第14课时 圆和扇形的面积
知识精要
1、圆的面积
（1）圆的概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
（2）圆的面积公式：
设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积为2S r π=
2、扇形的面积
（1）扇形的概念：
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（2）扇形的面积公式：
设组成扇形的半径为r ，圆心角为0n ，弧长为l ，则
213602
n S r lr π=
=扇形 3、扇形统计图 扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。
扇形统计图有时也称做饼分统计图，扇形统计图可以直观地反映出各个部分数量在总量中所占的份额。
热身练习
1、已知圆的周长为12.56厘米，则这个圆的面积是__12.56___平方厘米。
2、已知圆的面积是50.24平方厘米，那么这个圆的半径是___4___厘米。
3、已知扇形面积是1.413平方分米，圆心角是72°，那么它的半径是__15___厘米。
4、一个雷达圆形屏幕的半径是50厘米，那么屏幕的面积是__7850__平方厘米。
5、在一边长是12厘米的正方形铁片上，剪一个最大的圆，剪去的面积是__113.04___平方厘米。
6、大圆半径是小圆半径的3倍，大圆的面积是84.78平方厘米，则小圆的面积是__9.42___平方厘米。 精解名题
例1、新华学校有个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，那么这个花池的圆形底面积是多少平方米？ 解：半径：50.24÷2÷3.14=8（米）
面积：3.14×8×8=200.96（平方米）
例2、某挂钟的分针长6厘米，如果走过20分钟，这根分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？ 解：68.37614.3360
12036022=⨯⨯==
r n S π（平方厘米）
例3、一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到如下数据：步行90人，骑自行车160人，坐公共汽车220人，其他30人，请算出各部分学生数占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示。
解：步 行：90÷500×100%=18%
自行车：160÷500×100%=32%
公交车：220÷500×100%=44%
其 他：30÷500×100%=6% 备选例题
例1、射箭运动的箭靶由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，最里面的小圆是10环，最外面的圆环是1环，问：
（1）10环面积是1环面积的几分之几？
（2）9环面积是1环面积的几分之几？
解：（1）设内圆半径是1，大圆半径是10
10环面积：π
1环面积：πππ1991022=⨯-⨯
所以10环面积是1环面积的19
1 （2）9环面积：πππ31222=⨯-⨯
所以9环面积是1环面积的19
3 巩固练习
1、圆心角是75°的扇形所在圆的面积是45平方米，则这个扇形面积是____9.375_____平方米。
2、在一个等边三角形的房间里，三面墙各为10米，在两墙角的交合处栓了一条小狗，绳子长为3米，则小狗最大活动范围是__4.71____平方米。
3、某大钟的时针长1.8米，从早晨5点到9点时针扫过的面积是___3.3912___平方米。
4、若甲圆的周长是乙圆周长的
13，那么甲圆的面积是乙圆面积的____9
1_____。 5、扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的12，此时扇形的面积是原来面积的___21___。 6、把一个半径为6的圆分成12个面积相等的扇形，每个扇形的圆心角为___30°___，每个扇形的面积为____9.42____平方厘米，___6____个这样的扇形可以组成一个半圆面。
7、若一个扇形的半径是4厘米，圆心角所对的弧长是9厘米，则这个扇形的面积是___18____平方厘米。
当堂总结
1、圆的面积公式
2、扇形的面积公式
自我测试
一、选择题
1、一张长方形纸片长12厘米，宽8厘米，在这张纸片中剪出一个最大的圆，这个圆的面积是（ B ）
A.113.04
B.50.24
C.96
D.45.76
2、等腰梯形的面积是54平方厘米，上底是5厘米，下底是13厘米，若要在这个等腰梯形内剪下一个面积最大的圆，这个梯形还剩下（ C ）平方厘米。
A.28.26
B.34.375
C.25.74
D.19.625
3、已知一个圆心角为72°的扇形面积为3.14平方分米，那么与它半径相等的圆的面积是（ B ）平方分米。
A.31.4
B.15.7
C.7.85
D.6.28
4、一个圆半径为7厘米，圆上一段弧长6.28厘米，由这段弧和两条半径围成的扇形面积是（ B ）
A.18.84
B.21.98
C.25.12
D.28.26
二、简答题
1、如图是半圆ACB 旋转45°
分析：ABD ABD S S -S S 扇半圆扇半圆阴影=+=S
解：S=222014.38
136045⨯⨯=r π =157（平方厘米）
2、一种零件是扇形的钢材，它所在圆的直径是20厘米，圆心角是100°，生产1000个这样的零件，至少要多少平方米钢材？
解：扇形面积：S=
22297851014.3360100360100cm r =⨯⨯=π 9
785×1000÷10000 =218
138m 所以至少要218
138m 钢材。
四、解答题：
1、如图是新华初级中学六年级数学竞赛获奖人数的扇形统计图。
（1）求三等奖占获奖总数的百分之几？
（2）已知有24人获三等奖，那么共有多少人获奖？
（3）获二等奖有多少人？获一等奖有多少人？
解：（1）100%-15%-25%=60%
（2）24÷60%=40（人）
（3）二等奖：40×25%=10（人）
一等奖：40×15%=6（人）
2、如图，一只羊被栓在边长均为3米的三角形建筑物墙角A 处，周围都是草地，绳长4米，
（1）求羊所能吃到草的地方的总面积；
（2）如果有一堆鲜草距A 处有4.1米，请问这只羊能够吃到这堆鲜草吗？ A
25%
