专题-圆锥曲线与方程
抓住3个高考重点
重点1 椭圆及其性质
1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>=
椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有
||
,(01)MF e e d
=<< 2．求椭圆的标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定2
2
,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程．
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2
2
,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？
（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2
2
1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22
221x y m n
+=
（2）与椭圆2222
221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222
21(,)x y k m k n m k n k
+=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22
122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或
22
222
y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略
（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了．
（2）椭圆的离心率2
21c b e a a
==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时，
椭圆越接近于圆，
求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2
2
2
a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度]
角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2
1,1(作圆12
2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好
经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14
52
2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1
(1)2
y k x =-+，即22120kx y k -+-=
由题意，2|12|31444k k k -==>=-+，由22331(1)5424
15x y x y x y ??=?=--+??=>??
??=+=???
，切点为34(,)55B ，
又当斜率不存在时，直线方程为1x =，切点为(1,0)A ，故直线:220AB x y +-=,
则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=?b ，与x 轴的交点即为焦点1=?c ，2225a b c ∴=+=，
即椭圆方程为 14
52
2=+y x （说明：如果设切点00(,)B x y ，则过切点的切线方程为001x x y y +=，与3134
(1)14255
y x x y =--+=>+=比
较，也可求出切点34
(,)55
B ）
方法二：（数形结合）设点1(1,)2P ，则有直线1
:2
OP y x =，作图分析可得2AB k =-，又切点(1,0)A
故直线:2(1)AB y x =--，即220x y +-=，
则AB 与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=?b ，与x 轴的交点即为右焦点1=?c ，2225a b c ∴=+=，
故 椭圆方程为 14
52
2=+y x
角度2在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2
2
.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .
解析：可设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,22c e a ==,
2ABF 的周长为2
4164,228a a c b ==>=∴==>=, 故椭圆C 的方程为22
1168
x y +=
角度3 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>,直线l 为圆222
:O x y b +=的一条切线，记椭圆E 的离心率为e ．若
直线l 的倾斜角为
3
π
，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为__________. 解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识． 如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则 由题意，知△OCD 为直角三角形，且||,||,,3
OC b OD a ODC π
==∠=
22221||||||cos 32
c CD OD OC a b c e a π∴=-=-==>=
==
重点2 双曲线及其性质
1．双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点M 都有1212||||||2||2MF MF a F F c -=<=
双曲线的第二定义：对双曲线上任意一点M 都有
||
,(1)MF e e d
=> 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法 （2）待定系数法
3．求双曲线方程需要注意以下几点：
（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为22
1(0)mx ny mn +=≠，其中，0m >且0n >，且m n ≠时表示椭圆；
0mn <时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
（2）常见双曲线设法：
①已知a b =的双曲线设为2
2
(0)x y λλ-=≠； ②已知过两点的双曲线可设为2
2
1(0)Ax By AB -=>；
③已知渐近线0x y
m n
±=的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠
4.双曲线的几何性质的应用策略
（1）关于双曲缉的渐近线
①求法：求双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线的方法是令22
220x y a b -=，
即得两渐近线方程00x y
bx ay a b
=>
±==>±= ②两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x 轴、y 轴对称.
③与22221(0,0)x y a b a b
-=>>共渐近线的双曲线方程可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠.
（2）求双曲线的离心率
双曲线的离心率2
21c b e a a
==+，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合
222c a b =+即可求出.
[高考常考角度]
角度1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22
:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦
点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A.22154x y -= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22
163
x y -= 解析：由已知得，圆22
:(3)4C x y -+=，3,c =双曲线的渐近线为0bx ay ±=，
由已知得22222,3d a b a b =
=+==>+32b
c =，则22,5b a ==，故选A. 角度2 已知双曲线
22
1412
x y -=的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为右支上一动点，点(1,4)Q ，则1||||PQ PF +的最小值为___________.
