残差平方和
概念：
为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。
意义：
每一点的y值的估计值和实际值的差的平方之和称为残差平方和,而y 的实际值和平均值的差的平方之和称为总平方和。
定义：
协方差是关于如何调节协变量对因变量的影响效应，从而更加有效地分析实验处理效应的一种统计技术，也是对实验进行统计控制的一种综合方差分析和回归分析的方法。
意义
当研究者知道有些协变量会影响因变量，却不能够控制和不感兴趣时（当研究学习时间对学习绩效的影响，学生原来的学习基础、智力学习兴趣就是协变量），可以在实验处理前予以观测，然后在统计时运用协方差分析来处理。
将协变量对因变量的影响从自变量中分离出去，可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度。
方差是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大，该变量的变异越大；
协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，二个变量相互影响越大。
对于仅涉及单个变量的试验资料，由于其总变异仅为“自身变异”（如单因素完全随机设计试验资料，“自身变异”是指由处理和随机误差所引起的变异），因而可以用方差分析法进行分析；
对于涉及两个变量的试验资料，由于每个变量的总变异既包含了“自身变异”又包含了“协同变异”（是指由另一个变量所引起的变异），须采用协方差分析法来进行分析，才能得到正确结论。
方法
（一）回归模型的协方差分析
如果那些不能很好地进行试验控制的因素是可量测的，且又和试验结果之间存在直线回归关系，就可利用这种直线回归关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的结果，使得处理间的比较能在相同基础上进行，而得出正确结论。这一做法在统计上称为统计控制。
这时所进行的协方差分析是将回归分析和方差分析结合起来的一种统计分析方法，这种协方差分析称为回归模型的协方差分析。
（二）相关模型的协方差分析
方差分析中根据均方MS与期望均方EMS间的关系，可获得不同变异来源的方差分量估计值；在协方差分析中，根据均积MP与期望均积EMP间的关系，可获得不同变异来源的协方差分量估计值。
这种协方差分析称为相关模型的协方差分析。
残差平方和：
为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。
回归平方和
总偏差平方和=回归平方和+ 残差平方和。
残差平方和与总平方和的比值越小，判定系数 r2 的值就越大。
协变量：在实验的设计中，协变量是一个独立变量（解释变量），不为实验者所操纵，但仍影响实验结果。
（一）原理 一、基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。
二、协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β. 2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差，
协方差分析的基本原理 1．协方差分析的提出 无论是单因素方差分析还是多因素方差分析，它们都有一些人为可以控制的控制变量。在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。又比如，考查受教育程度对个人工资是否有显著影响，这时必须考虑工作年限因素。一般情况下，工作年限越长，工资就越高。在研究此问题时必须排除工作年限因素的影响，才能得出正确的结论。再如，如果要了解接受不同处理的小白鼠经过一段时间饲养后体重增加量有无差别，已知体重的增加和小白鼠的进食量有关，接受不同处理的小白鼠其进食量可能不同，这时为了控制进食量对体重增加的影响，可在统计阶段利用协方差分析（Analysis of Covariance），通过统计模型的校正使得各组在“进食量”这个变量的影响上相等，即将进食量作为协变量，然后分析不同处理对小白鼠体重增加量的影响。 为了更加准确地控制变量不同水平对结果的影响，应该尽量排除其它在实验设计阶段难以控制或者是无法严格控制的因素对分析结果的影响。利用协方差分析就可以完成这样的功能。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。以下将以一元协方差分析为例，讲述协方差分析的基本思想和步骤。 2．协方差分析的计算公式 以单因素协方差分析为例，总的变异平方和表示为： Q Q Q Q ++ 总控制变量协变量随机变量 ＝ 协方差分析仍然采用F检验，其零假设 H为多个控制变量的不同水平下，各总体平均值没有显著差异。 F统计量计算公式为： 2 2 S F S 控制变量 控制变量 随机变量 ＝, 2 2 S F S 协变量 协变量 随机变量 ＝ 以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率值。 如果F 控制变量 的相伴概率小于或等于显著性水平，则控制变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响；如 果F 协变量 的相伴概率小于或等于显著性水平，则协变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响。 3．协方差分析需要满足的假设条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量； （2）对连续变量或定居变量的协变量的测量不能有误差； （3）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；（4）协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中，协变量的回归系数（即各回归线的斜率）必须是相等的，即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量 方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 假定条件和假设检验? 1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。 作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说
第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。
