第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ()sin 2
f x x π
=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。
解：
()sin
,2
f x π
= [0,1]x ∈
伯恩斯坦多项式为
(,)()()n
n k k k
B f x f P x n ==∑
其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ???
当1n =时，
01()(1)0P x x ??
=- ???
1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin
022P x x
B f x f P x f P x x x x
ππ=∴=+??=-?+ ???
=
当3n =时，
3
022
122233
31()(1)01()(1)3(1)
03()(1)3(1)
13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ??
=- ?????=-=- ?????
=-=- ?????
== ???
3
3022322
33223
(,)()()
03(1)sin 3(1)sin
sin
6
3
2
3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k
B f x f P x n x x x x x x x x x x x x
x x x π
π
π
=∴==+-+-+=
--+-=++≈--∑
2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明：
若()f x x =，则
(,)()()n
n k k k
B f x f P x n ==∑
001
11(1)(1)
11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)
11(1)1[(1)]n
k n k k n
k
n k
k n
k
n k
k n
k n k
k n
k n k k n n k x x k n k n n n k x x n
k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x
-=-=-=-=----=-??
=- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-??
=+-=∑∑∑∑∑
3．证明函数1,,,n
x x 线性无关 证明：
若20120,n
n a a x a x a x x R ++++=?∈
分别取(0,1,2,,)k
x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得
0101010211111
n a a a n n n ??????
? ? ?
? ? ? ?= ? ?
? ? ? ????? ?+??++ 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， ∴只有零解a=0。
∴函数1,,,n x x 线性无关。
4。计算下列函数()f x 关于[0,1]C 的1,f
f ∞
与2f ：
3(1)()(1),[0,1]1(2)(),2
f x x x f x x =-∈=-
(3)()(1),m n f x x x =-m 与n 为正整数， 10(4)()(1)x f x x e -=+
解：
(1)若3()(1),[0,1]f x x x =-∈，则
2()3(1)0f x x '=-≥
∴3()(1)f x x =-在(0,1)内单调递增
{}{}01
max ()
max (0),(1)max 0,11x f
f x f f ∞
≤≤====
{}{}01
max ()
max (0),(1)max 0,11
x f
f x f f ∞
≤≤====
11
6
2
2
1
72((1))
11[(1)]
07
7
f
x dx x =-=-=
?
(2)若[]1
(),0,12f x x x =-
∈，则
0111
1
12
1max ()2
()12()214
x f f x f
f x dx x dx
∞
≤≤==
==-=??
11
2
2
20
1
1
22
0(())
1[()]26
f
f x dx x dx ==-=??
(3)若()(1),m n f x x x =-m 与n 为正整数
当[]0,1x ∈时,()0f x ≥
1111
()(1)(1)(1)
(1)(1)
m n m n m n f x mx x x n x n m x x m x m ----'=-+--+=-- 当(0,
)m
x n m
∈+时,()0f x '> ∴()f x 在(0,
)m
n m +内单调递减 当(
,1)m
x n m
∈+时,()0f x '< ∴()f x 在(
,1)m
n m
+内单调递减。
01
(
,1)()0max ()max (0),()()x m n m n
m
x f x n m
f f x m f f n m m n m n ∞≤≤+'∈<+==
??=??
+??
=
+
1
10
1
222
2
22
2
()
(1)
(sin)(1sin)sin
sin cos cos2sin
!!
(1)!
m n
m n
m n
f f x dx
x x dx
t t d t
t t t tdt
n m
n m
π
π
=
=-
=-
=
=
++
?
?
?
?
1
122
2
20
1
442
22
1
4141
22
[(1)]
[sin cos(sin)]
[2sin cos]
m n
m n
m n
f x x dx
t td t
t tdt
π
π
++
=-
=
=
=
?
?
?
(4)若10
()(1)x
f x x e-
=+
当[]
0,1
x∈时，()0
f x>
910
9
()10(1)(1)() (1)(9)
x x
x
f x x e x e
x e x
--
-
'=+++-
=+-
>
∴()
f x在[0,1]内单调递减。
{
}01
101
1
01100
1
1090
11
2022
2
2max ()max (0),(1)2()(1)1(1)10(1)0105[(1)]
347()
4x x x x x
f
f x f f e f
f x dx x e dx x e x e dx e
f
x e
dx e
∞
≤≤----==
====+=-+++=-=+=-????
