专题二 数形结合
【方法简介】
数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.
【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题
应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.
【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]
解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.
2083=+x x ,2084=x ,52=x .
答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.
【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】
一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]
解：设轿车开出小x 时后追上客车.
x x 108903.090=+?，x 1827=，5.1=x
答：轿车开出1.5小时后追上客车.
【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】
小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]
解：设x 分钟后两人还相距324米.
150********=++x x ，8=x
答：设8分钟后两人还相距324米.
【技巧贴士】
本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .
【巩固练习】第一期
第一部分基础达标
1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集
邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？
2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，
大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？
3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A
休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？
第二部分强化训练
4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里
的狮子和老虎各有多少只？
5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，
那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？
6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，
甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？
7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，
小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？
8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果
两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？
9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每
小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？
【典型应用2】几何应用
应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.
【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=5.5厘米，求阴影部分的面积．
[略解] 解：（5.5+13）×13÷2-（13-5.5）×19÷2=18.5×13÷2-7.5×19÷
2=120.25-71.25=49（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方厘米．
【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为5.5厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为19-5.5=13.5厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．
【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为7.8克，用铁制成的这种零件有多少重？
[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90立方厘米．
（2）90×7.8=702（克）答：用铁制成的这种零件重702克．
【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是先将零件变成规则的图形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh即可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体积的铁的重量，就是这个零件的总重量．
【巩固练习】第二期
第一部分基础达标
1.如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，
求DE的长．
2.一块平行四边形的草地中有一条长5.2米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方
米？
3.图中表示的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正
方体的表面积是______平方米．
4. 一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器零件
浸没在水中，这时水面高度15厘米，求零件的体积．
第二部分 强化训练
5. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ）
A. 321S S S =+
B. 31S S =
C. 32S S =
D. 123S S S -=
6. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积
最多增加（ ）.
A. 20平方厘米
B. 30平方厘米
C. 40平方厘米
D. 60平方厘米
7. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用
1分米铁丝．这根铁丝总长至少为多少分米？
8. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图），喷上红色后再将它们分开．涂上红
色的部分，面积是多少平方厘米？
9. 如图，AD=DE=EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，
则阴影部分是多少平方厘米？
10.一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四个正
方形，然后做成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容积最大（纸板的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米？
【典型应用3】统计与可能性
应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈现和数据分析.做统计题目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统计图表示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.
【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图.
（1）第_____天借书大于或等于70本？
（2）这周平均每天借书多少本？（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）
[略解] 通过观察统计图，可知：
（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；
（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．
【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.
【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：
（1）小红在风景区玩了多长时间？
（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区？ （3）小红骑车回家时每小时行多少千米？
[略解] 解：（1）因为9点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）因为8点到9点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=21小时．6÷2
1
=12（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．
【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.
【巩固练习】 第三期 第一部分 基础达标
1.根据统计图信息完成下列问题
(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．
(2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．
(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．
童话漫画科普趣味数学
第一季度45本95本70本75本
第二季度30本90本85本85本
(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图
(2)如果书店想进一些新书，你有什么好推荐？
3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．
从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少？
4.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）
2.83
3.32 2.75 3.17 2.58 2.65
3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52
（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？
（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？
（3）如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？
第二部分强化训练
5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．
（1）小明比教练先游______秒．
（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．
（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的() ().
6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．
（1）______赢得了比赛的胜利．
（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）
（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟
7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情况如下：
年数
高度/米
2 4 6 8 10 12 14 16 18
品种
甲树 2 4 5.7 7 8.2 9.4 10 10 10
乙树 3 5 6 7 7.5 8 8 8 8
（1）根据上表，在下面绘制这两种树的生长情况统计图．
（2）请根据统计图，描述一下这两种树的生长情况．
（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几？
（4）生长到第几年两树的高度一样？
8.某电器城2011年下半年空调和冰箱销售台数如下：
月份\
台数/太\
7月8月9月10月11月12月
种类
空调450 750 550 350 250 600
冰箱300 500 350 300 250 200
（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．
（2）平均每月销售空调多少台？
（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元？（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表．
某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况
年份2009年2010年2011年2012年合计
计划产量
实际产量
【方法小结】纵观多年来的试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和在将来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类型：以数化形、以形化数和数形结合.解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去解决问题。
答案
专题2第一期
1.精装：25.6元；平装：16元.提示：设平装为x 元，x x 6.16.9=+，x =16.