解析：由双曲线的定义得1212||||2||2||PF PF a PF a PF -==>=+，又22(4,0),||5F QF =
122||||||||2||2549PQ PF PQ PF a QF a ∴+=++≥+=+=，当且仅当2,,F P Q 共线时取等号，
故1||||PQ PF +的最小值为9
角度3设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点.若双曲线右支上存在点P ，满足
212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 340x y ±=
B. 350x y ±=
C. 430x y ±=
D. 540x y ±=
解析：如图，过2F 作21F A PF ⊥于A ，由题意知212||2,||2,F A a F F c ==
则11||2,||4,AF b PF b =∴
= 而 22
12||||2,4222(2)PF PF a b c a c b a c b a -=∴-==>=-=>=-
2222443b a b b ab a a =>+=-+=>
= 则 双曲线的渐近线方程为4
3y x =±，即430x y ±=，故选C
重点3 抛物线及其性质
1．求抛物线的标准方程的方法
（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．
（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴上的，设为2
(0)y ax a =≠，焦点在y 轴上的，设为2
(0)x by b =≠．
2．抛物线定义的应用策略
抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决． 3．抛物线几何性质的应用策略
（1）焦半径：抛物线2
2(0)y px p =>一点00(,)P x y 到焦点(,0)2p F 的距离0||2
p PF x =+. （2）通径：过焦点(
,0)2
p
F 且与x 轴垂直的弦AB 叫做通径，且||2AB p = （3）设过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的弦为1122,(,),(,)AB A x y B x y ，则有 ①弦长：1222||(sin p
AB x x p θθ
=++=
为弦AB 的倾斜角） ②2
2
1212,4
p y y p x x ?=-?=
③
112
||||AF BF p
+=
④以弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. ⑤直线AB 的方程为()2
p
y k x =-（k 不存在时弦AB 为通径）
[高考常考角度]
角度1已知F 是抛物线2
y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，||||=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
A ．
3
4
B ．1
C ．
54
D ．
74
解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义，得
1212121155
||||344224
x x AF BF x x x x ++=+++==>+==>=，
故线段AB 的中点到y 轴的距离为5
4
.故选C
角度2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）
A. 28y x =-
B. 28y x =
C. 24y x =-
D. 24y x =
点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．
解析：由题意可知，抛物线的方程为2
2(0)y px p =>，由准线方程2x =-得22
p
=,所以28y x =．故选B
角度3设抛物线2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-，那么||PF =（ B ）
A. 43
B. 8
C. 83
D. 16
解析：方法一：抛物线的焦点(2,0)F ，直线AF 的方程为3(2)y x =--，
所以得点(2,43)A -、(6,43)P ，从而||628PF =+=，故选B 方法二： 如图，
,//PA l PA x ⊥∴轴，又0060,60AFO FAP ∠=∴∠=，
又由抛物线定义得||||,PA PF PAF =∴?为等边三角形，令l 与x 轴的交点为F '，则(2,0)F '-
在Rt AFF '?中，||4,||8,||8FF AF PF '=∴
=∴=，故选B
突破10个高考难点
难点1 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
典例 如图，设P 是圆2
2
25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且
4
||||5
MD PD =
． （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度． 点评：（Ⅰ）动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程
即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算． 解析：（Ⅰ）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ，因为点D 是P 在x 轴上投影，
M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =
，所以p x x =，且5
4
p y y =， ∵P 在圆2225x y +=上，∴2
25()254
x y +=，整理得
2212516x y +=， 即C 的方程是
22
12516
x y +=． （Ⅱ）过点(3,0)且斜率为45的直线方程是4
(3)5
y x =-，设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由22
4(3)512516
y x x y ?
=-????+=??得 222
(3)25380x x x x +-==>--=，则12123,8x x x x +==- 221212161641||(1)[()4](1)[34(8)]25255AB x x x x ∴=+
+-=+--=，直线被C 所截线段的长度为41
5
点评：如果直接解方程2
380x x --=，∴1341x -=
，2341
x +=，形式复杂，增加运算难度 所以线段AB 的长度是22212121216||()()(1)()25AB x x y y x x =
-+-=+
-4141
41255
=?= ）
难点2 中点弦问题的处理
1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：
（1）通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解； （2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；
（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标，而后消二次项． 2．对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为： （1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线方程；
（3）作差：两式相减，再用平方差公式把式子展开；
（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解.
典例已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>6(22,0).斜率为1的直线l 与椭圆G 交于
,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。 （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求PAB ?的面积。
解析：（Ⅰ）由已知得6
22,c c a ==
解得2 3.a = 又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为
22
1.124
x y += （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由221124
y x m x y =+??
