『高中数学』
教学课件‖课时训练‖讲义测试‖
《空间直线、平面的垂直习题课》学习任务单
【学习目标】
本节课的主要内容是对空间直线、平面垂直习题的解答，通过习题的讲解，对空间直线、平面垂直知识进行系统的复习和知识建构，使学生加深对空间直线、平面垂直知识的整体认识，对解决空间中的垂直问题形成策略和方法，掌握解决问题的通性通法，培养学生自身的思考与总结能力。
【课上任务】
1.异面直线所成角、线面所成角、二面角的定义及作法是什么？
2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理是什么？
3.例题中都是如何挖掘到题目中的已知条件的？
4.例题分析过程中是如何结合已知条件进行分析，选择恰当的方法的？
【学习疑问】（可选）
10．哪段文字没看明白？
11．有什么困惑？
12．您想向老师提出什么问题？
【课后作业】
19．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则（）．
（A）α∥β，l∥α
（B）α与β相交，且交线平行于l
（C）α⊥β，l⊥β
（D）α与β相交，且交线垂直于l
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为
BC的中点，D为B1C1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
空中课堂心得体会 由于新冠病毒的肆虐，各级学校不得不延迟开学，但停课不停学，空中课堂很好地解决了学生的学习需求。 自学校下达了空中课堂的通知以来，作为一名二年级的数学教师，我就积极准备，通过线上各种方式备课。提前认真观看分析空中课堂，总结知识要点、学生听课时需要注意的地方。根据课堂内容，设计相应的练习作业。并准备拓展提高的学习资料。按时在班级群中组织学生线上学习。 空中课堂开课以来，除了少数同学因为客观原因没法学习听课，大部分同学都能按时听课学习。二年级数学下册共10单元，目前课 程进度已完成第一单元数据整理、第二单元表内除法（一）。对于优 等生，学习效果比较好。中等偏下学生，知识掌握不牢固，学习效果比较差。作业完成情况，每个班大约有10名同学不完成作业，其他 同学都能准时完成作业，在群中也多次沟通，由于教育局明确规定不得硬性要求，这也没办法。 针对这一情况，我采取了以下措施 1.二年级下册重点知识点是除法，通过第三方APP加强了学生计算能力练习，先让学生把计算掌握牢固，解决问题开学重点讲解。 2.作业形式多样，每天通过闯关竞赛的方式进行计算练习巩固。数学知识与生活息息相关，第一单元为数据的统计分析，结合新冠病毒的现状，通过微信、电话、QQ调查的方式统计口罩类型、消毒方 式等与生活息息相关的具体问题，既巩固应用所学数学知识，锻炼学
生解决问题的能力，而且也培养了学生关心社会的意识。第二单元除法的作业也以生活实际为出发点，通过让学生在家中给家人平均分一分水果，动手摆小棒解决除法，根据算式讲数学故事等方式，提高学生学习积极性，关心生活、关心家人，数学知识不是死学，而是拿来用的。 3.作业的反馈，通过第三方APP上传反馈，在班级群中就重点问题、出错比较多的问题，进行说明讲解。积极回复家长学生qq私信的疑问。 4.由于空中课堂最近一周就两节课，积极寻找网络上相对应的拓展视频，以解决问题为主，满足学生拓展提高的需要。 以上就是我的心得体会，请领导同事批评指正。
3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
如何利用空中课堂进行教学 空中课堂教学图文并茂、声像同步、动静兼具。运用它来教学可以使课堂教学更加生动形象，并能充分调动学生的口、耳、脑、手等多种感官同时参与活动，起到降低学生理解难度的效果，并达到提高课堂教学效率的目的。 １．巧用空中课堂、激发学生的兴趣。 兴趣是最好的老师，空中课堂教学资源让学生接收种全新的方式，它通过情景画面，以情激趣全方位、多角度地激发小学生的好奇心与求知欲，使他们产生学习的愿望。例如：我校老师在教《观潮》这篇课文，作者在课文第四自然段最描写潮的样子及潮的声音尤为精彩，胡老师通过空中课堂中录音，让学生感受潮来时浪涌岸滩，汹涌澎湃的声音。借助录象，让学生感受到潮来时如千万匹战马齐头并进，浩浩荡荡的壮丽之美，通过创设视听情境，调动学生的视听器官，激发学生的学习兴趣和求知欲望，收到事半功倍的效果，这种以声音、图形创设课堂情境、代替枯燥乏叶的口授，大大地激发了学生的学习兴趣。 ２、运用空中课堂资源、增强课堂教学的高效性。 视听并用的记忆效果，远远大于单纯的看和单纯的听，这正是空中课堂资源带来的传统教学无法比拟的独特优势。例如：我校数学科的教学，充分运用了“空中数学课堂教学”，通过教学，我们发现： ①学生学到了许多课本上学不到的数学 ②对于难度较高的内容和在一段时间内需要记忆的内容变得容易理解 和记住了。 ③学生的交际能力有了大幅度提高。 总之空中课堂以其生动性，趣味性、动态效果有效地吸引了学生的注意力，真正做到了寓教于乐。实现了数学教学的高效、快捷、增强了数学教
