第十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
一、对弧长的曲线积分 例1．计算
?
+L
y x ds e
2
2, 其中L 为圆周)0(2
22>=+a a y x , 直线
x y =及x 轴在第一象限内所围
成的扇形的整个边界。(07)
解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA 、弧AB 、线段OB 。 线段OA ：y = 0，0 ≤ x ≤ a ，112
='+x y ，10
2
2-==??+a
a
x OA
y x e dx e ds e
；
弧AB ：x =a cos t ，y =a sin t ，4
0π
≤
≤t ，a y x t t ='+'22，
4
40
2
2ππ
a
a AB
y x ae adt e ds e
==???
+；
线段OB ：y=x ，2
0a x ≤≤，212
='+x y ，122022
2-==
??
+a a
x
OB
y x e dx e
ds e
。
所以，?+L
y x ds e
2
2=2)4
2(-+
π
a e a 。 例2．ds y L
?
2，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -= （π≤≤t 0）(05)
解:
)cos 1(t a dt dx -=, t a dt
dy sin = 原式=?
+-?-π
2
2
2
2
2
2
sin )cos 1()cos 1(dt t a t a t a =?+-?-π
2
3
1cos 21)
cos 1(dt t t a
=dt t a
?-π
2
5
3
)cos 1(2=
15
1283
a 例3．计算?Γ
yzds x 2，其中Γ 为折线ABCD ，这里A , B , C , D 四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2),
(1,3,2)；
解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB 、线段BC 、线段CD 。
线段AB ：x = 0，y = 0，0 ≤ z ≤ 2，112
2='+'+z z y x ，02=?AB
yzds x ；
线段BC ：y = 0，z = 2，0 ≤ x ≤ 1，1122='+'+x x z y ,
02=?BC
yzds x ；
线段CD ：x = 1，z = 2，0 ≤ y ≤ 2，1122='+'+y y z x , ??==2
0292ydy yzds x BC
；
所以，?Γ
yzds x 2= 9。
二、对坐标的曲线积分 曲面积分时候加根号倒
例1．?L
xydx ，其中L 为圆周 (x – a )2 + y 2 = a 2 (a >0)，及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
解：将圆周ABO ：(x – a )2 + y 2 = a 2用参数方程表示：
?
?
?=+=t a y t
a a x sin cos （t 从0变到π）； x 轴上的一线段OA 为：y =0，（ x 从0变到2a ）；
则：?L
xydx 0=+=?
?ABO
OA
xydx xydx +?-+π
)sin (sin )cos (dt t a t a t a a ?+-=π
23sin )cos 1(tdt t a
O
B
A x
2a a
y x
o
A
B
x
o y a a ??--=π
π0
230
23sin cos sin tdt t a tdt a 02
3--
=a π
32
a π
-
=。
例2．?
+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2)()(，其中L 为圆周x 2 + y 2 = a 2 (按逆时针方向饶行)；
解：积分曲线L 的参数方程为：?
?
?==t a y t
a x sin cos （t 从0变到2π）；则
?+--+L
y
x dy
y x dx y x 2
2)()(dt t a t a t a t a t a t a a
)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120
2
---+=
?π
ππ
220
-=-=?
dt
例3．
?+-Γydz dy dx ,其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里A , B , C 三点的坐标依次为点(1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1)；
解：由A , B , C 三点的坐标可得有向线段AB , BC , CA 的参数方程及参数t 的变化范围为: ?????==-=01z t
y t x t 由0变到1；?????=-==t z t y x 10 t 由0变到1；???
??-===t
z y t x 10 t 由0变到1； 则，
?+-AB
ydz dy dx =?
?+--1
0dt t dt dt = –2；
?+-BC
ydz dy dx =?
-+--?1
)1()(0dt t dt dt =
?
-
=-1
2
12)2(dt t ； ?
+-CA
ydz dy dx =1)(001
=-?+?-?
dt dt dt ； 所以，
?+-Γ
ydz dy dx =
2
1。 三、两类曲线积分之间的联系
例. 将对坐标的曲线积分?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:沿上半圆周x 2 + y 2 = 2x 从
点(0, 0)到点(1, 1)。
解：由于L 的方程为?????-==22x
x y x
x , x 从0变到1, 则∴--=},21,1{2
x x x T 22cos x x -=α, )1(cos x -=β, 故?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=
?-+-L
ds y x Q x y x P x x )),()1(),(2(
2。
四、格林公式
例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos 3 t ，y = a sin 3 t 所围成的图形的面积。 解：画积分曲线如图，则所求面积为
A =?
-L ydx xdy 21
?