第四章方差分析 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是将待分析资料的总变异剖分为不同的变异来源，以获得不同变异来源的总体方差的估计值。通过F检验，完成多个样本平均数之间的差异显著性检验（即多重比较），若处理效应为随机模型时，则进行方差组分的估计。 4.1 方差分析的SAS过程 用于方差分析的主要过程有方差分析（ANOVA）和广义线性模型(GLM)。对于无缺省（缺值、缺组等）资料，或称平衡资料，一般采用（ANOVA）过程，对缺省资料（非平衡资料）应采用（GLM）过程。事实上根据效应模型的不同，还有VARCOME（方差组分）过程,MIXED（混合模型）过程等。 4.1.1 ANOVA过程 1. 名词解释 自变量与依变量在方差分析中，自变量可称为独立变量、定性变量（Qualitative Variale）、分类变量（Classiflcation Variable）或类别变量（Categorcal Variable），相当于因素处理、水平变量。依变量又称反应变量（Response Variable），相当于观察值变量。 实验效应方差分析的目的是找出对依变量产生的实验效应，这种效应可分为3种：主效应，常以自变量的英文字母表示，如A、B等。互作效应，常以星号联接自变量表示，如A*B。嵌套效应，以小括号表示，如A（B）表示A效应嵌套在B效应之内。 2 语句说明： CLASS指令必须出现在MODEL指令之前，如选用TEST、MANOVA指令，则它们必须出现在MODEL指令之后。MEANS、TEST及MANOVA等指令可重复使用，其他指令则只能出现一次。
PROC ANOV A选项串中：⑴DA TA=输入数据集名称，指明对它执行ANOV A分析。⑵MANOV A 要求将含一个或一个以上依变量遗漏数据的观察值剔除。⑶OUTPUT=(含分析结果的)输出文件名称，包括平方和(SS)，F检验值，以及各效应的显著程度。 CLASS变量名称串指明自变量，自变量可以是数值的或文字的。 MODEL指令定义分析所用的线性数学模型(见表6—1)，删除号（/）后的选项：⑴NOUNI：不印出单变量方差分析的结果，适用于多变量的方差分析。⑵INT：要求SAS把线性模型内的截距（即资料的总平均数）当成一个参数，同时对这个截距作是否为零的假设检验。 MEANS指令前半部要求算出某些自变量（或互作）中各组的平均数，后半部（删除号后）共有24个选项，前17个选项分别对MEANS指令中所列的主效应平均数进行多种方法的多重比较。这些选项有：⑴BON：修正最小显著差异t检验。⑵DUNCAN：邓肯多重范围检验，即邓肯氏新复极差法。⑶DUNNETT（控制组组名）：邓尼特控制差异检验。它是依据t分布由各组平均数与控制组（指定组如对照组）进行比较，采用双尾检验。⑷DUNNETTL（控制组组名）：邓尼特小于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的下端。⑸DUNNETTU（控制组组名）：邓尼特大于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的上端。⑹GABRIEL：贵博氏多重比较。⑺REGWF：R—E—G—W多重F检验。⑻REGWQ：R—E—G—W多种t检验。⑼SCHEFFE：执行沙菲氏(Scheffe)的多重比较检验。⑽SIDAK：Sidak调整T检验。⑾SUM（或⑿GTI）：Sidak独立样本t检验。当两组样本含量不等时为哈氏（Hochberg）的GTI 检验。⒀SNK：纽曼—库尔多重范围检验，即q检验。⒁T（或⒂LSD）：配对t检验或费歇尔最小显著差异检验。⒃TUKEY：图基固定极差检验。⒄W ALLER：娃尔—邓肯K—比率t检验。以上17种检验法最常用的为⑵、⑶、⑸、⒀、⒁。其它主要选项还有⒅ALPHA=P：界定检验的显著水准。内设值为P=0.05。当上面选项与选项⑵并用时，P值必须是0.10、0.05、0.01三者之一。与上面其他检验选项时，P可以是0.0001与0.9999间任何的值。⒆LINES：将显著性检验的平均数，由大到小排列。若某一对平均数之间无显著差异，则将它们印在同一行上，并以虚线将它们与其他有显著差异的平均数分开。当选用⑵、⑺、⑻、⒀或⒄等检验时，此选项会自动被包括在内，否则，必须附加此选项。⒇CLM：效应的各组平均数以置信区间方式表示。此项必须与⑴、⑹、⑼、⑽、⑾、⒁、⒂等联用。(21)CLDIFF：与(20)相仿，选用⑵、⑺、⑻、⒀、⒄时，附加此选项，将以置信区间方式显示各组平均数。(22)E=效应名称：它界定各显著检验的分母，缺省时以误差项的均方自动成为分母。 FREQ指令指明该变量值为各观察值重复出现的次数。 TEST指令用来指定F检验的分子与分母，H=分子，E=分母；一般而言，系统自动采用误差项的均方作为F检验的分母。但对于随机模型等，可选此项。 MANOV A指令主要用于执行多变量(多元)方差分析。 BY指令用于把数据文件分成几个小文件，然后逐一进行ANOV A分析，但文件内的数据必须先按照BY变量串的值做由小到大的重新排列。此步骤可籍PROC SORT达成。 以上指令中MODEL指令至关重要，同一资料，分析结果依模型不同而异。常用的模型定义语句有：MODEL Y=A；单因素方差分析，MODEL Y=A B两因素主效应模型，MODEL Y=A B A*B两因素带互作模型，MODEL Y=A B(A)嵌套（NESTED）模型用
SPSS单因素方差分析(ANOVA)- 案例解析
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SPSS单因素方差分析（?ANOVA）案例解析 2011-08-30 11:10 这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近学习SPSS单因素方差分析（ANOVA分析，今天希望跟大家交流和分享一下： 继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察老鼠死亡和存活情况。 研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？ 样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠b代表雌性老鼠0代表死亡1代表活着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果） 点击“分析”一一比较均值------ 单因素AVOVA,如下所示:
从上图可以看出，只有“两个变量”可选，对于“组别（性别）”变量不可选，这里可能需要进行“转换”对数据重新进行编码， 点击“转换”一“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如 下结果”