一等奖 占15%
解：（1）S=)13601202436060(
4222⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯πππ
=π14 =43.96（平方米）
（2）不能
课后记：本节课主要讲了圆和扇形的面积公式，以及会用公式进行有关面积的计算。同时还应让学生了解圆以及扇形面积的推导过程，以帮助学生更容易的记住公式。本次课学生基本都能掌握，但是对于公式的使用还不是太熟悉，还应该加强这方面的练习。
未来教育学科教师辅导讲义 学员姓名 年 级 六年级 科 目 数学 授课时间段 学科教师 王晓芬 课时数 2H 课 题 圆 教学目标及重难点 教学内容 一、知识梳理 1、圆的周长：d C π=或r C π2= 2、弧长：l ＝180 n πr 3、圆的面积：S=πR 2 4、圆环面积：22r R S S S ππ-=-=内圆外圆圆环 5.扇形的面积： S 扇形＝360 n πR 2，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角． 引导学生理解公式：在应用扇形的面积公式S 扇形=2360 r n π 进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 6、弧长与扇形面积的关系： ∵l ＝180n πR ， S 扇形＝360n πR 2， ∴360n πR 2＝12R ·180n πR ． ∴S 扇形＝12 lR 二、例题讲解 例1：有一圆形铁片，没有标明圆心，你能测出它的圆心吗？ 例2：圆形花坛的直径是20米，则其周长是多少米？小自行车得车轮直径是50厘米。绕花坛一周车轮大约转动多少周？ 例3：已知圆的半径为3厘米，圆心角的度数为20度，计算圆心角所对的弧长度。
例4：钟面上的分针长6cm ，经过25分钟时间，分针的针尖走过的路径长为多少厘米。 例5：一个圆形蓄水池的周长是25.12m ，这个蓄水池的占地面积是多少？ 例6：一个圆环铁片，内圆半径是6cm ，环宽是4场面，求这个环形铁片的面积是多少？ 例7：已知扇形的圆心角120度，半径为3cm ，则这个扇形的面积是多少？ 例8：已知扇形的圆心角为270度，弧长为12π，求扇形的面积。 三、练习巩固 1、下列语句中正确的是（ ） Ａ、因为圆周率表示圆的周长和直径的关系，所以圆周率随着圆的周长和直径的变化而变化 Ｂ、圆心角相等，所对弧的长也相等 Ｃ、圆的周长扩大６倍，半径就扩大３倍 Ｄ、在一个圆中，圆心角是圆周角的61，那么圆心角所对的弧长是圆周长的6 1 2、 一个圆的半径增加２cm ，则它的周长增加 。 3、一根圆形钢管的外直径为２０cm ，在钢管上绕了５００圈钢丝，求钢丝长为多少？（π＝3.14）
专题07 圆和扇形 【考点剖析】 1.圆的周长：2C r d ππ==圆 2.半圆的周长：2C r r π=+半圆 3.弧长：180 n l r π= 4.圆的面积：2 S r π=圆 5.圆环的面积：22 ()S R r π=-圆环 6.扇形的面积：213602 n r S l r π==扇形 7.同圆中的l C S S 圆圆扇形、、、之间的关系：,360360S l n n C S ==扇形圆圆S l C S ?=扇形圆圆 【例题分析】 例1．如图1所示，已知半圆的半径为3厘米，那么半圆形的周长为多少厘米？ 分析：由题意知=r 3厘米， 所以厘米)63(323r 2r 22 1 C +π=?+?π=+π?= ． 反思： 封闭图形的四周长称为周长，求得半圆的长度与直径的长度之和即可．计算的时候不要忘了直径． 例2．如图2所示，圆环的外圆周长C 1=250厘米，内周长C 2=150厘米，求圆环的宽度d （保留π）． 分析：设外圆的半径是R 1，内圆的半径是R 2，则d = R 1-R 2， 图1 图2
因为π=π= 1252250R 1，π= π=75 2150R 2， 所以1257550 d πππ =-=（厘米） 反思：圆环的宽度就是两圆半径之差，利用两圆的周长可分别求得两圆半径． 例3．用一张边长为5分米的正方形纸片见一个最大的圆，求这个圆的周长． 分析：由题意知d=5分米，所以（分米）15.753.14d C =?=π=． 反思：要求出这个圆的周长应该知道这个圆与正方形的位置关系，从而找到圆的半径，再求出圆的周长．如图3所示，可知圆的直径是正方形的边长，即d=5分米．如果在长方形纸上剪一个最大的圆，直径即为长方形的宽． 例4．如图所示，以△ABC 的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在△ABC 内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和. 分析：设∠A 、∠B 、∠C 所对的弧长分别为123l l l 、、, 由题意知，∠A+∠B+∠C=180°，半径r=15毫米, 则1180A l r π= ，2180B l r π=，3180 C l r π=. 所以三段弧长之和为123()15180180180180 A B C r l l l l r r r A B C r ππππππ=++=++=++==（毫米） 反思：本例涉及弧长计算，弧长与圆的半径和圆心角有关。由题意知，这三段弧所在圆的半径是相等的，均为15毫米，而这三段弧所对的圆心角大小虽不知，但它们的和正好等于180°（三角形内角和等于180°），这个条件是我们解决此题的关键. 例题5.求图中阴影部分的面积． 图3
第14讲 圆与扇形的面积 1. 圆的面积 公式：设圆的半径长为r ，面积为S ，那么圆的面积2==S r r r ππ? 2. 圆环面积 圆环的计算公式（r 表示小圆半径，R 表示大圆半径）22=S R r ππ-圆环 3. 扇形面积 公式：设组成扇形的半径为r ，圆心角为o n ，弧长为l ，那么21==3602 n S r lr π扇形 特别地： 360 S n S = 扇 4. 组合图形面积 （1）计算图形面积时，经常用到割补法，要善于添加辅助线，把图形分割成几个基本图形，再分别求出它们的面积. （2）一些复杂的图形，要经常用到平移、翻转等方法，把复杂图形转化为基本图形，再分别计算它们的面积. 【例题1】填空： 1. 在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是_________平方厘米.剩下的面积是__________平方厘米. 2. 大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的__________. 3. 已知外圆的半径为2cm ，内圆半径为1cm ，圆环的面积为 . 4.小圆的半径为2，大圆的直径为8，那么大圆的面积是小圆的__________倍. 5. 甲圆的半径是乙圆的 4 3 ，则甲圆与乙圆的周长之比为 面积之比为_______ 6. A B 两圆的周长之比为2:3，其中一个大圆的面积是18，另外一个圆的面积为：______ 7. 若两圆的周长和为87.92cm ，并且大圆的直径是小圆直径的3倍，则小圆的面积为______ 【例题2】（圆的面积）已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长，且它们的面积之和是100平方厘米，那么甲圆的面积是多少？
