初二数学经典难题
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10 分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证△：PBC是正三角形．（初二）2．（10 分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN
于E、F．
求证：∠DEN=∠F．
3．（10分）如图，分别△以△ABC的边AC、BC为一边，△在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P 到AB的距离是AB的一半．
4．（10 分）设P 是平行四边形ABCD内部的一点，且
∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．
5．（10 分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．
7．（10 分）（2009郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使△得△OBQ△与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
8．（10 分）（2008?海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x△，PBE的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
9．（10 分）（2010 河南）如图，直线 y=k x+b 与反比例函数
（1）求 k 、k 的值．
（x ＞0）的图象交于 A （1，6），B （a ，3）两点．
（2）直接写出
时 x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥OD 于点 E ，CE 和反比例 函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．
1 1
2
交于A，B两点，且点A的横坐标为4．10．（10 分）（2007福州）如图，已知直线y=x与双曲线
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，△求AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线
于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
初二数学经典难题
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10 分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证△：△PBC是正三角形．（初二）
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
专题：证明题。
分析：在正方形内△做△DGC△与△ADP全等，根据全等三角形的性质求△出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．
解答：证明：
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内△做△DGC△与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，
∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，
∴△PBC是正三角形．
点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．
2．（10 分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．
求证：∠DEN=∠F．
考点：三角形中位线定理。
专题：证明题。
分析：
连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM= BC，根据AD=BC
证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出
∠DEN=∠F．
解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接
MG．∵N是CD的中点，且NG∥AD，
∴NG=AD，G是AC的中点，
又∴M是AB的中点，
∴MG∥BC，且MG=BC．
∵AD=BC，
∴NG=GM，
△GNM为等腰三角形，
∴∠GNM=∠GMN，
∵GM∥BF，
∴∠GMF=∠F，
∵GN∥AD，
∴∠GNM=∠DEN，
∴∠DEN=∠F．
点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证△明△GNM为等腰三角形．
3．（10分）如图，分别△以△ABC的边AC、BC为一边，△在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，
求证：点P 到AB的距离是AB的一半．
考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：
分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证△R t△AER≌△R t△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．
解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，
∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，
∴PQ为梯形EFSR的中位线，
∴PQ=（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，
∴△R t△AER≌△R t△CAT（AAS），
同理△R t△BFS≌△R t△CBT，
∴ER=AT，FS=BT，
∴ER+FS=AT+BT=AB，
∴PQ=AB．
点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．4．（10 分）设P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．
求证：∠PAB=∠PCB．
考点： 四点共圆；平行四边形的性质。 专题： 证明题。
分析： 根据已知作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E ，使 PE=AD=BC ，利用 AD ∥EP ，AD ∥BC ，进而得出
∠ABP=∠ADP=∠AEP ， 得出 AEBP 共圆，即可得出答案．
解答： 证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E ，使 PE=AD=BC ，
∵AD ∥EP ，AD ∥BC ．
∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形， ∴AE ∥DP ，BE ∥PC ，
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP ，
∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）． ∴∠BAP=∠BEP=∠BCP ， ∴∠PAB=∠PCB ．
点评： 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键． 5．（10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a ，PB=2a ，PC=3a ，求正方形的边长．
