第五章：万有引力定律 人造地球卫星
『夯实基础知识』
1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）
丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。
第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k T
r =2
3
开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。
2．万有引力定律及其应用
(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
2
r
Mm G
F =（1687年）
2
211
/1067.6kg m N G ??=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相
距1m 时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。
万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。
实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。
万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2
E
E R m m G
mg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到G
gR m E E 2
=
。
(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．
当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1kg 的两个质点相距1m 时相互作用的万有引力．
(3) 地球自转对地表物体重力的影响。
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为?的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需
的向心力 F 向=mRcos ?·ω2
（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg ，其方向与支持力N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极R 逐渐减小，向心力mRcos ?·ω2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g 也逐渐增大。
在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ，所以m 2g=F 一F 向＝G
2
21r
m m －m 2Rω
自
2
。
物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F 引和支持力N 是一对平衡力，此时物体的重力mg ＝N ＝F 引。
综上所述
重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。
重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。
由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即
2
R
GmM ≈mg
说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。
万有引力定律的应用：
基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F 万=F 心(类似原子模型) 方法：轨道上正常转：
r
T
m
r m r
v
m
r
Mm G
2
2
2
2
2
4πω===
地面附近：G
2
R
Mm = mg ?GM=gR 2
(黄金代换式)
（1）天体表面重力加速度问题
通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G
2
21R
m m ， g=GM/R 2
常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（R+h ）2
，比较得g h =（
h
R r +）2
·g
设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，由mg=2
M m G R
得g=2
M G
R
，由此推得两个不同
天体表面重力加速度的关系为
21
21
221
2
g R M g
R
M
=
*
（2）计算中心天体的质量
某星体m 围绕中心天体m 中做圆周运动的周期为T ，圆周运动的轨道半径为r ，则： 由r T m r
m m G
2
2
2??
?
??=π中得：2
3
24GT r m π=中 例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。 可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。 （3）计算中心天体的密度 ρ=
V
M =
3
3
4R
M ?π=
3
2
23R
GT r
?π
由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度
（4）发现未知天体
用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分
析发现的
人造地球卫星。
这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。
1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。
2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有
r T
m r m r
m
ma r
GmM 2
2
2
2
)2(
πωυ
====
实际是牛顿第二定律的具体体现
3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： （1）向心加速度向a 与r 的平方成反比。
向a =
2
r
GM 当r 取其最小值时，向a 取得最大值。 a 向max =
2
R
GM =g=9.8m/s 2
（2）线速度v 与r 的平方根成反比 v =
r
GM ∴当h↑，v↓
当r 取其最小值地球半径R 时，v 取得最大值。 v max =R
GM =Rg =7.9km/s
（3）角速度ω与r 的三分之三次方成百比
ω=
3
r
GM ∴当h↑，ω↓
当r 取其最小值地球半径R 时，ω取得最大值。ωmax =
3
R
GM =
R
g ≈1.23×10－3rad/s
（4）周期T 与r 的二分之三次方成正比。 T=2GM
r
3
π
∴当h↑，T↑
当r 取其最小值地球半径R 时，T 取得最小值。 T min =2GM
R
3
π
=2g
R π
≈84 min
卫星的能量：(类似原子模型)
