直角三角形一练习题公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
直角三角形（一）知识回顾:：
1.等腰三角形一边长为2cm，另一边长为5cm，它的周长是_____cm．
2.等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角是_______.
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角
为。
目标解读:：
1.了解直角三角形的表示方法。
2.掌握直角三角形的三个性质定理。
3.会结合图形将直角三角形的三个性质定理从文字语言改写成符号语言。
4.能利用直角三角形的性质进行有关计算和证明。
基础训练:
一、选择题
1.如图，△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则图中与∠A相等（不包括∠A）的角有（）个.
2.如图，△ABC中，AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=3cm,则BC的长为（）
3.若三角形的两个内角的和等于最大的内角，则此三角形是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
4.若三角形三个内角度数之比为1:2:1，则此三角形是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角
形
5.在直角三角形中，一直角边长为3cm,斜边长6cm，如果过直角顶点做斜边的垂线，那么垂足分斜边的两条线段（短边与长边）的比为（）
:2 :3 :4 :3
6.如图.在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠B=60°,BD=1,则AD=（）
1题图 2题图
6题图
二、填空题
7.直角三角形的两个锐角的关系是；等腰直角三角形的两个锐角都等于。
8.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3等于度.
9.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，与∠A互余的角是，与∠B互余的角是。
10.等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3cm，则它的腰长等于。
11.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等
于。
12.等腰△ABC中，AB=AC=10cm，∠A=10∠C，则AB边上的高线为。
13.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，延长BC到E，若∠B=40°，∠ADE=65°，则∠DAC=，∠ACE=。
8题图 9题图 13题图
三、解答题
14.如图. 已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，E 为AB 边中点，CE=AE ，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC 。
15．如图，已知：△ABC 中，AB=AC=BC ，D 为BC 边上的中点， DE⊥AC 于E 。
求证：AC CE 41
. 能力拓展:
16. 如图，已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，CD=AD ，DE⊥AC 于E ，∠A=30°，
求BC ，CD 和DE 的长。
17. 如图，△ABC 中，∠BAC=2∠B，AB=2AC ，AE 平分∠CAB。求证：AE=2CE.
18. 已知：如图，AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.
第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数： 1、各三角函数之间的关系： ⑴sin ＝cos ; ⑵sin 2＋cos 2＝ ; ⑶tan ＝ . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2 2 cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 （3）在ABC Rt ?中，C ∠＝90，c = 8 , sinA = 4 1 ，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，3 1 tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 （2）Rt ABC ?中，C ∠＝90，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ） 15A 、 35B、 43C、 34 D、 （3）ABC ?中，C ∠＝90，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ） 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算： （1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. （3）???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cosB ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝ 33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝122. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 【知识要点】 一、锐角三角函数： 正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A a tan =; 正弦：．．．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即c a sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c A b cos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即c A b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系 tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。 cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。 2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系 若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= （2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝1 3)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA 二、解直角三角形： ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
第2课时直角三角形全等的判定 1．掌握并利用“HL”定理解决实际问题． 2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形． 3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性． 重点 直角三角形“HL”判定定理的理解及运用． 难点 证明“HL”定理的思路的探究和分析． 一、复习导入 1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？ 2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？ 3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？ 师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形． 二、探究新知 1．猜想 师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等． 2．探究 课件出示教材第18页“做一做”． 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形． 已知：如图，线段a，c(a 思考：通过刚才的画图，你有什么发现？ 3．总结 师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？ 板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等． 4．证明 师：你能证明这个命题是真命题吗？ 处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程． 证明过程展示： 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， ∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)． 同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)． ∵AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)． 师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”． 三、举例分析 例(课件出示教材第20页例题) 处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程． 分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． ∴∠B＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠F＝90°， ∴∠B＋∠F＝90°. 四、练习巩固 1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来． 2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起（一） 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注 八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1 第一章《直角三角形》培优试题 1.已知一个Rt △的两边长分别为6和7，则第三边长的长是 。 2.直角三角形的周长是62 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________. 3.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522 cm 和42 cm ，则直角 三角形的两条直角边的和是 cm . 4. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数 是 度 5．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。 6.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？ 7.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 8、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。 MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。 A A B C D E F 1 2 小河 D 9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 10. 