第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
第3章习题 习题3.3 解： （1） 由?-?=E 可得到 a <ρ时， 0=-?=?E a >ρ时， φρφρ?φρsin 1cos 12222??? ? ??-+???? ??+-=-?=a A e a A e E （2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为 φεεερρρρcos 2000A E e E e a a n s -=?=?=== 习题3.5 证： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得 0R r <时。ρππ344312 r D r =，则0 01113,3εερεερr r r D E r D === 0R r >时。ρππ3443022 R D r =，则203002 223023,3r R D E r R D ερερ=== 则中心点的电位为 20 0200 203 020 13633)0(0 ερεερερεερ?R R dr r R dr r dr E dr E r R R R r R += +=+=?? ??∞ ∞ 习题3.8
解： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得同轴线内、外导体间的电场强度为 περ ρ2)(l q E = 内、外导体间的电压为 a b q d q Ed U l b a b a l ln 22περπερ ρ= ==?? 则同轴线单位长度的电容为 ) /ln(2a b U q U Q C l πε = == 则同轴线单位长度的静电储能为 )/ln(422212122 2 a b q d q dV E W l b a l V e περπρπερεε=??? ? ??==?? 习题3.11 解： （1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度 )(2c a I e J <<=ρπρ ρ 介质中的电场 )(21 1 1b a I e J E <<==ρπρσσρ )(22 2 2c b I e J E <<==ρπρσσρ 而 ? ?+= ?+?=b a b a b c I a b I d E d E U ln 2ln 221 210πσπσρρ ) /ln()/ln(2120 21b c a b U I σσσπσ+=
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。
12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间 的关系为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别 为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别 为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????
第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E= 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E=
第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?r r 和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+r r r 0202εερA -=Φ?-= (2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++r r r r r 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++??r r r r 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+-=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+-r r r r r 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100 ()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+r r r r V /m 。试求0z <时的D r 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+r r r r 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。
第三章 稳恒电流 一、判断题 1、若导体内部有电流，则导体内部电荷体密度一定不等于零 2、通过某一截面的,截面上的电流密度必为零 3、通过某一截面上的电流密度,通过该截面的电流强度必为零 √ 4、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的，则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献 √ 5、一个给定的一段导体（材料、几何尺寸已知）其电阻唯一确定 6、静电平衡时，导体表面的场强与表面垂直，若导体中有稳电流，导体表面的场强仍然与导体表面垂直 7、金属导体中，电流线永远与电场线重合 √ 8、在全电路中，电流的方向总是沿着电势降落的方向 9、一个15W,12V 的灯泡接在一电源上时，能正常发光。若将另一500W ，24V 的灯泡接在同一电源上时也能正常发光 10、电源的电动势一定大于电源的路端电压 11、两只完全相同的电流表，各改装成10和1000V 的电压表，一只并联在5的负载两端，另一只并联在500V 的负载两端，通过两只表的电流一样大 √ 12、基尔霍夫方程对非稳恒电流也适用 13、有A 、B 两种金属，设逸出功>，其余的差异可忽略，则接触后，A 带正电，B 带负电 ?0=I ?0=j ???????