?+
=?? 得 .01236422=-++m mx x ①
设A 、B 的坐标分别为112212(,),(,),(),A x y B x y x x 则,432210m x x x -=+= 4 00m m x y =+= 因为AB 是等腰PAB ?的底边，所以PE AB ⊥. 所以PE 的斜率.14 3342-=+ -- = m m k 解得2m =，此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以||32AB =. 此时，点(3,2)P -到直线:20AB x y -+=的距离,2 2 32 | 223|= +--=d 所以19||.22 PAB S AB d ?= ?= 难点3 圆锥曲线中的分点弦 典例 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 解析：设l 为椭圆的右准线，e 为离心率，过,A B 分别作11,AA BB 垂直于l ，11,A B 为垂足，过B 作1BE AA ⊥于 E ，由椭圆的第二定义得 11||||||||AF AF e AA AA e ==>=，11|||| ||||BF BF e BB BB e ==>= 由3AF FB =，令||FB t =，则||3,||4AF t AB t ==，112||||||t AE AA BB e =-= 2||136 cos sin ,tan 2||4233 t AE e BAE BAE BAE AB t e ∴∠=====>∠=∴∠= 即2k =，故选B. 难点4 圆锥曲线上点的对称问题 典例1 已知椭圆C ：22 1,43 x y +=在椭圆上是否存在两点A B 、关于直线4y x m =+对称，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由. 解析：方法一：(方程组法) 设椭圆上存在两点A B 、关于直线4y x m =+对称，由题意，设1 :4 AB y x n =- + 由22 14143 y x n x y ?=-+??=>??+=??2213816480x nx n -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ， 则 21212816(3),1313n n x x x x -+==，222 136441316(3)04 n n n ?=-??->=>< ① 0004112,13413 n n x y x n ∴= =-+= ， 又点00(,)M x y 在直线4y x m =+上，12413 413134 n n m n m ∴=?+=>=-代入①解得 2132131313m - <<，213213 (,)1313 m ∴∈-为所求 方法二：(点差法) 设椭圆上存在两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，AB 的中点为00(,)M x y ， 则 222211221,14343x y x y +=+=2222121211()()043 x x y y =>-+-=1212121211()()043y y x x y y x x -=>+++=- 又121200,,22 x x y y x y ++= = 1201202,2, x x x y y y ∴+=+=1200121 ,304 y y x y x x -=-∴-=- ① 又点00(,)M x y 在直线4y x m =+上， 004y x m ∴=+ ② 解得00,3,x m y m =-=-(,3)M m m ∴-- M 在椭圆C 内， 22 ()(3)143 m m --∴+<2132131313m =>-<<，213213[,]1313m ∴∈-为所求 难点5 求轨迹（曲线）方程 典例 已知双曲线2 2 2x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点．若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程. 解析：由条件知1(2,0)F -，2(2,0)F ，设11()A x y ，，22()B x y ，． 方法一：设()M x y ，，则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，，1221(2),(20)F B x y FO =+=，，， 由1111F M F A F B FO =++得1212 26x x x y y y +=++?? =+?， 即12124x x x y y y +=-??+=?，， 于是AB 的中点坐标为4()22x y E -，． 当AB 不与x 轴垂直时，2AB EF k k =，即1212 24822 y y y y x x x x -== ----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22 222x y -=，两式相减得（点差法） 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-． 将1212()8 y y y x x x -= --代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2 2 (6)4x y --=． 方法二：同解法一，有12124 ,x x x y y y +=-?? +=?当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2 2 2x y -=有2 2 2 2 (1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以2 12241k x x k +=-．21212244(4)(4)11 k k y y k x x k k k +=+-=-=--． 从而22441k x k -=-． 241k y k =-．相除得4x k y -=，将其代入241 k y k =-得 222 2 4 44(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -? -==----．整理得22 (6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 难点6 圆锥曲线中的定点问题 典例 已知椭圆22 :1,43 x y C +=若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m x y =+???+=?? 得 222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->=>22340k m +-> （1） 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()(). 34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ∴?=-， 12 12122y y x x ∴?=-=>--1212122()40y y x x x x +-++=, 即 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 即22 71640(72)(2)0m mk k m k m k ++==>++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，有:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，有2:()7 l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 难点7 圆锥曲线中的定值问题 典例 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点， OA OB +与(3,1)a =-共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 OM OA OB λμ=+，(,)R λμ∈，证明2 2 μλ+为定值. 解析：（Ⅰ）设椭圆方程为22 221(0),x y a b a b +=>>则右焦点为(,0)F c ，直线AB 的方程为y x c =-， 由22221y x c x y a b =-???+=?? 整理得 22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 212222,a c x x a b +=+2222 1222 a c a b x x a b -=+ 由1212(,),(3,1)OA OB x x y y a +=++=-共线，得 121211223()()0,,,y y x x y x c y x c +++==-=-1212123 3(2)()02 x x c x x x x c ∴+-++==>+= 22222 2332 a c c a b a b ∴==>==>+222 3()a a c =- 2226,33c c e a a =>=∴== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2 2 3a b =，故椭圆22221x y a b +=可化为222 33x y b +=，设(,)OM x y = 由 OM OA OB λμ=+=>1122(,)(,)(,),x y x y x y λμ=+ 12 12 x x x y y y λμλμ=+?∴?