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD=AC ，DF ∥BC ，分别与AB 、AC 交于点G 、F ． （1）求证：GE=GF ； （2）若BD=1，求DF 的长． 12、如图，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________. 13、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1+∠2等于__________. 14.已知，如图△ABC 是边长4cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? B C Q 第一章 三角形的证明 2.直角三角形（一） 【学习目标】 （1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 （2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 【学习过程】 一．认真思考（课堂互动） 1.复习引入 问题1.直角三角形的两锐角有怎样的关系？为什么？ 问题2.如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 结论：1. 2. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 2.探究直角三角形勾股定理及其逆定理 （一）勾股定理及其逆定理的证明． 勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 求证：a 2+b 2＝c 2． 证明： 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 师生共同来完成． 已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2 求证：△ABC 是直角三角形． （分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．） 证明： 勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （二）．互逆命题和互逆定理． 观察下面各组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? （1）直角三角形两锐角互余； 如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 （2）在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． (3)两直线平行，内错角相等; 内错角相等，两直线平行 C A B C A B 课题1、2直角三角形 知识点1：勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的应用：①已知直角三角形的两边求第三边； ②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明有关线段平方关系的问题。 （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （4）勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三形。 （5）勾股定理的各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有a 2=c 2-b 2，b2=c 2-a 2，c 2=a 2+b 2，c=2 2 a b + ，a=22c b -， b=22c a -。 知识点2：互逆命题与互逆定理 （1）互逆命题：将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题。相对于逆命题来说，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的，我们将原命题与逆命题称为互逆命题。原命题正确，逆命题不一定正确，如命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”是正确的，而它的逆命题“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”是错误的。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，所以一对互逆命题的真假性不一定一致。 （2）互逆命题定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们就说这两个定理为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”是一对互逆定理。 知识点3：直角三角形全等的判定定理（HL ） （1）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （2）定理的应用：判定两个直角三角形全等。 （3）判定两个直角三角形全等的方法共有五种：SAS 、AAS 、ASA 、SSS 、HL 第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数： 1、 各三角函数之间的关系： ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长； (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值； (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, a =,；5 , b =2，贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中，/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6，那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中，一 C = 90, c = 8 , sinA = ，则 b = . 4 1 3、 选择：(1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, tanA , AC = 6，则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图，身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？ (2) Rt ABC 中， C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中， C = 90, tan A =1，则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o. 教学内容“学程导航”课时教学计划 施教日期2009年12月21日 28.2解直角三角形 课 型 1. 锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 2. 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养 学生分析问题、解决问题的能力. 3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 教重点：直角三角形的解法 学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 重 难 占 八、、教 学 资 源1. 学生学习过勾股定理、三角函数、并能够灵活运用。 2. 多媒体 1 . 直角三角形ABC中，/ C=90° a、b、c、/ A、/ B这五个兀素间有哪些等量关系呢？ 2. 三边之间关系：a2 +b2 =c2（勾股定理） 3. 锐角之间关系：/ A+ / B=90 ° . 如果用表示直角三角形的一个锐角，那边与角的关系为： ￡点对边Z甜0邻边卍曲对边 预 习设计4?阅读书本P85—87页，用红笔注明不解之处完成预习作业 五、课堂测试 1.在Rt △ ABC中，已知下列条件，不能解此直角三角形的是（） A.a、b B.a 、/ A C.c 、/ B D. / B 2.在Rt △ ABC中, / C的对边分别为成立的是（ A.a=c sinB B. / C=90 ° , / A、/ B、 b、c,下列等式一定 a ------- C.b=c tanB cosB D.b=a sinB 3. 在Rt △ ABC 中, 3 冲 -,AB=5，贝U AC=__ 5 — 4. 如图设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中 心线的夹角为/ A,过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C （如图），在Rt △ ABC中, / C= 90°, BC= 5.2m, AB= 54.5m根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角. / C= 90 sin A= 1. 课堂作业 《学程导航》P90—1-6题 2. 家庭作业 《自主检测》P106 作 业 设 计 1 直角三角形的边角关系（讲义） ? 课前预习 1. 根据两个特殊的直角三角形的相关知识填空： 1 3 2 30° A B C a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 1 1 2 C A 45° b a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 2. 我们一般将特殊角度（30°，45°，60°）放到__________中处理，同时不能破坏特殊角． 如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB =1，则△ABC 的面积为___________． A B C 3. 小明在操场上放风筝，已知风筝线长为250 m ，拉直的线 与地面所成的锐角为α，小明从点A 移动到点A 3的过程中，风筝也从点B 移动到点B 3，小明研究了α的大小与其所在的直角三角形两直角边比值的关系特征，根据小明提供的数据填空． O B 3 A 3 B 2 A 2 B 1A 1 B A 1 在点A 时，α=∠BAO ，BO =240，AO =70， BO AO =________； 在点A 1时，α=∠B 1A 1O ，B 1O =200，A 1O =150， 11B O A O =_____； 在点A 2时，α=∠B 2A 2O ，B 2O =150，A 2O =200， 22B O A O =____； 在点A 3时，α=∠B 3A 3O ，B 3O =70，A 3O =240， 33B O A O =_____； 小明发现，在α逐渐减小的过程中， BO AO 的值逐渐_______， 进一步探索发现，在α逐渐减小的过程中， BO BA 的值逐渐____，AO BA 的值逐渐__________． ? 知识点睛 1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________， tan A =________． 2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______， 余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值： 60° 45°30°α正切 tan α 余弦 cos α正弦 sin α 4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________ 中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． ? 精讲精练 1. 下列说法正确的是（ ） A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 3 5 = B C A 2 直角三角形 一、选择题 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,则图中与∠A互余的角有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(2018四川绵阳三台期中)下列各组数中是勾股数的是( ) A.2,3,4 B.0.3,0.4,0.5 C.7,24,25 D.1 3,1 4 ,1 5 3.