組别 g g生存时间tim 生存结局stat us ro a51r3.w \ a70/ 8.00 a131；' a.oo 131I 3 OG i a23 1 I BOO a301 1 9.00 1 a J 300\ 8.00._1 a羽1\ 000 a421\ B.OO a421\ s.oo a450 \ S 00./d h 119 00 b319.0C ]b3 19.00 Tb119 00 101900 b1519.00 ]b 1519.00 b2319.00 〕b3019 00 此时的8代表a（雄性老鼠）9代表b雌性老鼠，移入“因变量列表”框内，将“性别”移入“因子” 按钮，如下所示： 我们将“生存结局”变量框内，点击“两两比较”
23. 协方差分析 一、基本原理 1. 基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 2. 协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 二、协方差理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++
多因素方差分析 多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。 [例子] 研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。 表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表 数据保存在“DATA5-2.SAV”文件中，变量格式如图5-1。 1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。然后输入对应的数值，如图5-6所示。或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。
图5-6 数据输入格式 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。 图5-7 多因素方差分析窗口 3）设置分析变量 设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。 设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。可以选择多个因素变量。由于内存容量的限制，选择的因素水平组合数(单元数)应该尽量少。
协方差分析在教学评价中的应用
协方差分析在教学评价中的应用 摘要:通过回归分析和方差分析方法的结合,协方差分析方法能够有效地消除混杂因素对分析指标的影响.运用SPSS软件,对某 高校六个班一门基础课和一门专业课上下学期的期末成绩进 行了协方差分析.结论显示,协方差分析方法能够对教学效率 做出更合理的评价. 关键词: 协方差分析教学效率方差分析 一前言 方差分析是从质量因子探讨不同因素水平对实验指标影响的差异.一般来说,质量因子是可以人为控制的.回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系.大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的. 协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法.在许多有关效果评价的实验中,经常会出现可控制的质量因子和不可控制的数量因子同时影响实验结果的情况,这时就需要采用协方差分析的统计处理方法,将质量因子与数量因子(即协变量)综合起来加以考虑. 比如,在实际的教学管理中,要评价教学效率和质量,比较不同班级同一课程的学习效率,除了要考虑使用教程、教师素质、教学方法、
班级学风、学生学习努力程度这些当前影响因素以外,学生的前期学习基础差异也影响着当前的教学效率.为了能够准确地考查评价教学效率,必须消除前期学习基础差异这些因素的影响,才能得到正确的评价. 方差分析法忽视了学生的基础成绩对当前成绩的影响,没有考虑学生的基础成绩这一混杂因素的影响,仅仅对当前的学生学习成绩进行评价,得出的结论就不能全面客观地反映实际教学效率. 本研究采用协方差分析法,利用一个教学班两个学期的物流管理课程期末成绩和配送中心管理课程期末成绩的数据,对教学效率的评价问题进行了研究. 二协方差分析及公式 为了提高实验效果的精确性,需要尽力排除影响实验结果的其他因素,即非处理因素(混杂因素)的干扰和影响,使各处理间尽量一致,再对各处理因素做方差分析,这就是协方差分析. 协方差分析的基本思想是在作两组或多组均数yi(i =1,2,…, n)之间的比较前,用直线回归方法找出各组因变量与协变量之间的数量关系,求得在假定协变量相等时的修正均数yi(i =1,2,…, n),然后用方差分析比较修正均数的差别.协方差分析涉及一些较深的统计理论, （1）计算各组的均值、平方和及协方和:
197 第十章 协方差分析 第一节 协方差分析的意义 协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。这时可利用仔猪的初始重(记为x )与其增重(记为y )的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。若y 的变异主要由x 的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的y '间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。若y 的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y '间将有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的y '和原y 的大小次序也常不一致。所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance )。 二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式： ∑∑∑----= 2 2)()())((y y x x y y x x r 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n -1)，得 ? ? ? ? ? ?--????? ?-----= ∑∑∑)1()() 1()()1/())((2 2 n y y n x x n y y x x r （10-1） 其中 1 )(2--∑n x x 是x 的均方MS x ，它是x 的方差2x σ的无偏估计量；