2.7.5小时.提示：设轿车x 小时后追上大巴士.x x 10080150=+，5.7=x
3.A 车平均每小时行100.64千米.提示：设A 车平均每小时行x 千米，
.64.100,2969285.1)6.085.1(==?+-x x
4.老虎：12只，狮子：26只.提示：设有x 只老虎.1422=-+x x ，.12=x
5.一共有7个小朋友，56颗巧克力.提示：两次分法不同，但巧克力总量没有变.设有x 个小朋友.x x 8146=+，.7=x
6.甲每分钟走120米.提示：设甲的速度为x 千米/时,,22606)60(x x +?=?-.120=x 速度差×时间=路程差.
7.小琪骑了22分钟,他们两人能在电影院开映前进入电影院.提示：设小琪骑了x 分钟.x x 2806220220=?+，.22=x
8.500秒.提示：原来两人每分钟共走1500÷10=150（米），提速后两人的速度和为150×（1+20%）÷60=3（米/秒）。所以相遇需要1500÷3=500（秒）.
9.6分钟、12分钟.提示：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差；600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和；（50+150）÷2=100，表示较快的速度；（150-50）/2=50，表示较慢的速度；600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间. 10.6.5千米/小时.提示：由出发后8小时两人相遇，可知甲乙原来每小时行全程的：1÷8=8
1
；再由出发后6小时两人就相遇，可知后来每小时行全程的：1÷6=
8
1
；后来比原来每小时多行全程的：61-81=241，每小时共多行：2+2=4（千米），就用除法求出全程是：4÷24
1
=96
（千米）；相遇时，甲比乙多行：3×2=6（千米），每小时多行：6÷6=1（千米），每小时两人共行：96÷6=16（千米），甲每小时行：（16-1）÷2+1=8.5（千米），甲原来每小时行：8.5-2=6.5（千米）.解答此题关键是明白路程是不变的，先跟据两次相遇的时间求出各自的速度和，进而求出两次的速度和差，正好是每小时共多行的路程，进而用除法求出全程．
专题2第二期
1.4厘米.提示：三角形AFB 的面积-三角形DEF 的面积=长方形ABCD 的面积-三角形BCE 的面积=15×8-15×（8+DE ）÷2=60-7.5DE ，依此即可求解．
2.57.2平方米.提示：4.622.512=?=平行四边形S 平方米，2.512.5=?=小路S 平方米，
2.572.5-4.62-===小路平行四边形草地S S S 平方米.
3.216平方米.提示：根据正方体的表面积公式：2
6a S =，表面积除以6就是一个面的面积，由此可以求出小正方体每个面的面积，用8个这样的小正方体组成的正方体，每个面的面积是小正方体每个面的面积的4倍，把数据代入表面积公式解答即可．
4.4500立方厘米．提示：把一个机器零件浸没在水中后，水的高度为15厘米，原来的水深是12厘米，这是因为机器零件浸没在了水中，机器零件的体积就是玻璃缸内上升的这部分水的体积，这部分水的长是50厘米，宽是30厘米，高是（15-12）厘米，根据长方体的体积公式进行列式解答即可．
5.D.提示：2S 的面积是长方形形面积的一半，1S 和3S 的面积和也是长方形面积的一半.
6.C.提示：长方体切割成2个小长方体，要使表面积增加的最大，则可以平行于最大面4×5面进行切割，这样切割后表面积就是增加了两个4×5面的面积.
7.43分米．提示：根据长方体的特征，长方体的12条棱中互相平行的一组有4条（长度相等），据图可知，铁丝总长等于长方体长的2倍，宽的4倍与高的6倍之和，再加上三个打结处所用铁丝长度．
8.36平方厘米.提示：这个立体图形的底面没有涂色，所以涂色部分的面积，就是这个图形露在外部的表面积，从上面看到的图形有10个小正方体的面，从前面和后面看到的图形各有7个小正方体的面，从左面和右面看到的图形中各有6个小正方体的面，据此即可求出露在外部的表面积，即得出涂色面积．露在外部的面一共有：10+7×2+6×2=36（个），1×1×36=36（平方厘米）.
