一. 情境引入
上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.
（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？
[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.
（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？
二．学习新课 1. 向量的正交分解
我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫
做基本单位向量，分别记为,i j r r
，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r
即为一个位置向量.
G
H
G
思考1：对于任一位置向量OA uu u r ，我们能用基本单位向量,i j r r
来表示它吗？
如上图右，设如果点A 的坐标为
(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那
么向量OA uu u r 能用向量OM u u u u r 与ON u u u r
来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ），OM u u u u r 与ON u u u r 能用基本单位向量,i j r r 来表示吗？（依向量与实数相乘
的几何意义可得,OM xi ON y j ==u u u u r r u u u r r
），于是可得：
OA OM ON xi y j =+=+u u u r u u u u r u u u r r r
由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA uu u r
都能表示成
两个相互垂直的基本单位向量,i j r r
的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分
解.
2.向量的坐标表示
思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r
，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r
的线性组合吗？如下图左.
显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA uu u r ，使OA a =uu u r r
.于是，
可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a r 都存在一个与它相等的位置向量OA uu u r
.由于这
一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向
量都可以正交分解为基本单位向量,i j r r
的线性组合，所以平面内任意的一个向量a r 都可以
正交分解为基本单位向量,i j r r
的线性组合.即：
a r =OA uu u r =xi y j +r r
上式中基本单位向量,i j r r
前面的系数x,y 是与向量a r 相等的位置向量OA uu u r 的终点A 的
坐标.由于基本单位向量,i j r r
是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，
得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a r 的位置向量OA uu u r
是一一对应的.因
而可用有序实数对（x,y ）表示向量a r ，并称（x,y ）为向量a r
的坐标，记作：
a r
=（x,y ）
[说明]（x,y ）不仅是向量a r 的坐标，而且也是与a r 相等的位置向量OA uu u r
的终点A 的坐
标！当将向量a r 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a r
的坐标也是
唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.
显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r
.
例1. 如图，写出向量,,a b c r r r
的坐标.
解：由图知()1,2a =r
与向量b r 相等的位置向量为OA uu u r ，
可知()1,2b OA ==r u u u r
与向量c r 相等的位置向量为OB uuu r ，
可知()1,2c OB ==-r u u u r
[说明]对于位置向量a r
，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c r r
，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那
么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：
3.向量的坐标表示的运算
我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？
设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r
由于1111(,),a x y x i y j ==+r r r 2222(,)b x y x i y j ==+r r r
所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±r r
()()1122x i y j x i y j =+±+r r r r
()()
()()()
121212121212,x i x i y j y j
x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±r r r r r r
()
()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=r r r r r
于是有：1122(,)(,)
x y x y ±()1212,x x y y =±±
()1111(,),x y x y λλλ=
[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；
同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.
4.应用与深化
下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题： 例2.如下图左，设()11,P
x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用
P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r ？
解：如上图右，向量PQ OQ OP =-u u u r u u u r u u u r
()()
()
22112121,,,x y x y x x y y =-=--
从而有 ()2121,PQ x x y y =--u u u r
[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.
例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为
()2,1、()3,2-、()1,3-.
（1）写出向量,AC BC u u u r u u u r
的坐标；
（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.
解：（1）()()12,313,2AC =---=-u u u r
()()()13,322,1BC =----=u u u r
（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =u u u r u u u r
设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=u u u r
又 ()()32,215,1AB =---=-u u u r
故
()()1,35,1D D x y ---=-
由此可得1531D D x y --=-??-=? 解得4
2
D D x y =??=?
因此点D 的坐标为
()4,2.
练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？
解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：
(4,2)(2,4)(6,6)AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r
又(,)(2,1)(2,1)AC x y x y =-=--u u u r
故(2,1)(6,6)x y --= 于是 x=8, y=7,即C （8，7）.
答：队员C 位于距EF 边8米、距FG 边7米处.
（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？
G
H
解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：
(4,2)DC AB ==u u u r u u u r
又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)
由题意54101642826
x x y y ≤+≤≤≤?????
≤+≤≤≤?? 于是可得队员D 可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B ）：
例4.已知向量()4,1a =-r 与()5,2b =r ，求23a b +r r
的坐标.
解：因为()28,2a =-r ，()315,6b =r
所以 ()()23815,2623,4a b +=+-+=r r
三．巩固练习
1. 如图，写出向量,,a b c r r r
的坐标.
2.已知(1,2)a =-r
，若其终点坐标是(2,1),则其起
点的坐标是；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是.
3.已知向量()2,3a =-r 与()1,5b =-r ，求3a b -r r
及3b a -r r
的坐标.
解：1.由题意：
()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=r r r
2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的
坐标是(3,-1)；
设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐
标是(1,3).
3. 3a b -r r
=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -r r
=()1,5--3()2,3-()7,14=-
[另法]：3b a -r r
=()
3a b --r r =()7,14--()7,14=-
拓展内容：
1、已知向量(1,2)a =r
.
