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2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向
人教版八年级数学上册测试题:13.4课题学习最短路径问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH 上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 ________． 二、解答题 2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B． (1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD 上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．
6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由； (2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________． 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数． 9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小； (2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
13.3等腰三角形 13.4课题学习最短路径问题 专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用 1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号) 2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由． 3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D． （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．
专题二等边三角形的性质和判定 4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________． 5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短 路径同步培优 一、选择题 1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是() 2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为() A．10 B．11 C．11.5 D．13 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足() A．PB＝PC B．P A＝PD C．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC 4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为() A．130°B．120°C．110°D．100°
5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案() 6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是() 7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长() A.不断变大 B.不断变小 C.先变小再变大 D.先变大再变小 8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()
课题学习最短路径问题导学案 【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【学习重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 【学习难点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 【课前准备】三角板、直尺、圆规、铅笔、橡皮擦等 【学习过程】 一、自主学习 1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2、三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；两边之差________第三边。 3、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。 4、如图，点A、B关于直线l对称，则PA=_______ 二、合作探究 问题1 如图，点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离之和最小？ .A l .B 问题2将军饮马 有一个将军，凯旋归来。他的马非常任性，非要从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮水，然后到军营B 地．将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？
小组成员讨论完成以下问题： （1）这是一个实际问题，你能将它抽象为数学问题吗？ 答：将A、B两地抽象为两个_____，将河l抽象为一条______,题目要求在直线l上找到一个点C，使线段_____和线段_____的和最小。 （2）问题2和问题1有什么异同？ 答：相同点：都是要在一条直线上找______点，使它到已知两点的距离之和最________。 不同点：问题1的两点在直线的______侧； 问题2的两点在直线的______侧。 （3）你能利用轴对称的知识将问题2转化为问题1吗？试一试，怎么做？ （4）你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 三、例题精讲 例1、如图：在正方形ABCD中，点M是AB的中点，在AC上找一点N，使 MN+NB最小。
新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
(板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来 的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2:尝试解决数学问题 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?
13.4 课题学习最短路径问题 基础巩固 1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A —B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置． 2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？ 3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 能力提升 5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由． 6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？
参考答案 1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点． 2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2； (2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N. 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少． 3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′； (2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)． 4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A. 5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题教学设计 一、教学目标 1.了解最短路径问题的基本概念及其应用场景； 2.掌握图的遍历方法，构建最短路径树； 3.学会利用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等解决最短路径问题。 二、教学重难点 •最短路径问题的定义、特点和应用场景； •如何构建最短路径树以及应用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法求解最短路径问题。 三、教学内容及安排 1. 最短路径问题简介（20分钟） 1.最短路径问题的定义； 2.最短路径问题在生活中的应用。 2. 最短路径树（25分钟） 1.构建最短路径树的方法； 2.最短路径树的应用。 3. Dijkstra算法（40分钟） 1.算法介绍； 2.算法应用。 4. Floyd-Warshall算法（40分钟） 1.算法介绍； 2.算法应用。
5. 综合应用（15分钟） 通过综合应用加深学生对最短路径问题、最短路径树、Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等知识点的理解。 四、教学方法 本课程采用演讲+实例演示的方式进行，旨在通过演示操作过程，使学生了解 最短路径问题和其解决方案，并在操作过程中培养学生的逻辑思维能力，提高学生的实际应用能力。 五、教学资源 教师授课PPT、书本、笔记本、投影仪、计算机等。 六、教学评估 1.课堂提问：教师针对本课程所涉及的知识点进行提问，检测学生掌握 情况； 2.实战演练：对学生进行课堂练习以及课后作业布置，测试学生的实际 应用能力； 3.课程评估：收集学生的学习体验和反馈等信息，对本课程进行评估和 优化。 七、教学注意事项 1.在教学过程中需抓住重难点、难点，注意启发式提问，帮助学生深入 理解本课程所涉及的知识点； 2.在教学过程中注意引导学生进行交互式学习，通过互动起到知识点的 加深与巩固； 3.教师在教学过程中要注意与学生进行互动交流，引导学生思考和学习， 在学习中寻求提高。
人教版八年级数学上册同步练习题第十三章轴对称13.4 课题学习--最短路径问题一、单选题 1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（） A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间 2．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P是x轴上一动点，若使PM（PN最短，则点P的坐标应为（） A．（1 2 （（4（B．（ 2 3 （0（C．（ 4 3 （0（D．（ 3 2 （0（ 3．平面直角坐标系xOy中，已知A(（1（0)（B(3（0)（C(0（（1)三点，D(1（m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（（ A．1 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 8 3 4．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（） A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜3 5．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（） A．2B．4C．6D．8 6．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=1 3 AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上 的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）
