无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究摘要随着我国计算力学的快速发展，无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法，已经得到了诸多学者的关注，诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理，同时将其应用于尖端裂纹应力计算，对其核心问题加以研究，包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。
关键词固体力学；无网格；最小二乘；基函数
中图分类号o302 文献标识码a 文章编号1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进，在计算力学领域中，无网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生命力，摆脱了网格单元，仅需详细的节点信息，因此，在工程应用中倍受青睐，特别是无网格方法可以以精度高、处理过程简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是，无网格方法还只是在研究阶段，渴望得到更大更深层次的研究。发展比较早的边界元法和有限元法等数值方法，虽然技术已经相对成熟，拥有了自己的商用软件，但是在处理诸如形状优化问题、非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心，困难多多。
当前已经研发出一部分的网格自动生成器，但是在处理复杂的几何模型时，计算成本投入非常昂贵，使用的普及率低。为了降低
思考题 第一章 V u 1-1. 用加权余量法求解微分方程，其权函数和场函数的选择没有任何限制。（×） 答：权函数V的选取必须保证残值的加权积分为零，强迫近似解所产生的残值在某种平均意义上等于零；场函数u必须保证任何一点都满足积分方程式（不一定连续），在边界每一点上都满足边界条件。 1-2. 加权余量法仅适合为传热学问题建立基本的有限元方程,而基于最小势能原理的虚功原理仅适合为弹性力学问题建立基本的有限元方程。（×） 分析：加权余量法只要能形成场的微分方程都能用，不局限于温度场。尤其适合于具有连续场的非力学问题（如声、电、磁、热）的有限元方程的建立。虚功原理（或虚位移原理）不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。加权残值法尤其适用于具有连续场的非力学问题的有限元方程的建立。 1-3. 现代工程分析中的数值分析方法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。这些方法本质上是将求解区域进行网格离散化，然后求解方程获得数值结果。是否可以将求解区域离散成结点群，但是没有网格进行求解？ 答：可以用无网格方法求解。有限元法是基于网格的数值方法，它通用、灵活并被作为一种工业标准广泛遵循，但其在分析涉及特大变形(如：加工成型、高速碰撞、流固耦合)、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。近年来，无网格法得到了迅速发展，它不需要划分网格，克服了有限元法对网格的依赖，在涉及网格畸变、网格移动等问题时显示出明显的优势，同时无网格法的前处理过程也比有限元更为简单。目前无网格法主要还是处在研究阶段，解决的工程实际问题相对较简单，与有限元的发展还有较大距离。（无网格方法数值求解的基本思想：在每个节点上构建待求物理量近似值的插值函数，并用加权残量法和该近似函数对微分方程进行离散，形成与待求物理量相关的各节点近似值的离散方程，并求解之。）
!******************************************************* ! 无网格伽辽金法程序主要计算模块简单例子 ! Kernel modules for element-free Galerkin Method ! By Lu Xinzheng of Tsinghua University !******************************************************* module TypeDef use Lxz_Tools implicit none; !integer,parameter :: MLS_m=6; !定义基为二次基 integer,parameter :: MLS_m=3; !定义基为1次基 integer,parameter :: NInt=4; !定义高斯积分点数目 integer,parameter :: NDOF=2; !定义自由度数目 integer,parameter :: MLS_n=6; type :: typ_Kcol !定义变带宽总体刚度矩阵 real(rkind),pointer :: row(:) end type typ_Kcol type :: typ_GValue !定义总体控制变量 integer(ikind) :: NNode; !总节点数 integer(ikind) :: NCell; !总积分区域数 integer(ikind) :: NIntPoint; !总高斯积分点数 integer(ikind) :: NPress; !总压力数 integer(ikind) :: NSupport; !总位移约束数 real(rkind) :: dm; !节点影响半径 real(rkind) :: c; !权函数相对权重参数 real(rkind) :: Plenty !罚函数大小 end type typ_GValue; type :: typ_Node; !定义节点类型 real(rkind) :: X,Y; !节点坐标 real(rkind) :: dX, dY; !节点位移 end type typ_Node; type :: typ_IntPoint; !定义高斯积分点类型 !以下为高斯点几何数据 real(rkind) :: CenterX, CenterY; ! 中心点坐标 real(rkind) :: Len, Wide; ! 高斯积分点的积分面积 integer(ikind) :: NodeNo(MLS_n); ! 包含节点的编号 !以下为移动最小二乘所需数据 real(rkind) :: a,b !x,y的最大距离 real(rkind) :: dm; !节点影响半径 real(rkind) :: c; !权函数相对权重参数 real(rkind) :: Pasi(MLS_n); !形函数矩阵, 维数是 Pasi(MLS_n) real(rkind) :: Pasidx(MLS_n); !形函数对x求导, 维数是 Pasidx(MLS_n) real(rkind) :: Pasidy(MLS_n); !形函数对y求导, 维数是 Pasidy(MLS_n) !以下为高斯点力学数据 real(rkind) :: Strain(3); !高斯点的应变 Strain=B*ui real(rkind) :: D(3,3); !高斯点材料性质矩阵 real(rkind) :: Stress(3); !高斯点的应力 Stress=D*Strain real(rkind) :: E,mu;