（1）在坐标平面上，画出向量a r ；并求a r
= ；
（2）若向量a r 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a r
的始点P 坐标为_______； （3）向量a r
的模与两点P 、Q 间距离关系是.
若 (,)Q P Q P a PQ x x y y ==--r u u u r ，则22()()Q P Q P a PQ x x y y ==-+-r u u u r
练习1：已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-r r
，求2a b -r r
[说明] 在问题一中，先给出向量(1,2)a =r
，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形
结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量,a b r r
，若存在一个常数λ，使得a b λ=?r r 成立，则两向量a r 与向量b r 平行，记为：//a b r r .
2.在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),(3,7)A B C ,完成下列问题： （1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A 、B 、C 在一条直线上
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
2BC AB =u u u r u u u r ，3AC AB =u u u r u u u r
，L
[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？ 方法一：计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数λ. （5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系.
思考：如果向量,a b r r 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则2
1
21y y x x =是//的（ ）条件.
A 、充要
B 、必要不充分
C 、充分不必要
D 、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5 若,a b r r
是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，
则//a b r r
的充要条件是1221x y x y =.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：//a b r r
1221x y x y ?=
非零向量//a b r r ?存在非零实数λ，使得a b λ=r r
，即
1122(,)(,)x y x y λ=，化简整理可得：12
12x x y y λλ=??=?，消去λ即得1221x y x y =
（Ⅱ）再证充分性：1221x y x y =//a b ?r r
（1）若12210x y x y =≠,则1x 、2x 、1y 、2y 全不为零，显然有
11
22
0x y x y λ==≠，即1122(,)(,)x y x y λ=a b λ?=r r
//a b ?
r r
（2）若12210x y x y ==，则1x 、2x 、1y 、2y 中至少有两个为零.
①如果10x =，则由a r
是非零向量得出一定有10y ≠，?20x =，
又由b r 是非零向量得出20y ≠，从而，此时存在120y
y λ=≠使12(0,)(0,)y y λ=，即
a b λ=r r //a b ?
r r
②如果10x ≠，则有20y =，同理可证//a b r r
综上，当1221x y x y =时，总有//a b r r
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例. 练习2：
1．已知向量(2,3)a =r ，(,6)b x =r
，且//a b r r ，则x 为_________；
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
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（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 三、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想 （一）导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示 层级一 学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
第二章平面向量 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.4平面向量共线的坐标表示 [A组学业达标] 1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2y)．若a∥b，则y的值是() A．2B．－2 C．－1 D．1 解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y)＝2×1，解得y＝1. 答案：D 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝() A.1 4 B. 1 2 C．1 D．2 解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0， 解得λ＝1 2. 答案：B 3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是() A．(4，8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 解析：∵a＝(1，－2)＝－1 4(－4，8)，|b|＝4|a|， ∴b可能是(－4，8)． 答案：D 4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝______．解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b， ∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3. 答案：－3
5．已知A ，B ，C 三点共线，BA → ＝－38AC →，点A ，B 的纵坐标分别为2，5，则点C 的纵坐标为________． 解析：设点C 的纵坐标为y .∵A ，B ，C 三点共线，BA →＝－38AC →，A ，B 的纵 坐标分别为2，5，∴2－5＝－3 8(y －2)，∴y ＝10. 答案：10 6．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝________． 解析：设b ＝(x ，y )，由已知可得???x 2＋y 2＝25，－2x ＝y ，解得???x ＝2，y ＝－4或???x ＝－2， y ＝4，所 以b ＝(2，－4)或(－2，4)． 答案：(2，－4)或(－2，4) 7．已知a ＝AB →，点B 的坐标为(1，0)，b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b － 2c ，求点A 的坐标． 解析：∵b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，∴3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝AB →. 又点B 的坐标为(1，0)，设点A 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1－x ，0－y )＝(－7， 10)， ∴???1－x ＝－7，0－y ＝10????x ＝8，y ＝－10， 即点A 的坐标为(8，－10)． 8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线； (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，∴k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1 2.
7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示 课 型：新授课 课 时：1课时 一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标 进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、 过程与方法 在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观 通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.
1.下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) C ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) D ．e 1＝(－2，3)，e 2＝(－12，34 ) 解析：A 、B 、D 中的向量e 1与e 2共线，C 中e 1，e 2不共线，所以可作为一组基底． 答案：C 2．已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.35 B.53 C ．－35 D ．－53 解析：∵a ∥b ，∴3sin α－5cos α＝0，得tan α＝53 . 答案：B 3．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2，3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.512 π 解析：∵a ∥b ，∴4sin α×3cos α－3×2＝0. ∴sin2 α＝1，∵α为锐角，∴2 α＝π2，即α＝π4 . 答案：B 4．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10) 解析：∵a ∥b ，∴m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案：C 5．已知向量a ＝(2x ，7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝________时，a ＝b ；当x ＝________时，a ∥b .
