直角三角形斜边上中线性质的应用
蔡志武张玉平
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。但在初中数学教材中它却是以矩形性质（矩形的对角线相等）的推论形式出现的，因而很容易造成学生忽视这一性质的应用．从实际教学的反馈来看确有很多学生应用它解决问题有困难．下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用．仅供参考．
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。
2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，
所以，
所以AD=BD=DC=，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
因此∠ADB=2∠3=2∠4，
∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
二、性质的应用
1、求值
例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
解析：由性质可知：CD，
所以AB=2CD=8．
例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，E 为AC边上的中点，BC=14，AD=12，。求的值。
解析：由性质拓展可知：∠EDC=∠C。要求tan∠EDC的值，可转化为求tan∠C 的值。
在Rt△ADB中，，
所以AB=15。
由勾股定理得：
，
所以DC=BC－BD=5。
在Rt△ADC中，tan∠C=，
所以tan∠EDC=。
2、证明线段相等
例3、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。
分析：（1）因为E为BC的中点，
所以BE=。
要证DF=BE，即为，
连AE，AE=，只需证DF=AE。
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF，而AD=，
所以。
故四边形AEFD为平行四边形。
所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。
（2）由性质拓展可知：∠1=∠2。
由（1）得AE∥DF，所以∠2=∠D。
因为AG∥BC，所以∠1=∠DAG，
因此∠D=∠DAG，所以DG=AG。
3、证明角相等及角的倍分关系
例4、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
分析：因为BD、CE分别为AC、AB上的高，
所以∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中DF为斜边上中线，
所以。
同理在Rt△BEC中，，
所以DF=EF，
所以∠FED=∠FDE。
例5、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。
求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。
分析：（1）E是Rt△ADB斜边上中点，连DE，则
，
所以DE=DC。
又因为DG⊥CE，所以G为CE的中点。
（2）因为DE=DC，所以∠1=∠2。
因为∠EDB=∠1+∠2，
所以∠EDB=2∠2。
由性质拓展知：∠B=∠EDB，
所以∠B=2∠2，即∠B=2∠BCE。
4、证明线段的倍分及和差关系
例6、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
分析：（1）因为AE是Rt△BAD斜边BD上中线，由性质拓展可知：
∠AEC=2∠B。
又因为∠C=2∠B，
所以∠AEC=∠C。
（2）由（1）∠AEC=∠C，所以AE=AC，AE是Rt△BAD斜边上中线。由性质可得：
，所以，
故BD=2AC。
例7、（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。
分析：延长AD、BC交于G，连GE、GF。
由于∠A+∠B=90°，
所以∠G=90°。
E、F分别为DC、AB中点。
由性质可得：
。
由性质拓展可得：
∠GDE=∠AGE，∠GAF=∠AGF。
因为CD∥AB，
所以∠GDE=∠GAF，
所以∠AGE=∠AGF，
所以G、E、F三点在同一直线上，
所以。
5、证明线段垂直
例8、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证：MN⊥DC。
分析：M是Rt△ADB与Rt△ACB斜边上中点，连DM、CM，由性质可得：
，
所以△DMC为等腰三角形。
又因为N为CD的中点，
所以MN⊥DC。
6、证明特殊的几何图形
例9、（2007年新疆维吾尔自治区中考）如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．
分析：由于△ACE是△ACB沿直角边AC翻折得到的，
所以AB=AE，∠ACE=90°．
因为D、F分别是Rt△ACB和Rt△ACE斜边上中线，
所以，
所以AD=DC=AF=FC，
所以四边形ADCF为菱形。
三、尝试训练
1、（黑龙江中考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为．
2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，
BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC
1D
1
和△BC
2
D
2
两个三角形（如图12
所示），将纸张△AC
1D
1
沿直线D
2
B（AB）方向平移（点A，D
1
，D
2
，B始终在同一
条直线上），当点D
1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C
1
D
1
与BC
2
交于
点E，AC
1与C
2
D
2
、BC
2
分别交于点F、P。
（1）当△AC
1D
1
平移到如图13所示时，猜想图中D
1
E与D
2
F数量关系，并证明猜
想：
3、如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，∠BOC=，
G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。求证：△GEF为等边三角形。（提示：连AF、BE）
直角三角形的性质（二） 编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的 思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题 和解决问题能力。 二、【教学重点】与难点： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 四、【教学过程】： （一）引入： 如果你是设计师：（提出问题） 2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公 交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构 成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ （通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引 发学生的学习兴趣。） 动一动想一想猜一猜（实验操作） 请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。 通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么 关系？ （通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的 关系。） （二）新授： 提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程） 应用定理： 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC 的中点。 求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即 可证得。 （上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化 使斜边重合，我们可以得到哪些结论？） 练习变式： 1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC F E D C B A
E N M D C B A 直角三角形性质和应用练习 班级姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________. 2、“直角三角形两锐角互余”逆定理。(填:“有”或“没有”)。 3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 . 4、 在直角三角形中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm. 5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。 7、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE = 8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90o ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5 那么AD = ， 9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = . 第7题 第8题 第9题 10、到一条线段两端点距离相等的点的轨迹是____. 11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________ 12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 二、选择题 1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。 B 、等边对等角。 C 、全等三角形对应角相等。 D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 D 2 1 P C A B E O D B A
2018 初三数学中考复习直角三角形的性质专项复习练习题 1. 如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( ) A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km ABCCFABFBEACEMBCEFBC，，为⊥＝于2．如图，在△中，的中点，⊥，于6EFM的周长是，则△( ) ＝15 A．21 B．18 C.15 D．13 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A．3.5 B．4.2 C.5.8 D．7
4．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，且∠BAD＝15°，AD＝8，则CD等于( ) A．4 B．3 C.2 D．5 5. 如图所示，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BD、DE的中点，则下列结论中错误的是( ) ＝60°DGE．∠DGE D平分∠GF．DE C⊥GF．GD B＝GE．A．6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为BC、AB的中点，且AC＝6cm，AB＝8cm，则△ADE的周长为( ) A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB 的长度是( ) A．2cm B．4cm C.8cm D．16cm 8. 如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为( )
A．10 B．11 C.12 D．13 9. △ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，CD⊥AB于D，则CD＝______. 10. △ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC边上的中线BD的长为________. 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，则BC＝ _____cm. 12. 已知直角三角形的两边为3cm和4cm，则它们的第三边长为 __________cm. 13. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD 的长为______. 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC 于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是_____.
