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(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习-12.2几何概型教案(含解析)

§12.2几何概型

最新考纲

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.

2.初步体会几何概型的意义.

3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机

数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝M

作为所求概率的近似值．

概念方法微思考

1．古典概型与几何概型有什么区别？

提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．

2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？

提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝1

9.( × )

题组二教材改编

2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12B.13C.1

4D ．1 答案 B

解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为1

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

答案 A

解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1

3，

∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．

4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )

A.π

4 B.π－2

2 C.π6 D.4－π

答案 D

解析如题干图所示，区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括?

AC )表示的是区域D 内到坐

标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π

4，

故选D.

题组三易错自纠

5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5

6，则m ＝________.

答案 3

解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .

当0

6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．

当2

m －(－2)6

＝5

，解得m ＝3.故m ＝3. 6．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2

的概率为________．答案 23

解析设AC ＝x cm(0

(cm 2

)．由12x －x 2

<32，

即(x －8)(x －4)>0，解得0

由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23

题型一与长度、角度有关的几何概型

例1在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.

(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|<|AC|的概率；

(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．解(1)如图所示，在AB上取一点C′，使|AC′|＝|AC|，连接CC′.

由题意，知|AB |＝2|AC |.

由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .

所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝2

(2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB ＝π－

42π2＝3

思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34 答案 B

解析如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝10＋1040＝12

，故选B.

(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧?DE

，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．

答案 1

解析因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线

AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC

有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝1

题型二与面积有关的几何概型

命题点1 与面积有关的几何概型的计算

例2(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A.14

B.π8

C.12

D.π4 答案 B

解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π

2，所以

由几何概型知，所求概率P ＝S 黑

S 正方形＝π

24＝π8.

命题点2 随机模拟

例3(1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )

A ．7.68

B ．8.68

C ．16.32

D ．17.32

答案 C

解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96

300＝0.68.由几何概型的

概率计算公式，可得

S 椭圆

S 矩形

＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. (2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．答案 0.4

解析根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 95977424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为8

20＝0.4.

思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

跟踪训练2(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n m

B.2n m

C.4m n

D.2m n

答案 C

解析由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m

，

∴π＝4m

，故选C.

题型三与体积有关的几何概型

例4如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于1

的概率为________．

答案 12

解析过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于16，

只要M 在截面以下即可小于16，当V M —ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝1

2，即点M 到底面

ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×

21×1×1＝1

思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

跟踪训练3在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6πB.32πC.3πD.233π 答案 D

解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝

32，球的体积V 2＝43π×? ????323

＝32

π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝

3π

1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤1

2”发生的概率为( )

A.34

B.23

C.12

D.13 答案 D

解析在[0，π]上，当x ∈??????0，π6∪??????5π6，π时，sin x ≤12，故概率为π3π＝13.

2．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为1

2，则实数m 为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案 B

解析区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，

当1

m ＋14

＝1

，解得m ＝1(舍)，当0

，则m ＝1.故m ＝1.

3．(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132B.78C.38D.18 答案 D

解析设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，

AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216

＝

，故选D. 4．(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π

，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )

A ．2－33π

B ．4－63

C ．－13－32π

D.23

答案 B

解析设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24? ????16

πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2

，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)

的概率为

S S ′＝4－63π

，故选B. 5．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →

＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14B.13C.23D.12 答案 D

解析以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →

＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，

由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的1

2，

所以S △PBC ＝1

S △ABC ，

所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为

S △PBC S △ABC ＝1

，故选D. 6．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2

＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2

，化简得：勾

＋股2

＝弦2

.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )

A ．866

B ．500

C ．300

D ．134

答案 D

解析设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2

，小正方形的面积为(3－1)2a 2

，所以小正方形与大正方形的面积比为

(3－1)

＝1－

32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为?

???1－32×1000≈134. 7．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2

＋y 2

＝9相交”发生的概率为______．答案 34

解析由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |

k 2＋1

<3，解得－34

4，由

几何概型得P ＝34－? ????－341－(－1)＝3

8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案

解析因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC ＝a ，则所求概率P ＝3

3a a ＝3

9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥

A —A 1BD 内的概率为______．

答案 16

解析因为1A A BD V -＝1A ABD V -＝1

3AA 1×S △ABD

＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝1

6V 长方体，故所求概率为

1A A BD

V -V 长方体

＝1

. 10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2

2＝1表示焦点在x 轴

上的椭圆的概率是________．答案 12

解析 ∵方程x 2m 2＋y 2

2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .

