《圆锥曲线的定义、几何性质和标准方程》教师用
学生基础练习部分： 1.过点（3，﹣2）且与椭圆
有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
试题分析：根据已知椭圆的方程算出焦点为（，0），再设所求椭圆方程为
（m ＞n ＞0），由焦点的坐标和点（3，﹣2）
在椭圆上建立关于m 、n 的方程组，解之即可得到m 、n 的值，从而得到所求椭圆的方程． 解：∵椭圆的方程为 ∴a 2
=9，b 2
=4，可得c=
=
，椭圆的焦点为（
，0）
设椭圆方程是（m ＞n ＞0），则，解之得
∴所求椭圆的方程为
故选：B
考点：椭圆的标准方程．
2．设M 上的一个点，1F ,2F 为焦点,1260F MF ∠= ，则12MF F ?的周长和面积分别为（ ）
A ．16，3
B ．18，3
C ．16，33
D ．18，33 【答案】D 【解析】
试题分析：所以5,3a b ==，所以12MF F ?的周长为2218ABC l a c ?=+=，面积为D ．
考点：椭圆的定义及标准方程．
3．过点(1,1)M 作斜率为的直线与椭圆C : 相交于A ，B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ ） A
【答案】B 【解析】
试题分析：试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1+x 2=2，y 1+y 2=1
将A,B 两点
所
考点：直线与圆锥曲线的关系．
【方法点睛】本题考查考生的运算求解能力，属中档题．正确应用点差法是本题的关键，注意解题方法的积累．与弦的中点的问题常用到点差法，在椭圆中，设直线与椭圆的交点为A
（x 1，y 1），B （x 2，y 2
利用直线的斜率求得,a b 的关系，从而求得椭圆的标准方程． 考点：椭圆的离心率．
4.过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则
该椭圆的方程是（ ）
A
【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线28y x =的焦点为()2,02a ∴=，双曲线22
1x y -=焦点为
2
2b ∴=，椭圆方程为
考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质
5.
且），则它们所表示的曲线可能是
（
）
【答案】A
【解析】
ab ≠0且a ≠b ）
，当a ＞0，b ＞0时，方程
B
不正确； 由选项可知b ＞0，a ＜0y 轴的双曲线，所以A 正确 考点：曲线与方程 6．（2015秋?长葛市期末）若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为（ ） A ．
=1（y≠0）
B ．=1（x≠0）
C ．=1（x≠0）
D ．=1（y≠0）
【答案】D 【解析】
试题分析：根据三角形重心的性质可得G 到B 、C 两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G 不能落在x 轴上得到答案．
0ab ≠a b ≠
解：设AC 、AB 边上的中线分别为CD 、BE ∵BG=BE ，CG=CD
∴BG+CG=（BE+CD ）=20
（定值）
因此，
G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，2a=20，c=4 ∴a=10，b=
=
，可得椭圆的方程为
∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C
三点共线，不能构成△ABC ∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G
的轨迹方程为=1（y≠0）
故选：D
考点：轨迹方程．
7.
的焦点重合，且其
的方程为 （A （B
（C （D
【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线焦点在
，故选A ．
考点：1．双曲线的性质与方程．
8.已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|＝4，则动点P 的轨迹是 A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．一条射线 D ．双曲线右边一支 【答案】C 【解析】
试题分析：|PM|－|PN|＝4=|MN|，所以P 的轨迹为一条射线 考点：动点的轨迹
9.且双曲线的一个焦点在
x y 202
=C ），（05x 4,3==b a
）
A
C
【答案】D 【解析】
又222c a b =+ ，
故选D ．
考点：1．双曲线的标准方程；2．抛物线的简单性质．
10．过抛物线24y x =焦点F
的直线交其于、两点，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A
【答案】C
【解析】
试题分析：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，由||3AF =得
故
答案为C ．
考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．
A B O ||3AF =AOB ?