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 二、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）测量边AB 的长度； （2）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系. 2.提出命题： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜想？ C A
直角三角形的性质（一） 【教学目标】： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 【教学过程】： 一、引入 复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。 （二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、巩固训练：
练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中 点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ 练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与 DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业 直角三角形的性质（二） 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。 二、【教学重点与难点】： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学过程】： （一）引入：
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明． 一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质 【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ． 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=2 1∠ABE ，求证：DE=2AB ． 三、有中点、无直角，造直角 【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°， 求证：MN= 2 1（AB －CD ）．
四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ． 【习题练习】 1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ． 2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ． 3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．
直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 2 1AD =． 2、性质的拓展： 如图：因为D 为BC 中点， 所以BC 2 1DC BD = =， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠1=2∠2， ∠ADC=2∠3=2∠4． 因而可得如下几个结论： ①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形； ②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、2 1倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 2、证明线段相等 例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2 1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．
第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用 1．理解并掌握含30°锐角的直角三角 形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的 性质解决问题．(难点) 一、情境导入 用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并 把你的发现和大家交流一下． 二、合作探究 探究点一：在直角三角形中，如果有一 个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半 等腰三角形的一个底角为75°， 腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这 个三角形的面积是________cm2. 解析：因为75°不是特殊角，但是根据 “三角形内角和为180°”可知等腰三角形 的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm， S△ABC＝1 2 AC·BD＝ 1 2 ×4×2＝4(cm2)．故答 案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键． 探究点二：在直角三角形中，如果一条 直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ 1 2 BC，求∠DAC 的度数． 解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC ＝ 1 2 BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°. 方法总结：如果题中出现直角三角形及 斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 探究点三：含30°锐角的直角三角形性 质的应用 如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间． 解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路 程关系式求出时间． 解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
1.2 直角三角形之斜边中线性质 1、直角三角形两直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的中线长等于（ ） A.2.5cm B.2.4cm C.5cm D.3cm 2、直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ） A.13 B.12 C.10 D.5 3、直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ） A.4 B.54 C.4或54 D.4或52 4、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 5、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB AD 2 1 ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE ； （2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。求证：AG=DG 。
6、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。 7、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。 求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。 8、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。 9、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证：MN ⊥DC 。 10、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE N M E D C B A 11、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF F E D C B A
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
直角三角形性质应用 1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积 分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______． S 4 l 3 21 S 3 S 2 S 1 2. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若 AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为_______． 45° E D C B A P D B C A 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =3，BD 平分 ∠ABC ，交AC 于点D ，P 是BD 的中点，则CP 的长为_______． 4. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为__________． F A C D E F E B C A 第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若 EF =7，BC =10，则△EFM 的周长为__________． 6. 如图，直线l 1∥ l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若 点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于 点D ，则BD 的长为______．
D l 3 l 2l 1A B C 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ， 1 2 CBE ABE ∠=∠，F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为 _______． F E D C B A 8. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =5，AD =则BD 的长为_______． D C B A O E D C B A 第8题图 第9题图 9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且 正方形对角线交于点O ，连接OC ．若AC =2，BC =4，则OC =_________． 10. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 上一 点，连接DE ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，连接OF ，若DF =3， ，则AF =_________．
直角三角形的性质 【知识点1】 直角三角形的性质 (1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°AB AD AC ?=2 (2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即2 22c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB ?CD=AC ?BC 【知识点2】直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……） 例1．（2010?黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ） 例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF G E F D C B A
例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥ BD 例4．如图，在矩形ABCD 中， ，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则 DM+CN 的值为( ) A. 1 B. C. D. 【练一练】 一、填空题 1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。 5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题
学生做题前请先回答以下问题 问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图． 问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵． 问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1， 3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则 ______________. 直角三角形的性质应用（弦图）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分)
1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E，
F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( ) A.5 B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )
A.10 B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3) 35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′=30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32 C 、4 D 、1
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用 （2 ）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系?知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法 （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力 （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综 合意识? 【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用? 【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点 45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质? 1?实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 C （1）测量边AB的长度; （2）量一量斜边上的中线的长度? 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系 2?提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3?证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想?
已知，如图，在 Rt A ABC中，/ ACB=90°, CD是B上的中线.求证：CD二AB. 4?得出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半数学语言表述为：在Rt △ ABC中??? CD是斜边AB上的中线 ???CD = AD = BD = _ AB 三、运用新知，深化理解 1?见课件PPt 2、如图，已知AD±BD, AC丄BC, E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。 3、如图，在Rt △ ABC中，EF是中位线，CD是斜边AB 四、课堂小结 1?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2?有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线 五.布置作业： 见PPt 板书设计（略） 上的中线，求证:
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三 角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛 直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ， 分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． 第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．