9.14平方厘米.提示：三角形等高，面积的比即底边的比.连接AF ，因为AD=DE=EC ，所以
平方厘米△83124=?=ABD s ，又因为BF=FC,所以平方厘米△△122
1
24=?==AFC ABF S S ,
在三角形AFC 中，AD=DE=EC,所以平方厘米△△△43
1
12=?===EFC DEF ADF S S S ,由于
FG=GC ，所以平方厘米△△22
1
4=?==EFG EGC S S ；GCE DEF ABD S S S S △△△阴影++=代入
数值.
10.边长为3厘米时，这个纸盒的容积最大是540立方厘米．提示：根据题意，从这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x 厘米，列方程解答．
专题2第三期
1.折线、100、97.提示：因为该统计图不但容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况，所以是折线统计图；要求小巧第5次数学测验成绩，先根据“平均成绩×测验次数=总成绩”求出5次测验的总成绩，然后减去前4次测验成绩即可．
2.从统计图中可知第二季度的科普书和趣味数学都比上一季度的销售数量增加了，可适当添一些科普和趣味数学的书.提示：统计图中的横轴表示图书的分类，纵轴表示本数，可用空白表示第一季度，黑色表示第二季度．然后完成统计图，再根据统计图，提出建议．
3.
25
12
. 提示：根据统计表，可得体重在28～30kg 之间的人数是24，全班的总人数是50，用前者除以后者，求出他的体重在28～30kg 之间的可能性．
4.（1）中位数：3.205 平均数：3.083 （2）用中位数来表示 （3）9名同学及格，超过半
数.提示：（1）把这组数据按照从小到大重新排列，则最中间的两个数字的平均数就是这组数据的中位数，把这组数据加起来，再除以12，即可求出它们的平均数；（2）中位数的优点是：不受偏小或偏大数据的影响，更能代表一般水平；（3）一共有12人参加跳远，所以及格的人数超过6人，就超过了半数． 5.（1）10 （2）60 （3）
17
14
提示：（3）根据折线统计图可知，小明用了85秒，教练用了70秒，答案即为70÷85的最简分数形式.
6.（1）小华 （2）178 （3）2 ， 3.5 提示：（1）根据折线统计图可知，小丁到达终点用了5分30秒，小华到达终点用了4分30秒，由此可见，小华赢得了比赛胜利；（2）可根据公式 路程÷时间=速度，用800除以4.5分钟即可得到答案；（3）根据折线统计图可知，在跑完500米时，小丁用了2分钟，小华用了3.5分钟，由此解答即可得到答案．
7.（1）
（2）甲树的生长速度比乙树的生长速度快．（3）8÷10=5
4
答：当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的
5
4
．（4）生长到第8年两树的高度一样．提示：（3）用乙种树生长速度几乎为0时的高度除以甲种树生长速度几乎为0时的高度，可求出乙树的高度是甲树的几分之几．
8.（1）根据上表中的数据制成折线统计图如下：
（2）492台．提示：（450+750+550+350+250+600）÷6=2950÷6≈492（台）
（3）19万元．提示：100×（300+500+350+300+250+200）=100×1900=190000（元）（4）某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计表
年份2009年2010年2011年2012年合计
计划产量（万
吨）
8 10 13 16 47
实际产量（万吨）8 12 16 18 54
小学奥数数形结合 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
专题二 数形结合 【方法简介】 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷. 【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题 应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程. 【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解] 解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票. 2083=+x x ,2084=x ,52=x . 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票. 【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】 一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解] 解：设轿车开出小x 时后追上客车. x x 108903.090=+?，x 1827=，5.1=x
数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化。 小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。 数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。 如我在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。于是我就利用书上的主题图。在第一行排出用4根小棒围出的一个正方形，再在第二行排出同样的两个正方形，第三行摆出同样的四个正方形。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：第一行与第二行比较，第一行是1个4根，第二行是2个4根；把一个4根当作一份，则第一行小棒是1份，而第二行就有两份。用数学语言：把4根小棒当作1倍，第二行小棒的根数就是第一行小棒的2倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。接着我请学生说出第三行小棒根数与第一行的关系，学生能准确的从三个4根说出了第三行是第一行的3倍。 再如六年级有这样一题：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？ 此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思 5分米，或宽增加12分米，面积都增加60平方分米，原来长方形的面积是多少平方分米？”的教学中，我引导学生根据题意画出面积图：
专题二 数形结合 【方法简介】 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷. 【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题 应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程. 【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解] 解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票. 2083=+x x ,2084=x ,52=x . 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票. 【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】 [略解] 解：设轿车开出小x 时后追上客车. x x 108903.090=+?，x 1827=，5.1=x 【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】 小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？
数形结合在小学数学中的应用
数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，
小学奥数数形结合The final revision was on November 23, 2020
专题二 数形结合 【方法简介】 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷. 【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题 应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程. 【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票 [略解] 解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票. 2083=+x x ,2084=x ,52=x . 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.
