B 的横坐标为4,点D 的横坐标为2, ∴OB=4,CD=2, ∴OB=2CD . 故选:B . 4、(4分)【答案】A 【解析】①根据图象知,对称轴是直线x=-=1,则b=-2a ,即2a+b=0,故①正确; ②根据图象知,点A 的坐标是(-1,0),对称轴是x=1,则根据抛物线关于对称轴对称的性质知,抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(3,0),所以x=3是ax 2+bx+3=0的一个根,故②正确; ③如图所示,点A 关于x=1对称的点是A′,即抛物线与x 轴的另一个交点, 连接BA′与直线x=1的交点即为点P ,则△PAB 周长的最小值是(BA′+AB )的长度, ∵B (0,3),A′(3,0), ∴BA′=3.即△PAB周长的最小值是3+, 故③正确. 综上所述,正确的结论是:①②③. 故选:A. 5、(4分)【答案】D 【解析】y=5x2和y=?5x2的顶点坐标均为(0,0),选项A正确; y=5x2和y=?5x2的对称轴均为直线x=0,选项B正确; 抛物线y=5x2开口向上,y=?5x2开口向下,选项C正确; 抛物线y=5x2开口向上,有最小值,y=?5x2开口向下,无最小值;故选:D. 6、(4分)【答案】D 【解析】A、y=2x﹣1是一次函数,故A不是二次函数, B、y=是反比例函数,故B不是二次函数, C、y=既不是反比例函数也不是二次函数,故C不是二次函数; D、y=﹣x2+2x,是二次函数,符合题意. 故选:D. 7、(4分)【答案】B 【解析】过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=1 4 x2+1于点P,此时△PMF周长最小值 , ∵F(0,2)、M3), ∴ME=3,, ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5. 故选B. 8、(4分)【答案】D 【解析】过点A. B. C. O大致画出抛物线图象,如图所示 观察函数图象,可知:抛物线开口向下,对称轴在y 轴右侧, ∴a<0,?2b a >0, ∴b>0. 故选D. 9、(4分)【答案】D 【解析】由图象可知:过(1,0),代入得:a+b+c=0,∴①正确; =-1,∴b=2a ,∴②错误; 由a+b+c=0和b=2a 得,3a+c=0,③正确; ∵m≠-1,∴(m+1)2>0,∵a>0,∴a (m+1)2>0,∴am 2+2am+a>0,∵b=2a ,∴a-b=-a , ∴am 2+bm>a-b ,∴a-b 10、(4分)【答案】D 【解析】A 、两个函数的开口方向都向上,那么a >0,b >0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于正半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误; B 、两个函数的开口方向都向下,那么a <0,b <0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于负半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误; C 、 D 、两个函数一个开口向上,一个开口向下,那么a ,b 异号,可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧,故C 错误,D 正确. 故选:D . 11、(4分)【答案】C 【解析】根据二次函数平移的规律,上加下减,左加右减的平移规律,可将22y x =向左平移2个单位可得二次函数解析式为: ()2 22y x =+,故选C. 12、(4分)【答案】A 【解析】若a >0,b >0,则y=ax+b 经过一、二、三象限,y=bx 2+ax 开口向上,顶点在y 轴左侧,故B 、C 错误; 若a <0,b <0,则y=ax+b 经过二、三、四象限,y=bx 2+ax 开口向下,顶点在y 轴左侧,故D 错误; 若a >0,b <0,则y=ax+b 经过一、三、四象限,y=bx 2+ax 开口向下,顶点在y 轴右侧,故A 正确; 故选A . 二、 填空题 (本题共计 4 小题,共计 16 分) 13、(4分)【答案】②⑤ 【解析】∵抛物线的开口向下,与y 轴的交点在y 轴的正半轴上, ∴a <0,c >0, ∴ac <0,∴①错误; 由图象可知:- 2b a =1, ∴2a+b=0,∴②正确; 当x=1时,y=a+b+c >0,∴③错误; 由图象可知:当x >1时,函数y 随x 的增大而减小,∴④错误; 根据图象,当-1<x <3时,y >0,∴⑤正确; 正确的说法有②⑤. 14、(4分)【答案】6 【解析】由题可知函数的对称轴为直线x=2, ∵原点和点A 关于对称轴对称, ∴A (4,0),将A 代入二次函数解析式得k=3 ∴顶点坐标(2,3) 根据对称可知图中阴影部分的面积和=S 矩形OCBD =6 15、(4分)【答案】 【解析】设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c , 则 , 解得:, 二次函数的解析式为:y=x 2-x+2, 过点B 作BC ⊥BP ,交x 轴于点C ,延长BP 交x 轴于点D ,则有∠CBA=45°, 设点C坐标为(a,0)(a<0), ∵S△ABC=BC?ABsin∠ABC=AC?BO, ∴, 整理得:3a2-16a-12=0, 解得:a=-或a=6(不合题意,舍去), ∴点C(-,0), ∵BC⊥BD,BO⊥CD, ∴△BCO∽DCB, 则有, 即BC2=CO?CD, ∴, 解得:OD=6, 即点D(6,0), ∵B(0,2), ∴设直线BD的解析式为y=kx+m, 代入得:, 解得:, ∴直线BD的解析式为y=-x+2, 与二次函数的解析式联立得: , 解得:,, 即点P的坐标为(,). 故答案为:(,). 