第九章方差分析 【思考与练习】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS 、、各表示什么含义？ 总组间组内 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？ 二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著
3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+ 6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差 D. SS SS SS SS =++B A 总误差 E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差 7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析
23. 协方差分析 （一）原理 一、基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 二、协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+（1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β.
第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。
简单教程0 2 1.相关配套数据已经上传百度文库： 2.配套软件SPSS 17.0 已经上传百度文库； 百度文库搜索“SPSS简单教程配套数据及软件_chenxy” 百度云盘链接； 3 协方差分析 (2) 3.1 单因素协方差分析 (2) 3.2 双因素协方差分析 (4) 3.2.1 无交互作用的协方差分析 (4) 3.2.2 有交互作用的协方差分析................................................... 错误！未定义书签。
3 协方差分析 课程内容： 协方差分析 这种不是在试验中控制某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对试验指标的值作出调整的方法称为统计控制 以统计控制为目的，利用线性回归消除混杂因素的影响后再进行的方差分析，称为协方差分析； 所需要统计控制的一个或多个因素，称为协变量； 1.自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量； 2.对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； 3.协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违 背这一假设； 4.协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中，协变量的回归系数（即各回归 线的斜率）必须是相等的，即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设。 5.自变量与协变量是直角关系，即互不相关，它们之间没有交互作用。如果协方差受自变 量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除。 分类变量：以班级将学生分类班级即为分类变量 定距变量：刻度级变量定距定比 连续变量：可以用小数表示的变量 协方差分析：将回归分析与方差分析相结合的一种分析方法 3.1 单因素协方差分析 判断是否需要做协方差分析 1）对自变量做单因素方差分析 2）对自变量和因变量做相关分析 方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同质性检验），只有满足上述条件后才能应用，否则不宜适用 操作步骤1 （数据见文件20151022_单因素协方差分析） 1.在Variable View 窗口定义变量 肥料（nominal 并设定标签值1~3 肥料A~C ） 第一年产量（Scale） 第二年产量（Scale） （判断需不需要做协方差分析） 操作步骤1 ： 先对第一年产量为协变量进行单因素协方差分析： Analyze -> Compare Means -> one-way ANOVA Continue -> OK 结果如下： 由表可知：F=6.340 sig.(P值)=0.007 < 0.05 表明拒绝原假设H0，有95%的把握认为第一年的产量是有显著性差异的 操作步骤2 ： Analyze ->Correlate -> Bivariate 进入Bivariate Correlations 窗口勾选Pearson
残差平方和 概念： 为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。 意义： 每一点的y值的估计值和实际值的差的平方之和称为残差平方和,而y 的实际值和平均值的差的平方之和称为总平方和。 定义： 协方差是关于如何调节协变量对因变量的影响效应，从而更加有效地分析实验处理效应的一种统计技术，也是对实验进行统计控制的一种综合方差分析和回归分析的方法。 意义 当研究者知道有些协变量会影响因变量，却不能够控制和不感兴趣时（当研究学习时间对学习绩效的影响，学生原来的学习基础、智力学习兴趣就是协变量），可以在实验处理前予以观测，然后在统计时运用协方差分析来处理。 将协变量对因变量的影响从自变量中分离出去，可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度。 方差是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大，该变量的变异越大； 协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，二个变量相互影响越大。