解析：a＝b时，2x＝6且x＋4＝7，即x＝3. a∥b时，2x(x＋4)－42＝0，即x2＋4x－21＝0. 解得x＝3，－7. 答案：33或－7 6．(2011·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a与b方向相反，∴设a＝λb(λ＜0)，∵b＝(2，1)，∴a＝(2λ，λ)，∵|a|＝25，∴4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4， ∵λ＜0，∴λ＝－2.∴a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 7．已知点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且MN∥PQ，求y的值，并求出向量PQ的坐标． 解：∵点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)， ∴MN＝(－1，1)，PQ＝(－1，y－1)． ∵MN∥PQ， ∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0， 解得y＝2.∴PQ＝(－1，1)． 8．已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝1 3 AC，BF＝ 1 3 BC. (1)求点E、F及向量EF的坐标； (2)求证：EF∥AB. 解：(1)设O(0，0)， 则OE＝OA＋AE＝(－13，23)， OF＝OB＋BF＝(7 3 ，0)， 即E(－1 3，2 3)，F( 7 3 ，0)，
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a +=
一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ）
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；
平面向量的坐标运算测试题 一、选择题（每题5分，共10题） 1. 如右图所示，平面向量的坐标是（ ）AB A. B. (2,3)(2,3)- C. D. (2,3)--(2,3) - 2. 已知向量，则向量与单位向量的夹角是（ ）(1,a = a (1,0)i = A. B. C. D. 30 60 120 150 3. 设，是平面中所有向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面中所有向量的一组基底的是（ 1e 2e A. 和 B. 和12e e + 12e e - 122e e - 2e C. 和 D. 和122e e - 2163e e - 12e e - 21 2e e + 4. 以下四种说法中错误的是（ ） A. 平面内任一向量都可以由这个平面内的两个不共线的向量线性表示 B. 不可以作为平面中所有向量的一组基底 0 C. 若，是平面中所有向量的一组基底，，则有1e 2e 11220e e λλ=+ 120 λλ==D. 若，则存在唯一的实数，使得成立 //a b λb a λ= 5. 向量，它与轴正方向上的夹角为，则它在轴上的投影为（ ） ||10a = x 150 x A. B. 5 C. D. -5-6. 如图，已知，，点是的三等分点，则 (4,1)OA = (1,3)OB = C AB （ ） OC = A. B. 7(2,)35(,2)2 C. D. 5(3,)37(2,)3--7. 已知向量，，若与共线，则等于（ ） (2,3)a = (1,2)b =- ma nb + 2a b - m n A. B. C. D. 12212-2-
8. 设均为单位向量，，那么（ ） ,a b ,60a b <>= |5|a b += D. 5 9. 已知点，，，设的平分线与相交于，且，则 A (0,0) B C BAC ∠AE BC E BC CE λ= 等于（ ）λA. B. C. D. 2123-13 - 10. 点是所在平面内的一点，满足，则点是的（ ）O ABC ?OA OB OB OC OC OA == A A A O ABC ?A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 二、填空题（每题6分，共4小题） 11. 在中，，，，为的中点，则____________. （用 ABCD A AB a = AD b = 3AN NC = M BC MN = 表示） ,a b 12. 将的图像按平移，得到的图像，则的坐标是___________.()sin 1f x x =-a ()sin(13f x x π=-+a 13. 已知，，则等于__________. ,120a b <>= ||3,||a a b =+= ||b 14. 若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为___________.(2,1)a = 4 πb b 三、解答题（每题10分，共4小题） 15. 已知的三个定点的坐标一次是、、，依次是边 ABC ?,,A B C (7,8)(3,5)(4,3),,M N D 的中点，且与交于点，求的坐标 ,,AB AC BC MN AD E DE
《平面向量共线的坐标表示》教学设计 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课： a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成 2 2 11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0 1221=-=? y x y x b a λ 三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平 行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD 又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴
2.3.4平面向量共线的坐标表示 课前预习学案 一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容： 1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________. 2.平面向量共线的坐标表示： 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a ， 则a ∥b (b ≠0)?_____________________. 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、学习目标： 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 二、学习内容 1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐 标来表示呢？ 设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a 由a =λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:
__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a 与b 共 线. 2.典型例题 例1 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线． 例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 三、反思总结 1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?
平面向量的坐标运算（一）（教案） 中卫市第一中学俞清华 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答）
（不能，因为向量既有大小，又有方向） 思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，,i j 为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 请学生动手完成并回答： 根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在,i j 的方向上，就可得到： 33a i j =+ ，同理可得2b i j =-+ 33c i j =+ 42d i j =- 我们用,i j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生） 由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一 向量在基底方向的分解形式就是唯一的.