第14课时 圆和扇形的面积 知识精要 1、圆的面积 （1）圆的概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （2）圆的面积公式： 设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积为2S r π= 2、扇形的面积 （1）扇形的概念： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 （2）扇形的面积公式： 设组成扇形的半径为r ，圆心角为0n ，弧长为l ，则 213602 n S r lr π= =扇形 3、扇形统计图 扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。 扇形统计图有时也称做饼分统计图，扇形统计图可以直观地反映出各个部分数量在总量中所占的份额。 热身练习 1、已知圆的周长为12.56厘米，则这个圆的面积是__12.56___平方厘米。 2、已知圆的面积是50.24平方厘米，那么这个圆的半径是___4___厘米。 3、已知扇形面积是1.413平方分米，圆心角是72°，那么它的半径是__15___厘米。 4、一个雷达圆形屏幕的半径是50厘米，那么屏幕的面积是__7850__平方厘米。 5、在一边长是12厘米的正方形铁片上，剪一个最大的圆，剪去的面积是__113.04___平方厘米。 6、大圆半径是小圆半径的3倍，大圆的面积是84.78平方厘米，则小圆的面积是__9.42___平方厘米。 精解名题
例1、新华学校有个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，那么这个花池的圆形底面积是多少平方米？ 解：半径：50.24÷2÷3.14=8（米） 面积：3.14×8×8=200.96（平方米） 例2、某挂钟的分针长6厘米，如果走过20分钟，这根分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？ 解：68.37614.3360 12036022=⨯⨯== r n S π（平方厘米） 例3、一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到如下数据：步行90人，骑自行车160人，坐公共汽车220人，其他30人，请算出各部分学生数占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示。 解：步 行：90÷500×100%=18% 自行车：160÷500×100%=32% 公交车：220÷500×100%=44% 其 他：30÷500×100%=6% 备选例题 例1、射箭运动的箭靶由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，最里面的小圆是10环，最外面的圆环是1环，问： （1）10环面积是1环面积的几分之几？ （2）9环面积是1环面积的几分之几？ 解：（1）设内圆半径是1，大圆半径是10 10环面积：π 1环面积：πππ1991022=⨯-⨯ 所以10环面积是1环面积的19 1 （2）9环面积：πππ31222=⨯-⨯ 所以9环面积是1环面积的19 3 巩固练习 1、圆心角是75°的扇形所在圆的面积是45平方米，则这个扇形面积是____9.375_____平方米。
2020年秋季班六年级数学（上） 圆（2） 姓名：___________ 学校：__________ 时间 ： 月 日 知识点解析 1、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R 表示，内圆的半径用字母r 表示。 S 环 = πR -πr 或环形的面积公式：S 环 = π(R -r ) 2、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 3、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 4、（1）外方内圆（内切圆）公式S=S 正-S 圆 或 S = 0.86 r 。 （2）外圆内方（外切圆）：公式S=S 圆-S 正=S 圆-dr 或 S = 1.14 r 5、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。圆心角：顶点在圆心的角。 计算公式：S 扇=S 圆× 360n ＝360n π r²；S 扇环=S 环×360 n 6、阴影部分的面积：S 阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。 巩固练习 一．选择题（共10小题） 1．有大、小两个圆，大圆半径是5厘米，小圆半径是4厘米，小圆面积是大圆面积的（ ） A ． B ． C ． 倍 2．一个环形的玉环，外直径8cm ，内直径6cm ，这个玉环的面积是（ ）cm 2． A ．12.56 B ．18.84 C ．21.98 D ．31.4 3．c ＝12.56分米，圆的面积是（ ） A ．3.14平方分米 B ．4平方分米 C ．6.28平方分米 D ．12.56平方分米 4．如果把圆的半径按1：3缩小，那么新的圆与原来的圆的面积比是（ ） A ．3：1 B ．1：3 C ．1：9 D ．9：1 5．用一根长6.28m 的绳子刚好能围一棵树的树干2圈．如果树干的横截面为圆形，那么它的面积是（ ）m 2． A ．12.56 B ．3.14 C ．1.57 D ．0.785 2 2 2 2 2 2