无网格方法的研究应用与进展 引言 有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。 同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。 无网格方法的概述 无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。是一种很有发展的数值模拟分析方法。 目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。 这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。 无网格方法国内外研究的进展 无网格法起源于20 世纪70 年代。Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。 1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。最初运用SPH 方法解决了无边界天体物理问题。Monaghan 在对SPH 方法深入研究后，将其解释为核（kernel）近似方法。 Swegle 等指出了SPH 方法不稳定的原因，并提出了一个黏度系数来保证其运算稳定。Dyka 则提出了应力粒子法来改善其稳定性。SPH 方法已经被应用于水下爆炸数值模拟、弹丸侵彻混凝土数值模拟、高速碰撞等材料动态响应的数值模拟等。 近年，我国学者张锁春对SPH 方法进行了综述，贝新源等将SPH 方法用于高速碰撞问题，宋顺成等将SPH 方法用于模拟弹丸侵彻混凝土。
机械工程学报001006 机械工程学报 CHINESE JOURANL OF MECHANICAL ENGINEERING 2000 Vol.36 No.10 P.23-26 面向对象的无网格伽辽金法 骆少明 蔡永昌 张湘伟 摘要采用Schmidt法对无网格伽辽金法(EFGM)形函数的基函数进 行正交化，避免了形函数中的矩阵求逆运算，同时也减少了运算量并提高计算精度。对EFGM 中的权函数、节点影响半径等关键问题进行了改进，并利用对象设计思想将无网格伽辽金法 的对象抽象为独立的数据类，研究了无网格伽辽金法数据类的设计方法和组织方式并编制了 相应的计算程序。数值算例结果表明，理论正确、方法有效。 叙词：无网格对象设计最小滑动二乘法 中图分类号：0241 OBJECT ORIENTED ELEMENTFREE GALERKIN METHOD Luo ShaomingCai YongchangZhang Xiangwei (Shantou University) Abstract The Schimidt procedure is used to orthogonalize the basis of element free Galer kin method(EFGM) interpolants to avoid computing the inverse of matrix.At the sa me time,the computational costs are reduced and the accuracy of MLS interpolants are improved.The choice of weight functions and radius of influence circle is a lso ameliorated.The desing method and management of the object about the EFGM ar e studied by abstracting the data o f EFGM as independent data classes.The calcul ation results indicate that the theory and programs are accurate and effective. Key words∶MeshlessObject designMoving least squa re(MLS) 广东省自然科学基金资助项目(994396)。 作者简介骆少明，男，1966年出生，博士，副教授，重庆大学机械工程 博士后流动站研究人员，主要研究方向是力学中的计算方法、数值流形方法及无单元化方法 骆少明（汕头大学工学院汕头515063） file:///E|/qk/jxgcxb/jxgc2000/0010/001006.htm（第 1／2 页）2010-3-23 1:43:31
无网格法（Mesh-less method） 无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状的流场。 该法大致可分成两类：一类是以Lagrange方法为基础的粒子法（Particle method），如光滑粒子流体动力学（Smoothed particle hydrodynamics，简称SPH）法，和在其基础上发展的运动粒子半隐式（Moving－particle semi－implicit，简称MPS）法等；另一类是以Euler方法为基础的无格子法（Gridless methods），如无格子Euler／N—S算法（Gridless Euler／Navier-Stokes solution algorithm）和无单元Galerkin法（Element free Galerkin，简称EFG）等。 无网格方法可以方便地利用坐标点计算模拟复杂形状流场计算，但不足之处是在高雷诺数流动时提高数值计算精度较困难。 无网格方法中比较常见的还有径向基函数方法（Radious Basis Function），主要使用某径向基函数（如（MQ）f(r)=r^5）的组合，来逼近原函数。吴忠敏院士在这方面有比较突出的工作。 最近在了解有限元法和无网格法，介绍中知道它们都是数值计算方法，主要区别一个是基于网格的，一个是无需借助于网格的。 但从有关数值计算方法的书和其他资料中，基本上没有见提到有限元法和无网格法，数值计算方法的书中基本上主要内容都包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等等。而在有限元法和无网格法的具体算法计算过程中也都会用到上述数值计算方法中的某些。