14、接触电势差仅来自两金属逸出功的不同 二、选择题 1、描写材料的导电性能的物理量是： （A ）电导率 （B ）电阻R （C ）电流强度I （D ）电压U A 2、在如图所示的测量电路中，准确测量的条件是： （A ） （B ）>>R （C ）<< （D ）< 一、填 空 题 1、电介质的极化分为 ，和 。 答案内容：位移极化，取向极化。 2、如图，有一均匀极化的介质球，半径为R ，极化强度为P ，则极化电荷在球心处产生的场强是 。 答案内容： 3ε-P ； 3、0C C r ε=成立的条件是 。 答案内容：介质为均匀介质； 4、通常电介质的极化分为两类，其中无极分子的极化称为 有极分子的极化称为 。 答案内容：位移极化；取向极化； 5、如图所示，水平放置的平行电容器，极板长为L ，二极板间距为d ，电容器两极板间加有电压，据板右端L 处放置一个荧光屏S 。有一个质量为m ，电量为q 的粒子，从电容器左端的中央以速度0v 水平射入电场，粒子穿过电容器后 （两板间距离d 的大小能满足粒子穿过电容器），要求以水平速度打在荧光屏S 上，则加在电容器两极板间电压的大小应为 。 答案内容：2mgd/q ； 6、如图所示，平行板电容器的极板面积为S ，间距为d ，对此电容器充电之后，拆去电源，再插入相对介电常数为r ε，厚度为/2d 的均匀电介质板，设为插入介质前，两极板间的电场为0E ，插入介质后，介质内外的电场分 别为1E 和2E ，则：10/__________E E =，20/__________E E = 。 答案内容： 1/r ε；1. 7、有一平板电容器，用电池将其充电，这时电容器中储存能量为W 0，在不断开电池的情况下，将相对介电常数为r ε的电介质充满整个电容器，这时电容器内存储能量W= W 。 答案内容：r ε ； P z R 8、在平行板电容器之间放入一电介质板，如图所示，则电容器电容将为 ，设未放介质时电容为C 0 。 答案内容：021r r C εε+ ； 单选择题 1 1、如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比：（ ） (A)增多； （B ）减少； （C ）相同； （D ）不能比较。 答案内容：A ； 2、内外半径为21R R 和的驻极体球壳被均匀极化，极化强度为P P ；的方向平行于球壳直 径，壳内空腔中任一点的电场强度是： ( C ) （A ） 3ε= P E ； (B)0=E ； (C) 3ε- =P E ； (D) 32ε= P E 。 3、一个介质球其内半径为R ，外半径为R+a ，在球心有一电量为0q 的点电荷，对于R 第三章静电场中的电介质重点 电介质：绝缘体 自由电荷：可宏观分离的电荷. 束缚电荷：约束在原子、分子中的带电粒子, 不能宏观分离 极化电荷：电介质由于极化产生的等效宏观电荷。 §1电介质的极化 讨论电介质在电场中的电性质 1. 偶极子模型 1.偶极子模型 近似正、负电荷分别集中在两点——偶极子模型 2. 偶极子 (1)偶极子: 相距极近的两个等值异号点电荷组成的系统. 偶极矩p = q l (2) 偶极子激发的电场 U(r)≈pcosθ/(4πε0r2) E r= -?U/?r=p r cosθπε 2 3 Eθ= -1 r (?U/?θ)= p r sinθ πε 4 3 Eφ= -1 r sinθ (?U/?φ)=0 E= -P/(4πε0r3)+3(P?r)r/(4πε0r5) 特点： E ∝ p/r3∝ q l/r3 < 分子(固有)偶极矩p分子≠0 , 随机分布?P宏观=0 (2)无极分子 分子(固有)偶极矩p分子=0 ? P宏观=0 (3)分子电特性取决于分子结构 2. 在电场中分子极化 有极分子转向极化 响应时间: 10-2～10-10s ; 可以有损耗 无极分子位移极化: 响应时间: 10-14～10-16s; 无损耗 极化结果: 沿E方向有P宏观 3. 极化强度 定义: P=∑p分子/?V (库仑/米2) 即：单位体积内分子偶极矩之和 4.极化强度与场强关系 1. 线性关系 各向同性电介质P=χε0E 各向异性电介质P, E线性但不同向 说明：(1)线性关系的条件：E非很大. (2)均匀电介质：χ为常数 2. 其它 铁电体 驻极体(永电体) 5. 极化对流体黏度的影响—电流变效应(Electrorheological effect) 电流变效应: 一些特殊液体由于极化其黏度发生明显的、可逆的、连续的、可控的变化§2极化电荷 极化引起电介质内部电荷“重心”的规则分布, 宏观看有电荷效果 1. 极化电荷q’与P关系 求闭合曲面S内的极化电荷q’ 1. 位移极化情况 偶极子被S面切开贡献± q 通过d S的偶极子的贡献dq’= -qn dV = -P?d S S内的极化电荷 q’= -∮P? d S ρ’=?q’/?V= -??P P均匀?ρ’=0 q’=0 2. 转向极化情况介绍S dS 第三章 静电场的电介质 3.2.1 偶极矩为p → =q l → 的电偶极子，处于场强为E 的外电场中，p → 与E → 的夹角为θ。 （1） 若是均匀的，θ为什么值时，电偶极子达到平衡？ （2）如果E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力： F + =F _=qE 因而F → +=-F → _∴偶极子 受合力为零。偶极子受的力矩 T =p ?E 即 T=qEsin θ 当 T=0时，偶极子达到平衡， ∴ pEsin θ=0 p → ≠0 E → ≠0 ∴θ=0 , π θ=0这种平衡是稳定平衡。θ=π是不稳定平衡。 （2） 当E → 不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。 3.2.2 两电偶极子 1p →和2 p → 在同一直线上，所以它们之间距r 比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F= 4 02 123r p p πε，力的方向是：1 p → 与 2 p → 同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。 