=+? (,)M x y 在椭圆上， 2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=， 即2222221122(3)(3)x y x y λμ+++212122(3)3x x y y b λμ++= ① 由（Ⅰ）知1232x x c +=，2 22231,22a c b c ==，22222122238a c a b x x c a b -∴= =+ 121121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++22 2393022 c c c = -+= 又222222112233,33x y b x y b +=+=，代入①得 22 1λμ+= 难点8 圆锥曲线中的最值问题和范围问题 典例 设1F 、2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解析：（Ⅰ）方法一：由已知得2,1,3a b c === 12(3,0),(3,0)F F -，设(,)P x y ，则 12(3,)(3,)PF PF x y x y ?=--?-2 2 3x y =+-22 21 13(38)44 x x x =+--=- 因为[2,2]x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?有最大值1 方法二：由已知得2,1,3a b c === 12(3,0),(3,0)F F -，设(,)P x y ，则 121212||||cos PF PF PF PF F PF ?=??∠222 12121212||||||||||2|||| PF PF F F PF PF PF PF +-=?? ? 22221 [(3)(3)12]2 x y x y =+++-223x y =+-（以下同方法一） （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线1222:2,(,),(,)l y kx A x y B x y =-， 由222 14y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得2 21()4304k x kx +++=，∴121222 43,1144 k x x x x k k +=-?=++ 由22 1(4)4()34304k k k ?=-+?=-> 得 3 k <3k > ① 又00 090AOB <∠??>，∴12120OA OB x x y y ?=+> 又1212(2)(2)y y kx kx =++2 12122()4k x x k x x =+++2 22238411 44 k k k k -=++++ 22114k k -+=+ ∵ 2223 1 01144 k k k -++>++ ，即24k < ∴22k -<< ② 综合 ①、②得32k -<<- 或3 2k << 故直线l 的斜率k 的取值范围为33 (2,)(,2)-- 难点9 圆锥曲线中的探索问题 典例 已知直线:1l y kx =+与双曲线22 :21C x y -=的右支交于不同的两点,.A B （Ⅰ）求实数k 的取值范围 （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由22 1 21 y kx x y =+?? -=? 得22 (2)220k x kx -++= ① 依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点， 故222 2 2 20(2)8(2)2022 02 k k k k k k ?-≠??=--?? ?->-??>?-? 解得 22k -<<-(2,2)k ∴∈-- （Ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 则由①可得 12222k x x k +=- -，12 22 2 x x k ?=- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点(,0)F c ，则 FA FB ⊥ 1212()()0x c x c y y --+=1212()()(1)(1)0x c x c kx kx =>--+++= 221212(1)()()10k x x k c x x c =>++-+++= 将62 c = 及②代入，得2 52660k k +-= 解得 66k +=或66 (2,2)k -= -（舍去） 因此存在66 k +=，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F . 规避5个易失分点 易失分点1 焦点位置考虑不全 典例 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和25 3 ，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为_____________. 易失分提示：焦点没有确定，所以有两种情况。 解析： 145||PF = ，225||PF =，由椭圆的定义得124525||||2525PF PF a a += +===>=， 又12||||,PF PF >0 022112121||1 90,sin ,30,||2 PF PF F PF F PF F PF ∴∠=∠= =∴∠= 02221212151510 2||||cos30,333 c F F PF c b a c ∴=== =>=∴=-= 当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为 2231510x y +=，当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为22 31510 y x += 易失分点2 忽视圆锥曲线定义的条件 典例1 动点P 与定点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是（ D ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 易失分提示：容易忽视点F 在直线上，而误选C ． 解析：点(1,1)F 在直线:340l x y +-=，所以到点(1,1)F 和直线:340l x y +-=的距离相等的点一定在过点P ，且与直线l 垂直的直线上．故选D 典例2 已知圆221:(3)1C x y ++=和圆22 2:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） A ．22 18y x += B ．2218y x -= C ．221(0)8y x x -=> D ．22 1(0)8 y x x -=< 易失分提示：容易因错误运用双曲线定义而出错，21||||2MC MC -=，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对 值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会出现错误的结果，即点M 的轨迹方程为2 2 18 y x -=． 解析：如图所示，设动圆M 半径为,r 动圆M 同时与圆1C 及圆2C 分别外切于A 和B 根据两圆外切的条件，得12||1,||3MC r MC r =+=+,2112||||2||6MC MC C C ∴ -=<= 所以动点M 的轨迹为双曲线的左支, 其中2 2 2 3,1,8c a b c a ==∴=-= 故点M 的轨迹方程为2 2 1(0)8 y x x -=<, 故选 D 易失分点3 离心率范围求解错误 典例 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -、，若椭圆上存在点P （异于长轴 的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是___(21,1)-__________. 易失分提示: 求离心率e 的范围关键是构建关于e （或,a c ）的不等式．本题容易出现的错误：一是不会利用正弦定理进行边角转化；二是不会利用椭圆的定义或性质建立不等关系，根据题意利用正弦定理，将已知条件转化 为关于离心率e 的不等式，进而求出其取值范围． 解析：由已知121 12122112222sin ||2||2sin sin 1sin |||||| PF F PF a PF c a c PF F a PF F a PF F PF PF PF ∠-∠=∠=> ====-∠ 由椭圆的几何性质知，2||PF a c <+，所以 22211||a a a c PF a c a c -->-=++，即212101a c e e e e a c e -->==>+->++ 结合01e <<，可解得(21,1)e ∈-． 本题容易出错的地方是忽略“点P 异于长轴端点”这一隐含条件，导致在建立不等式时误带等号而出错．在 平时的训练中应该加强对解题过程的监控，多注意所要解决问题的特殊情况，仔细阅读，深入挖掘隐含条件，形成全面思考，周密解答的良好习惯，这对考生来说是非常重要的． 易失分点4 弦长公式使用不合理 典例 已知椭圆2 2:1,3 x C y +=设直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求AOB ?面积的最大值． 易失分提示：本题的实质就是求直线l 被椭圆C 所截得的弦长||AB 的最大值，易错之处在于对弦长公式的使用不合理，致使运算繁杂，导致最后结果错误或是解题半途而废． 解析：设1122(,),(,),A x y B x y （1）当AB x ⊥轴时，||3AB = （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+222 33 (1)4 1m k k = =>=++ 由22 22 3()313 y kx m x kx m x y =+??=>++=?+=??