高等数学电子教案12

第十二章无穷级数

教学目的：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，

了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些

基本性质。

9、会利用幂级数的性质求和

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。

13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。

14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。

15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。

教学重点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数

5、函数展开成傅立叶级数。

教学难点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数；

5、函数展开成傅立叶级数

§12. 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u 1, u 2, u 3, × × ×, u n , × × ×, 则由这数列构成的表达式

u 1 + u 2 + u 3 + × × ×+ u n + × × ×

叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为∑∞

=1

n n u , 即

3211

???++???+++=∑∞

=n n n u u u u u ,

其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞

=1

n n u 的前n 项和

n n

i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211

称为级数∑∞

=1

n n u 的部分和.

级数敛散性定义: 如果级数∑∞

=1

n n u 的部分和数列}{n s 有极限s ,

即 s s n n =∞

→lim ,

则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,

并写成

3211???++???+++==∑∞

=n n n u u u u u s ;

如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散.

余项: 当级数∑∞

=1

n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞

=1

n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值

r n =s -s n =u n +1+u n +2+

叫做级数∑∞

=1n n u 的余项.

例1 讨论等比级数(几何级数)

20

???++???+++=∑∞

=n n n aq aq aq a aq

的敛散性, 其中a

0, q 叫做级数的公比.

解： 如果q 1, 则部分和 q

aq q a q aq a aq

aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1

2

. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

收敛, 其和为

q a -1.

当|q |>1时, 因为∞=∞

→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

发散.

如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na

, 因此级数n n aq ∑∞

=0

发散;

当q =-1时, 级数n n aq ∑∞

=0

成为

a -a +a -a + ,

时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,

所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞

=0

也发散.

综上所述, 如果|q |<1, 则级数n

n aq ∑∞

=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |1, 则级数n n aq ∑∞

=0

发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞

=0

a

0)收敛, 其和为

q

a -1.

例2 证明级数 1+3+5+ +（2n -1）+

是发散的.

证 此级数的前n 项部分和为

135 (21)(1)n s n n n =+++???+-=+. 显然, ∞=∞

→n n s lim , 因此所给级数是发散的.

例3 判别无穷级数

)

1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 的收敛性. 解 由于 1

11)1(1+-=+=n n n n u n ,

因此 )

1(1 431321211++???+?+?+?=

n n s n 1

11)111( )3121()211(+-=+-+???+-+-=n n n 从而

1)1

11(lim lim =+-

=∞

→∞

→n s n n n ,

所以这级数收敛, 它的和是1.

提示: 1

11)1(1+-=+=n n n n u n .

二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数∑∞

=1

n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞

=1

n n ku 也收敛,

且其和为ks .

证明： 设∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n ku 的部分和分别为s n 与

n ,

则

) (lim lim 21n n n n ku ku ku ???++=∞

→∞

→σks s k u u u k n n n n ==???++=∞

→∞

→lim ) (lim 21.

这表明级数∑∞

=1

n n ku 收敛, 且和为ks .

表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。

性质2 如果级数∑∞

=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、, 则级数)(1

n n n v u ±∑∞

=也收敛, 且其和为s

.

证明： 如果∑∞=1

n n u 、∑∞

=1n n v 、)(1

n n n v u ±∑∞

=的部分和分别为s n 、

n 、n , 则

)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+???+±+±=∞

→∞

→τ

)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +???++±+???++=∞

→

σσ±=±=∞

→s s n n n )(lim .

表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数

)

1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 是收敛的,

加一项后级数11119895 122334(1)

n n +

+++???++??????+也是收敛的, 减一项后级数

)

1(1 541431???+++???+?+?n n 也是收敛的. 性质4 如果级数∑∞

=1

n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.

注意: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数

（1-1)+（1-1) +

收敛于零, 但级数1-1+1-1+ 却是发散的.

推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:

性质5 如果∑∞

=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0

=→n n u .

证 ： 设级数∑∞

=1

n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞

→lim , 则

0lim lim )(lim lim 110

=-=-=-=-∞

→∞

→-∞

→→s s s s s s u n n n n n n n n n .

注意: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例如 调和级数

1

3121111

???++???+++=∑∞

=n n n

尽管它的一般项1

lim

0n n

→∞=，但它是发散的. 因为 假若级数∑

∞

=1

1n n 收敛且其和为s , s n

是它的部分和.