r 增?v 减小(E K 减小 度越大 应该熟记常识： 地球公转周期1年， 自转周期1天=24小时=86400s ， 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2 月球公转周期30天 4．宇宙速度及其意义 (1)三个宇宙速度的值分别为 第一宇宙速度（又叫最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度）： 物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，其值为：km/s 9.71=v 第一宇宙速度的计算． 方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力． G () 2 h r mM +=m () h r v +2 ，v= h r GM +。当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的 最大速度。其大小为r ＞＞h （地面附近）时，1V = ．9×103m/s 方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力． () 2 1 v m g m r h =+．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝ gr =7．9×103m/s 第二宇宙速度（脱离速度）： 如果卫生的速大于km/s 9.7而小于 km/s 2.11，卫星将做椭圆运动。当卫星的速度等于或大于km/s 2.11的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，把km/s 2.112=v 叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，又 称逃逸速度，其值为：km/s 7.163=v (2)当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同 ①当v ＜v 1时，被发射物体最终仍将落回地面； ②当v 1≤v ＜v 2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星； ③当v 2≤v ＜v 3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”； ④当v ≥v 3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。 5．同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星） ⑴同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T =24h ， ⑵特点 （1）地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角， 而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。 这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F 1，而另一个分力F 2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。 （2）地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。 （3）同步卫星必位于赤道上方h 处，且h 是一定的． r m r Mm G 2 2ω= 得2 3 ω GM r = 故 km R r h 35800=-= （4）地球同步卫星的线速度：环绕速度 由r m r Mm G 2 2 υ =得s km r GM v /08.3== （5）运行方向一定自西向东运行 人造天体在运动过程中的能量关系 当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。 同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为r GMm E K 2=，由于重 力加速度g 随高度增大而减小，所以重力势能不能再用E k =mgh 计算，而要用到公式 r GMm E P - =（以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星轨道半径。 由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为 r GMm E 2- =。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发 射越困难。 『题型解析』 【例题】下列关于万有引力公式2 21r m m G F =的说法中正确的是（C ） A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中万有引力常量G 的值是牛顿规定的 【例题】设想把质量为m 的物体，放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（C ） A ． 2 R GMm B ．无穷大 C ．零 D ．无法确定 【例题】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较 A ．地球与月球间的万有引力将变大 B ．地球与月球间的万有引力将减小 C ．月球绕地球运动的周期将变长 D ．月球绕地球运动的周期将变短 ★解析：设地球和月球的质量分别为M 、m ，它们之间的引力为2 r Mm G F =，由于地球和 月球Ｍ＋m 是一常数，根据数学知识，当Ｍ＝m 时，Ｍ·m 取最大值，Ｍ、m 相差越多，Ｍ·m 越小，2 r Mm G F =越小。地球比月球的质量大，还要把月球上的矿藏搬运到地球上，就使得 Ｍ，m 相差更多，所以Ｍ·m 就越小，2 r Mm G F =越小。答案：B 、D 表面重力加速度： 2 00 2 R GM g mg R Mm G = ∴= 轨道重力加速度： ()()2 2 h R GM g mg h R GMm h h += ∴=+ 【例题】设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球 的引力作用而产生的重力加速度g ，，则g/g ， 为（D ） A 、1； B 、1/9； C 、1/4； D 、1/16。 ★解析：因为g= G 2 R M ，g ， = G 2 ) 3(R R M +，所以g/g ，=1/16，即D 选项正确。 【例题】火星的质量和半径分别约为地球的110 和12 ，地球表面的重力加速度为g ，则火星 表面的重力加速度约为（B ） (A)0.2 g (B)0.4 g (C)2.5 g (D)5 g 通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。 由r T m r Mm G 2 2 2?? ? ??=π 得2 3 24GT r M π= 又ρπ?= 3 3 4R M 得3 233R GT r πρ= 【例题】已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49?1011 m ， 公转的周期T=3.16?107 s ，求太阳的质量M 。 ★解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： r T m r Mm G 2 2 2?? ? ??=π 2 3 2 4GT r M π= =1.96 ?1030kg 【例题】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。 ★解析：设抛出点的高度为h ， 2 22 2 32h L H L -=- 可得h 设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： 2 2 1gt h = 可得g 由万有引力定律与牛顿第二定律得： 2 R Mm G mg = 联立以上各式解得2 2 332Gt LR M = 。 【例题】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（ D ） A ：行星的半径 B ：卫星的半径 C ：卫星运行的线速度 D ：卫星运行的周期 【例题】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少? ★解析：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G 2 R Mm =mR 2 2 4T π， 所以，M= 2 3 24GT R π而恒星的体积V= 3 4πR 3，所以恒星的密度ρ= V M = 2 3GT π。 