13.4 课题学习最短路径问题(2课时) -----将军饮马 绵阳外国语实验学校王婵 教学目标：1、利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、理解最值问题在具体题目中的运用 教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 教学难点: 寻找题目中的最短路径模型 教学过程： 一．复习引入 【师】同学们，以前我们就学过最短路径的理论知识，现在我们先来回顾复习一下涉及到的知识【师】1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？ 【生】②最短，因为两点之间，线段最短. 【师】2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 【生】PC最短，因为垂线段最短. 【师】3.在以前学习三角形中，有哪些有关线段大小的结论？
【师】三边关系还可以这样理解，当三点共线时，BA’+CA’最短，BA+CA>BA’+CA’ 【师】如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 二．新课讲解 例1.（将军饮马问题）如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（两点一线） B A l 实际问题 【师】这个题求的A到l再到B最短路径即哪些线段和最短？ 【生】AP+BP两条线段和最短 问题1.【师】假如A、B是直线l异侧两个点，你能得到最短路径P所在位置吗？ 【生】连接AB，与l的交点即为P点 【师】你运用的是什么知识点解决这个问题？ 【生】两点之间，线段最短 问题2.【师】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
【生】将B对称到B’，连接AB’，交l于P点 问题3.【师】此时A、B’、P三点共线，AB’=AP+BP，你能否证明此时AP+BP为最短？证明除了P点以外任意的点C，AC+BC>AP+BP。 【师】提示：此时任取一个点C，AC+BC=AC+CB’ 【生】根据三角形两边之和大于第三边，则AC+CB’>AB’ 【师】即三点共线时，AB’最短 【师】方法总结：
13.4课题学习最短路径问题 【内容解析】 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题． 【教学目标】 （1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用. （2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想． 【教学重、难点】 利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 【教学过程】 一、情境引入 一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
[设计意图]利用问题情景，从学生熟悉的生活情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系. 二、导入新知 1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？ 师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，如图. 2.你能用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：设C是直线l上的一个动点，当C在l 的什么位置时，AC与CB的和最小. 设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 三、自主探究 问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.4课题学习最短路径问题》 同步练习题（附答案） 一．选择题 1．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（） A．B．3C．3D．2 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为（） A．30B．39C．60D．78 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则△PDB周长的最小值等于（） A．AC+AB B．AB C．AC+BC D．AC 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（） A．4B．4.8C．5D．6
5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（） A．9B．10C．11D．12.5 6．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（） A．16B．15C．14D．13 7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（） A．6B．7C．8D．12 8．如图，在直角坐标系中，点M（﹣2，3），N（﹣2，0），若要在y轴上确定一个点P使得PM+PN最小，则点P可以是图中的（） A．点E B．点F C．点G D．点O
13.4课题学习最短路径问题教学设计
我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F 和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？ 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？ 我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动
由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短 又∵两点之间，线段最短 即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 下边我们来看一看另一类问题 问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？ 首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.
《13．4课题学习最短路径问题》课时练 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=（） A．60°B．70°C．80°D．90° 2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（） A．25°B．30°C．35°D．40° 3．如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则 的位置应选在（）点处． A．P B．Q C．R D．S 4．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为() A．50°B．60°C．70°D．80° 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC边上的高AD=8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）
A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（） A．44°B．60°C．67°D．77° 7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(） A．2∠A=∠1﹣∠2 B．3∠A=2(∠1﹣∠2）C．3∠A=2∠1﹣∠2 D．∠A=∠1﹣∠2 8．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP 与PC的长度比为何？（） A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8 9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）
最短路径问题专题练习 1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（） A．B． C．D． 2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（） A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．9.6B．8C．6D．4.8 5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（） A．1B．2C．3D．4 6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF 的值最小时，∠AEB的度数为（） A．105°B．115°C．120°D．130° 7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（） A．80°B．90°C．100°D．130° 8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（） A．6B．10C．11D．13
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 最短路径问题 考试时间：120分钟试卷满分：100分 一．选择题（共10小题满分20分每小题2分） 1．（2分）（2021八上·花都期末）如图点E在等边△ABC的边BC上BE＝4 射线CD⊥BC 垂足为点C 点P是射线CD上一动点点F是线段AB上一动点当EP+FP的值最小时BF＝5 则AB的长为（） A．7B．8C．9D．10 【答案】A 【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE ∴PE=PE' ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F 此时EP+FP的值最小 ∵△ABC是正三角形 ∴∠B=60° ∵E'F⊥AB ∴∠FE'B=30°
∴BE'=2BF ∵BF=5 BE=4 ∴E'B=10 ∵CE=CE' ∴10=2CE+BE=2CE+4 ∴CE=3 ∴BC=7 故答案为：A． 【思路引导】作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE 此时EP+FP 的值最小由题意得出∠FE'B=30° 则BE'=2BF 再由BF=5 BE=4 得出10=2CE+BE=2CE+4 解出CE=3 即可得出BC=7。 2．（2分）（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【思路引导】根据两点间直线距离最短使FEPP′为平行四边形即可即PP′垂直河岸且等于河宽接连P′Q即可． 【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽 连接QP′ 与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E 则EF∥PP′且EF＝PP′ 于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE 根据“两点之间线段最短” QP′最短即PE+FQ最短．
初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（） A.4.8 B.6 C.10 D.无法确定 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD= 1 4S 长方形ABCD ，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( ) A.8 B.10 C.14 D.2√13 3. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）
A. B. C. D. 4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) A. B. C. D. 5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm． A.5√2 B.√2 C.4√2 D.3√2 6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（）