显然有s s n n =∞

→lim 及s s n n =∞

→2lim . 于是0)(lim 2=-∞

→n n n s s .

但另一方面,

2

121 212121 21112=+???++>+???++++=

-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞

→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑

∞

=11n n

必定发散.

§12. 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。 正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论： 定理1 正项级数∑∞

=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.

证 设级数

u 1+ u 2+ + u n + 是一个正项级数。其部分和为s n

显然s n 是一个单调增加数列，若部分和数列s n 有界. 则根据单调有界数列必有 极限的准则，可知级数S u n 收敛；反之, 若级数S u n 收敛，则部分和数列s n 有极限， 根据有极限的数列是有界数列的性质可知{s n }有界..

定理2 (比较审敛法) 设∑∞=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数, 且u n v n (n =1, 2,

). 若级数

∑∞

=1

n n v 收敛, 则级数∑∞=1

n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1

n n u 发散, 则级数∑∞

=1

n n v 发散.

证 设级数∑∞

=1

n n v 收敛于和s , 则级数∑∞

=1

n n u 的部分和

s n =u 1+u 2+ +u n v 1+ v 2+ +v n s (n =1, 2, ),

即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞

=1

n n u 收敛.

反之, 设级数∑∞

=1

n n u 发散, 则级数∑∞

=1

n n v 必发散.

因为若级数∑∞=1

n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞

=1

n n u 也收敛, 与假设矛盾.

推论 设∑∞=1

n n u 和∑∞=1

n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞

=1

n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n N 时有

u n kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1

n n u 收敛; 如果级数∑∞

=1

n n v 发散, 且当n N 时有u n kv n (k >0)成

立, 则级数∑∞

=1

n n u 发散.

例1 讨论p 级数

1

413121111

???++???++++=∑∞

=p p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0.

解 设p 1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n

发散, 由比较审敛法知,

当p 1时级数p

n n 11

∑∞

=发散. 设p >1. 此时有

]1)1(1[111111111-------=≤=??p p n n p n n p

p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ).

对于级数

]1

)1(1[112

--∞

=--∑p p n n n , 其部分和

1

1

1111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+???+-+-

=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1

=+-

=-∞

→∞

→p n n n n s .

所以级数]1)1(1[11

2--∞

=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n

11∑∞

=当

p >1时收敛.

综上所述, p -级数p n n 11∑

∞

=当p >1时收敛, 当p 1时发散. 提示 级数

]1

)1(1

[112

--∞

=--∑p p n n n 的部分和为

111111)

1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+???+-+-

=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1

=+-

=-∞

→∞

→p n n n n s

所以级数

]1

)1(1

[112

--∞

=--∑p p n n n 收敛.

p -级数的收敛性: p -级数p

n n 11

∑

∞

=当p >1时收敛, 当p 1时发散. 例2 证明级数∑

∞

=+1

)

1(1n n n 是发散的. 证 因为

1

1)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 1

1 3121111

???+++???++=+∑

∞

=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数,

(1)如果l v u n n

n =∞→lim (0l <+), 且级数∑∞=1n n v 收敛 则级数∑∞=1

n n u 收敛

(2)如果+∞

=>=∞→∞→n

n n n n n v u

l v u lim 0lim 或 且级数∑∞=1

n n v 发散 则级数∑∞

=1

n n u 发散.

证明 由极限的定义可知, 对l 2

1

=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式

l l v u l l n n

212

1+<<

-, 即n n n lv u lv 2

321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数

1

1

tan

n n

∞

=∑的收敛性. 解 因为1

tan

lim 11n n n

→∞=, 而级数∑∞

=11n n

发散,

根据比较审敛法的极限形式, 级数

1

1

tan

n n

∞

=∑发散. 例4 判别级数

11

(21)(21)

n n n ∞

=-+∑的收敛性. 解 因为2

1

1

(21)(21) lim

14n n n n →∞-+=, 而级数211n

n ∑∞

=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数

1

1

(21)(21)n n n ∞

=-+∑收敛. 定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法)

若正项级数∑∞

=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于r :

ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

,

则 当r <1时级数收敛;

当r >1(或∞=+∞→n

n n u u 1

lim

)时级数发散;

当r =1时级数可能收敛也可能发散.

例5 证明级数 )

1( 3211 3211211111???+-?????+???+??+?+

+n 是收敛的.