如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是( ) A.HL B.SAS C.ASA D.AAS 4.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( ) A.一组锐角对应相等 B.两组锐角对应相等 C.一组边对应相等 D.两组直角边对应相等 5.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B、C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,AD=CE,则∠BAC的度数是( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 6.如图,△ABC的高BD,CE相交于点O,若OD=OE,AO的延长线交BC于点M,则图中全等的直角 ．．三角形共有( ) 32 8 A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 7.已知M 、N 是线段AB 上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A 为圆心,AN 长为半径画弧;再以点B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC 一定是?( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 8.如图,在△ABC 中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD ⊥BC,垂足为D,∠ABC 的平分线交AD 于点E,则AE 的长为( ) A.22? B.32? C.? D.? 二、填空题 9.下列命题中,逆命题是真命题的是 (只填写序号). ①在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行; ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a 、b 、c(c 为最长边)满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形. 10.已知Rt △ABC 中,a,b,c 为三边长,∠C=90°,若a+b=14 cm,c=10 cm,则S △ABC = . 11.在△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长为 . 324 第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=5 3 ，那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中， tan A ＝1，cos B ＝2 1 ，则∠C 的度数是（ ） A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =1，BC =3，则sinA ，cosA 的值分别为( ) A. 21，33 B. 23，21 C. 2 1，3 D. 23，33 4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5．已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6．化简：140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43° C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16° 9．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ，AB=4，则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10．在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，BC=4cm ，∠B=60°，则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分） 11.若2sin （α+5°）=1，则α= °。 12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。 15.如右下图，把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结O B 将 A B 2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 九年级下解直角三角形训练1 九年级下第一章解直角三角形教材分析 锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础.因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一. 一、教学内容 本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用. 研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想. 现实生活中与边角有关的实际问题 锐角三角函数 锐角三角函数的计算 锐角三角函数的运用 解直角三角形 解决与直角三角形有关的实际问题 本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示： 框图说明： (1)现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系. (2)锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦(sinA)、余弦(cosA)和正切(tanA)三种. (3)三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30、45和60这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算. (4)锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形. 28.2 解直角三角形（二） 一、课前预习 (5分钟训练) 1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC= 5 3 ，则BD 的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 图28－2－2－1 图28－2－2－２ 3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示） 二、课中强化(10分钟训练) 1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. 94 B.45.4 C.92 D.9 3 2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________. 3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC. 图28－2－2－3 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数） 图28－2－2－４ 5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号） 图28－2－2－５ 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα) 图28－2－2－6 图28－2－2－7 第一章三角形的证明 1.2 直角三角形（2） 郑州市回民中学八年级数学韩红丽 一、学情分析 学生已经学习了图形的全等、一般三角形全等的条件、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的活动实践中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。 在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、测量、画图、比较、推理、交流等活动，积累了一定数学活动经验；同时，还在探索图形全等的过程中，发展了推理能力和有条理的表达能力，具备了一定的合作探索与合作交流能力。 二、任务分析 本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。 三、学习目标： 1.通过演示实验，探索直角三角形全等的条件； 2.学会用斜边直角边定理判定直角三角形全等。 四、学习重点和难点 学习重点：掌握判定直角三角形全等的条件；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。 学习难点：HL定理的获得及证明。 五、学习过程： （一）、创设情境 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直 角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. （1）你能帮他想个办法吗？（有卷尺、量角器） （2）如果只带了一个卷尺，他能完成这个任务吗？ 工作人员测量了两个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。 设计意图：本环节紧扣《数学课程标准》，体现数学与现实生活的联系,从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学，从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事情中提供观察和操作的机会,使他们感受到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感. （二）、探索与发现 动动手做一做 已知：线段a,c(a﹤c)和直角α， 求作：Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a,AB=c. 初中数学试卷 湘教版八年级数学（下）第一章《直角三角形》提升卷（含答案） 一、选择题（30分） 1、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是（ ） A. 45°； B. 135°； C. 45°或135°； D.以上都不对； 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点旋转一周，则分别以BA 、BC 为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积是（ ） ； B. 3π； C. 9π； D. 6π； 3、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若PA=2，则PQ 的最小值是（ ） A. 1； B. 2； C. 3； D. 4； 4、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. a =1，b =2，c =3； B. a =2，b =3，c =4； C. a =2，b =4，c =5； D. a =3，b =4，c =53； 5、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（ ） A. B. 2； C. D. 4； 6、如图，矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BD 、DF ，则图中全等的直角三角形共有（ ） A. 3对； B. 4对； C. 5对； D. 6对； 7、如图，在一块平地上，李大爷家屋前14m 远处有一颗大树， 在一次强风中，这棵大树从离地面5m 处折断倒下， A B C 第2题 A P O M A N Q · 第3题 A B D E F 第6题 A B C D E 第5题九下第一章解直角三角形电子教案
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