证： 已知当r >>l 时，偶极子在其延长线上 一点的场强：E → =3 02r p πε→ 当 1p → 与 2p → 同方向时，如图 2p → 所受的力的大小： +→ F =E → q= r l r q p ∧ +3 201)2 (2πε -→ F = - E → q= r l r q p ∧ --3 201)2 (2πε ∴F → = +→ F +-→ F =r l r l r q p ∧????? ? ?? ????--+323201)2(1 )2(12πε =r l r l l r q p ∧ ?? ? ???---?32223 222 01)2()2(2262πε 略去 4 22l 及 83 2 l 等高级小量。 F → =-r r ql p ∧ 4 02 146πε = -r r p p ∧ 4 02123πε 当 1p → 与 2p → 反方向时（如图） ，同理： F →= r l r l r q p ∧????? ? ?? ????--+323201)2(1 )2(12πε =012πεq p ?r l r l l r ∧ -+3222 3 222) 4 ()2(23 略去高级小量得： F → =r r P P ∧ 402123πε 3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。 （1） 求电偶极子在该处的电位能， （2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是 多少？ 第3章习题 3-1 半径为a 的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率ω旋转形成电流，求电流面密度。 解：圆盘以角频率ω旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为 ? ωρρ?r v J s s s == 3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28 105.8?个自由电子。如果铜线的横截面为2 10cm ，电 流为A 1500。计算 1） 电子的平均漂移速度； 2） 电流密度； 解：2）电流密度 m A S I J /105.110 10150064?=?== - 1） 电子的平均漂移速度 v J ρ= ， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ?=???==-ρ s m J v /101.110 36.1105.14 10 6-?=??==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电 流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。 解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663 .050μ=== 因为 v J S S ρ= 2/33.820 7.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U 是运动电荷的平均运动速度，证明： 0=??+??+??t U U ρρρ 解：如果ρ是运动电荷密度，U 是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为 U J ρ= 代入电荷守恒定律 t J ??-=??ρ 得 0=??+??+??t U U ρ ρρ 3-5 由m S /1012.17 ?=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。 求两端面之间的电阻。 解：用两种方法 第三章 恒定电场 3.0 概述 1 本章的主要内容 (1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场； (3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压 2 恒定电场的知识结构图 (见PPT) 3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场 一、导电媒质中的恒定电场 恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。 两种情况： 1．导电媒质中的恒定电场 2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。 电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密 度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。只要利用E γδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。 二、 局外场强与电动势 局外场强（局外力设想为一等效场强） q F E e e = 电动势 l d q F C l d E C e e ?=?=??+-+ -11ε 局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。e 与电荷数量即电流无关。 3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式 1．电流密度失量（电流面密度矢量） I dt dq t q t ==??→?0lim 电流强度 A 标量 对面而言 通量 dS dI S I S =??=→?0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数 δ ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S ?=?