解 因为101lim 321)1( 321lim lim

1<==?????-?????=∞→∞→+∞→n

n n u u n n n n n ,

根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数

10! 10321102110132???++???+??+?+n

n 的收敛性.

解 因为∞=+=?+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010

)!1(lim lim

11n n n u u n n

n n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数

11

2(21)

n n n ∞

=?+∑的收敛性. 解 12(21)

lim

lim 1(21)(22)n n n n

u n n u n n +→∞

→∞?+==+?+. 这时r =1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.

因为

211

(21)2n n n <+?, 而级数211n

n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.

定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)

设∑∞

=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于r :

ρ=∞

→n

n n u lim

,

则当r <1时级数收敛; 当r >1(或+∞=∞

→n

n n u lim

)时级数发散;

当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数 1 3121132???++???+++

n

n 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞

→∞

→n

n u n n

n n n n n ,

所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.

以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||3

21???++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321???++++++<

+++n n n n n n + n n n )1(1+=. 例9 判定级数∑∞

=-+1

2)1(2n n

n

的收敛性 解 因为 21

)1(22

1lim

lim =-+=∞→∞

→n n n n n n u

所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 定理6 (极限审敛法) 设∑∞

=1n n u 为正项级数

(1)如果)

lim (0lim +∞=>=∞

→∞

→n n n n nu l nu 或 则级数∑∞

=1

n n u 发散

(2)如果p 1 而)

0( lim +∞<≤=∞

→l l u n n p

n 则级数∑∞

=1

n n u 收敛

例7 判定级数∑∞

=+

1

2

)11ln(n n 的收敛性

解 因为)(1~)11ln(2

2∞→+

n n n 故

11lim )11ln(lim lim 2

2222=?=+

=∞→∞

→∞

→n n n n u n n n n n 根据极限审敛法 知所给级数收敛 例8 判定级数)cos 1(11n

n n π

-+∑∞

=的收敛性

解 因为 2

222

3232

1)(211lim )cos 1(1lim

lim

πππ=?+=-+=∞→∞

→∞

→n n n n n n n u n n n n

n

根据极限审敛法 知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法

交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为

∑∞

=--1

1

)1(n n n u , 或1

(1)n n n u ∞

=-∑ 其中0>n u .

例如,

1

)

1(1

1∑∞

=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(1

1∑∞

=---n n n n π不是交错级数.

定理7（莱布尼茨定理）

如果交错级数∑∞

=--11)1(n n n u 满足条件:

(1)u n u n +1 (n =1, 2, 3,

); (2)0lim =∞

→n n u ,

则级数收敛, 且其和s u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |u n +1. 证明: 设前2n 项部分和为s 2n . 由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+

+(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+

+(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n

看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n

), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1s (n

), 所以s n s (n

). 从而级数是收敛的, 且

s n

因为 |r n |=u n +1-u n +2+

也是收敛的交错级数, 所以|r n |u n +1.

例9 证明级数 1)1(1

1∑∞

=--n n n

收敛, 并估计和及余项.

证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>

=n n u n n u (n =1, 2, ), (2)01lim lim ==∞→∞→n

u n n

n ,

由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s

1||1+=≤+n u r n n .

三、绝对收敛与条件收敛:

绝对收敛与条件收敛: 若级数∑∞=1

||n n u 收敛, 则称级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛;

若级数∑∞=1

n n u 收敛, 而级数∑∞=1

||n n u 发散, 则称级∑∞

=1

n n u 条件收敛.

例如 级数∑∞

=--1

21

1)

1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--1

11)1(n n n 是条件收敛的.

定理8 如果级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛, 则级数∑∞

=1

n n u 必定收敛.

证明略

注意: 如果级数∑∞

=1

||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞

=1

n n u 也发散.

但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞

=1

||n n u 发散,

则我们可以断定级数∑∞

=1

n n u 必定发散.

这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞

=1

n n u 也是发散的.

例11 判别级数

4

1

sin n na

n ∞

=∑

的收敛性. 解 因为|44sin 1

|na n n ≤, 而级数4

1

1n n ∞

=∑是收敛的, 所以级数41sin ||n na n ∞

=∑也收敛, 从而级数4

1

sin n na

n ∞

=∑绝对收敛. 例12 判别级数∑∞

=+-1

2)11(21)1(n n n

n

n 的收敛性.

