2 微观强度理论

第二章 微观强度理论

材料的力学行为主要靠支配塑性变形和断裂的那些材料力学性能来描述。在宏观上，这些性能可以用材料的基本参数来表达，测量这些参数通常无需知道这些性能微观起源方面的详细知识。然而，材料的多数力学，特别是强度均是微观结构、组织的敏感性参量，因此对材料工作者来说，一项很重要的工作就是用实验和理论方法来研究某一特定材料性能有关的微观机制，并把微观行为与宏观可测的性能联系起来。这是提高材料性能以及研制具有优良性能的新材料的关键一步。在设计零部件选材时优先考虑材料性能以及提高这些性能的方法工艺，也是材料科学技术中的一项主要工作。

微观强度理论从微观结构出发，以微（细）观力学方法并辅之以对微观结构特征的实验和理论分析，揭示决定材料力学行为的微（细）观组织及缺陷间的相互作用，并尽可能地建立起宏观性能参量与微观结构间的定量或半定量关系。

对微观强度理论的最早研究源自于对完整固体的强度分析。对于无缺陷的固体，其强度（即理论强度）是指固体依凭所有原子的键合力抵抗外力作用下变形和断裂的能力。显然，要获得理论强度，应从原子间的结合力入手，如果知道原子向结合力的细节，即知道应力——应变曲线的函数关系，就可算出理论强度。较精确理论计算方法有偶合势法和量子力学法两种。但不同的材料有不同的组成、不同的结构及不同的键合方式，进行上述理论计算是十分复杂的，通常可采用近似法来估算理论强度，它是将原子间相互作用力与距离的关系近似为正弦函数，在一些简化假设下，可得到理论强度为：

理论剪切强度：πτ2G th = 理论拉伸强度：10

E th =

σ

这两个数值是很大的量值，比起实例的强度要高出很多。表2-1列出了若干中金属的理论屈服强度和实测强度，可见，实例值一般较理论值低2~4个数量级，对于抗热强度情况也类似。

表2-1 几种金属材料屈服强度的理论值和实测值

实测值与理论值之间这一巨大差异预示着理论强度计算的前提与实际情况不符。在理论强度计算中，塑性变形或断裂是瞬时，同时整体发生的。即同时损坏滑移面或断裂面上所有原子键合，这就需要很大的力。而实际情况是，塑性变形及断裂是一个局部发生、逐渐演进的过程，每一步的前进只需打开少数几个原子键合，这样所需的力就小很多，特别是这一过程总是首先发生在材料内部的缺陷处。缺陷越多，强度便愈低，而实际工程材料中不可避免地存在缺陷，包括冶炼、机械加工过程中引进的宏观缺陷、组织缺陷、晶体缺陷，这就是实际强度远低于理论强度的根本原因。从这个意义上来说，工程材料的强度实质上是缺陷数量和相互作用的量度，研究材料力学行为的微观机制，就是要研究“缺陷”在特定环境下的运动规律。总之，缺陷理论是工程材料微观强度理论的“核

心”。

现已取得共识，对于晶体材料，支配强度和断裂的两类重要缺陷是位错和裂纹，前者尺度较小，控制了塑性材料的塑性变形和韧性断裂行为，将在本章中以金属材料为主，予以讨论；后者尺度稍大，控制了脆性材料的强度以及韧性和脆性材料的断裂，将在第三和第四章中讨论。至于高分子聚合物、陶瓷等非金属材料以及复合材料，由于微观结构的特殊性，其强度和断裂有其各自的特点，有关内容分别在第五、六和七章中专门介绍。

2.1 起始塑性变形

所谓有起始塑性变形是指应力刚刚超过弹性极限而发生微量塑性变形的初级阶段，由于塑性变形是内切应力引发，因此起始塑性变形抗力可以由临界分切应力来表征。

2.1.1 临界分切应力的估计

在纯组元单晶体中，既无晶界、相界，也无溶质原子、第二相等，故阻碍位错运动的只可能是晶格点阵摩擦力及其它位错。因此，对初始塑性变形抗力的贡献来自下列诸项。

1、peiers-Nabarro 力

位错在晶体中滑移运动时需要克服点阵周期性势垒的阻力，此即P-N 力，有时也用p τ表示。 p τ较难精确计算，因为涉及到位错总的结构，但根据Peiers-Nabarro 位错点阵模型可对其作半

定量的估计：

]2exp[12b

h

G p ω

ν

τ--=

（2.1-1）

式中，νω-=1R ，为位错宽度，h 为滑移面间距；G 为切变横量；b 为原子列间距，相当于柏氏矢

量模；v 为泊松系数。

表2-2给出了一些晶体结构实验得出的p τ值的数量级。

表2-2 某些晶体结构材料p τ值的数量级（外推至0K ）

很明显，p τ取决于晶体结合键的类型以及位错结构特征。一般地，随原子结合键方向性的增强，p τ值迅速增加，故共价固体p τ最高，离子晶体次之，金属晶体最低；在金属晶体三种常见的结构

中，又以fcc 的p τ最低，bcc 的p τ最高，因此，从本质上来说，fcc 金属属于“软金属”，而bcc 金属则属于“硬金属”。

P-N 力是位错运动的最基本阻力，无论在什么情况下都是存在的，只是在不同条件下（如温度、晶格类型、其它强障碍作用存在等）或被重视，或被忽略。一般来说，fcc 金属P-N 力很低，p τ<10-6~10-5G ，大多数情况下可以不考虑它的影响，对沿基面滑移的hcp 金属也是如此。bcc 金属

在中、高温时可不考虑，但在低温时，基本的贡献迅速增大，应予重视。而共价键结合的晶体如硅、金刚石等，由于其键的强烈方向性，P-N 力很高（G p 2

10-∝τ），也成为临界分切应力的主要部分。

2、位错的长程弹性交互作用

图2-1 位错间长程相互作用示意图

为简化估算，我们只考虑平行位错之间的弹性交互作用。如图2-1所示，中间-刃性位错偏听偏信从上、下两同号刃位错之间滑过，必受此相邻滑移面上位错的弹性相互作用。根据平行位错间相互使用的Peach-koohler 公式，可将此时所需最小的应力e τ写成：

l

b

G

e ?

-=

)1(2νπτ （2.1-2）

对粗型位错的情况则有：

l

b G e ?=

π

τ2 （2.1-3）

式中，l 为上、下两滑移面间距。若再进一步简化，可将l 视为位错间的平均距离，并且均为直线位错，则位错密度l 与ρ的关系为：

2

1l

∝

ρ 或者说 2

1-

∝ρ

l （2.1-4）

ρατGb

e 1= (2.1-5)

式中，1α为常数，其值取决于泊松系数v 及位错的排列、取向等性质。由于e τ是长程弹性相互作用的结果，故此力与温度的关系不大。

3、激活F-R 源的应力

在一些情况下，在晶体中位错的平衡组态为网络形式，在变力时，位错网络结点被钉扎，其间的位错受应力作用而弓出，形成F-R 源形式，此时所需克服的阻力是位错线张力造成的向心恢复力：

l

Gb R F =

-τ （2.1-6）

或 ρατGb

R F 2=- （2.1-7）

4、林位错阻力

滑移位错运动过程中遇到林位错时会因相互交截而产生割阶，此时阻力来自两部分：一个割阶形成能，另一个是割阶运动能。

图2-2 位错交截作用力示意图

割阶形成能阻力的贡献可由图2-2所示的模型进行粗略估算。设林位错扩展宽度为d ，其向平均

距离为l 。根据位错理论，长度为b 的全位错割阶形成能约为()b Gb ?2

13α, 则此时的割阶形成能为d Gb ?2

13α。现设外加切应力为jog τ

，如果忽略掉位错线的凸出，则在交截过程中所作的功便如图

2-2中阴影区部分所示，其值为d bl jog

??τ

，令其等于割阶形成能，可解得

ραατ

Gb

l

Gb jog

31

3

== (2.1-8)

下面以螺位错割阶为便估算割阶运动能对阻力的贡献。螺位错割阶每前进一步，会形成一个点缺陷（空位或向隙原b ），设点缺陷形成能为U d ，螺位错线上割阶的距离为l ，产生一个点缺陷走过

的距离为b ，则产生一个点缺陷需作的功为b bl d ?=τω, 该值应等于点缺陷形成能314Gb U d ε=, 则

可以得到

ρααταGb

l

Gb 41

4

== （2.1-9）

由以上分析可见，上述诸阻力中除P-N 力以外，都具有ραGb 的形式，只是α的数值不同，

说明位错运动时克服种种障碍所需的临界切应力都与位错密度的平方根成正比。

2.1.2 临界分切应力与温度的关系

1、实验现象

实验表明，许多金属单晶体的临界应力随着温度的升高而降低，但当温度升高至某一数值后，其临界的应力就不再改变。图2-3所示为纯镁（hcp ）单晶体临界分切应力与温度的关系，可见在低于300k 的温度区间内，临界切应力随温度的升高而下降，温度超过300k 以后，则基本保持不变。