5
。证明f g f g -≥- 证明：
()f
f g g f g g f g f g
=-+≤-+∴-≥-
6。对1
(),()[,]f x g x C a b ∈，定义
(1)(,)()()(2)(,)()()()()
b
a
b
a
f g f x g x dx
f g f x g x dx f a g a ''=''=+??
问它们是否构成内积。 解：
(1)令()f x C ≡（C 为常数，且0C ≠）
则()0f x '= 而(,)()()b
a
f f f x f x dx ''=
?
这与当且仅当0f ≡时，(,)0f f =矛盾
∴不能构成1[,]C a b 上的内积。
(2)若(,)()()()()b
a
f g f x g x dx f a g a ''=+?，则
(,)()()()()(,),(,)[()]()()()
[()()()()]
(,)
b
a
b
a
b
a
g f g x f x dx g a f a f g K
f g f x g x dx af a g a f x g x dx f a g a f g ααααα''=+=?∈''=+''=+=???
1[,]h C a b ?∈,则
(,)[()()]()[()()]()
()()()()()()()()(,)(,)
b
a b b
a
a
f g h f x g x h x dx f a g a h a f x h x dx f a h a f x h x dx g a h a f h h g ''+=++''''=+++=+???
22(,)[()]()0b
a f f f x dx f a '=+≥?
若(,)0f f =，则
2[()]0b
a
f x dx '=?,且2
()0f
a =
()0,()0f x f a '∴≡= ()0f x ∴≡
即当且仅当0f =时，(,)0f f =. 故可以构成1
[,]C a b 上的内积。
7。令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证{}
*
()n T x 是在[0,1]
上带权()x ρ=
的正交
多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x 。 解：
若*
()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，则
1
**
1
()()()(21)(2n m n m T x T x P x dx T x T x =--?
?
令(21)t x =-，则[1,1]t ∈-，且1
2
t x +=
，故
1
**
1
1
11
()()()1
()((
)2
()(n m n m n m T x T x x dx t T t T t T t T t ρ--+==?
?? 又 切比雪夫多项式{}
*
()k T x 在区间[0,1]
上带权()x ρ=
正交，且
110,()(),02
,0
n m n m T x T x d n m n m ππ-≠???
==≠??==??? {}*()n T x ∴是在[0,1]
上带权()x ρ=
又0()1,[1,1]T x x =∈-
*001*11()(21)1,[0,1](),[1,1]
()(21)21,[0,1]
T x T x x T x x x T x T x x x ∴=-=∈=∈-∴=-=-∈
22*222
2()21,[1,1]()(21)2(21)1881,[0,1]
T x x x T x T x x x x x =-∈-∴=-=--=--∈
33*
3
3()43,[1,1]()(21)T x x x x T x T x =-∈-∴=-
332
4(21)3(21)
3248181,[0,1]
x x x x x x =---=-+-∈
8。对权函数2
()1x x ρ=-，区间[1,1]-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3.n x n ?= 解：
若2
()1x x ρ=-，则区间[1,1]-上内积为
1
1
(,)()()()f g f x g x x dx ρ-=?
定义0()1x ?=，则
11()()()()n n n n n x x x x ?α?β?+-=--
其中
1101
2
11
2
11211
3211
221
11
2211
21
((),())/((),())((),())/((),())(,1)/(1,1)(1)(1)0
()(,)/(,)(1)(1)0
(,)/(1,1)
(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x dx x dx
x x
x x x x x x dx x x dx
x x x x dx x α????β????α?αβ--------==∴=+=
+=∴==+=
+==+=
+?????
2216
2
158532()5
dx
x x ?==∴=-
?
3222213221
1
2
221
22212221
1
221
32332222
(,)/(,)
5555
22()()(1)5522()()(1)55
22
(,)/(,)
5522()()(1)55(1)136
17
525167015
2179
()57014
x x x x x x x x x dx x x x dx x x x x x x x dx x x dx x x x x x x
αβ?----=------+=--+==----+=+==∴=--=-????
9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族{}()n u x 是[0,1]上带
权
()x ρ=的正交多项式。
证明：
若()n U x =
令cos x θ=，可得
1
1
1
00
()(sin[(1)sin[(1)]m n U x U x m n d π
π
θθθθ
--===++?
?
??
当m n =时，
20
sin [(1)1cos[2(1)]
2
2
m d m d π
πθθ
θθπ
+-+==
?
?