３、灵活运用空中课堂资源，培养学生的创新能力。 空中课堂教学以一种全方位的方式向小学生展示一个美好的世界。在多种感官的刺激下，能更好地开发学生的创造力，想象力，给学生一个更好的学习空间，在音乐的带领下，在动画生动形象的演示下，在多姿多彩的图片展示下，学生犹如身临其境，其想象力达到空前高涨。例如，在教学口语交际《插上想象的翅膀》时，先让学生说说屏幕上的几幅图，然后出示一幅空白的画面，同时播放一段轻松愉快的音乐，让学生边听边看，边想象。有了前面几幅图作引导，又创设了情境，学生在充分发挥想象的同时，激活了自己的创造性思维。 “空中课堂教学资源为我们送来了教育专家，为我们提供了优质课例，为我们创设了动人的课堂环境，为我们提高了课堂教学效率。”这是发自我们学校教师的心声，我们决心在今后的教育教学中加强运用空中课堂资源，努力提高自己的教学水平，优化课堂教学，全面提高课堂效率。
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
面平行。
符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
1. 已知点,点P是圆(C为圆心）上的任意一 点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E. (1)求点E的轨迹方程; (2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点 O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围. 解:(1)根据题意知,, , 的轨迹是以C、A为焦点的椭圆,其轨迹方程为: (2)设,,则将直线与椭圆的方程联立得:, 消去y,得:, ,, 因为O在以PQ为直径的圆的内部,故,即 而, 由 得:,,且满足①式M的取值范围是
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦 点相同,记为F,设点M是两曲线在第一象限内的公共点,且,则M 点的横坐标是 , ． 答案 解:抛物线的焦点,准线. 设,由, ,计算得出. 椭圆与抛物线的交点M在第一象限内, . .代入椭圆方程可得,又,, 联立计算得出,, 即有. 因此，本题正确答案是:,.;
已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线 与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且。 1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若， 求面积的取值范围。 由抛物线定义，得点到直线的距离为，所以点横坐标为，又点 在抛物线上，所以，。由椭圆定义 得：，所以，。所以，所以椭圆的方程为 。 ......6分 （2）根据题意，直线的斜率，设直线的方程为：，联立 椭圆与直线方程得：，设， ，所以恒成立，...... ①，......②，又因为，所以......③， ...... 8分 联立①②③消，得：，因为，所 以，解得：， ......10分 所以。令 ，则，所以。 ......13分
如图,已知曲线,曲线的左右焦 点是,且就是的焦点,点是与的在第一象限内的公共 点且,过的直线分别与曲线、交于点和 1.求点的坐标及的方程; 2.若与面积分别是、,求的取值范围
高一数学下册知识点：直线和平面的位置关 系 下面是查字典数学网高中频道为大家整理的高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系，希望对广大朋友有所帮助。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任
意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。直线和平
北京市中小学“空中课堂”同步教学小学课程安排 (二) 北京教育科学研究院 基础教育教学研究中心 咨询电话:66074295 2003年5月30日