图2-3 镁的临界切应力与温度的关系 图2-4 铝单晶（99.996%）和铜单晶（99.98%）

临界切应力与温度的关系

图2-4给出了两种fcc 金属高纯铝和铜单晶体临界切应力与温度的关系，图2-5则给出了bcc 结构的铁单晶体临界切应力与温度关系，而图2-6为不同区域焙炼次数钼（bcc ）单晶体临界切应力与温度的关系。从这些图中我们可以初步看出，较软金属（fcc.hcp ）的临界切应力一般较低，并且随温度的变化也较小，同样是fcc 结构，层错能低的铜比层错能高的铝变化更为缓慢。但硬类金属(bcc)的临界切应力一般较高，与温度的关系也显得特别敏感。虽然一般认为bcc 金属的强度与杂质浓度关系很密切，不过从图2-6来看，区熔六次钼单晶的临界切应力在77k 以下是有所降低，但总的说来，硬类金属的特点仍然保持。

图2-5 铁单晶临界切应力及上、下 图2-6 不同次数区域熔炼钼单晶 屈服应力与温度的关系 临界切应力与温度的关系

此外从图2-3到图2-6还可发现，所有临界切应力与温度的关系都可以用在不同温度范围内的几段直线来近似。例如，铝在150k 以上及以下可各用一直线来近似，铁约在室温以上，室温至100k 以及100k 以下的三个区域内可以分别用三段直线来近似。这间接地预示着实际晶体的临界切应力可能是前一节所介绍各种机制的总和，但在某一温度范围内，其中一种机制起主导作用。

2、临界切应力与温度关系的位错理论

现考虑一位错在外加切应力τ作用下沿x 轴方向运动，当遇到障碍时便产生交互作用。如图2-7所示。设每一障碍产生的阻力为k ，沿着位错线障碍物向距为l 则在此位错线段上向前的作用力为bl τ。如果bl τ

*

*

V F G τ-?=? (2.1-10)

式中，F ?为Helmoltz 自由能变化，代表阻力曲线下总面积，*

V 称为激活体积，则*V τ为外力提供的功。

图2-7 障碍对位错阻力示意图

在在温度T 时，靠热涨落提供*

G ?的机率为KT

G e

*

?-

，设位错线振动频率为ν，位错每秒内由热

激活克服障碍的机率为KT

G e

*

?-

ν。当位错克服障碍移动距离d 时，位错的速度就可表示为：

KT

G e

d v /*

?-??=ν （2.1-11）

根据位错动力学理论，应变速率ε 与位错运动速度v 有如下关系：

νρεm b = （2.1-12）

式中，b 为位错柏氏矢量模，m ρ为可动位错密度。

将(2.1-11)式代入(2.1-12)式有：

kT

G m kT

G m e

A e

bdv *

*

.?-

?-

==ρρε （2.1-12）

式中，A=b.d.v 。

假定障碍物为规则分布，每一障碍的阻力是恒定的，则有：

])

0()(1[*

ττT F G -

?=? （2.1-13）

式中，0(τ为绝对零度时（无热激活贡献）克服障碍所需的应力。 将方程（2.1-13）代入(2.1-12)式可得

1)(

)

0()(+?=A

l F

kT T m n ρεττ （2.1-14）

当温度高于某一数值，比如c T 时，)0(=c T τ，即单凭热激活就能克服障碍，这一温度c T 应为：

)

/(A kl F T m n c ρε ?-=

（2.1-15）

再将此式代入（2.1-14）式便可得：

)1()

0()(c

T T T -

=ττ （2.1-16）

此方程最早是用温度对流变应力的影响研究得到的，后来的研究表明，它对起始流变抗力（即临界分切应力也适用）。

图2-8 流变应力和温度的关系

流变应力与温度的关系见图2-8。可见流变应力可分为两部分：

G τττ+=*

（2.1-17）

其中，*τ为与温度有关的分量，G τ为与温度无关的分量。当温度从0k 上升到c T 时，*τ从)0(*τ减小到0。

*

τ和G τ这两项的作用与位错障碍性质有关。

如果位错与障碍是长程交互作用，流变应力主要取决于G τ；如果是短程障碍，则主要是*τ控制。例如，平行位错间的弹性交互作用，主滑移位错与林位错之间的交互作用，内应力场作用的范围较大，位错要靠热激活来克服这一障碍不大可能，于是G τ分量起主要作用。相反，螺位错交截产生的割阶作攀移运动时，就取决于热激活过程，此属于短程障碍，受*τ控制。

2.1.3 微塑性

1、微塑性概念

从理论上来说，只要作用的切应力超过临界分切应力，位错便开始滑移运动，材料便产生塑性变形而屈服，大量的研究表明，金属在极低的应力下即可屈服，例如软金属的临界切应力一般约为1Mpa 或更小，而硬金属的临界应力也才只有10Mpa 左右，并且随着测量技术及金属纯度的提高，测定的临界切应力还会下降，可见从起始塑性变形到断裂前的整个塑性变形过程远长于弹性变形。

在工程上，人为规定塑性残余应变达到2×10-3

(0.2%)时的应力为屈服强度，（又称条件屈服强度），瞬息万变此上后的塑性变形为宏观塑性变形或宏观屈服。相应地，可以把塑性残余应变小于2×10-3的阶段称为微塑性或微屈服。微塑性的起始应变测量精度的提高可达2×10-10

。

2、理论意义上的微塑性

研究极纯单晶体金属的临界切应力或相应的拉应力对了解位错起始运动特征很有帮助。 事实上，所谓微塑性早在1940年已被Smith 察觉，不过直到1958年Oven 等人在软钢中才作系统研究，他们的研究认为，除弹性变形以外，大体速成有微形变、微蠕变和宏观屈服三个阶段。其中微蠕变在室温下一般不易察觉，但哈宽富等人在高度脱碳、氮后渗透碳的α铁却发现微蠕变很明显，而渗氮的则无此阶段，这表明虽然碳、氮原子半径基本一样，但氮原子对位错的钉扎作用比碳强得多。

Brown 和Ekvall 用高纯α铁作加载——卸载试验，发现除弹性变形和微塑性变形以外，在二者之间还有一个滞弹性阶段，如图2-9所示，当外应力小于E σ时仅出现弹性变形，当外应力大于E σ而小于A σ时为滞弹性变形，只当外应力大于A σ后才出现微塑性。后来，Meaking 用压缩加载——卸载法得到如图2-10所示的结果。应指出，用压缩法所得E σ比拉伸法更接近于真正的弹性极限，因为后者对应于松弛模量的应力值，而前者才是对应于动态模量的应力值，对bcc 金属来说，此值约为10-5

G 。

图2-9 拉伸加载——卸载法屈服前变形示意图 图2-10 压缩加载——卸载法屈服前变形示意图

3、工程意义上的微屈服

前已述及，在工程上常规定产生0.2%残余应变对应的应力2.0σ为屈服强度，并以此作为强度设计的依据，这对普通结构件已足够精确。但在某些场合下应用的材料，如精密仪器、仪表、光学构件等，对尺寸稳定性的要求十分严格，若以2.0σ为依据进行设地，会引起不能允许的过大变形（即尺寸变化），因此需要规定更小应变时的应力为强度依据。在这些场合下，最常见的是规定残余塑性应变p ε达到10-6或10-5时的应力，并称为微屈服强度，以5

6

1010--σσ、或MYS （Microyield Strength ）

表示。显然，MYS 表征了材料抵抗微塑性变形的抗力。

一般，微屈服行为常所谓应力——塑性应变曲线（p εσ~曲线）来描述，理想的p εσ~曲线如图2-11所示。可见整个变形过程可分为三个阶段：

图2-11 p εσ~曲线示意图

第一阶段是弹性变形，对应于0=p ε并垂直于p ε轴的直线段；

第二阶段为微屈服阶段，对应于曲线AB 。

第三阶段为宏观屈服阶段，对应于曲线BC （实际上此段仅对应于初始宏观屈服，为有能辩别微型塑性应变的分辩率，较大变形的宏观屈服中，后期已略去。）

由弹性变形过渡到微塑性变形的转折点A 应代表了弹性极限，不过在实际材料中这一点并不好确定。微屈服阶段的“表观硬化率”（p d d εσ/）明显大于宏观屈服阶段。这一点并不奇怪，在微屈服阶段，材料内部大部分区域仍在承受晶格弹性伸张，只有少量区域的塑性变形松弛了应力，因此，这里所说微屈服阶段“表观硬化率”并不代表由位错相互作用增强而导致的加工硬化率，后者只有在较大塑性变形情况下才会发生。此外，由微屈服过渡到宏观屈服的转折点B 并不明显，其物理含义也不很明确，似乎对应着由少数位错运动到大部晶粒位错源开动的临界点。

更仔细的研究发现，实际工程材料的p εσ~曲线并不如图2-11所示的那样理想，甚至会出现负残余应变的现象，如图2-12所示。关于负应变产生的原因尚不清楚，有人归结为卸载后测量应变的应变片蠕变带来的效果；有人归结为残余内应力的作用。张帆等人对碳化硅颗粒增强铝基复合材料微屈服行的研究发现，在极低的应力下会出现偏离线弹性的各种弛豫应变，如图2-13所示，其中有正弛豫、负弛豫及混合弛豫三类，该试验是在连续加载法并采用高精度应变计进行的，从这个角度上来说，由卸载后应变片蠕变造成的影响可以排除，更可能是由残余内应力及微观结构在应力到微下所作的调整而造成。