如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分(不包括m ＝n 这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，

∴所求的概率为1

11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．

(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．

解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，

所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．

故满足a ·b ＝－1的概率为

336＝112

. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为

Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．

满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，

阴影部分的面积为S 阴影＝25－1

2×2×4＝21，

故满足a ·b <0的概率为21

12．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h ，乙船停泊时间为2h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －

x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．

A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．

所求概率为P (A )＝

A 的面积

Ω的面积

＝(24－1)2×12＋(24－2)2

242

＝

506.5576＝1013

1152

13．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1

2的概率为________．

答案 34

解析设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

几何概型教案高中数学优质课

3．3几何概型（1）苏教版：必修3 一、教学目标： 1、理解几何概型的概念，能识别几何摡型并会用其概率公式求解； 2、经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般方法；通过问题求解，领会将实际问题或一般数学问题转化为几何问题的解题策略； 3、在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；在探索交流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴趣。二、教学重点与难点：教学重点：几何摡型概念的建构。教学难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型. 三、教学方法与教学手段：本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。四、教学过程【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型。试验2（剪绳试验）取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型。

【情境拓展】 3. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少? 【设计意图】丰富感性认知，呈现面积测度。【互动交流，建构新知】【设计意图】分步提炼概括，分散教学难点。 1、几何概型的概念：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等). 每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，事件A

高考数学几何概型及随机模拟

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟一．课标要求： 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。预测07年高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。三．要点精讲 1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。 3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10

5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π

1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D．二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

高中数学《第三章概率3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生》126教案教学设计讲

1 《均匀随机数的产生》教学设计 1.教学内容解析（1）本课是必修3第三章《概率》的最后一节内容，是在学习了古典概型、（整数值）随机数的产生和几何概型的前提下，学习用计算器（机）产生均匀随机数的方法，通过例2的探究理解用频率估计概率的随机模拟思想，并将此随机模拟方法推广应用，如估计未知量等。（2）均匀随机数的产生是对前面（整数值）随机数产生结果有限性的补充，实现有关几何概型问题的模拟。教学重点：学习用计算器（机）产生均匀随机数，设计模型用随机模拟方法估计未知量。 2.教学目标设置（1）知识目标：了解产生均匀随机数的意义，熟练掌握产生均匀随机数的方法，准备判断问题模型并用随机模拟方法预测未知量。（2）能力目标：通过例题的探究，提高数据分析处理和问题解决的能力。（3）思想目标：强化用频率估计概率及化归的思想。（4）情感目标：感受数学魅力，提高学习数学的热情，养成积极主动思考、勇于探索和不断创新进取的良好学习习惯

和品质。 3.学生学情分析（1）学会用计算器（机）产生整数值随机数，掌握一定的技术基础，因此本节课在教师引导下学生可较快掌握任意区间内均匀随机数的产生；（2）学生已学习了两种概率模型及其计算公式，因此在例题探究学习中学生能在教师引导下较好地识别概率模型并计算其理论数值；（3）前面的抛硬币随机模拟试验中学生初步认识到离散型变量用频率估计概率的统计思想，但对连续型随机变量的概率估算准确转化随机模拟这是学生思维的一个难点。需在在教师案例探究和应用的引导中，通过小组合作探讨和个人实际操作对比试验中进一步体会概率统计思想。教学难点：如何把未知量估计问题转化为随机模拟问题并设计合理的试验过程。 4.教学策略分析本节课的重难点是设计模型用随机模拟方法估计未知量，体会频率估计概率的思想。为达到此教学效果，通过例2的展开探究，以教师引导、小组合作探究模式，类比学习方法，让学生横向与纵向对比试验结果发现规律，最后通过理论验证规律的可靠性和客观存在性，让学生具体经历完整试验过程。其中，教师设计“问题串”的形式，引导学生分析问题，

历年高考数学真题精选44 几何概型

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题44 几何概型（学生版）一．选择题（共13小题） 1．（2019?全国）在Rt ABC ?中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠

则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为() A．4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 5．（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 6．（2016?新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A． 7 10 B． 5 8 C． 3 8 D． 3 10 7．（2015?福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ()1 1,0 2 x x f x x x + ? ? =? -+< ?? … 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于() A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 8．（2015?陕西）设复数(1)( z x yi x =-+，) y R ∈，若||1 z?，则y x …的概率为() A． 31 42π +B． 11 2π +C． 11 2π -D． 11 42π - 9．（2015?山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log()1 2 x -+ 剟”发生的概率为() A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 10．（2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为() A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5

2018年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C

5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2）是（） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1

4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的

几何概型教学设计高二数学教案人教版

几何概型教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第3.3.1节几何概型。学情分析：这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的，随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。教材的地位与作用：概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用。本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法；这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。教学目标：知识与技能了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。过程与方法通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。情感、态度与价值观通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。教学重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。教学过程：一、复习引入 1、古典概型的两个基本特征是什么？ 2、如何计算古典概型的概率？

几何概型教学设计

3.3.1 几何概型济宁市实验中学陈秀伟

【课题】 3.3.1 几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书数学3 必修人民教育出版社A版【授课教师】陈秀伟【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位. 学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象. 【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题. 【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法. 情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界. 【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量. 【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识. 【教学基本流程】创设情境 ↓ 探究生成 ↓ 形成概念 ↓ 巩固深化 ↓ 课堂梳理 ↓ 布置作业