【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】 一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车 [略解] 解：设轿车开出小x 时后追上客车. x x 108903.090=+?，x 1827=，5.1=x 答：轿车开出小时后追上客车. 【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】 小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米 [略解] 解：设x 分钟后两人还相距324米. 150********=++x x ，8=x 答：设8分钟后两人还相距324米.
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 学号：20130732103 班级：2013级初等教育理科1班
目录 【摘要】 0 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 0 引言 0 1数学结合思想的简要概述 0 1.1数形结合思想的涵义 (1) 1.2数形结合在数学中的应用范围 (1) 2数形结合在小学数学中的意义和价值 (1) 2.1数形结合是开启数学大门的金钥匙 (1) 2.1.1数形结合是形成概念的好帮手 (1) 2.1.2数形结合深化课堂知识目标化解难点 (2) 2.2数形结合有助于知识的理解和记忆 (3) 2.3数学结合有利于培养小学生的数学能力 (4) 2.3.1“数形结合形”发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力 (4) 2.3．2数形结合提高了小学生学习数学的趣味性 (4) 2.3.3能够增强学生学习数学的自信心 (6) 3数形结合在小学数学中的应用 (6) 3.1巧用数形结合，形成概念教学 (6) 3.2巧用数形结合，突破几何难点 (8) 3.3巧用数形结合，解决实际问题 (8) 4在运用数形结合教学中，应注意的问题 (9) 4.1教师应更新教学观念 (9) 4.2要培养学生运用数形结合思想的学习习惯 (10) 4.3充分发挥多媒体技术的作用 (10) 【参考文献】 (11)
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显著提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。 1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合
数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与
数形结合在小学数学中的运用 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 一、数形结合的功能 1、有利于记忆 由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。 2、有助于思考 用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。 二、培养学生数形结合思想方法的措施 1、强化意识，体会作用 我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。
小学数学教学中数形结合运用的几点体会 华罗庚曾经说过这么一段话：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”可见数形结合思想在数学中地位的重要。当前，在小学数学教学中，不管是教材编写者，还是广大数学教师，都越来越重视数形结合思想的渗透。笔者根据平时的教学体会，认为小学数学教学在数形结合思想方法的渗透时，一些细节地方值得广大教师注意，这样才能收到更好的效果。以下谈谈自己的几点体会。 一、数形结合要防止“结而不合” 在课堂上，教师在讲解数量关系时，运用数形结合的方法，让学生进行相应的图形操作演示，但是，因为形的直观形象，生动有趣，学生容易把所有注意力全部放在完成图形操作上，意识中完全忘记了“数”的存在。如在教学圆面积推导公式时，教师给每位学生发一个小圆纸片，让学生动手操作。学生兴趣很高，将小圆片平均分成若干等份，剪下来，重新拼成一个近似的长方形。长方形是拼成了，教师问长方形的长和宽分别相当于圆的哪一部分长度，好多学生回答不上来，忘记了刚才的思考和观察。这个例子说明，教师在课堂上有了数形结合的教学设计，并不等于学生肯定有了数形结合的体验。小学生空间观念还比较薄弱，对事物之间建立联系的水平也比较低，加上小学生的注意的稳定性和注意的分配还没有很好的发展，所以教师设计的“数形结合”教学环节，学生虽然参与了，但容易“忘了结合”甚至“不会结合”。 要防止这种“结而不合”现象的发生，在比较复杂的图形操作之前，教师应该预先布置好具有挑战性的任务，让学生带着任务去操作。学生在操作过程中，教师应注意巡视课堂，不断得到反馈，根据需要不断调节与启发，使学生在图形操作过程中不断触发对数量关系的思考，达到数与形的有机结合。 二、要帮助学生养成数形结合的思维习惯 小学生在数形结合上除了容易“忘了结合”或“不会结合”，还有一点是不善于“自觉结合”。数形结合思想的形成及其方法的自觉运用不是一蹴而就的，小学阶段还只是一个刚刚起步。小学生数形结合的意识还需要教师有意地去培养，并帮助学生养成自觉的思维习惯，这种培养应该贯穿小学数学教学的全过程。在小学低年级，教师应引导学生摆小棒、找实物等帮助解题，到小学高年级，教师应引导数学多在草稿本上画一画。数学课上，教师们通常要求每个学生桌上有一本草稿本，但在大多数小学生心目中，认为草稿本只是列竖式时用，就是没有想到在思考时用。当学生解题碰到困难时，往往停住思考，等待着老师给现成答案。所以教师有必要在课堂上帮助学生制订科学的“数学解题公约”：公约内容可以包括许多方面，其中一定要包括在解式题和几何图形遇到困难时，多画一画草图；在解应用题时，多画一画线段图等，引导学生把数学的思考过程画下来，让思维过程可视化。 单有“公约”还不够，平时在启发学生思考时，教师应该出声提示一下。到高年级，笔者经常会碰到这样的教学画面：当学生解题遇到困难时，教师念一句“数形结合”！学生们恍然大悟，打开草稿本边思考边画，然后就不断有学生找到正确的答案。通过不断提示、不断引导，使学生逐渐养成自觉的习惯，在数形结合中，找到解题途径。当学生运用数形结合在解
浅谈“数形结合”思想在小学数学中的意义 扬州市邗江区红桥中心小学周忠美 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远：一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它不仅作为一种解题方法，还是一种重要的数学思想。 我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘, 几何代数统一体,永远联系切莫分离。”寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致。 长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。作为一线教师，如何系统的运用数形结合思想进行数学教学，“数形结合”思想在小学数学中有什么重要意义呢？ 一、数形结合是小学数学中常用的数学思想方法 数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。另外，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。 在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。 例1：草地上有白色6只，黑兔比白兔多3只，黑兔有多少只？ 一读：学生读知事件，读明条件，读懂问题。 二划：在题目中用“_____”划出条件，用“～～～～～”划出问题。 第一条件：白兔6只；第二条件：黑兔多3只；问题：黑兔有多少只。