⌒

⌒

图2-12 负应变示意图

图2-13 低应力下应变弛豫类型示意图

4、微塑性机制

迄今关于微塑性机制仍是众说纷纭，不能取得共识。不过可以肯定的是，在微塑性阶段，运动位错的数目是较少的，位错之间的相互作用是弱的，相反，宏观塑性变形则涉及到大部分地区的位错，位错交互作用较强烈。

McMaho 与Solomon 等人在微塑性作了大量的位错观察，确认由于刃型位错的P —N 力比螺型的小，故E σ应对应于刃型或非纯螺型位错上现存扭折（Kink ）的短程可逆运动，而A σ则对应于刃型非纯螺型位错段的长程运动，直至螺型位错开始滑移才对应于宏观屈服，因此试样经低温微塑变后的位错结构总是由较长的螺型位错为主所组成，如图2-14所示。

图2-14 微塑性中位错结构示意图 图2-15 室温下钼的非弹性应变与激活体积的关系

Meakin 在Mo 中用改变形变速率的方法测定了室温下激活体积与塑性应变的关系，结果如图2-15所示，发现微塑料变区的激活体积比宏观屈服后的大两个数量级。Meakin 也认为如此大的激活体积系来自刃位错上现成扭折的运动。

但是也有人不同意上述微观和宏观屈服是两种位错运动机制的观点。Stein 就坚持认为宏观屈服前、后的塑性变形是一种位错机制，不同之处仅微塑性区中因为位错密度小，运动的速度也小，所以表现的塑性变形速率就小，并且温度领带性小。Malis 和Tangri 对高纯铜的研究发现，微屈服还可分两个阶段，第Ⅰ阶段对应晶界发射位错，第Ⅱ阶段对应晶内产生位错。

关于应力与微塑变量关系的推导，与实验结果比较相近的要算Brown-Lukens 关系。他们在位错源均匀分布于材料内部并且只存在晶界对位错运动障碍的假设下，得到应力σ与塑性应变p ε之间的关系呈抛物线型，即

21

0p K εσσ+= (2.1-18)

式中，0σ和K 均为与材料性质有关的参数。

2.2 单晶体的塑性变形及加工硬化

如所周知，加工硬化是提金属在塑性变形时应力随应变增高的现象，在T <0.3T m 的低温范围内，加工硬化可以将韧性材料的强度提高2~3个数量级，在某些情况下甚至能将绝对值提高到理论强度的一半，所以加工硬化是金属材料主要强化方法之一，很久以来，一直吸引着人们的注意力。

2.2.1 金属单晶体塑性变形与加工硬化行为

1、面心立方晶体

面心立方金属铜的单晶体，在室温下就可清楚地显示出加工硬化的三个阶段，见图2-16。

图2-16 fcc 单晶体应力——应变曲线示意图

第I 阶段称为易滑移阶段，其表现特征是，加工硬化速率)(

γ

τθd d I 很低，约为10-4

G 。其晶体表

面上，滑移线细而长且均匀分布，看不到交叉滑移线的痕迹，说明位错主要在主滑移系统上运动。

第Ⅱ阶段称为线性硬化阶段，特征是加工硬化速率很高，300

G

II =

θ，且应图片应变基本保持线

性关系。对铜单体表面的观察表明，此阶段滑移线的长度L 随应变量γ的增加有如下规律：

I

L γγ-∧

=

（2.2-1）

式中，∧是一个常数，对于铜，∧=4×10-4cm ；I γ相当于第I 阶段终止时的应变量。这说明随着应变量的增加，滑移线逐渐变短，由于每根滑移线上位错数大致不变，所以变形量的增加又出现许多新的滑移线。透射电镜（TEM ）分析表明，此阶段位错已呈缠结、胞状等组态，交互作用强烈，说明次滑移系统也参与运动，并且以滑移上的位错运动对变形量的贡献约占总变形量的30~50%，这表明第II 阶段主滑移系上的位错和次滑移系上的位错密度在同一数量级上。

第III 阶段的特征是，随应变量的增加，加工硬化速率降低，曲线呈抛物线型，故又将该阶段称

为抛物线硬化。该阶段内部组织变化的特征是，出现了滑移带。随应变量的增加，滑移都集中于滑移带内，在滑移带之间不再出现新的滑移痕迹，而在滑移带内出现了交叉滑移线，显示出现了交滑移。

影响加工硬化曲线的因素很多，比较重要的有纯度、晶体取向、形变温度等。

图2-17给出了不同纯度银单晶的加工硬化曲线，显然金属越纯，第I 阶段越短，而I θ则变化不大。

图2-17 杂质对银单晶应力——应变曲线的影响

晶体取向的影响如图2-18所示，硬化曲线上的短划线标示出第II 阶段的开始和终止。此结果归纳在图2-19中，随影区部分表示晶体“软的”取向，主要为单滑移；其它部分为“硬”取向，主要为多滑移，尤其靠近[110]~[100]连线处往往有三、四个滑移系统同时激活。晶体取向对I θ和II θ的影响分别如图2-10及2-21所示，取向在[111]点和[100]点附近的I θ较大，而在[110]点附近的I θ较小；

II θ的影响不如I θ明显，取向在[110]点附近的II θ较小，在[111]-[100]连线附近的较大。

图2-18 晶体取向对铜单晶应力——应变曲线的影响

图2-19 铜单晶“软区”与“硬区” 图2-20 纯铜的)(

2

mm

kg I θ 图2-21 纯铜的)(

2

mm

kg II θ

的取向 与晶体取向的关系 与晶体取向的关系

形变温度的影响如图2-22所示，可见形变温度越低，第I 和第II 阶段就越长，但是I θ与II θ却与温度无关，而第III 阶段开始应力3τ对温度非常敏感，温度越高，则3τ越低。

图2-22 形变温度对铜单晶应力——应变曲线的影响

2、密排六方晶体

密排六方（hcp ）金属有如下四种滑移系统，即基面滑移、柱面滑移、I 型棱锥滑移和II 型棱锥滑移，如图2-23所示。不过最常见的还是基面滑移，其它三种只在合适的条件下才能产生，表2-3给出了几种常见hcp 金属的轴比值（c/a ）、不同晶面相对基面的原子而密度以及作为滑移面的难易程度，不难看出，轴比较小则柱面及棱锥面的面密度就越大，产生非基面滑移的可能性就越大。对于镉、锌等轴比较大的hcp 金属，主要为基面滑移。

图2-23 hcp 金属滑移系统

表2-3 几种常见hcp 金属的轴比值、面密度及作为滑移面的难易程度

hcp 金属的加工硬化曲线对晶体取向十分敏感，如图2-24所示，当取向远离[0001]-[ 0110]对称线时，硬化曲线十分类似于面心立方的，即出现典型的三阶段，但hcp 的应变量（即塑性）要低；然而如果取向合适，例如基面处于拉伸轴有利方向时，则将以基面滑移为主，只出现加工硬化第I 阶段，硬化速率I θ很低，并且应变量（第I 阶段）可以很长。

图2-24 99.995%纯锌在294k 时的应力——应变曲线

3、体心立方晶体

体心立方（bcc ）晶体的可能滑移面有三组：即｛110｝、｛112｝和｛123｝，但滑移方向只有<111>,在受力变形时究竟哪个滑移系统得以激活需视具体条件而定。一般认为，在低温和中温范围内，bcc 金属多在｛110｝<111>滑移系上滑移，而在较高的温度下，更高指数的晶面，如｛112｝和｛123｝就可能开动。

图2-25 不同纯度铌单晶在295k 时的应力 图2-26 区熔铌单晶在不同温度下的应力

——应变曲线(图中数字为区熔次数) ——应变曲线（

1

5

10

5.4--?=秒

ε ）

bcc 金属的加工硬化曲线对纯度T 十分敏感。由于间隙杂质的作用，在bcc 金属应力——应变曲线上出现明显的屈服点，如图2-25中的曲线1，3，这个曲服点常常把曲线前一部分隔断。应力-应变曲线屈服点后的形状也对杂质敏感，从图2-25可看出，区域熔炼次数越多（即纯度越高），硬化曲线的三个阶段越明显，且不存在屈服点。

形变温度对加工硬化曲线的形状有很大影响，如图2-26所示，可以看出，温度降低，直至273k 时，易滑移区逐渐明显，但温度再降低时，三个阶段就不明显了。θⅡ在实验温度范围内基本不变，

约为

600

G 。

综上所述，三种典型结构的金属单晶体，只要条件合适，就能得到三个硬化阶段的特点。如对fcc 结构而言，只要形变温度足够低；对hcp 及bcc 结构而言，只要纯度足够高（这里主要反映C 、N 、O 等小半径杂质原子），就能得到一个发展比较完全的加工硬化曲线。此外，三种结构中线性硬化的出现都对应第二滑移系统的激活。

2.2.2 加工硬化理论

加工硬化的实质是随就形量的加大，位错密度也加大，使得位错间的相互作用增强，导致了流变应力的升高。因此，加工硬化理论的核心就是位错间的相互作用。迄今已有不下数十种加工硬化理论被提出，各有自己的实验依据，但也都有不足之处，它们对第I 和第III 阶段的解释出入不大，主要差别体现在对加工硬化第II 阶段的解释上。