2019高考数学概率：几何概型

几何概型【考点梳理】 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2

P ′在C ''B 上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM

人教版高中数学必修三习题：第三章3.3几何概型

第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生 A 级基础巩固一、选择题 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．答案：A 2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为1 3. 答案：A 3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( ) A ．0.008 B ．0.004 C ．0.002 D ．0.005 答案：D 4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.9 10 解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110 . 答案：A

5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( ) A.π16 B.π8 C.π4 D. π2 解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的14圆内．所以所求的概率为14 π12 ×2×2＝π8 . 答案：B 二、填空题 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________．解析：P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1＝1 6 . 答案：1 6 7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为 9 10 ，那么该台每小时约有________分钟的广告．解析：60×??? ?1－910＝6(分钟)．答案：6 8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________．解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1 3，于是事件A 发生的概率 P (A )＝13 . 答案：1 3 三、解答题 9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．

说课教案几何概型

说课教案几何概型一．教材分析 1.教材地位与作用本节课是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，使概率的公理化定义更加完备。尽管本节内容在课程标准中的要求仅为了解和会简单的应用，但蕴含的数形结合和数学建模的思想凸显了其重要性。 2.教学目标知识与技能：了解几何概型的两个特征，会识别几何概型，并能正确求解概率。过程与方法：通过问题探究，动手实验，辨析异同，发现概念，学生体验“做数学”的乐趣和概念生成的过程。学生对照古典概型，类比推理，能提出解决几何概型问题的可行性想法。情感、态度与价值观：通过设置的故事情境，调动学生的兴趣，积极的进行自主探究，并进行合作交流。让学生认识到数学与我们的生活息息相关，数学是有用的、是自然的、是清楚的，也是丰富多彩的。 3.重点难点重点：几何概型的两个特征，几何概型的识别和计算公式；难点：建立合理的几何模型求解概率。二．学情分析学生的认知水平有了一定的基础，前面学习了随机事件的概率和古典概型，并且掌握了二元一次不等式表示的平面区域问题。但学生的抽象思维能力还有待于进一步提高，因此在从古典概型向几何概型的过渡时，如何将问题的实际背景转化为“几何度量”，学生会有一些困难和疑惑，这就需要恰当的引导、合理的解释和明确的辨析。三.学法指导（附导学案）本节课采用发现法教学和学案导学相结合的方法。通过精心设计的导学案，以故事的形式展现问题，激发学生的求知欲。学生不仅在课前自主的探究和预习，而且在课堂中通过动手实验，合作交流，发现问题，提倡学生扮演“老师”进行讲评，把课堂变成教师导演学生主演的数学学习活动场所。我将学生的导学案附在后面，恳请各位专家给予指导。四.教学过程数学教学是数学活动的教学，我将整个导与学的过程分为以下四个环节：1.创设情境，温故知新，2．探究实验，构建概念，3．例题分析，推广应用，4．巩固升华，总结概括。 1.创设情境温故知新（3分钟）青青草原上“喜洋洋”超市举行购物抽奖的大型促销活动，红太狼购物后

(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

专题二十几何概型 1.长度类几何概型例1：已知函数()2 2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（） A ．1 10 B ．2 3 C ．3 10 D ．4 5 【答案】C 【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤，从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ 3 10P = ，故选C ． 2．面积类几何概型（1）图形类几何概型例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21 2a π，故由几何概型可知，半圆所占比例为4π ，随机撒4000粒豆子，

落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ．（2）线性规划类几何概型例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（） A ．1 4 B ．1 3 C ．3 4 D ．7 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则所有基本事件构成的区域满足024 024x y ≤≤≤≤??? ，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足 0240246x y x y ?≤≤? ≤≤??-≤? ，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187 1242416 S P A S Ω ?==- =?阴，故选D ．（3）利用积分求面积例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（）

2020年高考数学空间几何体解答题专练(含答案)

2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ。

3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．

5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．

7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．（1）证明：ED⊥PE；（2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACM；（2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

2019-2020年高中数学第三章《几何概型》教案新人教A版必修3

2019-2020年高中数学第三章《几何概型》教案新人教A 版必修3 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想： 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 3、例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古

几何概型案例

《几何概型》教学案例教学目标一、知识与技能目标（1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。二、过程与方法让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。教学重点几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点建立合理的几何模型求解概率。教学过程一、创设情境引入新课师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基本事件发生的可能性相等。师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区域内的概率。生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。那到底什

么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。试验一师：请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少？生丁：四分之一师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？生丁：就是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，请坐。我们梳理一下我们刚才的发现。首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。试验二在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率. 师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。师：所求的概率是多少？

全国高考数学复习微专题：几何概型

全国高考数学复习微专题：几何概型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

几何概型一、基础知识： 1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则：（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45

思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --

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