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98【基础】高考冲刺：函数知识讲解

高考冲刺：函数

编稿：辛文升审稿：孙永钊

【高考展望】

函数知识是高中数学的重要内容之一，也是每年高考必考的重要知识点之一，分析历年高考函数试题，大致有这样几个特点：

1.常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．

2.在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列，偶尔也与解析几何等结合命题，以综合题的形式出现．

3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．

4.每年高考题中都会涌现出一些函数新题型，但考查的重点仍然是对函数有关知识的深刻理解．【知识升华】

1．了解映射的概念，理解函数的概念并能在简单的问题中应用．

2．理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．

3.掌握基本初等函数的图像，掌握某些简单函数的图像变换.

4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

【高清课堂：高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 368992知识要点】

【典型例题】

类型一：函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

例1

．函数y =( )

（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞)

【思路点拨】此为复合函数的定义域求解，对数、根式等不能漏

【解析】由2

4.log 20x x x >??≥?

-≥?，故选D. 举一反三：

【变式1

】函数2()f x =的定义域为．

【答案】[3,)+∞

【解析】由210x --≥且10x ->且11x -≠得3x ≥

例2．若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于

A. 3

B. 2

C.22

D.2

【思路点拨】因为底数不确定，需要讨论.

【解析】f （x ）=log a （x +1）的定义域是［0，1］，∴0≤x ≤1，则1≤x +1≤2. 当a ＞1时，0=log a 1≤log a （x +1）≤log a 2=1，∴a =2；

当0＜a ＜1时，log a 2≤log a （x +1）≤log a 1=0，与值域是［0，1］矛盾. 综上，a =2. 【答案】D

举一反三：

【变式1】函数y = ）

A ．{}|0x x ≥

B ．{}|1x x ≥

C ．{}{}|1

0x x ≥

D ．{}

|01x x ≤≤

【答案】C.

【解析】由()10x x -≥且0x ≥得1x ≥或0x =.

类型二：复合函数问题

复合函数问题属于偏难些的内容.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.

例3．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1

()()()

F x f x f x =+的值域是（）

A ．1[,3]2

B ．10[2,

]3 C ．510

[,]23

D ．10[3,]3 【思路点拨】对于复合函数的很多问题都是可以通过换元法来解决的.

【答案】B

【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3

F x t t =+∈ 举一反三：

【变式1】函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

2f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =__________.

【答案】1

【解析】由()()12f x f x +=

,得()()

4()2f x f x f x +=

=+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11

5(5)(1)(12)5

f f f f f =-=-=

=--+.

【高清课堂：高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 368992 例1】

例4.

已知1

2(0)()(01)log (1)

x f x x x x ?<=≤≤>?? 求((()))f f f a 。

【思路点拨】分段函数求值，也应该从自变量的分段开始. 【解析】当0a <

时，1

((()))((2))2

f f f a f f f ===-

当01a ≤≤

时，1((()))(()2

f f f a f f f ==-=

当1a >

时，13

log 13

((()))((log ))(2

a f f f a f f f ===

所以1

(0)2((()))(01)2(1)a f f f a a a ?-?

举一反三：

【变式1】设函数2

211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，

，，，

≤则1()(2)f f 的值为（） A ．

B ．2716

C ．

D ．18

【答案】A

【解析】∵2

(2)2224f =+-=， ∴211115(

)()1()(2)4416

f f f ==-=. 类型三：函数的重要性质（单调性、奇偶性和周期性）

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

例5．若函数()f x 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．(0)(3)(2)g f f <<

C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

【思路点拨】根据两个函数的奇偶性可以分别求出这两个函数，再看各自的单调性. 【答案】D

【解析】∵()()()()x x f x g x e f x g x e -?-=??---=??即()()()()x

f x

g x e

f x

g x e

-?-=??--=??，

∴()2x x e e f x --=，()2

x x

e e g x -+=-

∴(0)1g =，又∵()2x x e e f x --=单调递增， ∴(2)(3)f f <且22

(2)12

e e

f --=

>. 举一反三：

【变式1】()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

【答案】B

【解析】先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=，

有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以()h x 为偶函数．

反过来，若()h x 为偶函数，()f x ，()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．

例6．设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2

)()(，求)(x f .

【思路解析】)(x f 、)(x g 的奇偶性已知，可以从奇函数、偶函数的定义来分析问题。【解析】)(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴ )(x g 为偶函数 )()(x g x g -=-∴

x x x g x f x x x g x f +=---∴-=-22)()( )()(

从而 x x x g x f x x x g x f --=++=--2

)()(,)()(

???-=-=??

??--=+-=-222)()()()()()(x x g x x f x x x g x f x x x g x f

举一反三：

【变式1】设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式

()()

0f x f x x

--<的解集为（）

A ．(10)

(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，

C ．(1)(1)-∞-+∞，，

D ．(10)

(01)-，，

【答案】D ．

【解析】由奇函数()f x 可知()()2()

0f x f x f x x x

--=<，而(1)0f =，

则(1)(1)0f f -=-=，

方法一:当0x >时，()0(1)f x f <=；

当0x <时，()0(1)f x f >=-，

又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数， ∴01,10x x <<-<<或.

方法二:作出函数()f x 的示意图，有

当0x >时，()0(1)f x f <=即01x <<；当0x <时，()0(1)f x f >=-，即10x -<<.

类型四：函数的图象与性质

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例7.(2015 安徽高考)函数()()

+ax b

f x x c 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )

A.a >0,b >0,c <0

B.a <0,b >0,c >0

C.a <0,b >0,c <0

D.a <0,b <0,c <0

【思路点拨】分别根据函数的定义域，函数的零点以及()0f 的取值进行判断即可. 【答案】C

【解析】函数在点P 处无意义，由图像看P 在y 轴右边，所以-c >0即c <0

()200=

f c

0∴>b 由()0=f x 得0+=ax b 即=-

b x a 由图像知0->b