1、加工硬化第I 阶段理论 在加工硬化的第I 阶段，位错主要在主滑移面内运动，无次滑移系统的干扰，故硬化速率很低。 设单位体积内的位错源数目为n ，滑移面上的一个位错环移动的平均距离为λ（即平均自由程），相邻平行滑移间距为h ，且h<<λ。

n 个位错滑移后，晶体的应变量为：

γ=nbA (2.2-2) 式中，A 为每一个位错扫过的面积，对应有

2

λP A = (2.2-3)

式中，P 为位错线形状系数。

如果应力增加dτ，引起位错源放出的位错环数增加dN ，则应有

dN nbP d 2

λγ= （2.2-4）

因为2

1λ

h n =

, 并设P =1，故有

h

bdN d =

γ （2.2-5）

产生dN 个新位错环后，也使作用在位错源上的反作用力B τ有一个增量B d τ：

dN k Gb d B πλ

τ2?=

（2.2-6）

式中，k 为与位错性质有关的参数。

当dτ=B d τ时，位错源就不再产生新环了，联立（2.2-5）用(2.2-6)式，可得：

)(

2λ

πγ

θh

k G

d C d I =

?=

（2.2-7）

进一步处理后有：

4

3

)

(98λ

π

θh

G I =

（2.2-8）

式中的λ与位错密度ρ有关，所以I θ不是定值。取典型数值

A h 300=，mm 5.0=λ，可得G I 4

10

3-?=θ，这与实测结果（

3000

G ）很接近。

2、加工硬化第II 阶段理论

在该阶段，主、次滑移系统同时开动，位错间交互作用强烈，硬化速率很大。根据位错交互作用机制不同，有多种理论，我们仅介绍其中三种影响较大的理论。

（1）位错塞积群理论

此理论是Seeger 首先提出，故又称Seeger 理论。该理论主为，主、次滑移系同时开动后，相交时产生面角位错（即Lomer-Cottrell 位错，简称L-C 位错），形成障碍，限制了滑移位错的平均自由程λ，于是在这些障碍前产生位错塞积，晶体中形成了许多塞积群，这些塞积群的长程交互作用决定了流变应力。L-C 位错锁的存在已被电镜对α黄铜、不锈钢中位错观察所证实。

如果位错源放出的位错环在三个<110>方向都被L-C 所构成的障碍阻塞，则被封闭成一个六角形，在两个相邻的滑移面上被塞积的位错群的相互作用造成的硬化效果，可大致作如下的估计（见图2-27）。

图2-27 相邻滑移面上位错塞积群的相互作用

假定单位体积的位错源数为N ，在每一障碍内被阻塞的位错数为n ，滑移线长度为L ，则应变γ可表示为：

nb L N 2

πγ= （2.2-9）

由于塞积群可以被看作是一个柏氏矢量为nb 的超位错，所以塞积群间的距离l 为：

2

1

)2(1

NL l =

(2.2-10)

使位错通过塞积群的应力场所需的应力为

l

Gbn πτ2=

（2.2-11）

被一个L-C 障碍塞积的位错数n, 取决于施加的应力，可表示为如下关系：

Gb

l

k n τ?= (2.2-12)

由以上这些方程可知：

常数=γ

τG （2.2-13）

这一比值不受滑移线长度影响，再结合实验观察结果（2.2-1）式，Seeger 估计出第II 阶段硬化率为：

,62

π

βθG II ?

= 或∧

=nb G

αθ （2.2-14）

式中，αβ、为常数，5.0= β，2.0=

α。这一加工硬化率很接近实验测得的数值。 Seeger 理论在解释面心立方金属加工硬化时出现困难，对fcc 晶体，似乎不太可能经受得住位

错塞积所导致的高度应力集中，而且位错环在周边均被塞住也是不太可能的，特别是用透射电镜观察第II 阶段位错结构时，发现大部分fcc 金属（Cu 、Ag 、Au ），除了层错能很低的不锈钢、α黄铜以外，很少看到晶体内部有位错塞积群，而多是以缠结、网络、胞状等形态存在。为此又提出了林位错硬化理论。

（2）林位错硬化理论

这一理论的基本思想是在第II 阶段硬化开始时，主滑移系统中位错塞积产生的长程应力导致次滑移系统激活，于是产生大量林位错，主位错与林位错的弹性交互作用导致了第II 阶段的硬化。

若以林位错作为主位错的运动障碍，则仿照(2.1-8)式可得流变应力

f

Gb ρ

ατ= （2.2-15）

式中，f ρ为林位错密度。如果第II 阶段硬化过程中位错分布的几何特点保持不变，则f ρ与原滑移系统中位错密度ρ应有下述关系：

ρρ1k f = （2.2-16）

和

2

12-=ρ

k L （2.2-17）

式中，21k k 、为两个比例常数；L 为每一位错源激活后所产生正方形位错环边长之半。再令dN 为在应变dγ中单位体积所激活的位错源数，n 为单位长滑移线上的位错数，便可得下列两关系式：

bndN L d 2

4=γ （2.2-18）

LndN d 8=ρ （2.2-19）

由以上五式不难得到第II 阶段硬化率

G k k d d II II 2

1)(

α

γτθ== （2.2-20）

可见也属于线性硬化。

（3）割阶硬化理论

此理论认为，当第II 阶段硬化开始时，由于林位错的滑移，原滑移系统中的位错源必然要产生大量的固定割阶，流变应力可由位错源上固定割阶的数目来决定：

Gbfdm d fm Gb ατατ=?=, （2.2-21）

式中，m 为割阶密度，即单位长度位错线上的割阶数目；α为一系数，约等于5

1；f 为固定割阶占总

割阶的百分数。又已知位错源上固定割阶数目应与次滑移系统的应变有关，而次滑移应变应与主滑移应变成正比，故有：

b

d g dm γ

= （2.2-22）

式中，g 为次滑移与主滑移之比，为常数。则由(2.2-21)及（2.2-22）两式联立可得：

fG g d d II II ?==αλτ

θ)( （2.2-23）

若取3

1,

201,

51=

=

=

g f α，则称得300

G II =

θ。

3、加工硬化第III 阶段理论

在这一阶段中，起决定作用的是螺型位错在热激活过程中产生的交滑移。由于螺位错或混合位错的螺型分量可以借助交滑移方式越过障碍，使滑移得以继续进行，位错自由程显著增大，所以硬化速率随之降低。Shoeck 和Seeger 曾求得交滑移激活能Q 与外加切应力τ之间有如下关系：

)(

0ττ

n cl Q Q n -= （2.2-24）

式中，Q 0为无外应力时的交滑移激活能；τ0为交滑移面内的分切应力；c 为一常数。故交滑移的几率可写为：

])(exp[0kT

Q P P τ-

= （2.2-25）

假定第III 阶段开始时P 为一定值P III ，由（2.2-24）及（2.2-25）两式可得：

BT A l n -=3τ （2.2-26）

式中，n

l C

Q A n

0τ+=

m

n

P P l c

k B 0=

此式表明，随温度的升高，第III 阶段开始应力τ3下降，即第III 阶段较早出现。这一结果在镍和铜的实验中已得到很好的证实。

利用交滑移机制，很容易解释具有高层错能的金属（如铝等），其第III 阶段的早期到来以及金属形变后产生胞状结构等现象。因为层错能高位错扩展就窄，便于交滑移的进行。当第III 阶段到来时，塞积群中螺位错易于与另一塞积群中反号螺位错在交滑移面内相互消毁，这时留在原滑移面和交滑移面的就是如图2-28所示的两群刃型位错。若形变温度不高，位错攀移就难以进行，于是便得到胞状结构或滑移带的破碎现象。

图2-28 第三阶段的位错组态示意图

当第III 阶段开始时，如不考虑热激活，则使螺位错产生交滑移所需应力为：

)056.0(21

Gb

n

G h

γτ-

=

（2.2-27）

式中，1

h γ为比层错能，以铜单晶低温实验结果为例，τ3=16kg/mm 2,G=4100kg/mm 2, b=2.56×10-8cm,

1

h γ=50erg/cm 2

, 则可算得26= n , 这与实验观察结果还是比较接近的。

2.3 多晶体的塑性变形及晶界强化

2.3.1 多晶体塑性变形特点

多晶体塑性变形与单晶体不同之处主要在于两点：第一，晶界有强化作用；第二，各晶粒变形不均匀。

1、晶界强化

晶界的存在对滑移有强烈的障碍作用，这种作为镁单晶和多晶拉伸曲线的差别，可见多晶体强度高面塑性差。但晶界对滑移障碍在滑移系较多的金属（如fcc 金属）的作用就小，有时条件合适，滑移线还能穿过晶界。