目录 小学教学内容简介 (2) 一年级教学内容 (2) 二年级教学内容简介 (2) 三年级教学内容简介 (3) 四年级教学内容 (4) 五年级教学内容 (4) 综合性学习教学内容 (5) 中国教育电视台CETV－3北京市“空中课堂”同步教学小学课程表 (6) (一年级6月9日－6月13日) (6) (二年级6月9日－6月13日) (7) (三年级6月9日－6月13日) (8) (四年级6月9日－6月13日) (9) (五年级6月9日－6月13日) (10) (一年级6月16日－6月20日) (11) (二年级6月16日－6月20日) (12) (三年级6月16日－6月20日) (13) (四年级6月16日－6月20日) (14) (五年级6月16日－6月20日) (15) 中国教育电视台CETV－3北京市“空中课堂”同步教学小学课程表 (16) （6月9日——13日） (16) （6月16日——20日） (19) 北京市教委网“课堂在线”日程表 (22) （6月9日—6月13日） (22) （6月16日—6月20日） (23)
小学教学内容简介 （6月9－13日6月16－20日） 一年级教学内容 数学 1． 100以内的数的认识（一） 2．100以内的数的认识（二） 3．100以内的数的加法和减法（一） 4．100以内的数的加法和减法（二） 5．100以内的数的加法和减法（三） 6．元、角、分的认识 7．实践活动 8．确定位置 语文 1．学字10－12 2．识字（二）6－8 3．词句13－16 4．识字（二）9－10 5．16．司马光 6．（实验）21．小山村24．我们的田野 7．17．锄禾 8．（实验）22．神奇的白塔23．北京的夜景石景山 英语 1.Shapes(一) 2.Shapes(二) 3.Food and Drink(一) 4.Food and Drink(2) 二年级教学内容简介 数学 1.混合运算（一） 2.混合运算（二） 3.两步应用问题（一） 4.两步应用问题（二） 5.应用题综合练习 6.空间与图形 7.万以内数的读、写法 语文 1.学字9－12
高一数学知识点直线和平面的位置关系 查字典数学网为同学总结归纳高一数学知识点直线和平面的位置关系。希望对高三考生在备考中有所帮助，欢迎大家阅读作为参考。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 以上就是高一数学知识点直线和平面的位置关系，希望能帮助到大家。
必修4第二章《平面向量》 一、选择题 1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(21 12e e - D ．)35(2 1 12e e - 2．化简)]24()82(2 1 [31--+的结果是 （ ） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．- 3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB = ②||||= ③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2 其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+ B ．=- C ．=- D ．=- 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )4 3 ,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ） A ．)5,1312( B ．)135 ,1312(-- C ．)135,1312(或)13 5,1312(-- D ．)13 5,1312(±±
微课堂注意事项及技巧 情动于内、声发于外：情是内涵、声是形式，声是为传情而发的，请是内在的一、微课堂必须学会驾驭自己的声音。掌握正确的发声方法、掌握理论知识、要有练功的毅力。 一、微课堂需要什么样的声音。 微课堂内容是通过微课堂声音送达到听众耳中，要听众感到真实可信，微课堂用声，必须朴实自然。为了满足传情达意的需要，微课堂的声音必须副有活力、色彩鲜明、变化自如。播音大忌：发出无意之声、无情之声、僵带不变之声。播音发声的美是有助于传情达意的美，但我们决不能离开传情达意的要求去追求某中固定的美声。 对微课堂要求：准确规范、清晰流畅、圆润集中、朴实明朗、刚柔并济、虚实结合、色彩丰富、变化自如： 1．准确规范、清晰流畅：不能垒块、蹦字，多读文学作品、散文让声音自然。 2．圆润集中、朴实明朗：对声音色彩基本要求，微课堂声音要润泽不干涩，吐字要玉润珠圆、声音不散、字音不瘪。 3．刚柔并济、虚实结合：发音吐字要有韧性、弹性能刚能柔、有虚有实。由于性格、性别不同，男生偏刚健、女生偏柔美 4．色彩丰富、变化自如：人的感情不断变化，声音色彩是在对比变化中体现出来声音色彩表现越丰富、细致，就越有表现力 二、微课堂的用气发声： （一）发音器官的构造及发声原理： 1．构造：呼吸器官、喉头和声带、口腔和鼻腔、咬字器官（人体发音器官主要有哪些？）