解: 由2)11(21||n n

n n u +=

, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n n

n ,

可知0lim ≠∞

→n n u , 因此级数∑∞

=+-1

2)11(21)1(n n n

n

n 发散.

§ 12. 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列：

u 1(x ) ， u 2(x ) ，u 3(x )，× × ×× × × u n (x ) × ×× × × 由这函数列构成的表达式

u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x )+ × × ×

称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞

=1)(n n x u .

对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞

=1

0)(n n x u 收敛, 则称

点x 0是级数∑∞=1

)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞

=1

0)(n n x u 发散, 则称

点x 0是级数∑∞

=1)(n n x u 的发散点.。

函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域,

所有发散点的全体称为它的发散域.

在收敛域上, 函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),

s (x )称为函数项级数∑∞=1

)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞

==1

)()(n n x u x s .

∑u n (x )是∑∞

=1

)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.

在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ),

s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).

这函数的定义就是级数的收敛域。

函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞

→或s n (x )s (x )(n

) .

函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x )

叫做函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的余项.

函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞

→x r n n .

二、幂级数及其收敛性 幂级数:

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是

a 0+a 1x +a 2x 2+ × × × +a n x n + × × × ,

其中常数a 0, a 1, a 2, × × × , a n , × × ×叫做幂级数的系数. 例如一下级数:

1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × × ,

!

1 !2112???++???++

+n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是

a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ × × × +a n (x -x 0)n + × × × ,

经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ × × × +a n t n + × × × . 幂级数

1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × ×

可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有

11132???++???++++=-n x x x x x

. 由此例可得：

定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞

=0n n n x a 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式

|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞

=0

n n n x a 当x =x 0时发散,

则适合不等式|x ||x 0|的一切x 使这幂级数发散.

证 先设x 0是幂级数∑∞

=0

n n

n x a 的收敛点, 即级数∑∞

=0

n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,

有0lim 0=∞

→n

n n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 这样级数∑∞

=0

n n n x a 的的一般项的绝对值

n n n n n n

n n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||0000

0?≤?=?=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n

n x x M ||00

?∑∞

=收敛, 所以级数∑∞

=0||n n n x a 收敛,

也就是级数∑∞

=0

n n n x a 绝对收敛.

定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使

级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数∑∞

=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个

完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |

当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数

∑∞

=0

n n n x a 的收敛半径

开区间(R R )叫做

幂级数

∑∞

=0n n n x a 的收敛区间

再由幂级数在x R 处的收敛性就可以决定它的收敛域

幂级数∑∞

=0

n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.

规定: 若幂级数∑∞

=0

n n

n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞

=0

n n n x a 对一切x 都

收敛, 则规定收敛半径R =+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥). 关于幂级数的收敛半径求法，有下列定理：

定理2 如果ρ=+∞→||

lim 1

n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0

n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径

???????+∞

=≠=∞+=ρρρρ 00

1

R

简要证明: || ||||lim ||

lim 111x x a a x a x a n n n n

n n n n ρ=?=+∞→++∞→. (1)如果0

, 则只当r |x |<1时幂级数收敛 故ρ

1=

R .

(2)如果r =0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+

.

(3)如果r =+, 则只当x 0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数∑∞

=--11

)

1(n n n n

x 的收敛半径与收敛域. 解 因为11

11

lim ||lim 1=+==∞→+∞→n

n a a

n n n n ρ,

所以收敛半径为11==

ρ

R .

当x =1时, 幂级数成为∑∞

=--11

1)1(n n n

, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞

=-1

)1(n n

, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].

例2 求幂级数∑

∞

=0!

1n n x n !1 !31!21132???++???++++n x n x x x

的收敛域.

解 因为0)!1(!lim !

1

)!

1(1

lim

||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数∑∞

=0!n n x n 的收敛半径.

解 因为

+∞=+==∞→+∞

→!

)!

1(lim ||

lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛.

例4 求幂级数∑

∞

=0

22!)()!2(n n

x n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为n

n x n n x u 22

)!()!2()(=

.

高等数学上册教案

高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word

word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：

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授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：

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第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。

§4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.