【作业1】 下列判断中，正确的是（ ） A ．半径越大的扇形，面积越大 B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大 C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大 D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小 【难度】★ 【答案】C 【解析】2 13602 n S r lr π==扇形． 【总结】考查扇形面积的影响因素． 【作业2】 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】141.3． 【解析】3.14×（81-36）=141.3平方厘米． 【总结】考查圆的面积的计算 【作业3】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π 取3.14） 【难度】★ 【答案】1.628 【解析】72×3.14×5÷180＋5＋5=16.28厘米=1.628分米． 【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算． 【作业4】 一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______ 圆和扇形的面积
平方厘米的纸没有用．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】286． 【解析】30×20-3.14×10×10=286平方厘米． 【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算． 【作业5】 一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆 心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】314． 【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（108＋36）÷360×785=314． 【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算． 【作业6】 某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针 走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】191.54平方分米． 【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30°，而分针走过了360°，故面积差为： 3.14×80×80-30×3.14×60×60÷360=19154平方厘米=191.54平方分米． 【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数． 【作业7】 如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部 分面积与大半圆的面积之比是多少？ 【难度】★★ 【答案】4:7． 【解析】2221111410456222 S ππππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影； 2114982 S ππ=⨯⨯=大半圆， 故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：56984:7ππ=：． 【总结】考查半圆面积的计算． 【作业8】 一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮
100 80 【作业1】 两个圆的周长比为1 : 3，则半径比为______． 【难度】★ 【答案】1:3． 【解析】周长比等于半径比． 【总结】考查圆的周长与半径的关系． 【作业2】 把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是 ______°． 【难度】★ 【答案】45． 【解析】360°÷2÷2÷2=45°． 【总结】考查圆的对折引起相应圆心角的变化． 【作业3】 在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为______厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】9.42厘米． 【解析】108÷360×31.4 = 9.42厘米． 【总结】考查弧长的计算． 【作业4】 如图，计算环行跑道的周长（单位：米；π取3.14）． 【难度】★★ 圆的周长和弧长
A B C D E F H 【答案】451.2米． 【解析】3.14×80＋200 = 451.2米． 【总结】考查环形跑道周长的计算． 【作业5】用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】圆的直径大，大2.15dm． 【解析】正方形边长为：31.4÷4=7.85dm，圆的直径为：31.4÷3.14=10dm，故圆的直径大，大：10-7.85=2.15dm． 【总结】考查圆的周长的计算． 【作业6】如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的一半为半径在正三角形内作弧，若正三角形边长为4厘米，求三条弧长的和． 【难度】★★ 【答案】2π． 【解析】180π×2÷180 = 2π． 【总结】考查弧长的计算． 【作业7】如图，正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图所示是图形，则该图形的外周长为
教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年级 预初 上课时间 单击此处输 入日期。 学 科 数学 课题名称 圆的周长和弧长 知识分析/ 1、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用 字母 表示， 读作“pai” ；圆周率 是个无限不循环小数， 3.1 4. 圆的周长直径=圆周率. 用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么： C d 或 C 2 r 【例1】 如图，大半圆的直径为 15厘米，小半圆的直径是大半圆的 圆的周长和弧长 1.公式 气2-应用 圆的周长 知识图谱