【例题】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T = 30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转 而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg ·s 2) ★解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 2 2 ω= T πω2= ρπ3 3 4R M = 由以上各式得2 3GT πρ= ， 代入数据解得：3 14/1027.1m kg ?=ρ。 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。 ⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 ⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由 F=mω2 r 可得m r 1∝ ，于是有L m m m r L m m m r 2 1122 121,+= += ⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆 【例题】在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m 和M ，两星之间的距离为L ，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求恒星运动的半径和周期。 ★解析：两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点O(物理学上把它叫做质心)作匀速圆周运动，O 点在两颗恒星的连线上，设两颗星到O 的距离分别为r 、R ，它们运动的周期为T ，由万有引力定律和牛顿第二定律 对质量为m 的恒星有 r T m l Mm G 2 2 2??? ??=π 对质量为M 的恒星有R T M l Mm G 2 2 2?? ? ??=π r+R=L 由以上三式解得 l m M M r += l m M m R += G m M l T )(23 +=π 答案：l m M M r += l m M m R += G m M l T )(23 +=π 技巧点拔：解圆周运动问题，确定圆心的位置是很重要的。另外，双星系统在宇宙中是比 较普遍的，如果两颗星的质量相差悬殊，如m ＜＜M ，则r=L ，R=O ，GM l T 3 2π=，这是可 以把大质量星看作静止的，小质量星围绕大质量星运动。 【例题】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。 ★解析：设两星质量分别为M 1和M 2，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为l 1和l 2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M 1： G 22 1R M M ＝M 1（T π2）2 l 1 ∴M 2＝ 2 12 24GT l R π 对M 2：G 22 1R M M ＝M 2（T π2）2 l 2 ∴M 1＝22 2 2 4GT l R π 两式相加得 M 1＋M 2＝ 22 2 4GT R π（l 1＋l 2）＝ 2 3 24GT R π。 【例题】在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1=2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示。此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．1∶2 ★解析：两球向心力、角速度均相等，由公式 F =mω2r 得r ∝m 1，则 2 1r r = 1 2m m = 2 1。 答案：D 【例题】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一 种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m 。 （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期； （2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ ★解析： 【例题】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km 的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是 A ．动能、重力势能和机械能都逐渐减小 B ．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 C ．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 D ．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小 ★解析：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据机械能定理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，根据势能定理，卫星的重力势能减小；由r 1r GM v ∝ = 可知，卫星动能将增大。这也说明该过程中 重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。答案选D 【例题】 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P 点点火 加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P ，远地点为同步轨道上的Q ），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在P 点短时间加速后的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在Q 点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v 4。试比较v 1、v 2、v 3、v 4的大小，并用小于号将它们排列起来______。 ★解析：根据题意在P 、Q 两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v 2> v 1、v 4>v 3，而v 1、v 4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r 1< r 4，所以v 1>v 4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v 2>v 1>v 4>v 3。（卫星沿椭圆轨道由P →Q 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v 2>v 3。） 【例题】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q 点。