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解： 1、网格划分 有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。 无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。 (a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代 图1 网格-节点示意图 2、形函数的产生： 有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。 无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。 3、边界条件 有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。 无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
二、利用伽辽金无网格法实现悬臂梁弯曲问题 算例描述：悬臂梁自由度受集中力作用如图1所示，编写2D FEGM 程序计算位移、应变、应力。 梁的尺寸： = 42 , D = 12 , 厚度默认为1m ; 弹性常数：E = 30M Pa, ν = 0.3; 不考虑梁的自重，在自由端施加的集中载荷为P = -1000 N ; 图1自由端受集中力作用的悬臂梁 弹性力学解析解 x 方向位移：22 (,)[(63)(2)(+)(]642Py D D u x y L x x y D y EI ν=--++-+ y 方向位移：22 2(,)[3()(45)(3)]64 P D x v x y y L x L x x EI νν=-+++- 梁截面的法向应力：()(,)xx P L x y x y I σ-=- y 方向正应力：0yy σ= 梁截面剪应力：2 2(,)( )24 xy P D x y y I τ=- 应变能：1 4.452T E D d εεΩ = Ω≈? 1、 节点间距收敛性分析 为研究节点间距对计算结果的影响，考虑如下5种等间距节点分布情况： 3X3(轴向X 竖向)、6X3、11X3、11X5、11X7。依次增加轴向和竖向的节点数，考察应变能残量和悬臂梁中心轴y=0的计算位移的收敛性，以及某一梁截面(x=23.667)的计算应力收敛性。此部分程序与相应结果见附录1。
不同节点网格数目对能量误差范数的影响 不同节点数目计算得到中心轴y=0的梁的位移与解析解比较 0102030 4050607080 0.10.20.30.40.50.60.70.8 0.9场节点数目 能量误差范数 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -3 x 位移
边界元法在断裂力学中的研究综述 摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。 关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法 引言 在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法. 边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。 本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。 1．边界元法在断裂力学中研究现状 断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（SIF）。应力强度因子(SIF)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。 用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。 要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。目前的解决方法有两种:直接法和特殊单元法。
#专家视点# 科学和工程计算的新方法)))无网格方法 程玉民 (上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072) 当今科学活动可分为理论、实验和计算3种.随着计算科学和技术的迅速发展,计算将在科学研究和工程分析中发挥越来越重要的作用.特别是目前很多特大工程,如原子弹、导弹、大型舰船和飞机的设计制造等,除了少量实验之外几乎完全依赖于计算和分析. 利用计算机对科学和工程问题进行数值计算(包括大规模计算),目前主要基于数值方法,如有限差分法、有限元法和边界元法等. 有限元法采用单元上的插值函数描述单元特性,以变分原理或加权残数法作为推导依据,从而将整个区域的微分方程变换成与节点未知量有关的代数方程组,求解此代数方程组就可以得到离散模型的数值解.该方法已成为处理各种复杂工程问题的最为重要的数值方法.目前发展的很多大型软件,如AN S Y S,M SC N astran和A BAQU S等,为有限元法的工程应用提供很好的工具. 基于网格的有限元法等在处理大变形、动态裂纹扩展等问题时,网格有时会发生畸变,数值模拟过程中不可避免地要进行网格重构,这不仅需花费大量计算时间,计算效率大大降低,而且会导致计算精度受损. 为了克服传统数值方法对网格的依赖性,近十几年来,人们开始研究1种新的数值方法)))无网格方法.无网格方法试函数的构造建立在一系列离散的节点上,场点与节点之间的联系不再通过单元实现,从而摆脱网格或单元的约束,在处理一些有限元法难以适应的问题(如大变形和动态裂纹扩展等)时显现出明显的优势. 与基于网格的有限元法一样,无网格方法的实施同样包括3方面内容:试函数的构造、微分方程的离散和边界条件的施加. 无网格方法构造试函数的方法与基于网格的有限元法不同.在由试函数求得形函数后,无网格方法建立求解方程的方法与有限元法一样. 无网格方法与其他数值方法的区别在于形函数的构造.目前无网格方法中形成形函数的方法主要有:光滑粒子法(S m ooth Particle H ydrody m i csM eth-