考点： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。 专题： 综合题。
分析： 把△ ABP 顺时针旋转 90°得到△ BEC ，根据勾股定理得到 PE=2 a ，再根据勾股定理逆定理证 △明△ PEC 是
直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点 C 作 CF ⊥BE 于点 F △，△ CEF 是等腰直角三角形，然后再根据勾 股定理求出 BC 的长度，即可得到正方形的边长． 解答： 解：如图所示， △把△ ABP 顺时针旋转 90°得 △到△ BEC ，
∴△APB ≌△CEB ， ∴BE=PB=2a ，
∴PE=
=2
a ，
在△ PEC 中，PC =PE +CE =9a ， ∴△PEC 是直角三角形， ∴∠PEC=90°，
∴∠BEC=45°+90°=135°， 过点 C 作 CF ⊥BE 于点 F ， 则△ CEF 是等腰直角三角形，
2
2
2
2
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∴CF=EF=CE=a，
==a，
在△R t△BFC中，
BC=
即正方形的边长为a．
点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．
考点：分式方程的应用。
分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．
解答：解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：
解之得：
经检验得：是原方程解．
∴小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．
点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．
7．（10 分）（2009郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）
为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使△得△OBQ△与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
只供学习与交流
（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP 、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平行四边形
OPCQ 周长的最小值．
考点： 反比例函数综合题。 专题： 压轴题。
分析： （1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M （﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式， 运
用待定系数法可求它们解析式；
（2）因为 P （﹣1，﹣2）为双曲线 Y= 上的一点，所 △以△ OBQ △、△ OAP 面积为 1，依据反比例函数的图象 和性质，点 Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；
（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ ，OQ=PC ，而点 P （﹣1，﹣2）是定点，所以 OP 的 长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值．
解答： 解：（1）设正比例函数解析式为 y=kx ，
将点 M （﹣2，﹣1）坐标代入得 k= ，所以正比例函数解析式为 y= x ，
同样可得，反比例函数解析式为
；
（2）当点 Q 在直线 OM 上运动时，
设点 Q 的坐标为 Q （m ， m ），
于是 △S △ OBQ = |OB ×BQ|= × m ×m= m ，
而 △S △ OAP = |（﹣1）×（﹣2）|=1，
所以有， m =1，解得 m=±2，
所以点 Q 的坐标为 Q （2，1）和 Q （﹣2，﹣1）；
（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ ，OQ=PC ， 而点 P （﹣1，﹣2）是定点，所以 OP 的长也是定长，
所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值，（8 分）
因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 Q （n ， ），
由勾股定理可得 OQ =n +
=（n ﹣ ） +4，
2
2 1 2 2 2
2
所以当（n ﹣ ） =0 即 n ﹣ =0 时，OQ 有最小值 4，
又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ 同时取得最小值， 所以 OQ 有最小值 2，由勾股定理得 OP= ，
所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（OP+OQ ）=2（ +2）=2 +4．（10 分）
点评： 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的 灵
活应用．
8．（10 分）（2008?海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A 、C 不重合），点 E 在 线段 BC 上，且 PE=PB ．
（1）求证：①PE=PD ；②PE ⊥PD ； （2）设 AP=x △，△ PBE 的面积为 y ．
①求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ②当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．
考点： 二次函数综合题。 专题： 动点型。
分析： （1）可通过构建全等三角形来求解．过点 P 作 GF ∥AB ，分别交 AD 、BC 于 G 、F ，那么可通过证三角形
GPD 和 EFP 全等来求 PD=PE 以及 PE ⊥PD ．在直角三角形 AGP 中，由于∠CAD=45°，因此三角形 AGP 是 等腰直角三角形，那么 AG=PG ，而 PB=PE ，PF ⊥BE ，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出
BF=FE=AG=PG ，同理可得出两三角形的另一组对应边 DG ，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等．可 得出 PD=PE ，∠GDP=∠EPF ，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出
PD ⊥PE ． （2）求三角形 PBE 的面积，就要知道底边 BE 和高 PF 的长，（1）中已得出 BF=FE=AG ，那么可用 AP 在 等腰直角三角形 AGP 中求出 AG ，GP 即 BF ，FE 的长，那么就知道了底边 BE 的长，而高 PF=CD ﹣GP ， 也就可求出 PF 的长，可根据三角形的面积公式得出 x ，y 的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量 的取值范围求出 y 的最大值以及对应的 x 的取值． 解答： （1）证明：①过点 P 作 GF ∥AB ，分别交 AD 、BC 于 G 、F ．如图所示．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， △ AGP △和△ PFC 都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP ，GP=AG=BF ，∠PGD=∠PFE=90 度． 又∵PB=PE ， ∴BF=FE ， ∴GP=FE ，