.（取3.14） 【例2】如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形的 周长为.（取3.14） 【例3】直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度.（取3.14） 【例4】一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（取3.14） 【例5】如图，点O、点B在线段AC上，AB = 120米，BC= 70米，。是圆心.从A到C有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短. O A C
1、弧和圆心角的概念 如图，圆上A 、B 两点之间的部分就是弧，记作： A B ,读作：弧AB; AOB 称为圆心角. 2、弧长公式 设圆的半径长为r, n 。圆心角所对的弧长是1,那么：l 【例7】 如图， ABC 的三条边长都是18毫米，分别以A 、 这三条弧长的和.（ 取3.14） 【例6】 如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长 30厘米，宽20 厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是 .厘米.（取3.14） -知识模块n :弧长 n —r . 180 B 、 C 为圆心，18毫米为半径画弧，求 A O B A
【作业1】 若一弧的长是它所在圆的周长的15，则此弧所对的圆心角是______度． 【难度】★ 【答案】72o ． 【解析】弧长与圆心角成正比，1360725 ⨯=o ． 【总结】考查弧长与圆心角的关系． 【作业2】 如果一条弧所对的圆心角缩小为原来的14 ，所在圆的半径扩大为原来的3倍，那么所得的新弧长与原来的弧长之比是______． 【难度】★ 【答案】3:4． 【解析】180 n l r π=，弧长与圆心角、半径成正比，所以比为3:4． 【总结】考查弧长与圆心角和半径的关系． 【作业3】 甲圆与乙圆的半径之比是 2 : 3，则甲与乙的直径之比是______，周长之比是 ______，面积之比是______． 【难度】★ 【答案】2：3，2：3，4：9． 【解析】半径比等于直径比等于周长比，面积比等于半径比的平方． 【总结】考查圆中各个基本量之间的关系． 【作业4】 下列说法正确的个数是（ ） 圆和扇形复习
（1）半径越大，圆的面积越大； （2）半径越大，所对的弧越长； （3）弧是圆上两点间的一条线段； （4）圆心角相等，它们所对的弧长也相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【难度】★★ 【答案】A 【解析】2S r π=，圆的面积只与半径有关，（1）√；180 n l r π=弧长与半径和圆心角都有关系；（2）×； （3）×； （4）×，弧长与半径和圆心角都有关． 【总结】考查弧长的影响因素． 【作业5】 求下列各圆的周长和面积： （1）r = 3，C =______，S =______； （2）d = 8，C =______，S =______； （3）l = 5，n = 72°，S =______． 【难度】★★ 【答案】（1）C = 9.42，S = 28.26；（2）C = 25.12，S = 50.24； （3）S = 49.76． 【解析】222360 n C r S r S r πππ===，，． 【总结】考查圆的周长与面积的计算． 【作业6】 求下列弧的弧长： （1）r = 4，n = 90°，l =______； （2）d = 9，n = 120°l =______； （3）C = 20，n = 175°l =______． 【难度】★★ 【答案】（1）6.28；（2）9.42；（3）9.72． 【解析】（1）9042180180n l r πππ==⨯==6.28，（2）91209239.4221802 r d l ππ=÷==⨯==，； （3）10175101759.72218018 C r l ππππ===⨯=≈，． 【总结】考查弧长的计算．
第14讲圆类面积计算 熟练掌握圆类面积计算的八种方法：相加法、相减法、重新组合法、割补法、平移法、旋转法、对称添补法、重叠法； 能运用上述方法快速解题。 圆的面积：2r π，扇形的面积：2 360 r α π ⨯ 。 。 。 无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 考点1：相加法 将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。 例1、下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。 考点2：相减法 将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。 教学目标 典例分析 知识梳理
例1、下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形的面积再减去里面圆的面积即可。 考点3：重新组合法 将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形的面积即可。 例1、欲求下图中阴影部分的面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时就可以采用相减法求出其面积了。 考点4：割补法 将原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。 例1、如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分的面积恰是正方形面积的一半。 考点5：平移法 将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