呼吸器官：从人言语功能角度看，呼吸通道、胸腔、腹肌 呼吸控制：我们所呼出的气息是人体发生的动力，人声音的强弱高低长短以及共鸣状况都与呼出气流的速度、流量压力的大小有直接关系。 气息是情动与内，声发与外的过度阶段，气息也是情与声之间必经的桥梁，只有在气随情动的情况下，声才能随情感而发生变化，从某种意义上说气息控制就是由情及声，由内及外的一种贯穿性技术 2、呼吸原理：主要是靠胸腔的扩大和缩小吸气肌肉群在收缩时胸腔扩大，内部气压小于提外气压 生活状态下的呼吸：人在安静时的呼吸多数是腹式呼吸，这时人的胸廊无明显的活动，主要靠隔膜肌。胸式呼吸方法叫浅呼吸（所有艺术语言呼吸忌），腹式呼吸方法叫深呼吸 （二）播音发声的呼吸方式： 有控制的胸腹式联合呼吸方法调动了所有呼吸肌肉一起运动，不仅扩大了胸腔容量而且便于控制，吸气量大，建立在胸腔腹腔隔膜基础上，易产生坚实响亮的声音，是多种音色变化的基础。 三、注意事项： 1.坐姿端正，呼吸均匀。 2.手机距离嘴巴两个拳，配音音响设备根据场景需要进行调节大小和手机间的距离。 3.发声大小看根据试音大小后效果确定。 4.录音时间最好控制在55秒钟为最佳 5.录音时一定要注意环境音的干扰，尽量不在有杂音地方讲课，否则录音会有杂音。（手机调为 静音）
高一数学知识点：直线和平面的位置关系 精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学知识点：直线和平面的位置关系，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB ，a ；坐标表示法 ),(y x j y i x a =+= 。 向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小， 但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意 的，规定0平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量， 记作a ∥b ⑤相等向量记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2121 y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+= 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同
一个图中画出a b a b +-、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则 c a =； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律
空中课堂总结 2020年的春节，本该是举国欢腾，合家欢喜的日子。确不曾料想，一场突如其来的新型肺炎疫情导致全国“封城”、“封村”。随着 开工复学日期的逐渐临近，我们XX市即刻采取了“停课不停学”空中课堂的措施，并选用全市优秀教师给学生授课，使得全市中小学生足不出户就能在家听课，在家做作业。 空中课堂的实施，能让全市千千万万名学生同时听优秀的老师讲课，接受优质的教学资源，不仅方便了孩子的学习，同时也减轻了家长的负担，让人不得不感叹当今时代网络的强大。上网课时，老师以露脸的形式来给学生上课，学生第一次以这种形式听课感觉新鲜，老师讲得十分生动，也十分易懂，使空中课堂学习变得更加有趣。 经过这一段时间的观看与学习，空中课堂的实施可谓是成功的，但同时也不够完善，还存在着一些问题。首先第一个显而易见的问题就是师生互动，生生互动基本为零。由于是录播课，所以老师和学生不能做到实时互动。那在听课期间，怎么保证孩子的注意力集中，怎么检测孩子有没有在认真听课，尤其是习惯还未养成的一年级小学生，这些我们都不得而知。其次，网上授课的老师不能做到因人而异，因材施教。全市千万名学生听一名老师讲课，在这么多学生当中，每个人的基础不一样，学习接受能力不等，理解能力不同等，这些因素都会导致孩子最终的学习效果。 再者，作为老师，关于布置家庭作业的情况也是一个难题。由于
是线上作业，需要用手机才能完成。而随着家长的陆续复工，有时孩子根本没办法完成作业。还有老师只能看到作业的结果，却检测不到孩子的做作业过程。作业是不是自己完成的，家长有没有帮忙做。对于这些情况老师都不得而知，故而无法真正了解学生知识掌握情况。 虽然有着或多或少的问题和阻碍，但学生和家长也在不断的努力去适应新的教学方式，在这个特殊时期，空中课堂是一个学生们最容易接受的网课，学习休闲两不误的网课，还是一个更加生动全面的网课，更是一次广区域的，大范围的，史无前例的网课，而它无疑是非常成功的，存在些许小问题无可厚非。在这里仅谈一些自己的小建议，为了检查孩子是否在认真听课，我们是不是可以在课堂中弹出几个小问题来考考学生，如果答案正确，就继续往下进行，如果答案错误，那只得再重新观看前面的内容。这样就相当于平时上课时老师的随机提问，更能有效帮助孩子集中注意力。 感谢空中课堂，在非常时期仍然可以不耽误孩子的学业；感谢空中课堂，让老师们学习到先进有效的教学资源。盼望着，疫情退散，春暖花开。盼望着，孩子归校，朗朗书声，欢声笑语，彩绳飞扬……