当m n ≠时，
00020sin[(1)sin[(1)]1
sin[(1){cos(1)}1
1
cos(1){sin[(1)]}11cos(1)cos(1)111cos[(1)]{sin[(1)]}
111sin[(1)]{cos[(1)]}
(1)(m n d m d n n n d m n m n m d n m m d n n n m n d m n m π
ππ
πππθθθ
θθθθθθθθθθθ++=+++=++++=-++++=-+++++=-+++=?
??
???201)sin[(1)]sin[(1)]10
n m d n πθθθ++++=? 201[1(
)]sin[(1)]sin[(1)]01
m n m d n π
θθθ+∴-++=+?
又m n ≠ ，故2
1(
)11
m n +≠+ 0
sin[(1)]sin[(1)]0n m d π
θθθ∴++=?
得证。
10。证明切比雪夫多项式()n T x 满足微分方程
22(1)()()()0n n n x T x xT x n T x '''--+=
证明：
切比雪夫多项式为
()cos(arccos ),1n T x n x x =≤
从而有
2
32
22
22
2
2
()sin(arccos)
arccos)
()sin(arccos)cos(arccos)
1
(1)
(1)()()()
arccos)cos(arccos)
arccos)cos(arcco
n
n
n n n
T x n x n
n x
n n
T x n x n x
x
x
x T x xT x n T x
n x n n x
n x n n
'=-
=
''=-
-
-
'''
∴--+
=-
+
s)
x
=
得证。
11。假设()
f x在[,]
a b上连续，求()
f x的零次最佳一致逼近多项式？解：
()
f x
在闭区间[,]
a b上连续
∴存在
12
,[,]
x x a b
∈，使
1
2
()min(),
()max(),
a x b
a x b
f x f x
f x f x
≤≤
≤≤
=
=
取
12
1
[()()]
2
P f x f x
=+
则
1
x和
2
x是[,]
a b上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为()
f x的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数a，使3
01
max
x
x ax
≤≤
-达到极小，又问这个解是否唯一？解：
令3
()
f x x ax
=-
则()
f x在[1,1]
-上为奇函数
3
01
3
11
max
max
x
x
x ax
x ax
f
≤≤
-≤≤
∞
∴-
=-
=
又()f x 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
∴3331
()()2x T x ω=
与0的偏差最小。 33313
()()44x T x x x ω==-
从而有3
4
a =
13。求()sin f x x =在[0,]2
π
上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：
122222
0()sin ,[0,]
2
()cos ,()sin 0
()()2,
2
cos ,
2
arccos
0.88069
()0.77118
()()()()22
0.10526f x x x f x x f x x f b f a a b a x x f x f a f x f b f a a x a b a π
ππ
π
=∈'''==-≤-==-=∴=≈=+-+=
--=
于是得()f x 的最佳一次逼近多项式为
12
()0.10526P x x π
=+
即
2
sin 0.10526,02
x x x π
π
≈+
≤≤
误差限为
11sin ()sin 0(0)0.10526
x P x P ∞
-=-=
14。求[]()0,1x
f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式。
解：
[](),0,1(),()0
x x x f x e x f x e f x e =∈'∴=''=>
2212222
0()()
1
1ln(1)()1
()()()()22
1(1)ln(1)(1)
221
ln(1)2x x f b f a a e b a
e e x e
f x e e f a f x f b f a a x a b a e e e e -=
=--=-=-==-+-+=
--+--=--=-
于是得()f x 的最佳一次逼近多项式为
11
()(1)[ln(1)]22
1
(1)[(1)ln(1)]
2e P x e x e e x e e e =
+---=-+---
15。求43()31f x x x =+-在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：
43()31,[0,1]f x x x x =+-∈
令1
2()2t x =-，则[1,1]t ∈-
且1122
x t =+
434
321111
()()3()1
2222
1(1024229)16
f t t t t t t t ∴=+++-=++-
令()16()g t f t =，则4
3
2
()1024229g t t t t t =+++-
若()g t 为区间[1,1]-上的最佳三次逼近多项式*
3()P t 应满足
*311
max ()()min t g t P t -≤≤-=
当*
4
234311()()()(881)28
g t P t T t t t -=
=-+ 时，多项式*
3()()g t P t -与零偏差最小，故
*3
43321
()()()2
731025228
t g t T t t t t =-
=++-
进而，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为*
31()16
P t ，则()f x 的三次最佳一致逼近多项式为
*32332173()[10(21)25(21)22(21)]168
51129
544128P t x x x x x x =
-+-+--=-+-
16。()f x x =，在[]1,1-上求关于{}
24
1,,span x x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：
[](),1,1f x x x =∈-
若1
1
(,)()()f g f x g x dx -=
?