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高等数学电子教案（下） 《高等数学》 2008 ,2009 学年第二学期 教师姓名: 李石涛 授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，0802 2.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802 授课学时: 128/64 选用教材《高等数学》史俊贤主编 大连理工大学出版社 2006/2 基础部数学教研室 沈阳工业大学教案 第 1 周授课日期 09.2.18 授课章节:第六章 6.1 定积分元素法 教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线 的弧长, 教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要: 一、定积分的元素法, 二、平面图形的面积、教 学三、平面曲线的弧长、 实采用的教学形式:讲授施 过教学方法:启发式教学

程教学步骤: 设 1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计 2、举例讲解平面图形的面积 3、举例讲解平面曲线的弧长 课后复习及作业或思考题: 1、复习定积分的元素法。 2、课后习题6-2 1、2、4、5。 教学后记: 时间: 沈阳工业大学教案 第 1 周授课日期 09.2.20 授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用 教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为 已知的立体体积, 教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积 教学内容纲要: 一、旋转体的体积、 二、平行截面面积为已知的立体体积, 教 学采用的教学形式:讲授 实教学方法:启发式教学施

高等数学电子教案(大专版)

《高等数学》教案 第一讲 函数与极限 1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。 函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。 例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 例2 求函数y= 6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 1|7 12|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4]. 例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x 解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数 （1）基本初等函数 常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μ x （μ为常数） 指数函数：y=x a (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数) 三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx （2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量. 例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0， ∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π] 例5：分析下列复合函数的结构

高等数学电子教案7.

第七章微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．会用降阶法解下列微分方程： ()() n y f x =，(,) y f x y ''' +和(,) y f y y ''' = 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程 ()() n y f x =，(,) y f x y ''' +和(,) y f y y ''' = 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 4、欧拉方程 §7. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ? =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4)

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第四章常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零

的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解 ()()??+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++， 则()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy

《高等数学》(A)教案第六章(可编辑修改word版)

讲授内容§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何上的应用 教学目的 1.深刻理解定积分的元素法的思想. 2.掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤. 3.熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法. 4.会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积. 教学重点、难点 重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长. 难点：求旋转体体积. 教学方法：讲授 教学建议 1.应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理 的知识，求出所求量的微元. 2.计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量. 3.当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积. 4.求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds = 教学过程 一、元素法:当实际问题中的所求量A 符合下列条件: 1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; 2)A对于区间[a,b]具有可加性,即:将区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应 地分成许多部分量,A等于许多部分量的和; 3)部分量?A i的近似值为 f ()i?x i,即: ?A i ≈f () i ?x i . (dx)2+ (dy)2

b b d d 则 A 可以用定积分来表示,其方法为: 1） 选取变量 x 并确定区间[a ,b ]; 2） 将[a ,b ]分成 n 个小区间,并任取小区间[x ,x +d x ],此小区间上的部分量 ?A . 且 ?A = dA + (dx ) = f (x )dx +(dx ) .即 dA = f (x )dx .称 dA 为 A 的元素. 3） 以 A 的元素 f (x )d x 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得 A = ? a 这种方法为元素法. f (x )dx . 关键在于第二步.求出元素 dA = 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 1） X －型: f (x )dx 由 y = f (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 与 x 轴围成的曲边梯 形的面积 A : A = ?a | f (x ) | dx 由 y = f (x ) 、 y = g (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 围成的 曲边梯形的面积 A : A = ?a | f (x ) - g (x ) | dx 2） Y －型: 由曲线 x = f ( y ) 、直线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 与 y 轴围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) | dy 由 曲 线 x = f ( y ) 、 x = g ( y ) 直 线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) - g ( y ) | dy 例 1 计算由曲线: y 2 = x 和 y = x 2 所围成的图形的面积 解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1). b

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高等数学电子教案 【篇一：高等数学下册电子教案】 第四章常微分方程 4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： dydydx=p(x)q(y)(q(y)≠0) 通解?p(x)dx+c ?q(y)=

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 通解?m1(x) m2(x)dx+?n2(y)n1(y)dy=c (m2(x)≠0,n1(y)≠0) 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 y x dy dxdy?y?=f ? dx?x? 令则=u， =u+xdu dx=f(u) ?f(u)-u dy dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u， 则du dx=a+bf(u) ?a+bf(u)=?dx dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? ? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? ①当?=a1 v?? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v? ?a+b 2?2u?? b1 b2 b1=0情形，令a2a1= 令u=a1x+b1y， 则du 属于变量可分离方程情形。 三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy dx+p(x)y=0 -?p(x)dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2．一阶线性非齐次方程 dy dx+p(x)y=q(x) ，（c为任意常数）