北京市教育委员会关于做好“空中课堂”同 步教学工作的通知 发文单位：北京市教育委员会 发布日期：2003-5-20 执行日期：2003-5-20 生效日期：1900-1-1 根据市教委《关于中小学陆续复课工作的通知》（京教基[2003]12号）精神，在全市已开通“空中课堂”基础上，从复课之日起将继续依托“空中课堂”对城近郊区及通州区中小学生、职业学校学生进行同步教学。为做好此项工作，就有关事项通知如下： 一、提高对“空中课堂”同步教学（以下简称“同步教学”）工作重要性的认识“同步教学”是依据中小学教学大纲，以电视为主，通过多媒体教学手段，有针对性地分学段对中小学生进行的现代远程教学。是非常时期维护国民教育体系，稳定教学秩序，保障中小学生正常学习，满足人民群众教育需求的重要举措。做好这项工作对于打好五月防控非典攻坚战，顺利完成今年中小学教学任务，加速首都教育信息化建设具有重要的意义和作用。各区县要充分认识“同步教学”工作的重要性，按照全市总体安排，从各区实际出发，采取切实有效的措施，组织好“同步教学”工作。 二、明确责任，保障“同步教学”落实到每一所学校，每一
位教师和学生。 市教委将组织有关处室、教研部门、教育网络与信息部门以及师资培训部门制定教学计划，安排授课教师、教学节目录播、教学情况检查交流等项工作。从5月26日起正式启动“同步教学”。 各区县教委要制定本区县“同步教学”工作的实施意见（4月26日前报市教委基础教育处），协调教研、信息技术等部门整合各种教学资源，明确职责分工，共同落实“同步教学”工作。要指导中小学校适应新的教学模式，改革学校管理方式，根据“同步教学”要求做好收看、监控、考核等方面工作。中小学班主任和任课教师要担负起学生管理、辅导、答疑、作业批改等责任，特别要对抗击非典一线医务人员子女、弱势群体、学习困难学生及流动人员子女提供帮助，做到两个“确保”，即确保100%的学生接受到“同步教学”，确保教师对学生学习质量的监控工作落实。 各区县和学校已经通过多种媒体开展教学活动的可继续进行。要加强管理和指导，保证教学质量。 三、“同步教学”活动安排“同步教学”是较为系统，有组织、
空中课堂教学经验分享 五年级组：李季宁 空中课堂开展已经近两个月了，我节节不落的坚持听课，一则是学习优秀老师的教学方法，二则是能有的放矢的给学生进行课后辅导。在听课过程中，我感觉每一堂课都非常精彩，知识点讲解细致透彻，每一堂课都是很吸引人的“金”课。然而，前期在对学生学习情况的了解中，情况并不如我想，课后答疑互动学生参与率很低，每天提交的作业质量可谓是差别很大，很大一部分学生都是在老师多次“威逼利诱”下才提交作业，甚至用之前的作业提交冒名顶替的也有，让我哭笑不得。这种现象的出现让我进行了大量班级调查与深刻的反思。 为什么会在这么精彩的网络视频教学中，实际效果却差强人意呢 1.学生的注意力得不到保障，视频教学与实体化的课堂教学最大的差别是减少了老师和同学对学生的无形的约束和提醒。在课堂教学中老师除了完成教学任务的同时，另一个重要的任务就是关注学生，形象的说就是时刻准备着将“灵魂出窍”的学生拉回课堂。然而，在视频教学中，老师很难做到这一点。将这一重担压在了家长的身上和学生的自制力上，如果家长责任心强，学生有自制力，效果会好点，反之，听课就成了走形式。 2.缺少了个体的差异认识和有针对性的辅导 回想我们实体化的课堂教学中，除了保证常规的课堂教学效率同时，课后辅导是必不可少的环节，也就是课堂教学让正常水平下应该能够达到这个目标的学生达到要求标准，课后老师在反反复复采用学生之间的帮扶指导，或者老师豆腐三碗三碗豆腐的亲自点对点的指导，让这部分学生努力达到相应的标准。然而我之前就缺少对这方面的认识。 针对于上面我的调查与反思，随后我采用了下面的调整策略， 一、多种方法提高学生的注意力 1.采用常见视频的前嵌问题形式，提高观看效率 所谓前嵌问题就是在视频中插入弹屏窗口，事先设计好问题，当视频播到相应的位置，自动弹出设计好的问题，视听者回答完问题后在继续播放。（具体的操作方法很多，我选用的是“保利威视”，操作步骤大家可以自己上网搜索）这样通过对教学视频的交互形式,嵌入问题对学生进行有针对性的干涉。实际操作结果显