轨道2、3相切于P 点（如图），则当卫星分别在1，2，3，轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ） A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道１上的速率 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道１上的角速度 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度 ★解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度（n n ma F =），所以卫星在轨道１上经过Ｑ点时的加速度等于它在轨道２上经过Ｑ点时的加速度，卫星在轨道２上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道３上经过Ｐ点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（r r v a n 2 2 ω== ），由于卫星在不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角 速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案：B 、D 【例题】 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5°左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：①这三个状态下卫星的线速度大小______； ②向心加速度大小______；③周期大小______。 ★解析：①比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r 2 【例题】如右图所示，有A 、B 两个行星绕同一恒星O 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（ BD ）。 A ．经过时间t =T 2+T 1，两行星将第二次相遇 B ．经过时间1 221T T T T t -=，两行星将第二次相遇 Ｃ．经过时间1 2 2 121 T T T T t -?=，两行星第一次相距最远 D ．经过时间2 2 1T T t += ,两行星第一次相距最远 【例题】A 、B 两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A 的轨道 半径为r 1，B 的轨道半径为r 2，已知恒星质量为m '，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r 1＜r 2。若在某一时刻两行星相距最近，试求： （1）再经过多少时间两行星距离又最近？ （2）再经过多少时间两行星距离最远？ ★解析：（1）A 、B 两行星如右图所示位置时距离最近，这时A 、B 与恒星在同一条圆半径上，A 、B 运动方向相同，A 更靠近恒星，A 的转动角度大、周期短，如果经过时间t ，A 、B 与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A 、B 与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。 解：（1）设A 、B 的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t ，A 转过的角度为ω1t ，B 转过的角度为ω2t 。A 、B 距离最近的条件是： ω1t-ω2t=)3,2,1(2 =?n n π。 恒星对行星的引力提供向心力，则： 3 2 ,2 r m G r m m G mr ''= =ωω即， 由得得出：31 1r m G ' = ω，3 2 2r m G '= ω， 求得：)3,2,1(32 31 2 == '' -n t r m G r m G n π。 （2）如果经过时间t '，A 、B 转过的角度相差π的奇数倍时，则A 、B 相距最远，即 )3,2,1()12(21 =-='-'k k t t πωω。 故2 1)12(ωωπ --= 'k t 。把ω1、ω2代入得： )3,2,1(32 31 )12( == '' --k t r m G r m G k π 点评：太阳系有九大行星，它们之间有相对运动，如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间，就要分析两运动间的角速度关系，本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件。 物理是以数学为基础的。合理运用数学知识，可以使问题简化。甚至在有的问题中，数学知识起关键作用。 1．用比值法求解有关问题 【例题】假设火星和地球都是球体，火星的质量为M 火和地球质量M 地之比M 火／M 地＝p ，火星半径R 火和地球半径R 地之比R 火／R 地＝q ，那么火星表面重力加速度g 火和地球表面重力加速度g 地之比为（ A ） A ． 2 q p B ．2pq C ． q p D ．pq 2．割补法的运用 【例题】如图所示，在距一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体中心2R 处，有一质量为m 的质点，M 对m 的万有引力的大小为F 。现从M 中挖出一半径为r 的球体，如图，OO′=R/2。求M 中剩下的部分对m 的万有引力的大小。 ★解析：根据万有引力定律，2 ) 2(R Mm G F =，挖去的球体原来对质点m 的引力为 2 ) 5.1(R m M F '= '，而 3 3r R M M = ' 。所以剩下的部分对质点m 的引力为 F R r R F F 3 3 39169-= '-。 答案： F R r R 3 3 39169- 3．代数知识的运用 【例题】 地球同步卫星到地心的距离r 可由2 2 23 4π c b a r =求出。已知式中a 的单位是m ， b 的单位是s ， c 的单位是m/s 2 ，则（ ） A ．ａ是地球半径，b 是球自转的周期，ｃ是地球表面处的重力加速度 B ．ａ是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期， C 是同步卫星的加速度 C ．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度 D ．a 是地球半径，ｂ是同步卫星绕地心运动的周期。c 是地球表面处的重力加速度 ★解析：同步卫星m 圆周运动的向心力由地球Ｍ对它的引力提供，设地球自转周期为Ｔ，r T m r Mm G 2 2 2 4π=，物体m ′在地球表面的重量约等于地球对它的万有引力，所以 2 r m M G g m '='。由上两式可得：2 2 23 4π g T R r = 。其中Ｔ也可以认为是同步卫星运动的周期。 答案：A 、D 【例题】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。 ★解析：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离。有 2 2 )2( T mr r mM G π= 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心。 由图17可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它。 据此再考虑到对称性，有 R r =θsin T t πθ22= g R M G =2 由以上各式可解得 31 22 )4a r c s i n (gT R T t ππ= 【例题】2000年1月26日我国发出了一颗同步卫星。定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、 地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示） ★解析：根据题意，可知同步卫星，嘉峪关、地心在同一平面内。如图 [全解]设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星轨道半径为r ，卫星到嘉峪关的距离为L ，如上图。则：r T m r Mm G 2 2 4π=，g m R m M G '='2 （地球表面处物体的重量约等于地球对它的万 有引力）。由数学知识得：αcos 22 2 rR R r L -+= ，又c L t = 。由以上四式求解得： c gT R R R gT R t α π π cos )4( 2) 4(31 2 2 2 2 3 2 2 2 2 -+=
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