δ电流场——电流线描述 电流线密度矢量 n e dl dI K = A/m 2．欧姆定律的微分形式 导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 E γδ= γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。 3．焦尔楞次定律的微分形式 导电媒质中，每点所消耗的功率2E E p γδ=?= W/m 3 电势能转化为热能 适用场均匀、不均匀 ３．３ 恒定电场的积分形式定理 一、电流连续性方程 电荷守恒原理 q S d ?-=? δ 第三章答案 3-1 ①有磁 ?? ? ??==??? ? ??==1112221 122212121sin sin cos cos tan tan δθδθθθδ δθθJ J J J J J n n 代入已知参数得： m A J /58.03 1 30cos 213011=== = θ ② 由静电场边界条件：21n n s D D -=ρ 由磁场边界条件：E J σ=，即222111n n n n E J E J σσ== 又因为E D 0ε=，可以得到：222111n r n n r n E D E D εε== 因此，02 2 2 1 1 121=-=-=σεσερn r n r n n s J J D D 3-2 当a z ≤时，由恒定磁场的基本方程的积分形式可得： I z B dl B l 2μπ=?=? 再由 ?= S dS J I 以及 H B μ=，可得 2 00002z J dS J z B S πμμπ==?? 2 00z J B μ= μ μ200z J H = 当a z >时，有： 200002a J dS J a B S πμμπ==?? 2 00a J B μ= μ μ200a J H = 3-3 设导线中的电流为I ，则其产生的磁场为r I B πμ20= 做积分，得出磁通量 c b c Ia dr r Ia dS B b c c +===ψ??+ln 2200πμπμ 因此，它们之间的互感为 c b c Ia M +=ln 20πμ 3-5 取环上一微元，??a bd l d = ，z r a z a b R +-= ，则： R a bd R l d ?=?)(?? ?d a bz a b R l d r z )(2 +=? 由毕萨定律得： z r z r z a z b I b d R a Ibz d R I a b d R I a bz a b B 2 3 222020 20 3 032020 320 )(244)(4+=+=+=? ? ?μ?π μ?π μ?π μπ π π ① 环心处的磁通密度 当0=z 时，005.22μμ==z a b I B ② 环轴10m 处的磁通密度 当m z 10=时，02 322 201.0) 10(210μμ=+= z a b b B 3-6 NI a NI B B a NI B NI a B 0000000524842μμμμ== ==?= 3-8 由毕萨定律，得： 第三章 练习题 一、选择题 1、［ C ］关于D r 的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D r 为零． (B) 高斯面上D r 处处为零，则面内必不存在自由电荷． (C) 高斯面的D r 通量仅与面内自由电荷有关． (D) 以上说法都不正确． 2、［ D ］静电场中，关系式 0D E P ε=+r r r (A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质． (D) 适用于任何电介质． 3、［ B ］一导体球外充满相对介电常量为r ε的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为 E ，则导体球面上的自由电荷面密度0σ为： (A)0E ε. (B) E ε. (C) r E ε . (D) 0()E εε- . 4、［ A ］一平行板电容器中充满相对介电常量为r ε的各向同性的线性电介质．已知介质表面极化电荷面密度为σ'±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为： (A) 0σε'． (B) 0r σεε'． (C) 02σε'． (D) r σε' ． 5、［ B ］一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电 场强度为0E r ，电位移为0D r ，而当两极板间充满相对介电常量为r ε的各向同性的线性电介 质时，电场强度为E r ，电位移为D r ，则 (A) 0 0,r E E D D ε==r r r r ． (B) 00,r E E D D ε==r r r r ． (C) 00,r r E E D D εε==r r r r ． (D) 00,E E D D ==r r r r ． 6、 [ C ]一空气平行板电容器，两极板间距为d ，充电后板间电压为U 。然后将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d/3的与极板等面积的金属板，则板间电压变为 第3章习题 3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面 密度。 解：圆盘以角频率 旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为 ? ωρρ?r v J s s s ==ρ ρ 3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28 105.8?个自由电子。如果铜线的横截面为2 10cm ，电 流为A 1500。计算 1） 电流密度； 2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度 m A S I J /105.110 10150064?=?