例1、下图中，欲求阴影部分的面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。 考点6：旋转法 将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或者某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。 例1、欲求下图（1）中阴影部分的面积，可以将左半图形绕B点逆时针方向旋转180度，使A 与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。 考点7：对称添补法 作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形，原来图形的面积就是这个新图形的一半。 例1、下图中，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。 考点8：重叠法
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 圆与扇形 一、考点、热点回顾 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的周长、面积计算公式： c d π=或2c r π= 2s r π= 半圆的周长、面积计算公式： c r d π=+ 21 2 s r π= 扇形的周长、面积： 2360a c d r π= + 2360 a s r π= 如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 二、典型例题： 例1、如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。 设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为 πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。 例3 、左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。 例4 、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
圆和扇形组合图形面积 学生姓名年级学科 授课教师日期时段 核心内容圆和扇形组合图形面积课型 教学目标 1、复习圆的周长、面积公式、圆的扇形面积公式。 2、在基础训练部分，着重复习公式及计算的方法技巧；在巩固训练部分，加强对组合图形的分析，由易 到难，解决平时学生易犯错误的题目，加深理解。 3、在教学中让学生感受到几何图形的美。 重、难点熟悉组合图形的解题技巧，灵活运用公式计算。 课首沟通 了解学生对于圆周长、面积计算的公式掌握情况； 课首小测 1.在一个圆形喷水池的周长是6 2.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路．求路面的面积． 2.[单选题] 一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下（）平方厘米的纸没用 A.2226 B.106.5 C.286 D.656 3.[单选题] 将半径为3厘米的圆，扩大到半径为5厘米的大圆，面积增加了（） A.9π平方厘米 B.725π平方厘米 C.15π平方厘米 D.16π平方厘米 知识梳理 我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示．
所以，圆的周长，圆的面积． 如图2，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n°时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的 ．所以，扇形弧长= ，面积= ． 导学一：与圆有关的组合图形的周长、面积计算方法 知识点讲解 1：周长、面积公式的应用 例 1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3计算） 例 2. 已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例 3. 已经正方形的边长为2㎝，求阴影部分的周长和面积。 我爱展示 1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为，这个扇形的半径和周长各是多少？ 2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？
1、 圆的定义： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径。 2、 与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫弧。 半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。 圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 3、 圆的性质 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是 它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合。 4、 与圆有关的计算 ① 圆的周长与弧长公式 圆的周长：2C r π= 弧长：180 n l r π= （n 为圆心角度数） 圆的周长÷直径=圆周率（圆周率是个无限不循环小数，近似等于3.14，即 3.14π≈）。 ② 圆面积公式与扇形面积公式 第9讲 圆与扇形