课题：直线与平面平行、平面与平面平行的判定 设计者：蒋建国 第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2．过程与方法 学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 3．情感、态度与价值观 （1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. （二）教学重点、难点 重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. （三）教学方法 借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔. 教学过 程 教学内容师生互动设计意图 新课导入 1．直线和平面平行的重要性 2．问题（1）怎样判定直线与平面平 行呢？ （2）如图，直线a与平面 平行吗？ 教师讲述直线和平 面的重要性并提出问题： 怎样判定直线与平面平 行？ 生：直线和平面没有 公共点. 师：如图，直线和平 面平行吗？ 生：不好判定. 师：直线与平面平 行，可以直接用定义来检 验，但“没有公共点”不 好验证所以我们来寻找 比较实用又便于验证的 判定定理. 复习巩固点 出主题 探索新知 一．直线和平面平行的判定 1．问题2：如图，将一本书平放在 桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所 在直线与桌面 所在平面具有 什么样的位置 教师做实验，学生观 察并思考问题. 生：平行 师：问题2与问题1 有什么区别？ 生：问题2增加了条 通过实验， 加深理解. 通过讨论， 培养学生分 析问题的能 力.
空中课堂学习心得体会 汤阴第三实验小学焦音2016年7月，我参加了暑期空中课堂远程培训，从中获益匪浅。空中课堂共四课：《与专业技术人员谈谈哲学思维》、《“十三五”时期安阳发展战略重点分析》、《道德建设2》、《我国周边安全形势与国防战略》。时代的发展为传统意义上的师生关系注入了新的内涵：民主平等、互相尊重、互相学习、共同提高。听了四位老师的课，使我教学过程，实际上是学生在教师指导下的认识过程。学生是认识的主体，知识的掌握和能力的培养只能在主体自己相应的积极自觉活动中才能形成。在教学上我不仅是教师，而且是魔术师，运用直观的现代的教学手段，使语言教学从单调的文字描述中解放出来，在学生面前展现的是文字、语音、形象、色彩这一新奇的美，这种美感会吸引学生注意力，从而激发浓厚的学习兴趣。－－“激发学生的学习兴趣”是新大纲中新列入的教学目的。同时，我也应该是导演，导演出一幕幕场景；是画家，用斑谰的色彩展开生动的画面；是导游，引导学生在语言的海洋中漫游……这种全方位展示着的语文教师气质的美，就是一个强有力的磁场，吸引着学生，给他们一个愉悦的环境，使他们对课堂产生审美情感，使他们获得美的陶冶，从而使整个教学过程处在美的环境中，产生良性循环，增加学生学习的活力。
深入研究教育教学理论，使教学更加符合学生的年龄特征和身心特点。 各个学习阶段的学生都有其特定的年龄特征和身心特点，需要教师真正做到“设身处地”，站在不同的角度缜密地构思每一个教学环节，这样才能更好地交流互动，完成教学任务。 建立新型的师生关系，强化教学主体意识。 教师应该是“首席”，与学生共同奏出优美的旋律；教师应该是“配角”，把学生衬托得光彩照人；教师应该是“热线”，让学生永远感觉到鲜活与新颖；教师应该是“110”，在学生最需要关爱和帮助的时候，及时守候在学生身边；教师应该是“导游”，引导学生探幽发微，欣赏险峰的无限风光；教师应该是“场上队长”，身先士卒，与队友共同拼搏，在比赛结束后，把队友——我们的学生，高高地抛向空中…… 面对着一个个充满灵性的教育对象，我时刻提醒自己：“我是谁?为了谁?是否把学生的收获、学生的发展放在首要的位置?是否做到了…一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切”。特别我刚到这个学校，对这里的学生学习情况很不了解，对他们的学习习惯，我也不认同，但是我爱他们-----平等协商，倾心交流，使得我们师生关系和谐融洽。
高一数学必修二平面知识点详解 一、高一数学平面概念 通常用一个平行四边形来表示。 平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC. 