且240121,,x x ???===，则
22
2
012222012010212222,,,
5
9
11
(,)1,(,),(,),2322
(,)1,(,),(,),
57
f f f ????????????=========
则法方程组为
01222213522213572122235
7
9a a a
???? ? ??? ? ? ? ? ?
= ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ?
??
?? 解得
012
0.1171875
1.6406250.8203125a a a =??
=??=-? 故()f x 关于{}
24
1,,span x x Φ=的最佳平方逼近多项式为
*24
0122
4
()0.1171875 1.6406250.8203125S x a a x a x x x
=++=+-
17。求函数()f x 在指定区间上对于{}1,span x Φ=的最佳逼近多项式：
1
(1)(),[1,3];(2)(),[0,1];
(3)()cos ,[0,1];(4)()ln ,[1,2];
x f x f x e x
f x x f x x π==== 解：
1
(1)(),[1,3];f x x
=
若3
1
(,)()()f g f x g x dx =
?
且011,,x ??==，则有
22
01220101262,,3
(,)4,
(,)ln 3,(,)2,
f f ??????=====
则法方程组为
0124ln326243a a ??
???? ?= ? ? ? ???????
从而解得
01 1.1410
0.2958
a a =??
=-? 故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为
*01()1.14100.2958S x a a x x
=+=-
(2)(),[0,1]x f x e =
若1
(,)()()f g f x g x dx =
?
且011,,x ??==，则有
22
0122010111,,
3
1
(,),2
(,)1,(,)1,
f e f ??????====-=
则法方程组为
01111211123a e a ??
?-????
= ? ? ? ???
?? ???
从而解得
010.1878
1.6244
a a =??
=? 故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为
*01()0.1878 1.6244S x a a x x
=+=+
(3)()cos ,[0,1]f x x x π=∈
若1
(,)()()f g f x g x dx =
?
且011,,x ??==，则有
22
012201012
11,,
3
1
(,),
22
(,)0,(,),
f f ??????π=====-
则法方程组为
12101221123a a π??
?? ??? ?= ? ? ?- ? ??? ?????
从而解得
01 1.2159
0.24317
a a =??
=-?
故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为
*01()1.21590.24317S x a a x x
=+=-
(4)()ln ,[1,2]f x x x =∈
若2
1
(,)()()f g f x g x dx =
?
且011,,x ??==则有
22
0122010171,,
3
3
(,),
2
3
(,)2ln 21,(,)2ln 2,
4
f f ??????====-=-
则法方程组为
0132ln 21123
372ln 2423a a ??
-?? ??? ?= ? ? ?- ??? ?????
从而解得
01
0.6371
0.6822a a =-??
=? 故()f x 关于{}1,span x Φ=最佳平方逼近多项式为
*01()0.63710.6822S x a a x x
=+=-+
18。()sin 2
f x x π
=，在[1,1]-上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
()sin
,[1,1]2
f x x x π
=∈-
按勒让德多项式{}0123(),(),(),()P x P x P x P x 展开
1
01112
1
1221213
34
11
2
((),())sin
cos 01
2
28
((),())sin
2
31
((),())()sin 0
2225348(10)((),())()sin 222f x P x xdx x f x P x x xdx f x P x x xdx f x P x x x xdx π
π
π
π
ππ
πππ-----==
===
=-=-=-=
????
则
*00*112
*222*3
34
((),())/2012
3((),())/25((),())/20
168(10)
7((),())/2a f x P x a f x P x a f x P x a f x P x πππ====
==-==
从而()f x 的三次最佳平方逼近多项式为
*****3001122332324223443
()()()()()
12
168(10)53()22420(10)120(212)1.55319130.5622285S x a P x a P x a P x a P x x x x x x x πππππππ
=+++-=+---=+≈-
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ= 则
22
012201016,53.63,
(,)14.7,
(,)280,(,)1078,
s s ??????=====
则法方程组为
6
14.728014.753.631078a b ??????= ??? ???????
从而解得
7.855048
22.25376
a b =-??
=? 故物体运动方程为
22.253767.855048S t =-
用最小二乘法求形如2
s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。 解：
若2
s a bx =+，则
{}21,span x Φ=
则
22
012201015,7277699,
(,)5327,
(,)271.4,(,)369321.5,
f f ??????=====
则法方程组为
55327271.453277277699369321.5a b ??????
= ??? ???????
从而解得
0.9726046
0.0500351a b =??
=?