11.直线y=x ﹣3与抛物线y 2
=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．72 【答案】A 【解析】
试题分析：依题意联立方程组消去y ，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB 的面积
解：直线y=x ﹣3与抛物线y 2
=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ， 联立方程组得，
消元得x 2
﹣10x+9=0， 解得
，和
，
∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB 的面积为48， 故选A ．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
12.（2010?辽宁）设抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为，那么|PF|=（ ） A ． B ．8 C ． D ．16
【答案】B 【解析】
试题分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF 的斜率为求出直线AF 的方程，然后联立准线和直线AF 的方程可得点A 的坐标，得到点P 的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案． 解：抛物线的焦点F （2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF 的方程为，
所以点、，从而|PF|=6+2=8 故选B ．
考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义．
13.圆()2
2:232C x y ++=与抛物线()2
20y px p =>相交于A 、B 两点，若直线AB 恰
好经过抛物线的焦点，则p 等于（ ）
A ．2 D ．4 【答案】D 【解析】
试题分析：因为抛物线()2
20y px p =>关于x 轴对称，当直线AB 恰好经过抛物线的焦点
时，A 、B 的横坐标，不妨假设在圆C 上，得
()()52840p p ?+-=，∵0p >，∴4p =，故选D ．
考点：抛物线的性质与圆方程的应用. 考点：抛物线的简单性质．
14.已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A ．3 C 【答案】A
【解析】
试题分析：依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F 线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|=|PF|，则点P 到点M （0，2）的距离与P 到
该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥即有当M ，P ，F 三点共线时，取得最小值，
考点：抛物线的简单性质
15.已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2
=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C 【解析】
试题分析：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆x 2+（y ﹣4）2
=1的圆心为C （0，4），根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共
线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|?r 考点：抛物线的简单性质
16.与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线
的一个交点为P ，若 ）
A
．2 【答案】D 【解析】
试题分析：本题以双曲线和抛物线共焦点为背景，计算双曲线的离心率．由题得()02，F ，
4=p ，所以422=+b a 3=x ，代入抛物线有242=y ，因为点P 是交点，所以代入双曲线方程得解得3,122==b a ，所以离心率D ．
考点：双曲线的离心率，抛物线．
【思路点晴】本题以双曲线和抛物线共焦点为背景，计算双曲线的离心率．解答此题思路清晰，考查意图明确，控制运算量，难度中等，适合选择题的题型．本题先根据抛物线的定义
得点P 的坐标．把点P 的坐标代入双曲线方程，再结合方程42
2=+b a ，从而
可以解得3,122==b a ，从而可得离心率e 的值．
17.过抛物线2
20)y px
p =>（
的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果
） A ．1 B ． D ．6 【答案】A ．
F ,A B O 3
考点：抛物线的标准方程及其性质．
18.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且与y 轴交于点A ，若OAF ?（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A ．24y x =±
B ．24y x =
C ．28y x =±
D ．28y x = 【答案】C ． 【解析】
试题分析：由题意得，抛物线2y ax =的焦点坐标
，∴直线方程为
，∴抛物线的方程为28y x =±，故选C ．
考点：抛物线的标准方程及其性质． 19.直线y x b =+交抛物线A 、B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 【解析】
，得2
220,x x b --=()2280b ?=-+>，设直线与拋物线的两