-??-??=π
202323)]sin (cos 3sin cos sin 3cos [2
1dt t t a t a t t a t a
=?
π20
222cos sin 23tdt t a =
832
a π。 例2. 设平面曲线12:2
2=+y x C 取正向，则曲线积分
=+-?
C
y x ydx
xdy 2
2 。（06）
解：2222
, y x
P Q x y x y
-==++ 22222
22 (0)()y x y x P Q x y x y -==+≠+ 。
取1C ：cos , sin , : 02x y θθθπ==→，则
22C
xdy ydx x y -+?
＝11222222()C C C xdy ydx xdy ydx
xdy ydx
x y x y x y ----++++???
＝1
22C xdy ydx
x y
-+?
＝22
2220cos sin 2cos sin d πθθθπθθ+=+? 。 例2﹡. 设平面曲线2)1(:2
2=+-y x C 取逆时针方向，则曲线积分
=+-?C y x ydx
xdy )(222
解 )(222y x y P +=, )
(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2
≠0时
y P x Q ??-??0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周 l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π), 在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得
0)(=??-??=+???-
+d x d y y
P
x Q Q d y P d x
D l L ε
, 即 ???+=+-=+-
l
L l
dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .
因此 ??+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222?--=πθεθεθε202
22222cos sin d ?-=-=ππθ2021d
例3. 证明：
?=+L
y xdy dx e π22
，其中L 是x y x 842
2=+正向一周。(07) 解：因曲线为封闭曲线，P ,Q 满足Green 公式条件，从而直接应用Green 公式有：
原式＝????-=??-??D D y dxdy ye dxdy y P x Q )21()(2＝????-D D
y dxdy ye dxdy 2
2＝021-??π＝π2 例4.设L 为圆周9)4()1(2
2
=-+-y x ，取顺时针方向，则?
=-+-L
dy y x dx x y )3()2(（ B ）（05）
(A) π18；(B) π18-；(C) π36；(D) π36- 例5. 计算曲线积分
()()
?-+-L
x x
dy y e dx y y e
8cos 8sin ，其中L 是由点A （a ，0）到点O （0，0）的上半圆周 )0,0(2
2
>≥=+a y ax
y x （02）
解：这里()()8cos ,
8sin -=-=y e x Q y y e x P x x
，得到8=??-??y
P x
Q ，由格林公式
????
?
-???? ????-??=-
=
+OA D OA
OA
L dxdy y P x Q I 2
08a dxdy D
π=-=?? 例6. 计算曲线积分
?
++++c
dy y x x dx x y )2()21(22，其中C 是由x y x 222=+的上半圆周由点A
（2，0）到点B （0，0）的弧段。（06）
解：加补直线段BA ，则AB 与BA 构成封闭曲线的正向，记其所围成区域为D 。显然， , Q P
x y
????
在D 内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：
22(12)(2)[(22)(21)]2
D
D
AB BA
y x dx x x y dy x x dxdy dxdy π
+++++=+-+==
?????
在BA 上，0 , 0y dy ==，因此 22(12)(2)0BA
y x dx x x y dy ++++=?
故
22(12)(2)02
2
AB
y x dx x x y dy π
π
++++=
-=
?
五、曲线积分与路径无关的等价条件 例1. 计算曲线积分
()
?+--L
dy y x dx y x 22sin )(，其中L 是在圆周2
2x x y -=上由点O （0，0）到点A （1，1）的一段弧 解：这里()())sin (,
22
y x x Q y x x P +-=-=，得到y
P x
Q ??=?? ，故积分与路径无关
()
?
+--L
dy y x dx y x 22sin )(=6
7
42sin )sin 1(1
210
2-=
+-+??dy y dx x 例 2. 验证
2232(38)(812)y
x y xy dx x x y ye dy ++++在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分，并求出这样一个),(y x u 。（04）
解: 这里2
2
83xy y x P += ，y
ye y x x Q 1282
3
++=则
xy x y P 1632+=??=x
Q
?? 因为
x
Q
y P ??=??,所以Qdy Pdx +在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分. 且),(y x u ?
+=
)
,()
0,0(y x Qdy Pdx ?
?+++=
x y
y dy ye y x x dx 0
23)128(0
y
y y
e ye
y x y x 0
223]12124[-++=1212124223+-++=y y e ye y x y x 例3. 验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值
dy xy x dx y xy )4()32(32)
1,2()
0,1(4-++-?
（03）
解： P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x x
Q y P -=??=??,
所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则
?-++-)
1 ,2()
0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ??=++-=10
2
1
35)1(2)41(dx x dy y .
例 4. 证明曲线积分?