圆的面积：2S r π=21 4d π=. 扇形面积：21 3602 n S r lr π==扇形（扇形的半径为r ，圆心角为n ，弧长为l ）. 一、选择题共12题，每题2.5分，共30分 二、填空题共16题，每题2.5分，共40分 三、计算题共8题，每题4分，共32分 四、例题11—15分值题目后面标注 满分：150分 一、选择题 总得分： 【例题1】 1、圆的周长扩大5倍，圆的直径扩大（ ） A. 1倍 B. 5倍 C. 10倍 D. 25倍 2、一个圆的直径扩大为2倍，这个圆的面积扩大为（ ） A.2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍 3、圆的半径扩大为4倍，则圆的面积扩大了（ ） A.4倍 B.8倍 C.15倍 D.16倍 4、圆的周长扩大3倍，则圆的直径和面积分别扩大（ ） A 、1倍，1倍 B 、1倍，3倍 C 、3倍，9倍 D 、3倍、15倍 【例题2】 1、下列说法正确的是 （ ） A. 圆的周长是直径的2π倍 B. 圆的周长为C ，半径为r ，那么圆周率π等于2C r C 、大圆的圆周率比小圆的圆周率大. D 、圆周长的一半与半圆的周长相等. 2、如果圆的周长为C ，则这个圆的面积为（ ） A. 2 2C π B. 224C π C. 2 C π D. 24C π 3. 下列计算弧长的式子中，不正确的是 （ ） A. 360n l r π= B. 180n l r π= C. 360n l d π= D. 360 n l C =
扇形和圆的组合图形的面积 学生姓名年级学科 授课教师日期时段 核心内容扇形和圆的组合图形的面积课型一对一/一对N 教学目标掌握扇形和圆的组合图形的面积的计算 重、难点1、会利用平面图形的周长和面积公式求平面图形的周长和面积。 2、会用割、补、分解、代换、增加辅助线等方法，将复杂问题变得简单。 课首沟通 和学生交谈。了解学生对圆的认识，对各计算公式是否掌握。 知识导图 课首小测 1.一个圆形花坛的半径是3m，它的面积是多少平方米？（已知圆的半径，求圆的面积） 2.圆形花坛的直径是20m，它的面积是多少平方米？（已知圆的直径，求圆的面积） 3.一个圆形蓄水池的周长是25.12m，这个蓄水池的占地面积是多少？（已知圆的周长，求圆的面积） 4.求下图扇形的面积。
导学一：运用代换法将复杂的图形转化为简单的规则图形 例 1. 图1中右半部分阴影面积比左半部分阴影面积大33平方厘米,AB=60厘米，CB垂直AB,求BC的长。 我爱展示 1.如图1-1所示，两个圆的圆心分别为O1、O两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。 2.如图1-2,所示，求右半部分阴影面积比左半部分阴影面积大多少平方厘米。
3.如图1-3：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少平方厘米？ 导学二：巧用各基本图形的计算公式求解 知识点讲解 1：把R2看成一个整体 例 1. 图2中已知阴影部分的面积是20平方分米，求环形的面积。 我爱展示 1.下图中正方形的面积是8平方米，圆的面积是多少平方米？ 2.已知下图2-2中阴影部分三角形的面积是5平方米，求圆的面积。 3.已知下图2-3中阴影部分三角形的面积是7平方米，求圆的面积。
教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 预初 上课时间 单击此处输入日期。 学 科 数学 课题名称 圆和扇形的面积 1、 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=． 【例1】 （1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π） （2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14） （3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】（1）50.24；（2）18.84；28.26；（3）50.24． 【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.12÷3.14 ÷2 = 4米，故面积为：3.14×4×4 = 50.24平方米． 【总结】考查圆的周长及面积的计算． 【例2】 有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的 圆和扇形的面积 模块一：圆的面积
A B O 【例14】 如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】2.58平方厘米． 【解析】设正方形的边长为a ，则212a =，则圆的面积为： 2 2 3.14 3.14 3.1439.4224a a ⎛⎫ ⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ， 故阴影部分面积为：12-9.42 = 2.58平方厘米． 【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用． 【例15】 如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是 多少厘米？（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】20.5厘米． 【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积， 所以长方形的长等于圆的周长的一半， 故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽-圆的半径+4 1 ×圆的周长 =16.4+16.4÷4 =20.5厘米． 【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧 长． === 1、 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB ． 模块二：扇形的面积