故20.97260460.0500351y x =+ 均方误差为1
4
22
[
(())]
0.1226j
j
j y x y δ==-=∑
用最小二乘法求()y f t =。 解：
3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
16. 求运动方程. 解：设运动方程为S = at + b,由给定数据得 616 1 =∑=i ，7.1461 =∑=i i x ， 63.536 1 2=∑=i i x ， 2806 1 =∑=i i y ，10786 1 =∑=i i i y x 得 ?? ?=+=+1078 63.537.14280 7.146a b a b 解得 b=-7.8550478，a=22.25376 运动方程为S=22.25376t-7.8550478 17.已知实验数据如下： 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意{} 2102)(,1)(,,1x x x x span ===??φ， 所以51), (2 5 1 00==∑=i ?? 7277699),(5 1 4 11== ∑=i i x ?? 5327),(5 12 10== ∑=i i x ?? 4.271),(5 1 0== ∑=i i y y ? 5.369321),(5 1 2 1==∑=i i i y x y ? 得
?? ?=+=+5.36932172769953274 .27153275b a b a 解得：a=0.9726046，b=0.0500351 所以经验公式为 y=0.9726046+0.0500351x 2 均方误差为 : [ ] 130.0)01693.0(),(),(||||||||2 12 11022 2==--=y b y a y ??δ 18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 用最小二乘法求)(t f y = 解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设t b ae y =，两边取对数得 t b Ina Iny + = 记Ina A Iny y ==,，则有 t b A y 1 += 即t x x t span 1 )(,1)(},1,1{10===??φ，计算 ∑=== 11 1 2 00111),(i ??，∑=== 11 1 2 1106232136.01 ),(i i t ?? 6039755.0t 1 ),(),(11 1 i 1010∑ === =i ???? ∑=== 11 1 0639649.13),(i i y y ? ，∑=== 11 115303303.0),(i i i t y y ? 从而解得法方程为 ?? ?=+=+5303303 .0062321366.06039755.0639649 .1360397556.011b A b A
数值分析计算实习题第三章 第二次作业： 题一： x=-1:0.2:1;y=1./(1+25.*x.^2); f1=polyfit(x,y,3) f=poly2sym(f1) y1=polyval(f1,x) x2=linspace(-1,1,10) y2=interp1(x,y,x2) plot(x,y,'r*-',x,y1,'b-') hold on plot(x2,y2,'k') legend('数据点','3次拟合曲线','3次多项式插值') xlabel('X'),ylabel('Y') 输出：f1 = 0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841 f = (4591875547102675*x^3)/81129638414606681695789005144064 - (3305*x^2)/5746 + (1469057404776431*x)/20282409603651670423947251286016 + 4360609662300613/9007199254740992 y1 = -0.0911 0.1160 0.2771 0.3921 0.4611 0.4841 0.4611 0.3921 0.2771 0.1160 -0.0911
x2 = -1.0000 -0.7778 -0.5556 -0.3333 -0.1111 0.1111 0.3333 0.5556 0.7778 1.0000 y2 = 0.0385 0.0634 0.1222 0.3000 0.7222 0.7222 0.3000 0.1222 0.0634 0.0385 题二： X=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0]; Y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46]; p1=polyfit(X,Y,3) p2=polyfit(X,Y,4) Y1=polyval(p1,X) Y2=polyval(p2,X)
第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ???
3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得
第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相 对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误 差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
证明：如果求积公式（）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ???