，整理得222(31)6330k x kmx m +++-= 212122263(1) ,3131 km m x x x x k k -∴+=-=++ 2222 2 2 2 1212222363(1) ||(1)[()4](1)[4] (31)31 k m m AB k x x x x k k k -=++-=+-?++222 22423(1)(91)123(31)961 k k k k k k ++==++++ 当0k ≠时，上式24 222121212 3334196123696k k k k k =+=+≤+=++?+++ 当且仅当2 2 1 9k k + ，即33k =±时等号成立 当0k =时，||3AB = ，综上所述，max ||2AB =，此时，max 133 |2222 AOB S ?= ??= 易失分点5 焦点三角形问题忽视细节 典例 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -、．若双曲线上存在点P 使 1221 sin sin PF F c PF F a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是____________ 易失分提示:本题容易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“12PF F ∠,21PF F ∠都不能等于0'’，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于21+．解答数学题要注意对隐含条件的挖掘，确保答案准确无误. 解析：由已知点P 不会是双曲线的顶点，否则 1221sin sin PF F c PF F a ∠=∠无意义. 因为在1PF F ?中，由正弦定理，得 211221 |||| ,sin sin PF PF PF F PF F =∠∠ 则由已知得 21212121||sin ||||||sin PF PF F c c PF PF PF PF F a a ∠===>=∠，且知点P 在双曲线的右支上， 由双曲钱的定义知12||||2,PF PF a -=则2 2222||||2||c a PF PF a PF a c a -==>=- 由双曲线的几何性质，知2||PF c a >-，则 2 222220210a c a c ac a e e c a >-=>--<=>--<- 1212e =>-<<1e >，所以离心率的取值范围是(1,12) “圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆 高中数学圆锥曲线与方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2 y =上的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点， F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 椭圆 1、椭圆的第一定义：平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值围是)10(< 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．抛物线的焦点是? ?? ??－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x 【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左， 其方程应为y 2＝－x . 【答案】 D 2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A 3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y D ．无法确定 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2 ＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以 所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 【答案】 C 4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(2,0)或(－2,0) D ．(4,0) 【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为???? ??a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C. 【答案】 C 5．若抛物线y 2 ＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题 6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)， 半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2. 【答案】 2 7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2 第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 四、课时分配 本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时 直线与圆锥曲线的位置关系约1课时 小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义 观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．() 圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质 2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、 的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质 3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 高中数学选修2－1 第二章 圆锥曲线与方程 知识点： 一、曲线的方程 求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 二、椭圆 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=> 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M ==。 常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标和离心率. 【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 基础巩固强化 一、选择题 1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2 [答案] D [解析] 椭圆方程2x 2 ＋3y 2 ＝12可化为：x 26＋y 2 4＝1， a 2＝6， b 2＝4， c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2. 2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 [答案] B [解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k ＝1， 又∵焦点是(0,2)，∴a 2 ＝5k ，b 2＝1，c 2 ＝5k －1＝4， ∴k ＝1. 3．已知方程x 225－m ＋y 2 m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．－9 [解析] 由题意得???? ? m ＋9>025－m >0 m ＋9>25－m ，解得8 高考数学圆锥曲线与方程知识点梳理 一、方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没 有实数解，曲线就没有交点。 二、圆 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程： (1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2(E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4 F ＜0时，方程不表示任何图形. 专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-= 圆锥曲线与方程基础题Prepared on 21 November 2021 1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为() A．x2＝－28y B．y2＝28x C．y2＝－28x D．x2＝28y 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( ) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 6．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点 M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( ) A．4或－4 B．－2 C．4 D．2或－2 7．