--+
---
)
,()1,1(1
cos )1cos (sin ππππdy x
x dx x
y
x
x x 与路径无
关，并计算积分值（05）
解：因为
x
x x x y
P
x Q 1
cos sin ---
=??=??π，所以积分与路径无关。取路径x y =，
得积分=?
+=π
1
1cos 1sin xdx
例5.已知(
)(
)
dy y x x by dx x y axy 2
22
33sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 ( C ). （02）
(A) –2和2
(B) –3和3 (C)2和–2 (D) 3和–3
例6．设),(y x F 可微，如果?
+L
ydy xdx y x F ))(,(与路径无关，则),(y x F 应满足的条件为（D ）
；（04） (A)
),(),(y x xF y x yF x y =；(B))
,(),(y x F y x F y x =；(C)
),(),(y x yF y x xF yy xx =；
(D)),(),(y x yF y x xF x y =
曲面积分
一、对面积的曲面积分 加根号
例1. 若∑为2
2
2
2
R z y x =++的外侧，且γβαcos ,cos ,cos 是其外法线向量的方向余弦，则
=
++++??
∑
dS z y x z y x 2
22cos cos cos γ
βα。(07)
解：R R R
dV R zdxdy ydzdx xdydz R dS z y x z y x V
ππγβα4343131
1
cos cos cos 3
2
2
2
222=??=
=
++=
++++???????
∑
∑
例2. 设曲面∑是上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥0)，曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分，则有( C )。 A ．
????∑∑
=1
4xdS xdS ； B ．????
∑∑
=1
4
xdS ydS ； C ．????∑∑
=1
4xdS zdS ； D ．??
??∑∑
=1
4xyzdS xyzdS 。
解：函数x , y , xyz 在上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2
(z ≥0)上分别关于0=x 或0=y 具有“奇函数”性质，而上半球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥0)关于0=x 或0=y 对称，故
0=??∑
xdS 、0=??
∑
ydS 、
0=??∑
xyzdS ，而01
≠??∑xdS 、01
≠??
∑ydS 、
01
≠??
∑xyzdS 。
另一方面，由对称性，
??
??????∑∑∑∑
===1
1
1
444ydS xdS zdS zdS ，故答案C 的正确性。
例3. 计算曲面积分
??∑
+
+,)342(dS y x z 其中:∑为平面14
32=++z
y x 在第一卦限中的部分。（06） 解：∑：4
423
z x y =--
，显然 432 , . :03,0232xy z z D y x x x y ??=-=-≤≤-≤≤??。 2222461
1()()1(2)()33
z z
dS dxdy dxdy dxdy x y
??=++=
+-+-
=??
44461461(2)[(42)(2)]33333xy
xy
D D I z x y dS x y x y dxdy dxdy ∑
=++
=--++=??????＝461 例4．
??∑
++dS zx yz xy )(, 其中曲面∑为锥面22y x z +=
被柱面x 2 + y 2 = 2ax 所截得的有限部分。
解法一：曲面∑：22y x z +=在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ 2ax ，22)()(1y x z z ++=2，
??∑
++dS zx yz xy )(=??
??++++D
d y x x y x y xy σ2)(2222
=?
???+?+?-
θ
π
πθθθθθ
cos 20
22
)cos sin sin cos (2a rdr r r r r r r d
=?-
++22
4)cos 2(4
1
)cos sin sin (cos 2
π
π
θθθθθθd a
=?-
++22
5454)cos cos sin sin (cos 2
4π
π
θθθθθθd a =15
162
44a =4
15264a 。 解法二：曲面∑：22y x z +=在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ 2ax ，22)()(1y x z z ++=2，
??∑
++dS zx yz xy )(=??
??++++D
d y x x y x y xy σ2)(2222（D 关于0=y 对称）
=?
?????=+=
-θ
π
πθθσcos 20
2
2
2
2)cos (22a D
rdr r r d d y
x x
=?-2254
)(cos 24π
πθθd a
=15
162
44a =4
15264a 。 例5．
??∑
++dS z y x )(，其中曲面∑为球面x 2
+ y 2
+ z 2
= a 2
上z ≥ h (0< h < a )的部分。
解：曲面∑的方程为z =22y x a --，其在xoy 坐标面上的投影区域D 为：x 2 + y 2 ≤ a 2 – h 2，
22)()(1y x z z ++=
2
2y x a a --
，
??
∑
++dS z y x )(=
??
--
--++D
d y x a a y x a y x σ2
2
22)
(
=
??
--+D
d y x a y x a σ2
22)
(+
??
D
ad σ
由积分区域和被积函数的对称性得??
--+D
d y x a y x a σ2
22)(=0，且
??
D
ad σ= a π(a 2 – h 2)，
所以
??