== - 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ?=???==-ρ s m J v /101.110 36.1105.1410 6-?=??==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电 流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。 解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663.050μ=== 因为 v J S S ρ= 所以 2/33.820 7.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U ρ 是运动电荷的平均运动速度，证明： 0=??+??+??t U U ρρρρρ 证：如果ρ是运动电荷密度，U ρ 是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为 U J ρρρ= 代入电荷守恒定律 t J ??-=??ρρ 得 0=??+??+??t U U ρρρρρ 3-5 由m S /1012.17 ?=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。 求两端面之间的电阻。 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结： 1、E P χε0= （1）极化率χ各点相同，为均匀介质 （2）τ ?=∑i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 ()τ ρ??- ='? ?-='?='????S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0='='ρq （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 ()n P P ?12?-=' σ 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位 矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P =?='? σ n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： A n P ??=' σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P θσcos ?=?=' 任一点有： θσc o s P =' 所以极化电荷分布： ()()()140230030 22P θσθσθθπσππθθσ?'>? ?' 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须 另加附页。 总结： 1、E P χε0= （1）极化率χ各点相同，为均匀介质 （2）τ ?=∑i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 ()τ ρ??- ='? ?-='?='????S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0='='ρq （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密 度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 ()n P P ?12?-=' σ 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P =?='? σ n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或 金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： A n P ??=' σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P θσcos ?=?=' 任一点有： θσcos P =' 所以极化电荷分布： ()()()140230030 22P θσθσθθπσππθθσ?'>? ?' 电磁场与电磁波第三章 3.7无限大导体平板分别置于x =0和x =d 处，板间充满电荷，其体电荷密度为ρ= ρ0x d ,极板间的电位分别为0和U 0，如图所示，求两级 板之间的电位和电场强度。 解：由泊松定理得 d 2φdx 2=?1ε0ρ0x d 解得φ=? ρ0x 36ε0d +Ax +B 在x =0处，φ=0，故B =0 在x =d 处，φ=U 0，故U 0=?ρ0x 36ε0d +Ad 故A =U 0d + ρ0d 6ε0 φ=? ρ0x 36ε0d +( U 0 d + ρ0d 6ε0 )x E =??φ=?e x ?φ?x =e x [ ρ0x 22ε0d ?( U 0d + ρ0d 6ε0 )] 3.8证明：同轴线单位长度的静电储能W e =q l 22C 。式中q l 为单位长度上 的电荷量，C 为单位长度上的电容。 解：由高斯定理可知： E (ρ)=q l 2περ 故内外导体间的电压为 U =∫Edρ=∫q l 2περ b a b a dρ=q l 2πεln b a 则电容为C = q l U = 2πεln b a W e =12∫εE 2dV =12∫εb a (q l 2περ)22πρdρ= 12q l 22πεln b a =q l 22C 3.9有一半径为a,带电量q 的导体球，其球心位于介电常数分别为ε1和ε2的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电常量。 