16、(4分)【答案】-9 0 【解析】二次函数y=-x2对称轴为y轴,开口向下,在y轴左边y随x的增大而增大,在y轴右边,y随x的增大而减小。所以当-1≤x≤3时,最小值是当x=3时,y=- 9;最大值是当x=0时,y=0.故答案为:-9,0. 三、解答题(本题共计 8 小题,共计 96 分) 17、(12分)【答案】(1)A点的坐标为:(2,4);(2)(0),(﹣ ,0),(4,0),(5,0). 【解析】(1)∵点A(2,a)在抛物线y=x2上,∴a=22=4, ∴A点的坐标为:(2,4); (2)如图所示:以O为顶点时,AO=P1AO=AP2 ∴点P坐标:(0),(﹣0),以A为顶点时,AO=OP, ∴点P坐标:(4,0);以P为顶点时,OP′=AP′, ∴AE2+P′E2=P′A2,设AP′=x则42+(x﹣2)2=x2,解得:x=5, ∴点P坐标:(5,0), 综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为:(0),(﹣0),(4,0),(5,0). 18、(12分)【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)当D坐标为(,- )时,△ABD的面积最大;(3)存在,M点的坐标为(0,-3)、(4,5)、(-2,5). 【解析】(1)把交点坐标为(2,-3),(- 1,0),(3,0)代入二次函数的表达式得, , 解得:a=1,b=-2,c=﹣3, 故二次函数的表达式为:y=x2-2x-3; (2)如图,过D点做DF⊥x轴于F,交AB于E, 把A(2,-3),B(-1,0)代入一次函数表达式得直线AB的方程为:y=-x-1,设:D(m,m2-2m-3),E(m,-m-1), ∴DE=-m-1-(m2-2m-3)=-m2+m+2, S△ABD=DE×(x A-x B)=-(m-)2+, ∴当D坐标为(,-)时,△ABD的面积最大; (3)当AB是为平行四边形的边长时, ①如图, ∵四边形ANM1B为平行四边形, ∴△ANH≌△BM1G, 则M1的横坐标为:-2,代入二次函数表达式, 解得:M1坐标为(-2,5); ②如图, ∵四边形ANM2B为平行四边形, ∴△ABG≌△NHM2, 则M2的横坐标为:4,代入二次函数表达式, 解得:M2坐标为(4,5); 当AB时平行四边形的对角线时,如下图所示, M3与点C重合, 故M3(0,-3); 故M点的坐标为:(0,-3)、(4,5)、(-2,5). 19、(12分)【答案】,此函数是正比例函数;,此函数是二次函数,其中,,. 【解析】,此函数是正比例函数; ,此函数是二次函数, 其中,,. 20、(12分)【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m=0.(3). 不可能 【解析】(1)∵这个函数是二次函数, ∴m2-m≠0,∴m(m-1)≠0, ∴m≠0且m≠1. (2)∵这个函数是一次函数, ∴∴m=0. (3)不可能.∵当m=0时,y=-x+2, ∴不可能是正比例函数. 21、(12分)【答案】(1)二次函数y=2x2﹣4x+1的顶点坐标为(1,﹣1),对称轴是x=1;(2)如图所示见解析. 【解析】(1)y=2x2﹣4x+1 因为a=2,b=﹣4,c=1, 所以﹣=﹣=1,==﹣1. 所以二次函数y=2x2﹣4x+1的顶点坐标为(1,﹣1), 对称轴是x=1. (2)∵点(0,1)、(1,-1)(2,1)是y=2x2﹣4x+1图像上的点, ∴描点如图所示: 22、(12分)【答案】(1)证明见解析;(2)方程的另一个根为x=-6.【解析】(1)证明:∵抛物线y=ax2-bx+3的对称轴是直线x=-1, ∴-=-1, ∴b=-2a, ∴2a+b=0; (2)解:把b=-2a代入方程ax2-bx-8=0得:ax2+2ax-8=0, 把x=4代入方程ax2+2ax-8=0得:16a+8a-8=0, a=, 即方程为x2+x-8=0, 解得:x=-6,x=4, 即方程的另一个根为x=-6. 23、(12分)【答案】(1)y=2 3 x2+ 2 3 x;(2)(﹣1,0)或(﹣5, 40 3 ) 【解析】(1)如图,A(﹣3,4), ∴, 当y=0时,kx﹣5k=0,解得x=5,则B(5,0),∵BC=BO=5, ∴∠BOC=∠BCO, ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC, ∴∠AOC=∠BCO, ∴AO∥CB, 而OA=BC=5, ∴四边形AOBC为平行四边形, ∴AC∥OB,AC=OB=5, ∴C(2,4), 把A (﹣3,4),C (2,4)代入y=ax 2 +bx 得934424a b a b -=?? +=? , 解得a=23,b=2 3, ∴抛物线的解析式为y=23x 2+2 3x ; (2)如图,把C (2,4)代入y=kx ﹣5k 得2k ﹣5k=4,解得k=﹣4 3, ∴直线l 的解析式为y=﹣43x+20 3, 当x=﹣2时,y=﹣43x+203=323,则D (﹣3,32 3), ∴AD=323﹣4=203, 设P (t ,23t 2+2 3t ), ∵ PAD COB 2S S 3 =, ∴12?203?|t+3|=23?1 2?5?4,解得t=﹣1或t=﹣5, ∴点P 的坐标为(﹣1,0)或(﹣5,40 3). 24、(12分)【答案】 【解析】∵点A(-5,0)和B(3,0), ∴AB =8. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD =8,CD ∥AB. 又∵AB ⊥y 轴,抛物线y =ax 2的对称轴为y 轴,∴CD ⊥y 轴, ∴DE=CD=4,点D,C,E的纵坐标相同.又∵点E的坐标为(0,6), ∴点D的坐标为(-4,6). 将D(-4,6)代入y=ax2, 解得a=. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.初三数学二次函数知识点总结
一元二次函数的图像和性质