∑
++dS z y x )(= a π(a 2 – h 2)。
二、对坐标的曲面积分 坐标 不加根号 例1．计算曲面积分
??
∑
++ydzdx xdydz zdxdy , 其中∑是柱面12
2=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得
的在第一卦限内的部分的前侧。(07)
解：由于曲面∑在xoy 坐标面上的投影区域D xy 为0，所以
??∑
=0zdxdy ；
曲面∑在yoz 坐标面上的投影区域D yz 为0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3, ??∑
xdydz =
??
-yz
D dydz y 21=?
?-1
23
1dy y dz
=4
3π
?
; 同理，曲面∑在xoz 坐标面上的投影区域D xz 为0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3,
??
∑
ydxdz =
??
-xz
D dxdz x 21=?
?-10
23
1dx x dz
=4
3π
?
;
故，
??
∑
++ydzdx xdydz zdxdy =2·4
3π
?
=
2
3π。 例2. 计算曲面积分
??
∑
zdxdy y x 22, 其中∑是球面2
222R z y x =++的下半部分的下侧。
解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是
zdxdy y x 22∑
??dxdy y x R y x xy
D )(22222----=?????-??=πθθθ20
22220
2sin cos rdr
r R r r d R
??-=πθθ20052222s i n 41R dr r r R d 7105
2R π=.
三*、两类曲面积分之间的联系 例：计算
[][][]??∑
+++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ),,(),,(2),,(，其中),,(z y x f 为连续
函数，∑是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧.
解：曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1},
∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为 )31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα,
由两类曲面积分之间的联系可得
d x d y z z y x f d z d x y z y x f d y d z x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([++
+++∑
?? dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑
??
dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(?++-?++?+=∑??
2131)(31===+-=??????∑
∑d x d y dS dS z y x xy
D
.
四、高斯公式 例 1. 计算
??∑
-+dxdy z yzdzdx xzdydz 223，其中∑为由22y x z +=与2
22y x z --=所围立体的表面外侧.（04）
解： 求交线的投影???==+0
1
22z y x 由高斯公式
原式=???Ω
zdv 3 =???
-πθ20
1
22
3r r
zdz rdr d =π2
3
例2.
??∑
-+++dzdx z y x dydz xz dxdy z y
xy )()2(3222
其中，:∑为上半球面222y x a z --=的上
侧。(05)
解: 0:=∑'z ，由高斯公式:
?????Ω
∑'
+∑++=dv z y x )(2
2
2
=dr r r d d a
????0
222
20
sin ??θπ
π
=dr r d a
?
?0
4
2
sin 2??ππ
=5
552512a a ππ=?
又0=??∑'
，原积分555252a a ππ=-=??∑'
例3. 求曲面积分??∑
++ydzdx xdydz zdxdy 其中，:∑为上半球面2
22y x R z --=的上侧。（03）
解 设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得
dv z R
y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1
??+??+??=++Ω
∑+∑?????
332)32(33R R dv ππ===Ω
???,
而
0001
1
====++??????∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xy
D ,
所以
33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑
??
五*、斯托克斯公式 计算
?
Γ
+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ 是圆周x 2 + y 2 = 2z , z = 2, 若从z 轴正向看去, 这圆周是逆时针方向。
解：这里P = 3y , Q = –xz , R = yz 2, 取平面z = 2上由闭曲线Γ所围的曲面为∑, 并取上侧, {}01,0=n
，所以1cos ,0cos ,0cos ===γβα
则由Stokes 公式得 ?Γ+-dz yz xzdy ydx 23=dS yz xz y
z y x ??∑
-??
????
2
3cos cos cos γβα ==-=--????∑
∑
dS dS z 5)3( –5·4π = –20π
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学教案
第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。 当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。 （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。
高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分） 一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理. 答：（1）向量组 称为线性相关，如果有数域 中不全为零的数 ，使 . 注对如下定义也视为正确：如果向量组 （ ）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的. （2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身 是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 注对如下定义也视为正确：向量组 的一个部分组 称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ） 线性无关；（ⅱ） 可由 线性表出.
（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 注用公式写出按行（或列）展开定理亦可. 二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1． ． （×） 2．若向量组 （ ）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部 （ ）级排列中，奇排列的个数为 ．（√）4．若排列 为奇排列，则排列 为偶排 列．（×）5．若矩阵 的秩是 ，则 的所有高于 级的子式（如果有的话）全为零．（√）
6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比 例．（×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无 解．（×） 8．对 个未知量 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无 解．（×） 9．等价向量组的秩相 等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的 解．（√） 三、（共18分）计算行列式 （1） 解原式 ． 注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）