图2-29 镁单晶和多晶拉伸曲线 图2-30 铝多晶体77k 时的应力——应变曲线

多晶体的拉伸曲线一般为抛物线型。后来，Jaoul 也将多晶体应力——应变曲线分成三个阶段，以fcc 结构的99.99%纯多晶体77k 时的应力——应变曲线为例，见图2-30，第I 阶段应为为1~2%，由于多滑移的缘故，不可能出现易滑移现象，遂呈抛物线规律：

n

I A εσσ+=0 （2.3-1）

式中，指数n 视晶粒度而异，粗晶（约1mm ）时为0.7~0.8，细晶（约0.1mm ）时为0.5左右；A 为一常数，对一般金属，约为

400

E 。第II 阶段为直线规律：

εσ

σ

P II

+=0

（2.3-2）

式中，P 为一常数，其值类似单晶的一样，大致与温度无关。第III 阶段为另一抛物线规律：

m

III B εσσ+''=0

（2.3-3） 式中，B 、m 均为常数，此阶段与单晶的也很相似，温度越高，层错能越大，该阶段出现越早。

晶界的强化作用体现在晶粒大小上，晶粒越细，晶界分数越大，强化作用越显著，大量实验表明，晶粒直径d 与σ（如屈服强度s σ、弹性极限e σ等）有如下关系：

n

s y i d

K -+=σσ （2.3-4）

式中，i σ为晶格摩擦力；s

y K 为一常数；指数n 也为一常数。根据大量实验结合拟合，以选取2

1最

为合适，此即有名的Hall-Petch 关系。

2、各晶粒变形协调及不均匀性

在多晶体中，各晶粒位向不同，为使形变均匀而不致于在界面上出现裂纹，必须多个晶粒开动并相互协调，即需多个滑移系统同时开动，尤其是在晶界附近的区域，多滑移现象更为显著。显然如此，多晶体的塑性变形仍然是极不均匀的，这既表现在不同晶粒变形程度有差别，也表现在一个日暮途穷内，靠近晶界处和晶内中心区变形程度不同，图2-31是在铝多晶试样中测得的局部伸长结果，可以很清楚地看出两点：第一为在晶界处，其伸长量都较平均伸长为小；第二为横跨晶界两边伸长的变化总是连续的。

图2-31 铝多晶的局部伸长

2.3.2 晶界强化的位错理论

前已述及，多晶体屈服强度遵循Hall-Petch 关系，即

2

16-+=d

K s y

i σσ （2.3-5）

此处的6σ指工程屈服强度，有时用条件屈服强度2.0σ表示，这实际上已代表所有晶粒都开始塑性变形的情形。然而在多晶体中，总是有部分晶粒处于“软位向”，而另外的晶粒处于“硬位向”并且由位错滑移而产生的塑性变形总是首先在软位向晶粒中开始。因此，多晶体屈服微观理论的重点就在于解决滑移是如何从软位向昌粒传播到邻近硬位向晶粒中去的问题。对此，已提出了很多模型，比较重要的有两个，即位错塞积模型和晶界坎模型。

1、位错塞积模型

该模型的基本思想是，软位向晶粒中位错源开动后，放出位错，在运动到晶界附近受到障碍塞积起来，当位错塞积产生的应力集中达到某一临界值时，可使相邻硬位向晶粒位错源开动，使滑移从一个晶粒传播到另一个晶粒，其模型如图2-32所示。

图2-32 位错塞积模型

在外加切应力τ的作用下，右边晶粒位错源已开动，并有几个相同的刃型位错在晶界处塞积，且各自处在平衡位置上，此塞积将引起左边晶粒的应力集中，现考虑左边晶粒中r<

∑

=++=n

i i

P x r A r 1

1)(ττ （2.3-6）

式中，A 为一常数，对刃型位错塞积群（本例情况），)

1(2νπμ-=

b A ，其中μ为切变模量，ν为泊

松比，b 为柏氏矢量模；对螺型位错零积群，π

μ2b

A =。将塞积群中的位错看成是一个连续的大位错，

则单位长度内的位错数目为：

x

L A dx

d π

τν=

(2.3-7)

这样可将(2.3-6)式的求和变为如下积分形式：

dx dx

di

x r A r L

P )(

1

)(0

+?+=ττ （2.3-8）

将(2.3-7)式代入（2.3-8）式，并积分，可得：

r L P τ

ττ+= （2.3-9）

由于r<>r

L ，即P 点受力主要有塞积群贡献，故上式可近似写为：

r

L P ττ= （2.3-10）

假设2

d L =

，d 为晶粒直径，并且外加切应力τ中有一部分i τ是提供克服晶格摩擦力，对实际作用

在位错上的有效应力（τ-i τ），则（2.3-10）式变为：

21

)2)(

(r

d i P τττ-= （2.3-11）

变换此式解出τ为：

2

121

)2(-

?+=d

r P i τττ （2.3-12）

当P 点应力P τ达到某一临界值Pc τ时，此处位错源开动，即变形从右边晶粒传到左边晶粒，多晶体达到屈服，s ττ→，则有：

2

121

)2(-

+=d

r Pc i s τττ （2.3-13）

材料力学强度理论

9 强度理论 1、 脆性断裂和塑性屈服 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 塑性屈服:材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 2、四种强度理论 (1)最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,即：0 1σσ= (2)最大伸长拉应变理论（第二强度理论）： 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达 到极限值导致的,即： 0 1εε= (3)最大切应力理论（第三强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限 值, 即： 0 max ττ=

(4)形状改变比能理论（第四强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值,即： u u0 d d = 强度准则的统一形式[]σ σ≤ * 其相当应力: r11 σ=σ r2123 () σ=σ-μσ+σ r313 σ=σ-σ 222 r4122331 1 ()()() 2 ?? σ=σ-σ+σ-σ+σ-σ ?? 3、摩尔强度理论的概念与应用； 4、双剪强度理论概念与应用。 9.1图9.1所示的两个单元体，已知正应力σ=165MPa，切应力τ=110MPa。试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。 图9.1 [解]（1）图9.1（a）所示单元体的为空间应力状态。注意到外法线为y及－y的两个界面上没有切应力，因而y方向是一个主方向，σ是主应力。显然，主应力σ对与y轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。外法线为x、z轴两对平面上只有切应力τ，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为τ,则图9.1（a）所示单元体的三个主应力为： τ σ τ σ σ σ- = = = 3 2 1 、 、 , 第三强度理论的相当应力为 解题范例r4σ=

806材料力学复习大纲

806《材料力学》复习大纲 一、考试的基本要求 要求学生系统地理解材料力学的基本概念和基本理论，掌握材料力学的研究方法，并要求考生具有一定的计算能力、逻辑推理能力和综合运用所学的知识分析问题和解决实际问题的能力。 二、考试方式和考试时间 闭卷考试，总分150，考试时间为3小时。 三、参考书目（仅供参考） 《材料力学》（Ⅰ）、（Ⅱ）第五版，刘鸿文主编，高等教育出版社，2011年。 四、试题类型： 主要包括填空题、选择题、是非题、计算题等类型，并根据每年的考试要求做相应调整。 五、考试内容及要求 第一部分材料力学基本概念 掌握：强度、刚度和稳定性的概念；内力与应力（正应力和切应力）的概念；变形与应变（线应变和切应变）的概念；截面法的概念；能正确运用截面法计算杆件的内力。 熟悉：材料力学的研究对象和基本假设。 第二部分基本变形的强度和刚度设计 掌握：（1）掌握轴向拉伸与压缩的概念；熟练作出杆件轴向拉伸与压缩时的轴力图；熟练计算杆件轴向拉伸与压缩时横截面上的正应力并进行相关强度设计；熟练计算杆件轴向拉伸与压缩时的变形。（2）熟练分析各种连接接头的剪切变形和挤压变形；熟练计算剪切应力和挤压应力，并进行剪切强度和挤压强度的设计。（3）掌握扭转的概念；熟练作出杆件的扭矩图；熟练计算圆截面和圆环截面杆扭转时横截面上的切应力并进行扭转强度设计；熟练计算圆截面和圆环截面杆扭转时的扭转角并进行扭转刚度设计。（4）掌握对称弯曲和平面弯曲的概念；熟练写出梁的剪力方程和弯矩方程并作出梁的剪力图和弯矩图；熟练计算平面弯曲时梁横截面上的正应力，并运用弯曲正应力强度条件进行梁的强度设计；正确理解梁的挠曲线近似微分方程，熟练运用积分法和叠加法计算梁的弯曲变形，并

材料力学B试题7应力状态_强度理论.docx

40 MPa .word 可编辑 . 应力状态强度理论 1. 图示单元体，试求60100 MPa (1)指定斜截面上的应力； (2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解： (1) x y x y cos 2x sin 276.6 MPa 22 x y sin 2x cos232.7 MPa 2 3 1 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35 min22121.98 181.98MPa，2 ，3121.98MPa 12 xy1200 0arctan()arctan39.35 2x y240 200 6060 2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x 由 120xy sin 2xy cos20 得 y 2 所以m ax x y ( xy ) 2xy 2 m in 22 129.9 MPa 2525 (MPa) 125MPa 50752( 129.9)250 150100 MPa 200 1 100 MPa，20 ，3200MPa 3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。 解：y150 MPa，x120 MPa

.word 可编辑 . 由得45x y sin 2xy cos 2x 15080 22 x10 MPa 所以max xy(x y) 22 22xy min y x 45 45 45 214.22 MPa 74.22 1214.22 MPa，20 ， 45 374.22 MPa 4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 0.19210 3 解： xπ(0.104 40.14)0.05 5.75MPa t 32 x y pd MPa 50 4t pd MPa 100 2t M e p M e max x y(x y ) 2 xy2 min22100.7 MPa 49.35 1100.7 MPa，249.35 MPa，3 4 MPa 5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使 x 100 MPa，x 20MPa40 MPa100 MPa xy x y 12020 MPa 22cos2x sin 2

第十章强度理论(讲稿)

第十章强度理论 一、教学目标 掌握强度理论的概念。 了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。 掌握常用的四个强度理论的相当应力。 了解莫尔强度理论的基本观点。 会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 二、教学内容 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。 介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。 简单介绍莫尔强度理论。 三、重点难点 重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。 难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。

四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲 (一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？ 1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立） 2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？ 3、强度理论的概念 4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论 第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论 第四强度理论——?????形状改变比能理论 均方根剪应力理论 (三)相当应力 11σσ=r -=12σσr μ)(32σσ+

313σσσ-=r 2132322214)()()(2 1 σσσσσσσ-+-+-= r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ] (一)为什么需要强度理论？强度理论的概念 1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向） 图10-1 强度条件： []n A F o N σσσ=≤=，b S o σσσ由试验得 [扭转]（双向）

材料力学四个强度理论

四大强度准则理论： 1、最大拉应力理论（第一强度理论）： 这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是： σ1=σb。σb/s=[σ] 所以按第一强度理论建立的强度条件为： σ1≤[σ]。 2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）： 这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。 εu=σb/E；ε1=σb/E。由广义虎克定律得： ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。 按第二强度理论建立的强度条件为： σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。 3、最大切应力理论（第三强度理论）： 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。 τmax=τ0。 依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力） 由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。 所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。 按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。 4、形状改变比能理论（第四强度理论）： 这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。 发生塑性破坏的条件为： 所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]

强度理论-压力极限.