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

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第二节 数列的极限 教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极 限。 教学重点：数列极限的定义及性质。 教学过程： 一、复习数列的定义： 定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1), (==n n f x n ，由于全体 自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列： n x x x ,,21，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为{}n x 或数列n x 。 数列中的每一数称为数列的项，第n 项n x 称为一般项或通项。 【例1】 书上用圆内接正126-?n 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列 ,,,21n A A A （多边形的面积数列） 【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构 成一数列： ,21,21,21,2132n ，通项为n 2 1 。 【例3】 ; ,)1(,,1,12; 1,31,21,111 ---n n ）（）（ ; ,1 ,,34,23,24; ,2,,6,4,23 n n n +）（）（ 都是数列，其通项分别为n n n n n 1 ,2,)1(,11+--。 注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将n x 依次在数轴上描出点的位 置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，??? ?????????n n 1,21是无限接近于0的； {}n 2是无增大的；{}1)1(--n 的项是在1与1-两点跳动的，不接近于某一常数；? ? ? ???+n n 1无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。 二、讲授新课——数列的极限 我们来观察? ? ? ???+n n 1的情况。从图中不难发现n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时， n n 1 +与1可以任意地接近，即11-+n n 可以任意地小，换言之，当n 充分大时 11 -+n n 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。例如，取1001= ε，由1001001111>?<=-+n n n n ，即? ?? ???+n n 1从第101项开始，以后的项 ,102103,101102102101== x x 都满足不等式100 1 1< -n x ，或者说，当100>n 时，有100111<-+n n 。同理，若取10000 1=ε，由10000100001111>?<=-+n n n n ，即? ?? ???+n n 1从第10001项开始，以后的项 ,1000210003,100011000210002 10001==x x 都满足不等式10000 1 1< -n x ，或说，当10000>n 时，有10000111<-+n n 。一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在一个正整数N ，当N n >时，有ε<-+11 n n 。这就充分体现了当n 越来越大时， n n 1 +无限接近1这一事实。这个数“1”称为当∞→n 时，? ?????+n n 1的极限。 定义：若对0>?ε（不论ε多么小），总?自然数0>N ，使得当N n >时都有ε <-a x n 成立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ， 或a x n →（∞→n ）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

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第十二章无穷级数 教学目的： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。 2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。 4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。 5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。 6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。。 7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念， 了解函数项级数和函数的性质。 8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些 基本性质。 9、会利用幂级数的性质求和 10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。 12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。 13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。 14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。 15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。 教学重点： 1、级数收敛的定义及条件 2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； 4、泰勒级数 5、函数展开成傅立叶级数。 教学难点： 1、级数收敛的定义及条件 2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数； 5、函数展开成傅立叶级数

§12. 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u 1, u 2, u 3, × × ×, u n , × × ×, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + × × ×+ u n + × × × 叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞ =1 n n u 的前n 项和 n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即 s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 3211???++???+++==∑∞ =n n n u u u u u s ;

同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分

第九章 重积分 教学目的： 1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点： 1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点： 1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。 §9. 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为 高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1.

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第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的 体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 教学重点： 1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、 平行截面面积为已知的立体体积。 2、旋转体的体积及侧面积，计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。

§6. 1 定积分的元素法 一、问题的提出 回顾：曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ?的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形， 第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ?，则∑=?=n i i A A 1 （2）计算i A ?的近似值 （3） 求和，得A 的近似值 （4） 求极限，得A 的精确值 若用 A ? 表示任一小区间],[x x x ?+上的窄曲边梯形的面积，则∑?= A A ，并取dx x f A )(≈?，于是 a b x y o i i i x f A ?≈?)(ξi i x ?∈ξ.)(1 i i n i x f A ?≈∑ =ξi i n i x f A ?=∑ =→)(lim 10 ξλ? = b a dx x f )(

∑≈dx x f A )( 当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量； （2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和； （3）部分量i U ?的近似值可表示为i i x f ?)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U 元素法的一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a 2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ?的近似值.如果U ?能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=； 3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得? = b a dx x f U )(， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． §6. 2 定积分在几何上的应用 ∑ =dx x f A )(lim . )(? =b a dx x f