专项- 二项分布及其应用
知识点
一、条件概率
1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ；
（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件
1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
2.条件概率的性质：
（1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。 （2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验：
一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布：
一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则
n k p p C k X P k n k
k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X
题型一 条件概率
【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2
5，则P (AB )等于( )
A.56
B.910
C.2
15
D.1
15
【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35
D.4
5
【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1
3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在????
15，1内的概率．
【过关练习】
1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48
D ．0.20
2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3
10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率
为1
2
，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.
4.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110 C.59
D.25
5.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．
题型二 独立事件的概率
【例1】把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是( ) A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件
D ．以上答案都不对
【例2】在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是1
2，且是相互独立的，则灯亮的概率
是( )
A.18
B.38
C.14
D.7
8
【例3】甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和1
3
，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通
过的概率是( ) A.13 B.23 C.12
D ．1
【例4】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．
【过关练习】
1.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事
件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.23
2.某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．
3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
4.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．
5.从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A 为“抽得K ”，事件B 为“抽得红牌”，事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
题型三 二项分布及其应用
【例1】某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －
k
C ．(1－p )k
D ．C k n (1－p )k p
n －k
【例2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432
D ．0.648
【例3】若随机变量ξ～B ????5，1
3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3
D ．3或4
【例4】甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和3
4，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影
响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
【过关练习】
1.一个学生通过某种英语听力测试的概率是1
2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，
那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4
D ．3
2.连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．
4.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7
36，
则q 的值为________．
5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1
4，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管
的概率是多少？(结果保留两位有效数字)
课后练习
【补救练习】
1.为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：
A.35
B.37
C.911
D.1115
2.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4
D ．0.8
3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加工为一等品相互独立，
则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
4.某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37
D ．0.48
5.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
【巩固练习】
1.分别用集合M ＝{}2，4，5，6，7，8，11，12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( ) A.712 B.512 C.47
D.112
2.国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段
时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12
D.160
3.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是1
2且从两个袋中摸球相互之间不受影响，
从两袋中各摸出一个球，则2
3等于( )
A ．2个球不都是红球的概率
B ．2个球都是红球的概率
C ．至少有1个红球的概率
D ．2个球中恰有1个红球的概率
4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．
5.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
6.从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．
8.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.
9.甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，1
4，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是
打给乙的概率是________．
10.在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．
11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为7
10.
(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．
12.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3，
遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．
【拔高练习】
1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910
)n －
k
B ．(110)k (910
)n －
k
C ．C k －1n －1(110)k (910
)n －k
D ．C k －1n －1(110)k －1(910
)n －k
2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A ．(12
)5
B ．
C 25(12
)5
C ．C 35(12)3
D ．C 25C 3
5(12
)5
3.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
4.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．
5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝
?
????
－1， 第n 次摸到红球，
1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．