二次函数的三种表达形式.
二次函数的三种表达形式： ①一般式： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
确定二次函数的表达式
2.3 确定二次函数的表达式 学习目标: 经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 学习重点: 能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题． 学习难点: 用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误． 学习过程: 一、做一做： 已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规 律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式, 你能得出什么结论?与同伴交流. 二、试一试： 两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗? 表示方法优点缺点 解析法 表格法 图像法 三者关系 【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围． 【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大． （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
二次函数表达式三种形式练习题
二次函数表达式三种形式 一．选择题（共12小题） 1．（2015?永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．（2014?XX模拟）将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（）A．B． C．D． 3．（2015秋?XX校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（） A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．（2015秋?XX校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．（2015秋?禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
6．（2014秋?岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．（2013秋?青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．（2013秋?江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．（2014?XX县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的 值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．（2015?XX模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125B．4 C．2 D．0 12．（2015?宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣
二次函数表达式三种形式的联系与区别
二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（
（2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。
二次函数的四种表达式求法推导
二次函数的四种表达式求法推导 （1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2 ，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。 （2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为： k h x a y +-=2)( 推导如下： a b ac a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2(]44)2[(] 4)2[(] )2()2([)(2 22 2 222222222-+ +=-++=+-+=+-++=++ =++= 则a b a c k a b h 44,22 -=-= 顶点式的变形： 设二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a b x x - =+21 ，a c x x = ?21 点A 、B 的距离为d ， a ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222 12212 1212-= -=--=?-+=-=-= 2 2222 22222222224 1 )2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a ac b a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++ =++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--= （3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为：
求二次函数的表达式练习题(含答案)
二次函数的表达式 一、选择题 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 =21(x －1)2+2 =21(x －1)2+21 =21(x －1)2－3 =21 (x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2 +n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是 个 个 个 个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2，y =－，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45 8.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21 ，y 2)， (－321 ，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 >y 2>y 3 >y 3>y 1 >y 1>y 2 >y 2>y 1 二、填空题 9.抛物线y =21 (x +3)2的顶点坐标是______. 10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 11.函数y =34 x －2－3x 2有最_____值为_____. 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______. 三、解答题 14.根据已知条件确定二次函数的表达式
(一)-求二次函数的表达式
专题训练(一) 求二次函数的表达式 ? 类型一 设一般式求二次函数表达式 若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 1．如图1－ZT －1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点B (0，－2)，它和反比例函数y ＝－8 x 的图象相交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( ) 图1－ZT －1 A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝x 2－x ＋2 C ．y ＝x 2＋x －2 D ．y ＝x 2＋x ＋2 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的变量x 和变量y 的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 5 … y … 7 －5 －8 －9 7 … (1)求此二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 3．已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设D 是抛物线上的一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积． ? 类型二 设顶点式求二次函数表达式 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式：y ＝a (x －m )2＋k (a ≠0)，其中点(m ，k )为抛物线的顶点坐标，对称轴为直线x ＝m .
4．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)，则该二次函数的表达式是( ) A ．y ＝－(x －2)2－1 B ．y ＝－1 2(x －2)2－1 C ．y ＝(x －2)2－1 D ．y ＝1 2 (x －2)2－1 5．已知二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，有最大值4.求该二次函数的表达式． 6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴交于点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式． 7．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离为1，求抛物线的函数表达式． 8．如图1－ZT －2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3，0)，顶点C 的坐标为(1，4)． (1)求二次函数的表达式和直线BD 的表达式； (2)P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长的最大值． 图1－ZT －2 ? 类型三 设交点式求二次函数表达式 若给出抛物线和x 轴的交点，通常可设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2 是抛物线和x 轴的交点的横坐标． 9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状大小、开口方向均和抛物线y ＝－2x 2相同，则该抛物线的函数表达式为( ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)
专题09 一元二次函数的三种表示方式 一、知识点精讲 通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式， 我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)， 则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ b a -，x1x2＝ c a ，即 b a ＝－(x1＋x2)， c a ＝x1x2．所 以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b c x x a a ++) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 二、典例精析 【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），
二次函数的四种表达式求法推导
爱上数学 提高素养 二次函数的四种表达式求法推导 整理于 2018.4.18 夜 (1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。 (2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下： y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa = a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a a b 2 4a c - b 2 = a ( x + ) + 2a 4a 顶点式的变形： 设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ， 1 2 1 2 a c x 1 ? x 2 = a 点 A 、B 的距离为 d ， =a (x + 2a ) -4ad 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )] a [(x + b )2 - b 2 + 2a 4a 2 c ] a =a [(x + 2a ) + 4ac - b 2 4a 2 4ac - b 2 4a d = x 2-x 1 = (x 2 - x 1) = (x 1 + x 2)2 -4x 1 ?x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + ( b )2 -( b )2 + c ] a 2 a 2 a a = a [(x + b )2 - b 2 + c ] 2a 4a 2 a b 2 b 2 - 4ac =a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2 = a [(x + b )2 - 1 d 2 ] 2a 4 2a
二次函数表达式三种形式练习题
1．把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（） A．B．C．D． 3．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3 6．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣ 13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它 的解析式为． 14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为． 15．若函数y=（m2﹣4）x4+（m﹣2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则 m=． 16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2， 则该二次函数的解析式为． 17．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是． 18．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出 抛物线解析式． 19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为． 20．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为 （4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是． 21．坐标平面内向上的抛物线y=a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若 ∠ACB=90°，则a的值是．
《确定二次函数的表达式》习题
5.5确定二次函数的表达式 一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，― 2），且过点（1，10） 11．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 1.7定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越 小，IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 注意事项 ?二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
九年级下册《确定二次函数的表达式》随堂练习
2.3 确定二次函数的表达式 1. 抛物线y=a（x﹣1）2+4经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式。 2..已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．求抛物线的解析式 3..已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．求抛物线的解析式。 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．求抛物线的函数表达式。 5.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=，求抛物线的解析式。 6. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．求抛物线的解析式。
参考答案： 1. 抛物线y=a（x﹣1）2+4经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式。 分析：将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式； 解：（1）将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4， 解得：a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； 2.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．求抛物线的解析式分析：根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可， 解答：解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）． ∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1）， 即y=﹣x2+2x+3， 3.已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．求抛物线的解析式。 分析：由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可． 解答：解：∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．求抛物线的函数表达式。 分析：把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解和设交点式（两点式）解答均可．； 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