【典型例题】 例 1 观察下列算式： 31 3,32 9,33 27,34 81, 35 243,36 729,37 2187,38 6561, 用你所发现的规律写出 32004 的末位数字是 例 2 观察下列式子： 1 4 2 6 2 3；2 5 2 12 3 4；3 6 2 20 4 5；4 7 2 30 5 6 请你将猜想得到的式子用含正整数 n 的式子表示来 。 例 4 图 3— 4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图 3— 4②；再分别连结图 3— 4②中间的小三角 形三边的中点，得到图 3— 4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 数形结合总结 数形结合之规 律 图形编号 1 2 3 4 5 三角形个数 1 5 9 1 1 1 例 6．如图，把一个面积为 1 的正方形分等分成两个面积为 1的矩形，接着把面积为 1 的矩形等分成两个面积为 1 的 2 2 4 11 正方形，再把面积为 1 的矩形等分成两个面积为 1 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： 48 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 例 7 ．把棱长为 a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第 一层 方体的个数是 1 个，第二层 例 8. 观察下列图形并填表。 1 个数 1 2 3 4 5 6 7? n （1） 将下表填写 2）在第 n 个图形中有 ________________________ 个三角形（用含 n 的式子表示） 3 个??按这种规律摆放，第五层的2
例 9．把 1 到 200 的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的 3 个数，竖的 3 个数，这 9 个数的和是 162 。如果在 表的另外的地方，也用正方形围住另外的 9 个数。 （1） 当正方形左上角的数是 100 时，这 9 个数的和是多少？ （ 2） 当正方形中 9 个数的和是 1557 时，最大的数是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 195 196 197 198 199 200 例 10．将 1 至 1001 个数如下图的格式排列。 用一个长方形框入 12 个数，要使这 12 个数的和等于 （1）1986；（ 2）2529； 3）1989 是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001 例 11. 把 2012 个正整数 1，2，3，4，?， 2012 按如图方式排列成一个表． 4 个数，记左上角的一个数为 x ，则另三个数用含 x 的式子表示出来，从小到大依次是 4 个数，它们的和会等于 244 吗？若能，则求出 x 的值；若不能，则说明理由． 1）用如图方式框住表中任意 （ 2）由（ 1）中能否框住这样的
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透
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浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘要：“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 关键词：数形结合；小学数学；数学思想 美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中，最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。 数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。 本文先解读“数形结合”思想，浅谈其历史性及重要意义，后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。 一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法 数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。 数学方法： （1）思维方法：分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 （2）一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想（3）数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 （4）数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号 在小学数学教学中渗透的数学思想和方法，是以数学方法为主，一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久 早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了
第一讲数形结合解题 兴趣篇： 1、数形结合的思想。 2、用长方形的面积来解决应用题。 3、用面积来证明初中的公式。 4、用柳卡图来解答行程问题。 长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许多应用问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个量，那么面积则表示这两个量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多方便. 1、用小学知识证明。 a2? b2 =(a+b)( a?b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b) 2 = a2 + b2 +2ab (a+b)c=ac+bc (a+b+c) 2 = a2 + b2 +c2 +2ab+2ac+2bc 1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2 12＋22＋32＋42＋……＋n2 = n(n＋1)(2n＋1)÷6