∴△EFP ≌△PGD （SAS ）． ∴PE=PD ．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90 度． ∴∠DPE=90 度． ∴PE ⊥PD ．
（2）解：①过 P 作 PM ⊥AB ，可 △得△ AMP 为等腰直角三角形，
2 2
2
边形 PMBF 为矩形，可得 PM=BF ，
∵AP=x ，∴PM= x ，
∴BF=PM=
，PF=1﹣ ．
∴ △S PBE = BE ×PF=BF ?PF=
即 y=﹣ x
+
x=﹣ （x ﹣
x ．（0＜x ＜ ②y=﹣ x +
x ×（1﹣
）．
） +
x ）=﹣ x +
x ．
∵a=﹣ ＜0，
∴当 x=
时，y = ．
点评： 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全 等
三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．
9．（10 分）（2010?河南）如图，直线 y=k x+b 与反比例函数
（1）求 k 、k 的值．
（x ＞0）的图象交于 A （1，6），B （a ，3）两点．
（2）直接写出
时 x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥OD 于点 E ，CE 和反比例 函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．
2
2 2
2
最大值 1 1
2
考点： 反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数 k 的几何意义。 专题： 综合题。 分析：
（1）先把点 A 代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点 B 代入反比例函数解析式求得 a 的值，再 把点 A ，B 代入一次函数解析式利用待定系数法求得 k 的值．
（2）当 y ＞y 时，直线在双曲线上方，即 x 的范围是在 A ，B 之间，故可直接写出范围．
（3）设点 P 的坐标为（m ，n ），易得 C （m ，3），CE=3，BC=m ﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是 12 列 方程，可求得 m 的值，从而求得点 P 的坐标，根据线段的长度关系可知 PC=PE ． 解：（1）由题意知 k =1×6=6
解答：
∴反比例函数的解析式为 y= （x ＞0）
∵x ＞0，
∴反比例函数的图象只在第一象限，
又∵B （a ，3）在 y= 的图象上，
∴a=2，
∴B （2，3） ∵直线 y=k x+b 过 A （1，6），B （2，3）两点
∴
∴
故 k 的值为﹣3，k 的值为 6；
（2）由（1）得出﹣3x+9﹣ ＞0，
即直线的函数值大于反比例函数值， 由图象可知，此时 1＜x ＜2， 则 x 的取值范围为 1＜x ＜2；
1
1 2 2 1
1 2
（3）当 S =12 时，PC=PE ． 梯形 设点 P 的坐标为（m ，n ），过 B 作 BF ⊥x 轴， ∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，BO=CD ，B （2，3），
∴C （m ，3），CE=3，BC=m ﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2
∴S =
梯形
∴m=4，又 mn=6 ∴n= ，即 PE= CE
∴PC=PE ．
，即 12=
点评： 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的 特
点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从 而确定关键点的坐标是解题的关键．
10．（10 分）（2007 福州）如图，已知直线 y= x 与双曲线 （1）求 k 的值；
交于 A ，B 两点，且点 A 的横坐标为 4．
（2）若双曲线
上一点 C 的纵坐标为 8， △求△ AOC 的面积；
（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线
顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标．
于 P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点 A ，B ，P ，Q 为
考点： 反比例函数综合题。
专题： 综合题；压轴题。
分析： （1）先根据直线的解析式求出 A 点的坐标，然后将 A 点坐标代入双曲线的解析式中即可求出 k 的值； （2）
由（1）得出的双曲线的解析式，可求出 C 点的坐标，由 △于△ AOC 的面积无法直接求出，因此可通过 作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那 只
OBCD
OBCD
么△ POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即 6．可根据双曲线的解析式设出 P 点的坐标，然后参照 （2）的三角形面积的求法表示 △出△ POA 的面积，由 △于△ POA 的面积为 6，由此可得出关于 P 点横坐标的方 程，即可求出 P 点的坐标． 解答： 解：（1）∵点 A 横坐标为 4，
把 x=4 代入 y= x 中
得 y=2，
∴A （4，2），
∵点 A 是直线 y= x 与双曲线
（k ＞0）的交点，
∴k=4×2=8；
（2）解法一：如图， ∵点 C 在双曲线上， 当 y=8 时，x=1，
∴点 C 的坐标为（1，8）．
过点 A 、C 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M 、N ，得矩形 DMON ． ∵S =32， =4， =9， =4． 矩形 ∴ =S ﹣ ﹣ ﹣ =32﹣4﹣9﹣4=15； 矩形
解法二：如图，
过点 C 、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E 、F ，
∵点 C 在双曲线
上，
当 y=8 时，x=1， ∴点 C 的坐标为（1，8）． ∵点 C 、A 都在双曲线
上，
∴ =4， ∴ +S =S +S ． 梯形
∴
=S ．
梯形
∵S = ×（2+8）×3=15， 梯形
∴
=15；
（3）∵反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形， ∴OP=OQ ，OA=OB ，
∴四边形 APBQ 是平行四边形，
∴
=S 平行四边形
APBQ × = ×24=6，
设点 P 的横坐标为 m （m ＞0 且 m ≠4）， 得 P （m ， ），
过点 P 、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E 、F ， ∵点 P 、A 在双曲线上， ∴ =4，
若 0＜m ＜4，如图， ∵ +S =S ， 梯形
△S △ ONC △S △ CDA △S △ OAM
ONDM
△S △ AOC △S △ ONC △S △ CDA △S △ OAM
ONDM
△S △ COE △=S △ AOF △S △ COE △ COA △ AOF CEFA △S △ COA
CEFA CEFA △S △ COA
△S △ POA
△S △ POE △=S △ AOF
△S △ POE
△ POA △+S △ AOF PEFA △=S △ POA PEFA
只供学习与交流