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二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解

一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1

x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质

1、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上

a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b 2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点；

当?<0时，图像与x 轴没有交点。补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）则AB 间的距离，即线段AB 的长度为

()()221221y y x x -+-

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减四、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

x 2-

=时，a

b a

c y 442-=最值

。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

2-时，a b ac y 442-=最值；

若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，

如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22

最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；

如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，

c bx ax y ++=22

2最小。

典型例题

1. 已知函数()()()()

113513x x y x x ?--?

=?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D

2. 如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，

则下列关系中正确的是

A ．a ＋b =－1

B ． a －b =－1

C ． b <2a

D ． ac <0

【答案】B

3.二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，则反比例函数

a y

=与一次函数y bx c

=+在同一坐标系中的大致图象是（）.

【答案】D

4. 如图，已知二次函数c

=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．

【答案】

5.在平面直角坐标系中，将抛物线223

y x x

=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式（）．A．2

(1)2

y x

=-++B．2

(1)4

y x

=--+C．2

(1)2

y x

=--+D．2

(1)4

y x

=-++

【答案】B

6.已知二次函数c

=2的图像如图，其对称轴1

x，给出下列结果①ac

2>②0

abc③0

a④0

a⑤0

-c

a，则正确的结论是（）

A ①②③④

B ②④⑤

C ②③④

D ①④⑤

【答案】D

7．抛物线2

y ax bx c

=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x …－2 －1 0 1 2 …

y …0 4 6 6 4 …

从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；②函数2

y ax bx c

=++的最大值为6；

③抛物线的对称轴是

x=；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

【答案】①③④

8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，

（1,-2）

-1

连结OA ．

(1)求△OAB 的面积；

(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；

②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．

解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴，

∴AB =2，OB ＝4，∴1

12442

OAB S AB OB ?=??=??= (2)①把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+，

得2(2)2(2)4c ---?-+=，∴c ＝4 ②∵2224(1)4y x x x =--+=-++，

∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l

9．已知二次函数y =-14 x 2+ 3

2 x 的图像如图．

（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别为

A 、

B 、

C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D

的位置关系，并说明理由．

解：（1）二次函数y =-14x 2+3

2x 的对称轴为x =3，∴D （3，0）．

（2）设抛物线向上平移h 个单位（h ＞0），则平移后的抛物线解析式为y =-14x 2+32x+h ． ∵∠ACB =90°，∴OC 2=OA ·OB ．

设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，则h 2=- x 1·x 2． ∵x 1、x 2是一元二次方程-14x 2+3

2x+h =0的两个根，

∴x 1·x 2=-4h ，∴h 2=4h ，∴h =4，∴抛物线的解析式为y =-14x 2+3

2x+4．

（3）CM 与⊙D 相切，理由如下：

连结CD 、CM ，过点C 作CN ⊥DM 于点D ，如下图所示：

∵AB 是⊙D 的直径，∠ACB =90°， ∴点C 在⊙D 上．

根据平移后的抛物线的解析式y =-14x 2+32x+4可得：OD =3，OC =4，DM =25

4，CD =5．

∴CN =3，MN =94，∴CM =154．∵CM =154，CD =5，DM =25

4， ∴△CDM 是直角三角形且∠DCM =90°，∴CM 与⊙D 相切．

10. 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于

点C ，连接BC ，AC .CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝2

，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，

C 三点.

（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ；（2）①求抛物线的解析式；

②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点P 的坐标（不写求

解过程）；若不存在，请说明理由

（1）证明：连接O ′C .

∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD ．

∵AD ⊥CD ，∴O′C ∥AD ，∴∠O′CA ＝∠CAD ． ∵O′C ＝O′A ，∴∠O′CA ＝∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠CAB ．

（2）①∵AB 是⊙O′的直径，∴∠ACB ＝90°

∵OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ，∴

OA OC =

即OB OA OC ?=2．∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝2

，∴OA ＝2OC 又∵AB ＝10， ∴)210(22OC OC OC -?=， ∵OC ＞0

∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2．∴A （－8，0），B （2，0），C （0，4）． ∵抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C 三点.∴c ＝4

由题意得???=+-=++048640424b a b a ，解之得???

???

-=-=23

41b a ， ∴42

2+--=x x y ．

○

2设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8. ∵O ′C ∥AD ，∴△FO′C ∽△F AD ，∴AD

O AF F O ''=

∴8(BF ＋5)＝5(BF ＋10)，∴3

BF ，∴)0,,316(　F ．设直线DC 的解析式为m kx y +=，则?????=+=03164m k m ，即?????

43m k

∴443+-=x y ．由4

25)3(414234122++-=+--=x x x y 得顶点E 的坐标为)425,3(-E ．将)4

,3(-E 代入直线DC 的解析式44

+-=x y 中，

右边==

+-?-=4

4)3(4

左边.∴抛物线的顶点E 在直线CD 上．

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P ．使得P A = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么位置

时有QE QC -最大？并求出最大值。

（1）解：由题意可得M （0，2），N （-3，2）

∴ 2293093c a b c a b c =??=-+??=++?，解得：19132

a b c ?

=-??

=???

∴y =211

93x x --+

（2）∵P A = PC ，∴P 在AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过B （-1，2），（1，0），

这条直线为y =－x +1．

2111

293y x y x x =-+???=--+?? 解得：11332232x y ?=+??

=--??，

22332

232x y ?=-??=-+??

∴P 1（332,232+--）， P 2（332,232--+）．

（3）D 为E 关于对称轴x=1．5对称，CD 所在的直线y =－x +3．

∴y Q =4．5，

∴Q （-1．5，4．5）．

QE QC -最大值为CD=2222+=22．个单位/秒．

（3）

（）, ．

当29=

t 时，有最大值为4

121

，此时)239,

211(P ． 12．如图，抛物线y =2

x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

A B

O E N

M x

图

⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．

（1）∵点A （-1，0）在抛物线y =2

1x 2 + bx -2上，∴2

1× (-1 )2 + b × (-1) –2 = 0

，解得b =2

∴抛物线的解析式为y =21x 2-23x -2. y =21x 2-23x -2 =21 ( x 2 -3x - 4 ) =21(x -23)2-8

25, ∴顶点D 的坐标为 (2

, -8

25). （2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2．

当y = 0时，

21x 2-2

x -2 = 0， ∴x 1 = -1, x 2 = 4, ∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. ∵AB 2 = 25, AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5, BC 2 = OC 2 + OB 2 = 20, ∴AC 2 +BC 2 = AB 2. ∴△ABC 是直角三角形.

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小．

设直线C ′D 的解析式为y = kx + n , 则???

??-=+=8252

n k n ，解得n = 2, 1241-=k .

∴21241+-

=x y .∴当y = 0时， 021241=+-x ，4124=

x . ∴41

=m 13. （2011浙江金华， 10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C . （1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；

（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ， ①试求出当n =3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.

CD BC

∵222

OD CD OC

+=，

∴222

(3)1

t t+=，∴

t==,

∴C, 又B0），

∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得

010

?=+

，

解得:a=；

②a=.

二次函数知识点大全

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0