交点为()11,,A x y
()2
2,B x y ，由根与糸数的关系，得122x x +=，122x x b =-，由OA OB ⊥知12120x x y y +=，故2
20b b -=，解得2b =或0b =（不合题意，舍去），
2b =适合0?>，故选D ．
考点：1、直线和抛物线的位置直关系；2、平面向量的数量积公式及韦达定理．
【思路点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置直关系和平面向量的数量积公式，属于中档题．处理直线和抛物线的位置关系的问题是往往先是将直线和抛物线方程联立，再利用韦达定理结合题设中其他条件解题，本题根据OA OB ⊥可得12120x x y y +=，再由韦达定将
1212x x y y +用直线截距b 表示，解关于b 的方程就可得到b 的值．
20.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点．若线段AB 的中点为)1,2(，则直线l 的方程为（ ） A ．32-=x y B ．12-=x y C ．3-=x y D ．1-=x y
C 1-=x
【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为1-=x ，则
得2p =，抛物线方程为24y x =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4,y x y x ==相减得
，由线段AB 的中点为)1,2(，则122y y +=，即，利用点斜式得直线l 的方程为
()122y x -=-，即32-=x y ．
考点：1、抛物线的性质；2、利用点差法求直线方程．
【方法点晴】本题考查抛物线的性质、利用点差法求直线方程，属中档题．正确应用点差法是本题的关键，注意解题方法的积累．与弦的中点的问题常用到点差法，在椭圆中，设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，代入抛物线得2211224,4,y x y x ==两式相减可得，
21．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,点
在
上,
,若以
为直径的
圆过点,则的方程为（ ）
A ．或
B ．或
C ．或
D ．或
【答案】C 【解析】
试题分析：因为抛物线方程为2:2(0)C y px p =>，所以焦点(,0)2
p
F ，设(,)M x y ，由抛物线性质52p MF x =+
=，可得52
p
x =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
552222
p p -+
=，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即(5,4)2
p
M -，代入抛物线的
方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．所以抛物线的方程为
或
．
考点：抛物线的标准方程．
22
．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若线段与的长度分别为
，则的最小值为（ ）
A
【答案】C
【解析】
，且与抛物线相交于),(11y x P ，),(22y x Q ，，则（当且仅当212y y =时取等号）；故选C ．
考点：1．直线与抛物线的位置关系；2．基本不等式．
【易错点睛】本题考查过抛物线焦点的弦、焦半径公式以及基本不等式的应用，属于难题；在求抛物线的点到焦点的距离时，要注意抛物线的标准方程的形式，以免出现错误；如：
),(y x M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，；),(y x M 是抛物线)0(22>-=p px y 上的点，
；),(y x M 是抛物线)0(22>=p py x 上的点，；),(y x M 是抛物线)0(22>-=p py x
23．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．1 C 【答案】C 【解析】
试题分析：因为F 是抛物线2y x ＝的焦点，所准线方设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
2
y x =F ,P Q PF QF ,m n 2m n +
所以线段AB 的中点横坐标为
，即线段AB 的中点到y 的距离为 考点：抛物线简单的几何性质．
24．已知抛物线焦点恰好是双曲线的一个
焦点，两条曲线的交点的连线经过点，则双曲线的离心率为（ ） A
．
D ．
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意，则两曲线的交点为，代入双曲线得
，又，代入得，同除以得，则
，故选D ．
考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．
25
．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物
线准线的距离之和动点最小值为（ ） A
． C 【答案】A
【解析】
试题分析：如图，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离d 等于点P 到焦点的距离PF ．因此点P 到点(0)2，的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0)2，的距离
与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点2(0)M ，到点A ．
()2
20y px p =>F ()22
2210,0x y a b a b
-=>>F 11,2p p ??
???
