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怎样理解分布函数

概率论中一个非常重要的函数就是分布函数,知道了随机变量的

分布函数,就知道了它的概率分布,也就可以计算概率了。

一、理解好分布函数的定义:

F(x)=P(X≤x),

所以分布函数在任意一点x的值,表示随机变量落在x点左边(X≤x)的概率。它的定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1].

二、掌握好分布函数的性质:

(1)0≤F(x)≤1;

(2)F(+∞)=1,F(-∞)=0;

可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如:

设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,求常数A与B.

就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π.

(3)单调不减;

(4)右连续性。

三、会利用分布函数求概率

在利用分布函数求概率时,以下公式经常利用。

(1)P(a

(2)P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-0);

(3)P(a≤X

(4)P(a

(5)P(X=a)=F(a)-F(a-0).

以上公式的规律是:

对于左端点a,不包括它时,用函数值F(a),包括它时,用右极限F(a-0);

对于右端点b,不包括它时,用右极限F(b-0),包括它时,用函数值F(b).

四、会利用分布列或密度函数求分布函数

根据分布列求分布函数时,先将RV X的取值从小到大排好,x1

当x i≤x

当x

根据分布密度求分布函数时,先考虑密度函数是几段的,如果它被x1

n 分成n+1段的,则F(x)也被x1

当x i≤x

F(x)=∫[-∞,x

]f1(x)dx+∫[x1,x2]f2(x)dx+...+∫[x i,x]f(i+1)(x)dx;

当x

五、会利用分布函数求分布列或密度函数

如果分布函数是分段常数的,则它是离散型随机变量的分布函数,应求分布列。需要确定它取什么值,以及取这些值的概率。

它取的值就是分段函数的各段端点x1,x2,...,x n,因为在其它点分布函数连续,它们的概率为0。而

P(X=x

)=F(x i)-F(x i-0).

如果分布函数是连续的,则它是连续型随机变量的分布函数,应求分布密度。对于F(x)的可导点,密度函数f(x)=F'(x),对于F(x)的不可导点x0,f(x0)的值你可以根据它周围点x的函数值自定。

二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

二、一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根的分布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图象充要条件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根的分布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内图象充要条件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k