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 8．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) 9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 10．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( ) A．x2＝y－B．x2＝2y－ C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2 11．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于 ________． 12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________． 13．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．14．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 椭圆及其标准方程 一、教学目标 知识教学点 使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力． 学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力． 二、教材分析 1 解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较． 2．难点：椭圆的标准方程的推导． 解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． 解决办法：分三种情况说明动点的轨迹． 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答． 四、教学过程 椭圆概念的引入 前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答： 问题1 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识． 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形． 问题3 一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神． 比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图： 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1F2两点如图2-13 ，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆． 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等…… 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义： 平面内到两定点F1F2的距离之和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 第二章圆锥曲线与方程单元测试卷 一、选择题： 1．双曲线2 214 x y -=的实轴长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 2．抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．14y =- B ．18y =- C ．12x = D ．1 4x =- 3．已知椭圆 22 1102 x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．抛物线21 4 x y = 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．1 2 、 5．已知椭圆()222104x y a a + =>与双曲线22 193 x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ） C.4 D.10 6．若双曲线()22 22103 x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于（ ） A.2 B. C. 3 2 D.1 7．曲线221259x y + =与曲线()22 19259x y k k k +=<--的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称，点,M N 分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则AB =（ ） A ． B ． C ．8或8 D ．12或12- … 9．已知双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 2y =的准线上，则双曲线的方程是（ ） A ．2212128x y -= B ．22 12821x y - = C ．22134x y -= D ．22 143x y - = 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） D.92 11．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交 椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．[2 D ．3[,1)4 12．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点 和线段AB 中点的直线的斜率为2- ，则a b 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） @ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横一上. 13．若双曲线1162 2=-m x y 的离心率2=e ，则=m ________. 14．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 4 1 B ．2 1 C ． 2 D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．3 15(-，)3 15 B ．0(，)3 15 C ．3 15(-，)0 D ．3 15(-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(- -N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2 =+y x ; ③ 12 2 2 =+y x ;④ 12 2 2 =-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限 的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方 程为（ ） A ． 135 122 2 =-y x B ． 13 12 52 2 =- y x C ．15 1232 2 =- y x D ． 112 53 2 2 =- y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） 第二章 圆锥曲线与方程 一、曲线与方程的定义： (),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件： ()(),,C x y F x y ?①曲线上一点的坐标满足=0； ()(),,. F x y x y C ?②方程=0解都在曲线上 ()(),,. C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程 二、求曲线方程的两种类型： () 1、已知曲线求方程；用待定系数法 ()()() 2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系； ③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求 椭圆 一、椭圆及其标准方程 1、画法 {} 121222,2P PF PF a F F a +=<、定义： 3、方程 ()()22 22 22221010x y y x a b a b a b a b +=>>+=>>①或 ② () 22 22+10x y a b a b =>>二、几何性质： 1,. x a y b ≤≤、范围： 2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,. A a A a B b B b --、顶点 2224,,a b c a b c =+、之间的关系： () 2 25101c b e e a a ==-<<、离心率： 0, 1e e →→越圆越扁 扩展： ()2222 22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()() 2222 22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 .a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是“圆锥曲线与方程”复习讲义
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