受均匀外压时是否存在使材料破坏的极限压力？ 1．主题词 材料强度，强度理论，压力，破坏， 2．问题背景 水是有压力的，水深每增加10米，水的压力就增加一个大气压，那么在几千米的大海深处物体所受到的压力之大是在地球表面难以模拟和想象的。为什么在深海海底的软泥中还能完好无损地保存着史前微生物的遗体，一些海底生物也没有因为海水的压力而消亡？ 类似地，土层对于埋藏在土中的物体也有压力作用，而且比水的压力更大，每4米土深就相当于10米水深。恐龙作为7000万年前的生物早已成为化石沉入地底，并随着底层下降，同样承受着巨大的土压力，为什么如今的考古学家居然可以发掘出完整的恐龙骨架？它为什么没有被土压碎？ 这两个疑问可以归纳为同一个力学问题：即受均匀外压时，是否存在着一个使材料发生强度破坏的极限压力？如果答案是肯定的，那末就需要有试验验证对于确定的物体材料测出确定的极限压力。如果答案是否定的，那么需要给出一个令人信服的理论解释。 南京地质学校的教师李泰来在十几年的时间里做了无数个试验，包括在4600米深海的水压试验。在这样的深度，被抽成真空的热水瓶胆由于比重比海水小，被轻易地压得粉碎；但是，一块普通的豆腐乳由于比重比海水大，居然丝毫无损（在地面上，仅用一个装满水的矿泉水瓶就可以把这种豆腐乳压碎压扁）。大量的试验过后，李泰来得出了如下结论： “水其实只对比重比它小的物体有压力；对于比重和它一样的物体是没有压力的。而对于比重大的物体，水不仅产生不了压力，而且反过来被对方‘压’”。 基于新的比重理论和大量精确的试验数据，最终得出了更惊人的结论：物体自由落体理论、单摆振动理论、万有引力定律和流体静压定律、浮力定律等五大经典定律全部在精密的实验面前被推翻！ 本案例只讨论在外压下材料的强度问题。 3．问题与思考题 （1）你相信这个关于水压力与比重相关的结论吗？ （2）物体的强度和材料的强度有何区别？是否存在着一个使材料发生强度破坏的极限压力？ （3）试设计一个试验方案可以验证问题（3）的答案 4．问题分析与参考答案 （1）这个关于水压力与比重相关的结论确实是前所未闻的。为了使问题明确起见，让我们首先讨论上文提到的两个试验。对于试验的结果，可能并不值得怀疑，但如何解释这一结果却是大不一样。抽真空的热水瓶胆在深海下被压碎属于外压失稳破坏，失稳是结构或构件的一种特定的失效形式，这与实心物体的强度破坏完全是两回事，两者间不具备什么可比性，因此以此事实归纳出的结论是难以令

东北大学岩石力学讲义第二章岩石破坏机制及强度理论.

第二章 岩石破坏机制及强度理论 第一节 岩石破坏的现象 在不同的应力状态下，岩石的破坏机制不同，常见的岩石破坏形式有以下几种 一、拉破坏：岩石试件单向抗压的纵向裂纹，矿柱，采面片帮。特点出现与最大应力方向平行的裂隙。 二、剪切破坏：岩石试件单向抗压的X 形破坏。从应力分析可知，单向压缩下某一剪切面上的切向应力达到最大引起的破坏。 (a ) (b )

三、重剪破坏：即沿原有的结构面的滑动、重剪破坏 主要的机制：岩体受剪切作用或者受拉应力的作用、三向受压情况下多数为剪切应力的作用，侧向压力较小时可能是拉神破坏，实际工程中可能是不同机制的组合，但侧向应力较大时，可以认为剪切应力是岩石重剪破坏的主要破坏机制。 从岩石破坏的现象看，从小到几厘米的岩块到大的工程岩体，破坏形式雷同，并可归纳为两种，拉断与剪坏，因此有一定的规律可寻。 对岩石破坏的研究： 在单向条件下可以从实验得到破坏的经验关系。但是三向受力条件下，不同应力的组合有无穷多种，因此无法仅仅依靠实验得到破坏的经验关系，因此在一般应力状态，对岩石破坏的研究需要结合理论分析和试验研究两个方面。现代关于岩石破坏的理论分析一般归结为、寻求破坏时的主应力之间的关系 123(,)f σσσ= 研究的方法有：理论分析；2、试验研究；3、理论研究结合试验研究。 第二节 岩石拉伸破坏的强度条件 一、最大线应变理论 该理论的主要观点是，岩石中某个面上的拉应变达到临界值时破坏，而与所处的应力状态无关。强度条件为 c εε≤ (2-1) c ε—拉应变的极限值，ε—拉应变。

若岩石在破坏之前可看作是弹性体，在受压条件下σ1>σ2>σ3下， 3ε是最小主应力。按弹性力学有3 3E E σμ εσσ= -12（+），即33E εσμσσ=-12（+）。若3ε<0则产生拉应变。由于E >0，因此产生拉应变的条件是 3σμσσ-12（+）<0，3μσσσ12（+）> 若3ε=0ε<0则产生拉破坏，此时抗拉强度为0t E σε＝?0t E σε＝。 按最大线应变理论30εε≥破坏，即 312()t σμσσσ-+≥ (2-2) 式中0ε是允许的拉应变。 二、格里菲斯理论 格里菲斯理论的主要观点是：材料内微小裂隙失稳扩展导致材料的宏观破坏。 格里菲斯理论的主要依据是：1）、任何材料中总有各种微小微纹；2）、裂纹尖端的有严重的应力集中，即应力最大，并且有拉应力集中的现象；3）、当这种拉应力集中达到拉伸强度时微裂纹失稳扩展，导致材料的破坏。 格里菲斯理论的来源：由玻璃破坏得到的启示。 格里菲斯理论的基本假设为： 1、岩石的裂隙可视为极扁的扁椭圆裂隙； 2、裂隙失稳扩展可按平面应力问题处理； 3、裂隙之间互不影响。 按格里菲斯理论，裂纹失稳扩展条件为 1）、当1330σσ+>时，满足 21313()8()0t σσσσσ-++= (2-2)

工程力学中四种强度理论

为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容 一、四大强度理论基本内容介绍： 1、最大拉应力理论（第一强度理论）： 这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是： σ1=σb。σb/s=[σ] 所以按第一强度理论建立的强度条件为： σ1≤[σ]。 2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）： 这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。 εu=σb/E；ε1=σb/E。由广义虎克定律得： ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。 按第二强度理论建立的强度条件为： σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。 3、最大切应力理论（第三强度理论）： 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。 依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力） 由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。 所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。 按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。 4、形状改变比能理论（第四强度理论）： 这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力

状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。 二、四大强度理论适用的范围 1、各种强度理论的适用范围及其应用 第一理论的应用和局限 1、应用 材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。 2、局限 没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。 第二理论的应用和局限 1、应用 脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。 2、局限 与极少数的脆性材料在某些受力形势下的实验结果相吻合。 第三理论的应用和局限 1、应用 材料的屈服失效形势。 2、局限 没考虑σ2对材料的破坏影响，计算结果偏于安全。 第四理论的应用和局限 1、应用 材料的屈服失效形势。 2、局限 与第三强度理论相比更符合实际，但公式过于复杂。 2、总结来讲： 第一和第二强度理论适用于：铸铁、石料、混凝土、玻璃等，通常以断裂形式失效的脆性材料。 第三和第四强度理论适用于：碳钢、铜、铝等，通常以屈服形式失效的塑性材料。 以上是通常的说法，在实际中，有复杂受力条件下，哪怕同种材料的失效形