解：根据边界条件则E 1t =E 2t ,故有E 1=E 2=E ,由于D 1=ε1E 1,D 2=ε2E 2,所以D 1≠D 2，由高斯定理可得 D 1S 1+D 2S 2=q 即2πr 2ε1E +2πr 2ε2E =q E =q 212 导体球的电位为φ(a )=∫Edr =∞ a q 2π(ε1+ε2)∫1 r ∞a dr = q 2π(ε1+ε2)a 电容为C = q φ(a ) =2π(ε1+ε2)a (2)总的静能量为W e =12 qφ(a )= q 24π(ε1+ε2)a 3.13在一块厚度为d 的导电板上，由两个半径分别为r 1和r 2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如图所示。试求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿α方向的两电极间的电阻。设导电板的电导率为σ。 解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U 1 则E 1= U 1d J 1=σE 1= σU 1d I 1= J 1S 1= σU 1 d ?α 2(r 22?r 12) 故得到沿厚度方向的电阻为 R 1=U 1I 1=2d ασ(r 22?r 1 2) 1 一根长直导线载有 5.0A 直流电流, 旁边有一个与它共面的矩形线圈 l=20cm,a=10cm,b=20cm;线圈共有N=1000 匝,以v=3.0m/s 的速度离开直导线试求线圈中的感应电动势的大小与方向。 解: ABCD, 已知,如图所 2. 如图所示,无限长直导线中的电流为I,在它附近有一边长为2a的正方形线圈,可绕其中心轴以匀角速度旋转,转轴与长直导线的距离为b。试求线圈中的感应电动势 面的长方形线圈 ABCD ，长为 l ，宽为（ ）。试求：（1）穿过回路 ABCD 的磁通 量 ；（ 2）回路 ABCD 中的感应电动 势 3. 如图所示，一无限长的直导线中通有交变电流 ，它旁边有一个与其共 解 4. 一无限长直导线，通电流为I。在它旁边放有一矩形金属框，边长分别为a、b，电阻为R，如图所示。当线圈绕轴转过180o时，试求流过线框截面的感应电量。 解: 5. 如图所示为具有相同轴线的两个导线回路，小线圈在大线圈上面x 处，已知大、小线圈半径分别为R、r，且x>> R，故当大线圈中有电流I流动时，小线圈所围面积内（） 的磁场可近似视为均匀的。设大小线圈在同轴情况下，其间距x 以匀速变化。 试求：（1）穿过小线圈的磁通量和x 之间的关系；（2）当x=NR 时（N 为一正数），小线圈内产生的感应电动势；（3）若v>0 ，小线圈内的感应电流的方向。 解: 6. 如图所示，在均匀磁场 B 中放一很长的良导体线框，其电阻可忽略。今在此线框上横 跨一长度为l 、质量为m、电阻为R 的导 体棒，并让其以初速度运动起来，忽略棒 与线框之间的摩擦，试求棒的运动规律。 第三章 静电场 重点和难点 介绍电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程，对于方程的定解条件，以及解的存在、稳定和惟一性问题应予说明，至于求解方法及惟一性证明可以从简。 镜像法应重点讲解。强调镜像法的依据是惟一性定理，镜像法的理念是以镜像电荷代替边界的影响，从而把一个非均匀空间变为均匀空间。此外，还应说明仅在待求的场区等效。 三种坐标系中求解拉普拉斯方程的方法，可以根据学时多少，适当取舍。若学时允许，建议介绍圆柱坐标系或球坐标系中的分离变量法。因为第九章中求解矩形波导中电磁波时还要使用直角坐标系中分离变量法。 重要公式 电位方程： 有源区中电位满足泊松方程：ε ρ?- =?2 无源区中电位满足拉普拉斯方程：02=?? 泊松方程的积分解： S G G V G S V d )] ,()()() ,([ d ) () ,()(0 0 0?'?''-'?''+'''=? ?r r r r r r r r r r ??ερ? 自由空间格林函数：| |41 ) ,(0r r r r '-='πG 泊松方程的自由空间解： V G V '''= ? ' d ),()(1 )( 0r r r r ρε ? 题 解 3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。 解 已知点电荷q 的电位为 r q 4πε?= ，令)0,1,0(1q q -=， )0,1,3(2q q +=，)0,0,1(3q q -=，)0,0,0(4q q +=，那么，图中4 个点电荷共同产生的电位应为 ∑ =4 1 4i i r q πε? 令0=?，得 0 4 4 4 44 3 2 1 =+ - +-r q r q r q r q πεπεπεπε 由4个点电荷的分布位置可见，对于x =1.5cm 的平面上任一点，4321 ,r r r r ==，因此合成电位为零。同理，对于x =0.5cm 的平面上任一点，3241 ,r r r r ==，因此合成电位也为零。所以，x =1.5cm 及x =0.5cm 两个平面的电位为零。 3-2 试证当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于)(q -。 证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy 平面，点电荷距离导体表面的高度为 h ，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为 3 2 023 1 01 4 4r q r q πεπεr r E - = X 习题图3-1 (r , z ) 习题图3-2电磁学试题库电磁学第三章试题(含答案)
电磁学第三章
>l时一系列模型近似：点电荷、电荷对（偶极子）、双电荷对（电四极子）、……对中性分子，点电荷项为零，电荷对的作用成为最主要的 电偶极子在外场E中势能 W =-q0E?l=-P?E 2.电介质的极化 1. 无外场时分子的电特性 (1)有极分子
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