圆与扇形———割补法 课前预习 彩虹的传说 一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。 圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。它们每天在一起玩儿得很开心。有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？” 月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！” 圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。突然，三角大声地号召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。有一天，终于来到了智慧门前。这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。不同的是，这道门很矮小，也很窄。几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。 圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。 三角总是最有主意，行动最快的一个。它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。方块的为人正像它的体形，正直稳重。它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。五角形的体形比较大，只见它用小于自己身体比重的双脚，蹒跚地走到门前。它的两只手和头部都卡在了门外。圆、六边形和心形都为它捏了把汗。这时，只见五角星谦卑地把头低下，双手合十，顺利地进入门内。该轮到六边形了，六边形是几个小伙伴当中年龄最大的一个，它的身体也特别丰硕。不过六边形懂得吸取前几个伙伴的经验，来到门前又弯腰又鞠躬，费力调整了好几个姿势，终于缓缓地进入门内。 两颗心形手拉着手走到了智慧门前，它们心里知道智慧门只能一次通过一个人。两颗深深相爱的心形早有心理准备，它们默契地相视一笑，各自削去了自己的一半身体，与另一半连在一起，立刻重新组合了一颗心。这下它们可以在一起，永远不分开了。这回该轮到最胖最丰满的圆了。只见它不慌不忙盘腿坐了
第十四讲 圆和扇形章节复习 圆和扇形是初中数学六年级第四章的内容，同学们需要学会用圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式进行简单的计算，并体会近似与精确的数学思想．难点是圆的组合图形的面积计算，同学们需要灵活运用各个基本图形面积的计算方法，并能看出组合图形是由哪些基本图形组成，从而进行相关的计算． 基本内容 注意点 4.1 圆的周长 1、圆的周长公式及应用． 4.2 弧长 1、弧长公式及应用． 4.3 圆的面积 1、圆的面积公式及应用． 4.4 扇形的面积 1、扇形的面积公式及应用； 2、*圆的组合图形的面积计算． 【例1】 圆的周长是这个圆半径的（ ）倍 A ．6 B ．2π C ．3.14 D ．6.28 【难度】★ 【答案】B 【解析】圆的周长公式2l r π=，所以周长是半径的2π倍． 【总结】考查圆的周长与半径的关系． 【例2】 同一个圆里，直径与半径的比是______． 【难度】★ 【答案】2:1． 【解析】直径是半径的两倍，所以比是2:1． 【总结】考查同一个圆的直径与半径的关系． 【例3】 要画一个周长为18.84厘米的圆，它的半径应取______厘米． 【难度】★ 例题解析 内容分析 知识精讲
【答案】3． 【解析】18.84 3.1423÷÷=厘米． 【总结】考查圆的周长公式的应用． 【例4】 如果圆的半径缩小到它的13 ，那么圆的周长缩小到原来的______． 【难度】★ 【答案】13 ． 【解析】由2l r π=可知圆的周长与半径成正比，所以周长也缩小到原来的13 ． 【总结】考查圆的周长的计算． 【例5】 如果圆上一条弧长占圆周长的15 ，那么这条弧所对的圆心角占圆的周角的______． 【难度】★ 【答案】72︒． 【解析】由180n r l π=可知，弧长与圆心角成正比，故圆心角为：1360725 ⨯=． 【总结】考查弧长公式的运用． 【例6】 圆心角为45°的扇形，如果拼成一个圆，需要这样的扇形至少____个． 【难度】★ 【答案】8． 【解析】360458÷=． 【总结】考查扇形与圆的关系． 【例7】 下列叙述中正确的个数是（ ） （1）弧的长度只取决于弧所在圆的半径大小；
学科教师辅导讲义 学员姓名：年级：六年级上授课时间：课时数：辅导科目：数学学科教师： 学科组长签名组长备注 课题扇形面积 教学目标1.理解扇形的概念； 2.掌握理解扇形面积公式； 3.会用公式进行有关面积的计算. 重点1. 扇形面积公式 2. 会用公式进行有关面积的计算 难点1. 扇形面积公式 2. 会用公式进行有关面积的计算 考点会用公式进行有关面积的计算 - 1 -
- 2 - 【知识精要】 1。扇形的概念 如图所示，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．图中的扇形记作扇形OAB,圆心角α也叫做扇形的圆心角． 在同一个圆中，弧的长短、扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关． 2。扇形的面积公式 扇形面积；所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n ： 360.也就是说，扇形面积是所 在圆面积的 360n ，于是 推得扇形的面积公式S= 2360 n r π． 公式一： S 扇=2360 n r π（其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径）； 公式在应用时可变形为S 扇：S 圆=360 n ，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它 的圆心角与周角的比； 公式二：S 扇=12 lr （其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径）． 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式， 3。扇形统计图 扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图． 【典型例题讲解】 题型一： 【例1】圆形上的任意一部分都是扇形吗？ 【答案】不是，如图所示，其中(1)是扇形，而(2)不是扇形，因为扇形必须由一段圆弧与两条半径所围成．因此扇形是圆形的一部分，但圆形上的任意一部分并不都是扇形． 【例2】1.探照灯的有效探照路程为200米，如果它做60度的水平转动，那么它的有效照射面积是 _______ 平方米．【答案】20933.33 【例3】如果圆的半径r =30cm ，那么弧长为36cm 的扇形的面积是多少？