2 微观强度理论

第二章 微观强度理论 材料的力学行为主要靠支配塑性变形和断裂的那些材料力学性能来描述。在宏观上，这些性能可以用材料的基本参数来表达，测量这些参数通常无需知道这些性能微观起源方面的详细知识。然而，材料的多数力学，特别是强度均是微观结构、组织的敏感性参量，因此对材料工作者来说，一项很重要的工作就是用实验和理论方法来研究某一特定材料性能有关的微观机制，并把微观行为与宏观可测的性能联系起来。这是提高材料性能以及研制具有优良性能的新材料的关键一步。在设计零部件选材时优先考虑材料性能以及提高这些性能的方法工艺，也是材料科学技术中的一项主要工作。 微观强度理论从微观结构出发，以微（细）观力学方法并辅之以对微观结构特征的实验和理论分析，揭示决定材料力学行为的微（细）观组织及缺陷间的相互作用，并尽可能地建立起宏观性能参量与微观结构间的定量或半定量关系。 对微观强度理论的最早研究源自于对完整固体的强度分析。对于无缺陷的固体，其强度（即理论强度）是指固体依凭所有原子的键合力抵抗外力作用下变形和断裂的能力。显然，要获得理论强度，应从原子间的结合力入手，如果知道原子向结合力的细节，即知道应力——应变曲线的函数关系，就可算出理论强度。较精确理论计算方法有偶合势法和量子力学法两种。但不同的材料有不同的组成、不同的结构及不同的键合方式，进行上述理论计算是十分复杂的，通常可采用近似法来估算理论强度，它是将原子间相互作用力与距离的关系近似为正弦函数，在一些简化假设下，可得到理论强度为： 理论剪切强度：πτ2G th = 理论拉伸强度：10 E th = σ 这两个数值是很大的量值，比起实例的强度要高出很多。表2-1列出了若干中金属的理论屈服强度和实测强度，可见，实例值一般较理论值低2~4个数量级，对于抗热强度情况也类似。 表2-1 几种金属材料屈服强度的理论值和实测值 实测值与理论值之间这一巨大差异预示着理论强度计算的前提与实际情况不符。在理论强度计算中，塑性变形或断裂是瞬时，同时整体发生的。即同时损坏滑移面或断裂面上所有原子键合，这就需要很大的力。而实际情况是，塑性变形及断裂是一个局部发生、逐渐演进的过程，每一步的前进只需打开少数几个原子键合，这样所需的力就小很多，特别是这一过程总是首先发生在材料内部的缺陷处。缺陷越多，强度便愈低，而实际工程材料中不可避免地存在缺陷，包括冶炼、机械加工过程中引进的宏观缺陷、组织缺陷、晶体缺陷，这就是实际强度远低于理论强度的根本原因。从这个意义上来说，工程材料的强度实质上是缺陷数量和相互作用的量度，研究材料力学行为的微观机制，就是要研究“缺陷”在特定环境下的运动规律。总之，缺陷理论是工程材料微观强度理论的“核

081406桥梁与隧道工程考试大纲

081406桥梁与隧道工程考试大纲 《材料力学》考试大纲 一、考试要求 材料力学是变形固体力学入门的专业基础课。要求考生对构件的强度、刚度、稳定性等问题有明确的认识，全面系统地掌握材料力学的基本概念、基本定律及必要的基础理论知识，同时具备一定的计算能力及较强的分析问题及解决问题的能力。 二、考试内容 1、基本变形形式下杆件的强度及刚度计算问题 ·轴向拉伸及压缩的概念、轴力图、横截面上的应力、许用应力及强度条件、轴向拉压杆的变形计算及胡克定律、材料拉伸及压缩时的力学性能，应力-应变曲线 ·剪切的概念及实例。剪切与挤压的实用计算 ·扭转的概念。圆轴横截面上的应力及切应力强度条件、切应力互等定理、剪切胡克定律。圆轴扭转角的计算公式及刚度条件 ·平面弯曲的概念及实例。熟练绘制剪力图与弯矩图。梁横截面上的正应力、切应力计算公式及强度条件。用积分法及叠加法计算弯曲变形 2、超静定问题 ·轴向拉伸压缩超静定计算，温度应力 ·求解超静定梁及其弯曲内力、弯曲应力 3、平面图形的几何性质 ·静矩、惯性矩、惯性积的定义、形心位置 ·惯性矩与惯性积的平行移轴公式，形心主轴的概念 4、应力状态及强度理论 ·应力状态的概念 ·运用解析法求平面应力状态下任意斜截面上的应力、主应力、最大切应力·应力圆的概念 ·平面应力状态下的广义胡克定律及其综合应用 ·空间应力状态下任一点主应力与最大切应力及三向应力圆 ·体积应变、体积改变比能与形状改变比能 ·材料的两种失效形式 ·四个古典强度理论的相当应力及强度条件的应用 5、组合变形 ·斜弯曲、偏心压缩、拉伸与弯曲等组合变形时应力的计算及强度条件

·弯扭组合及拉（压）弯扭组合时的应力计算及强度条件6、压杆稳定 ·稳定的概念 ·压杆的稳定校核、安全因数法、稳定系数法

材料力学强度理论

9 强度理论 1、 脆性断裂与塑性屈服 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂,断面较粗糙,且多发生在垂直于最大正应力的截面上,如铸铁受拉、扭,低温脆断等。 塑性屈服:材料破坏前发生显著的塑性变形,破坏断面较光滑,且多发生在最大剪应力面上,例如低碳钢拉、扭,铸铁压。 2、四种强度理论 (1)最大拉应力理论(第一强度理论) 材料发生脆性断裂的主要因素就是最大拉应力达到极限值,即:0 1σσ= (2)最大伸长拉应变理论(第二强度理论): 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都就是由于最大拉应变(线变形)达 到极限值导致的,即: 01εε= (3)最大切应力理论(第三强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都就是由于最大切应力达到了某一极限 值, 即: 0max ττ=

(4)形状改变比能理论(第四强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都就是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值,即:u u 0d d = 强度准则的统一形式 [] σσ≤* 其相当应力: r11σ=σ r2123()σ=σ-μσ+σ r313σ=σ-σ 2 22r41223311()()()2 ??σ=σ-σ+σ-σ+σ-σ?? 3、摩尔强度理论的概念与应用; 4、双剪强度理论概念与应用。 9、1图9、1所示的两个单元体,已知正应力σ =165MPa,切应力τ=110MPa 。试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。 图9、1 [解] (1)图9、1(a)所示单元体的为空间应力状态。注意到外法线为y 及－y 的两个界面上没有切应力,因而 y 方向就是一个主方向,σ就是主应力。显然,主应力σ 对与y 轴平行的斜截面上的应力没有影响,因此在xoz 坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。外法线为x 、z 轴两对平面上只有切应力τ,为纯剪切状态,可知其最大与最小正应力绝对值均为τ,则图9、1(a)所示单元体的三个主应力为: τστσσσ-===321、、, 第三强度理论的相当应力为 解题范例 r4σ=

兰州大学网络教育工程力学命题作业四种强度理论的详细说明

详细说明四种强度理论的破坏标志、基本假设内容、建立的强度条件公式以及适用的范围。 一、四大强度理论基本内容介绍： 1、最大拉应力理论（第一强度理论）： 这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素最大拉应力，无论什么应力状态，只要第一主应力达到单向拉伸时的强度极限，即断裂。 破坏形式：断裂。 破坏条件：σ1=σb。 强度条件：σ1≤[σ]。 缺点：未考虑其他两主应力。 使用范围：适用脆性材料受拉。如：铸铁拉伸、扭转。 2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）： 这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。破坏假设：最大拉伸应变达到简单拉伸的极限（假定直到发生断裂仍可用胡克定律计算）。 破坏形式：断裂。 脆断破坏条件： ε1=εu=σb/E ε1=[σ1-μ（σ2+σ3）]/E 破坏条件：σ1-μ（σ2+σ3）=σb。 强度条件：σ1-μ（σ2+σ3）≤[σ]。 缺点：不能广泛解释脆断破坏一般规律。 使用范围：适于石料、混凝土轴向受压的情况。 3、最大切应力理论（第三强度理论）： 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。破坏假设：复杂应力状态危险标志最大切应力达到该材料简单拉、压时切应力极限。 破坏形式：屈服。 破坏因素：最大切应力。 屈服破坏条件：τmax=τu=σs/2 τmax=（σ1-σ3）/2。 破坏条件：σ1-σ3=σs。 强度条件：σ1-σ3≤[σ]。 缺点：无σ2影响。

第十章 强度理论

强度理论 强度理论的概念 四个强度理论 摩尔强度理论 各种强度理论的适用范围 强度理论的概念 1.简单应力状态下强度条件可由实验确定 2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关； 3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对每一种应力状态做无数次实验)； 4.强度准则： ①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂； ②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说 (假说—实践—理论)； ③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力状态下的失效判据和相应的设计准则。 四个强度理论 两类强度理论： 1. 第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志） 2. 第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志） 一、第一强度理论（最大拉应力理论） 准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大拉应力σ1达到某个共同极限值σjx 。 1.断裂原因：最大拉应力σ1 （与应力状态无关） 2破坏条件b σσ=1 3强度条件][1σσ≤ 4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。 二、最大伸长线应变理论 （第二强度理论） 准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大伸长线应变ε1达到某个共同极限值εjx 。 1.断裂原因：最大伸长线应变ε1（与应力状态无关）； 2破坏条件b σσσμσε=+?=)(3211 3强度条件][)(321σσσμσ≤+? 4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。 三、最大切应力理论（第三强度理论） 准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大切应力t max

材料力学带答疑

第七章应力和应变分析强度理论 1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力 答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。） 2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面 答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零） 3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态 答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零 答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零） 5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立 答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。） 6. 材料的破坏形式由材料的种类而定 答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）