2、 46×64= 3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5 （1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。 （2）求所有的积的和是多少。（用小学知识说明） 4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每 条船正好坐6人.问全班有多少人？ 5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。两种邮票各多少张？ 6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下 去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个学生家到学校有多远？ 7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米。乙先行1.5小时，问几 小时后甲可追上乙？
学习好资料欢迎下载 第一讲数形结合解题 兴趣篇： 1、数形结合的思想。 2、用长方形的面积来解决应用题。 3、用面积来证明初中的公式。 4、用柳卡图来解答行程问题。 长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许多应用问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个量，那么面积则表示这两个量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多方便. 1、用小学知识证明。 22 =(a+b)( a?b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd a ? b 222 +2ab (a+b)c=ac+bc (a+b) + b = a 2222 +2ab+2ac+2bc + b(a+b+c) +c = a 2 ）=n……+（2n-11+3+5+7+9+ 222226 ÷1)＋1)(2n＋ = n(nn＋……＋4＋3＋2＋1． 学习好资料欢迎下载
2、 46×64= 3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5 （1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。 （2）求所有的积的和是多少。（用小学知识说明） 4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每条船正好坐6人.问全班有多少人？ 5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。两种邮票各多少张？ 6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个学生家到学校有多远？ 7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米。乙先行1.5小时，
数形结合在小学数学解决问题中的运用 【摘要】数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。 本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。 ［1］数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。 [2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。 数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。一、数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。二、数形结合的三种应用方式一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。（1）以数化形由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，
专题二数形结合 【方法简介】 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷. 【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题 应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程. 【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解] xx张邮票3解：设小巧有. 张邮票，那么小胖有x?52208x?3x?x?2084. ,,答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票. 【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的.最后提醒别忘了算小胖的邮票数208张，再列方程.邮票数之和为 【题2】 一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ ] 略解 [
x时后追上客车. 解：设轿车开出小x?1.5x?183?90x?108x27?900.，，答：轿车开出1.5小时后追上客车. 【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】 小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解] x分钟后两人还相距324米. 解：设x?81500?75x?324?72x，答：设8分钟后两人还相距324米. 【技巧贴士】 本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相 遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为72x?75x?1500?324. 【巩固练习】第一期 第一部分基础达标 1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？ 2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？ 3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米？ 第二部分强化训练 4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？ 5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告
《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》 数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 三、课题研究内容 1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。 2、针对不同的教学问题，探索渗透数形结合思想方法的教学策略。 3、探索让学生更好地理解、掌握数学知识，提高数学能力的同时，也学会运用数形结合分析、解决问题的教学途径。 四、课题研究方法