3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得
第三章 矩阵特征值与特征向量的计算 -------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我们学到了四种矩阵特征值和特征向量的计算方法，分别是幂法、反幂法、Jacobi 方法和QR 方法 四种方法各有其特点和适用范围。幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi 方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR 方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。 此外，用MATLAB 自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m 文件。其自带函数Eig 功能强大，即便得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。 二、本章知识梳理 3.1.1幂法 幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。 设n ×n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n x x x ,....,,21，其相应的特征值,,...,21n λλλ满足不等式 n λλλλ≥≥> (321)
其中i ix i Ax λ=)...,3,2,1(n i =。 任取一n 维非零向量u 0，从u 0出发，按照如下的递推公式 ...)2,1(1===k Au u k k 可产生一个向量序列，分析这一序列的收敛情况，可从中找出计算特征值和特征向量的方法。 因n 维向量组n x x x ,....,,21线性无关，故对向量u 0必存在唯一的不全为0的数组a 1,a 2,…,a n ,使得n n x a x a x a u +++=...22110 由上式可得： ])(...)( [ (1) 212 211122211122110221n n n k n k n n k k n k n k k k k k k x a x a x a x a x a x a x A a x A a x A a u A u A Au u λλλλλλλλ+++=+++= +++=====-- 设a 1≠0,由上式可以看出，当k 充分大时有 111x a u k k λ≈ 得迭代公式： 9u A u k k = 实际中计算时，为了避免迭代向量u k 的模过大，（当11>λ）或过小（当11<λ），通常对u k j 进行归一化，使其范数等于1. 幂法的迭代公式： （1）用2?范数来归一，并且令k k T k u y 1-=β 任取非零向量n R u ∈0 )1()1(1---=k k T k u u η 111---=k k k u y η 1-=k k Ay u
填空题(2 O X 2') 位有效数字 若 f(x)=x 7 f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= f[20,21,22,23,24,25,26,27]=_J 3. II AX || *< 15 __0 4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| 'x)| <1 ，则使用该迭代 函数的 迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间［a,b ］上的三次样条插值函数S(x)在［a,b ］上具有直到 2阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公 式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 n 7. 拉格朗日插值公式中f(x i )的系数a i (x)的特点是： a i (x) ___ 1 __________ ;所以当 i 0 系数a i (x)满足 _______ a i (x)>1 _____________________ ，计算时不会放大 f(x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k+1)=Bx (k)+g(k=0,1,…)收 敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 (B)<1 _______________________ 10. _______________________________________________ 由下列数据所确定的插值多项式 的次数最高是 _______________________________________ 5 ______ o 11. 牛顿下山法的下山条件为 一|f(xn+1)|<|f(xn)| __________________ o 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差 r i (i=0,1…-,n)来实现的，其中的残差 r i = (b i -a i1 X 1-a i2x 2-?…-a in x n )/a ii __________________________________ ， (i=0,1,…，n)。 13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x) 的二阶导数不变号，则初始点X 0的选取依据为 f （xO ）f ”x0）＞0 数值分析试题 1. 2 1，X 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，贝U x 有_2 2. x 3 + 1 ,
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小.
11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为 ,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据定义的范德蒙行列式,令 2000 011211121 ()(,, ,,)1 1 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)() ()n n n n V x V x x x x x x x ---=--. 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.
第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P
解：
* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'
第一章 1、ln2=０．6931４７18…，精确到 １0-3 的近似值是多少? 解 精确到 10－３ =0.001，即绝对误差限是 ε＝0.0５%，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.6９３。 ２、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x ==?则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? ?1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为１0．2５±0．25mm,高ｈ为４0.00±１.00mm ，则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解: ()() 22222222 4314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 ,.....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： １、分别利用下面四个点的Lag ｒa ｎg ｅ插值多项式和Ｎewton 插值多项式 N 3(x ）,计算L ３(0.５）及Ｎ３(-0.5) 解:(1)先求3 32211003)()()()()(y x l y x l y x l y x l x L +++= (１分） =----+---+=------= )12)(02)(12() 1)(0)(1())()(())()(()(3020103210x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(1(6 1-+-， （2分)
数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7
x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7
第一章 函数逼近之曲线拟合 要点：（1）曲线拟合的最小二乘法基本概念 （2）拟合函数空间12((),(), (),)m span x x x ???Ω=中基函数的确定 （3）法方程组的形成及求解 复习题： 1 解：取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010 111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ??????? 即72126219199a b ??????= ??? ??????? , 解得 413 , 284a b == 所求拟合直线为： 413()284 f x x =+ 2、依据下表，求形如bx a y += 1 的拟合函数 解：引进1 Y y =，则 Y a bx =+ 取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010 111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ???????
即335 1570.271915753279.70510911a b ????????= ? ????????? , 解得 45.1398, 3.1692a b =-= 所求拟合曲线为： 1 ()45.1398 3.1692f x x = -+ 3 解：取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ????? ?? 即41010.2103027.7a b ??????= ??? ??????? , 解得 1.45, 0.44a b == 所求拟合直线为： () 1.450.44f x x =- 4、已知实验数据如下 用最小二乘法求形如2 y a bx =+的经验公式，并计算均方误差 解：取基函数201()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ????? ?? 即335550.0645155979 1.0860910a b ??????= ? ?????????? ?, 解得 1.8000, 1.0091a b == 所求拟合直线为： 2 () 1.8000 1.0091f x x =+
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15，227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差： 3()0.0013()0.4110227 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10) 22 3.1428571430.3142857143107 ==?，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937 π-=-=-L L