7. 不同强度理论的破坏原因不同 答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。） 二、选择 1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。 A：二向；B：单向C：三向D：纯剪切 答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。） 2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。 A：内壁B：外壁C：内外壁同时D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。） 3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面 中。 A：纵、横两截面均不是主平面；B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面；D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；

损伤力学读书报告

《损伤力学》读书报告 随着现代工业的飞速发展，大型机械和复杂构件的日益增加，金属构件的疲劳失效已经成为工程领域中，关系到安全、可靠以及经济性的一个重要因素。 一般认为金属的疲劳破坏形式分为如下几个阶段：裂纹形核、小裂纹扩展、长裂纹扩展以及瞬时失效阶段，一般将裂纹形核和小裂纹扩展归为第一阶段，对于这阶段的研究，其主要方法是试验与统计相结合的方法，目前较多的研究室基于细观力学、分子动力学以及断裂物理的研究较多，对于裂纹的扩展阶段，一般是采用试验与断裂力学相结合的方法，这对于飞行器以及工程构件的损伤容限设计是非常必要的手段。但是这些方法也存在于若干不足之处： （1）、对于裂纹的曲线扩展路径的描述困难。 （2）、二维裂纹扩展和三维裂纹扩展的描述难以统一。 （3）、把第一阶段与裂纹扩展阶段视为独立的阶段。 为止，就需要一个新的固体力学工具，将裂纹形成与扩展的描述进行统一，将二维和三维裂纹的扩展研究进行统一，将裂纹的直线扩展与曲线扩展进行统一。 此时，损伤力学就应运而生，从80年代初期，到目前为止，这方面出版了许多专著，他们对损伤力学的理论以及发展做出了巨大的贡献；下面就介绍损伤力学的一些先关内容： 一、破坏力学的发展及损伤力学定义 破坏力学发展的三个阶段 1)、古典强度理论：以材料的强度作为设计指标：[]σσ<*,即只要材料的应力*σ小于材料的许用应力[]σ就不会破坏。 2)、断裂力学：以材料的韧度为设计指标：IC IC J K J K , ,<。 3)、损伤力学：以渐进衰坏程度作为为指标：C ωω<。 损伤力学定义 损伤力学是研究材料的细(微)结构在载荷历史过程中产生不可逆劣化(衰坏)过程，从而引起材料(构件)性能变化、以及变形破坏的力学规律。 二、传统材料力学的强度问题 对于传统的力学材料研究首先满足：材料均匀性和连续性假设，即认为材料是 各处性质相同的连续体。 其研究理论和思想如下图所示：

材料力学B试题7应力状态_强度理论

(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa

由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = A σ A τ

MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R ) (333.1kN R B = ) (333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.14 36=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(1333433 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.393 33=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ A τ B τ B σA τA σ

东北大学岩石力学讲义第二章岩石破坏机制及强度理论

精品文档 第二章岩石破坏机制及强度理论 岩石破坏的现象第一节 在不同的应力状态下，岩石的破坏机制不同，常见的岩石破坏形式有以下几种：岩石试件单向抗压的纵向裂纹，矿柱，采面片帮。特点出现与最大应力一、拉破坏方向平行的裂隙。

) (b) (a 形破坏。从应力分析可知，单向压缩下某一剪二、剪切破坏：岩石试件单向抗压的X 切面上的切向应力达到最大引起的破坏。

精品文档． 精品文档 三、重剪破坏：即沿原有的结构面的滑动、重剪破坏 主要的机制：岩体受剪切作用或者受拉应力的作用、三向受压情况下多数为剪切应力的作用，侧向压力较小时可能是拉神破坏，实际工程中可能是不同机制的组合，但侧向应力较大时，可以认为剪切应力是岩石重剪破坏的主要破坏机制。 并可归纳从小到几厘米的岩块到大的工程岩体，破坏形式雷同，从岩石破坏的现象看，为两种，

拉断与剪坏，因此有一定的规律可寻。对岩石破坏的研究：不同应力的组合在单向条件下可以从实验得到破坏的经验关系。但是三向受力条件下，对岩石破因此在一般应力状态，有无穷多种，因此无法仅仅依靠实验得到破坏的经验关系，坏的研究需要结合理论分析和试验研究两个方面。现代关于岩石破坏的理论分析一般归结为、寻求破坏时的主应力之间的关系???)(,?f321、理论研究结合试验研究。、试验研究；3研究的方法有：理论分析；2 岩石拉伸破坏的强度条件第二节 一、最大线应变理论岩石中某个面上的拉应变达到临界值时破坏，而与所处的应力该理论的主要观点是，状态无关。强度条件为(2-1) ???c—拉应变的极限值，—拉应变。??c 精品文档． 精品文档 ?是最小主应力。σ下，σ>σ>若岩石在破坏之前可看作是弹性体，在受压条件下3123??????3，E>0<0则产生拉应变。由于，即。若按弹性力学有?????）?（?+）E?（?+32312133EE因此产生拉应变的条件是 ????????）>（（?++）<0，312132??????t?E＝＝。若则产生拉破坏，此时抗拉强度为= <0

第十章 强度理论(习题解答)

10-4 求图示应力状态的第三、四强度理论的相当应力。 解：（1）由单元体可知：z 面为主面60MPa z σ=。100MPa =15MPa =-20MPa x x y στσ=，， (3) 求梁的主应力及主平面方位角： max min 1002022101.85 4061.85() 21.85 x y MPa σσσσ+?-=±=±???=±=? -?故，123101.85MPa, 60MPa,21.85MPa σσσ===- （2）第三强度理论相当应力 313101.85(21.85)123.7MPa r σσσ=-=--= （3）第四强度理论相当应力 4108.98MPa r σ= = = 10-7图示简支梁为焊接工字钢，（1）试校核梁内的最大正应力和。（2）试校核最大剪应力强度。（3）试分别用第三、第四强度理论校核钢梁的强度。 M kN ·m) 64 + V kN) (c ) (b) 解：(1)外力分析，判变形：求支反力Y A =160kN （↑）， Y B =40 kN （↑） 梁发生平面弯曲，中性轴过形心沿水平方向。 (2)内力分析及应力分析，画内力图如图所示。 ①剪应力强度危险面于梁的左段各横截面， V max =160kN ，危险面的中性轴上各点是剪应力强度的危险点。 ②正应力强度危险面于集中力处截面max 64M =?kN m ,跨中截面的上下边缘点是正应力强度的危险点。

③按第三、四强度理论，集中力处C 的左截面也可能是危险面，C 的左截面腹板和翼板的交界处为强度理论的危险点。 （3）求截面的几何性质： 33 6512030055.5270287.9108.79101212 z I -??=-?=?=?44 mm m 4,300 12015(7.5)256500 2.565102z a S *-=??-==?33mm m 4,300135 12015(7.5)1359338512.5 3.3851022 z S *-=??-+??==?半 33 mm m m mm 135.0135==a y (4)对梁进行正应力校核 []3 max max 5 64100.150109.21608.7910b z M y I σσ-?= ?=?==?Pa MPa

复习题1

复习题1 Ⅰ。填空题： ⒈塑性材料拉伸试样应力超过屈服极限后逐渐卸除荷载，经过短时间后再重新加载 其――――――――――――――将得到提高，而塑性变形将减小。 ⒉四个常用的古典强度理论的相当表达式分别为--------------------------------、―――――――――――――、 ――――――――――――――、―――――――――――――－。 ⒊平面弯曲梁的中性轴过截面的――――――――心，与截面的对称轴垂直。 ⒋杆件的刚度代表了杆件抵抗―――――――――的能力。 Ⅱ。单项选择题： ⒈圆轴上装有四个齿轮，A为主动轮，传递的扭转外力偶矩M eA=60k。B、C、D为 从动轮，传递的扭转外力偶矩分别为M eB=30kNm、 M eC=15 kNm、M eD=15 kNm。四个齿轮自左向右合理的排列 是――――――――――――――――――－。 ⑴A、B、C、D；⑵B、A、C、D； ⑶C、B、A、D；⑷B、C、A、D； ⒉某直梁横截面面积一定，试问下图所示的四种截面形状中，那一种抗弯能力最 强――――――――――――――。 ⑴矩形⑵工字形⑶圆形⑷正方形 ⒊用截面法时――――――――――――――――――――。 ⑴必须保留杆件位于截面左边的部分； ⑵必须保留杆件位于截面右边的部分； ⑶保留杆件位于截面左、右两边哪一部分都可以； ⑷一个题目中要统一保留某一部分。 Ⅲ。简单计算题 单元体各面上的应力如题1-3图所示，试求指定截面上的应力。

题1-3图 二、长度相等的两根受扭元轴,一为空心圆轴，一为实心圆轴, 两者材料相同,受力情况也一样.实心轴直径为d,空心轴外径为D,内径为d0，且8.0 0= D d.试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用应力([]τ = τmax),扭矩T相等时的重量比和刚度比。 题2图 三、图示外伸梁由25a号工字钢制成，其截面的抗弯截面模数3 88 . 401cm w z=，跨度l=6m,全梁受集度为q的均布荷载作用。当支座处截面A,B上及跨中截面C上的最大正应力均为MPa 140 = σ时，试问外伸部分的长度a及荷载集度q各等于多少？