()222210,0x y a b a b -=>>2
2
22
41p p a b -=2p c =422460c a c a -+=4a 42610e e -+=23e =+1e =P x y 22
=P )2,0(P 3
考点：抛物线的简单几何性质．
例题部分
1.如图，已知F1，F2是双曲线的下，上焦点，过F2点作以
F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知F2（0，c），直线PF2：y﹣c=﹣，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的方程为x2+（y+c）2=c2，联立，求出P，从而求出M，由此能求出双曲线的离心率．
解：∵F1，F2是双曲线的下，上焦点，过F2点作以F1为圆心，
|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，
∴F2（0，c），|F1F2|=2c，|PF1|=c，∴直线PF2的斜率k=﹣，
∴直线PF2：y﹣c=﹣，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的方程为x2+（y+c）2=c2，联立，得P（，﹣c），
∴M（，），
∵切线段PF2被一条渐近线平分，∴M（，）在渐近线y=上，
∴，∴b=，∴c2=a2+b2=4a2，c=2a，
∴双曲线的离心率为e=．
故选：B．
考点：双曲线的简单性质．
2.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：求出双曲线的渐近线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后求解双曲线方程．解：双曲线的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，
可得双曲线的渐近线方程为：x±2y=0，直线l：x+2y+5=0与x轴的交点为：（﹣5，0），可得c=5，=，c2=a2+b2．解得a=2，b=，
所求双曲线方程为：．
故选：C．
考点：双曲线的简单性质．
3.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
【答案】A
【解析】
试题分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，
即可得出椭圆的方程．
解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
考点：椭圆的简单性质．
4.已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】B
【解析】
试题分析：首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．解：根据椭圆的定义得：MF2=8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|=4，
故选：B．
考点：椭圆的简单性质．
5.椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．
解：由题意，不妨设点A （a ，0），B （0，b ），则直线AB 的方程为：
即bx+ay ﹣ab=0
∵菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点 ∴原点到直线AB 的距离为
∴a 2b 2
=c 2
（a 2
+b 2
） ∴a 2（a 2﹣c 2）=c 2（2a 2﹣c 2
） ∴a 4﹣3a 2c 2+c 4
=0 ∴e 4﹣3e 2
+1=0 ∴
∵0＜e ＜1 ∴
故选C ．
考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质． 6.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
试题分析：由△ABF 2是正三角形可知，即
，由此推导出这
个椭圆的离心率． 解：由题，∴
即
∴，
∴， 解之得：
（负值舍去）．
故答案选A ．
考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．
7.（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120 的直线
与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为 （ ）
A 【答案】A
【解析】
，又右焦点为(),0c
考点：椭圆方程及性质
8.设椭圆C ：的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于
点P ，Q ．若212||||PF F F =，且113||4||PF QF =，则
） A
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意212||||PF F F =，2||2PF c =则1||2a 2c PF =-，又因为113||4||PF QF =
，
在三角形12PF F ?中
，在三角形
12
QF F ?
中
，因为12PF F ∠+012180QF F ∠=，所以12cos PF F ∠=-12cos
QF F ∠，所以
化简得57a c =，222a b c =+代入消去c 得
考点：椭圆的性质及余弦定理的应用． 9.已知椭圆的左焦点为
与过原点的直线相交于
两点,连
接,若,则椭圆
的离心率（ ）
A ．
B ．
C ．
D
．
【答案】A 【解析】
试题分析：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'，∵AB 与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6，∵△
ABF 中，|AB|=10，|AF|=6，cos ∠
|BF|=8 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7 ∵△ABF ∴∠AFB=90c=5 因此，椭圆C 考点：椭圆方程及性质
10．已知椭圆的离心率右焦点为，方程
的两个实根，，则点（ ）
A ．必在圆上
B ．必在圆内
C ．必在圆外
D ．以上三种情况都有可能
【答案】B
e =)0(>>b a )0,(c F 02=-+c bx ax 1x 2x ),(21x x P 22
2
=+y x 22
2
=+y x 22
2
=+y x
【解析】 试题分析：
∵和是方程的两个实根，
∴点必在圆内． 考点：椭圆的简单性质 11．点P （﹣3，1）在椭圆
=1（a ＞b ＞0）的左准线上．过点P 且方向为=（2，﹣
5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
试题分析：根据过点P 且方向为a=（2，﹣5）求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把y=2代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率进而得直线QF 1的方程，把y=0代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （﹣3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得． 解：如图，过点P （﹣3，1）的方向=（2，﹣5） 所以K PQ =﹣，则l PQ 的方程为y ﹣1=﹣（x+3），
即L PQ =5x+2y=13与y=﹣2联立求得Q （﹣，﹣2），由光线反射的对称性知：K QF1= 所以L QF1为y+2=（x+）， 即5x ﹣2y+5=0，
令y=0，得F 1（﹣1，0）， 综上所述得：c=1，
=3，则a=
，
所以椭圆的离心率e==，
故选A ．
1x 2x 2
0ax bx c +-=12()P x x ，22
2x y +=
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
12.如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，
A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，
B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，
由，则，
在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，
得c2=7a2，则．
故选：B．
考点：双曲线的简单性质．