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母， a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内; b)lα—直线l在平面α内; c)aα—直线a不在平面α内; d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点; e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点; f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 二、高一数学平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)柱体、锥体、台体的体积公式 球体的表面积和体积公式：V=;S= 1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限 延展的2三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内. (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符 号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. .2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下 三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表 示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平 行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断 空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补. 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角θ∈(0，);
观看空中课堂的体会 羊坊小学郭荣 对奖赏不敢兴趣。教师对学生评价，不要过于超负，比如：无论搞什么活动和课上奖励什么小红旗，小红花，五角星等，学生的面积大了，甚至每一名学生所得太多了，学生就有反感，就认为得与不得都一样，起步到促进作用，反而适得其反，还有骄傲自满，听不得批评。在现实社会生活中，每一个人都渴望被人赏识。新课堂提倡课堂功能评价的独立性和发展性，可以说既满足了学生渴盼表现的心理需要，对树立学生的自信心，保持对学生心理发展还不成熟，自我意识正处在形成中，他们对自我的评价在很大的程度上仍处于依赖“外部权威人物评价”阶段。为此，过多过滥的表扬时期看不到自身的不足，反而一再认为自己就是最好的，最优秀的，从而滋生骄傲，自满情趣。这类学生的突出表现之一就在于听不得任何人的批评，一旦受批，则极易产生对抗情绪，消极心理，心理上难以承受“天堂到地狱”之别。这一代孩子大多是独生子女，父母的高度期望带来的高度满足使大多数学生不知“苦为何物”，并且，自小养成的“外部归因”而看不到自身的丁点错误，加之进校后教师先甜后苦的评价策略使其“妄自尊大”的心理更进一步，殊不知，温室里的花朵更需要的是自然烈日、暴雨、狂风的洗礼，方能顽强的成长。而着一些孩子一旦受到老师、家长的批评，或经常受不如意的事实，心里无法承受这些“巨爱”，从而产生焦虑、自卑、自异等不良心理。
痛苦得不到及时调解，极易产生不良后果。 现代社会激烈的竞争呼唤良好的心理素质的人才，而生活在“甜言蜜语”“暖风轻拂”中。环境下的孩子们未来能面对这样的社会竞争吗？是否要等到他们在社会里栽了跟头才能体验到 学校与社会的区别呢？是的，挫折教育对于增强学生的心理承受力，修正自是过高的不良品质有极大的益处，在日常学习生活中，可以创造一定的机会让孩子们承受适当的挫折感作为教师或家长，主要是在语言上加强做到，帮助他们树立正确的认识。同时，挫折教育也是要让每位学生明白，在人生中取值和生活道路上，没有一天道路是铺满鲜花，洒满阳光的比值大道，更有可能布满了荆棘但只要我们有信心，采用恰当的方法，定能开辟出属于自己的阳光大道。 通过这次学习我大有收获。当一名21世纪的新型教师要不断学习，要使用好《新课程标准》，更多的指示要需要我在工作中不断实践，不断探索。教好自己的课，在各学科中应用所学。创新教学方式将进入每个课堂，世纪新人也将随之脱颖而出。
例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =α ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．
例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '， b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βα ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的． 典型例题五 例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：