对于仅涉及单个变量的试验资料，由于其总变异仅为“自身变异”（如单因素完全随机设计试验资料，“自身变异”是指由处理和随机误差所引起的变异），因而可以用方差分析法进行分析； 对于涉及两个变量的试验资料，由于每个变量的总变异既包含了“自身变异”又包含了“协同变异”（是指由另一个变量所引起的变异），须采用协方差分析法来进行分析，才能得到正确结论。 方法 （一）回归模型的协方差分析 如果那些不能很好地进行试验控制的因素是可量测的，且又和试验结果之间存在直线回归关系，就可利用这种直线回归关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的结果，使得处理间的比较能在相同基础上进行，而得出正确结论。这一做法在统计上称为统计控制。 这时所进行的协方差分析是将回归分析和方差分析结合起来的一种统计分析方法，这种协方差分析称为回归模型的协方差分析。 （二）相关模型的协方差分析 方差分析中根据均方MS与期望均方EMS间的关系，可获得不同变异来源的方差分量估计值；在协方差分析中，根据均积MP与期望均积EMP间的关系，可获得不同变异来源的协方差分量估计值。 这种协方差分析称为相关模型的协方差分析。 残差平方和： 为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。 回归平方和 总偏差平方和=回归平方和+ 残差平方和。 残差平方和与总平方和的比值越小，判定系数 r2 的值就越大。 协变量：在实验的设计中，协变量是一个独立变量（解释变量），不为实验者所操纵，但仍影响实验结果。
协方差分析在教学评价中的应用 摘要:通过回归分析和方差分析方法的结合,协方差分析方法能够有效地消除混杂因素对分析指标的影响.运用SPSS软件,对某 高校六个班一门基础课和一门专业课上下学期的期末成绩进 行了协方差分析.结论显示,协方差分析方法能够对教学效率 做出更合理的评价. 关键词: 协方差分析教学效率方差分析 一前言 方差分析是从质量因子探讨不同因素水平对实验指标影响的差异.一般来说,质量因子是可以人为控制的.回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系.大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的. 协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法.在许多有关效果评价的实验中,经常会出现可控制的质量因子和不可控制的数量因子同时影响实验结果的情况,这时就需要采用协方差分析的统计处理方法,将质量因子与数量因子(即协变量)综合起来加以考虑. 比如,在实际的教学管理中,要评价教学效率和质量,比较不同班级同一课程的学习效率,除了要考虑使用教程、教师素质、教学方法、
班级学风、学生学习努力程度这些当前影响因素以外,学生的前期学习基础差异也影响着当前的教学效率.为了能够准确地考查评价教学效率,必须消除前期学习基础差异这些因素的影响,才能得到正确的评价.
方差分析法忽视了学生的基础成绩对当前成绩的影响,没有考虑学生的基础成绩这一混杂因素的影响,仅仅对当前的学生学习成绩进行评价,得出的结论就不能全面客观地反映实际教学效率. 本研究采用协方差分析法,利用一个教学班两个学期的物流管理课程期末成绩和配送中心管理课程期末成绩的数据,对教学效率的评价问题进行了研究. 二协方差分析及公式 为了提高实验效果的精确性,需要尽力排除影响实验结果的其他因素,即非处理因素(混杂因素)的干扰和影响,使各处理间尽量一致,再对各处理因素做方差分析,这就是协方差分析. 协方差分析的基本思想是在作两组或多组均数yi(i =1,2,…, n)之间的比较前,用直线回归方法找出各组因变量与协变量之间的数量关系,求得在假定协变量相等时的修正均数yi(i =1,2,…, n),然后用方差分析比较修正均数的差别.协方差分析涉及一些较深的统计理论, （1）计算各组的均值、平方和及协方和:
第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型 在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。 §10.1 向量自回归导论 仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1?n 向量之间的动态交互作用。假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ： t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ?阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足： ? ? ?≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ?阶正定矩阵。 可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为： t p t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,) 2(12,2)2(122,1)2(111 ,) 1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2) 由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。 利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为： t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为： p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ 其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ 定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t 无关： )(t E y 和)(j t t E -'y y 命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有： (1) 该过程的均值向量可以表示成为： c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4) (2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式： 12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5) §10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件 与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶的向量为： 1(,,,)np ?'=t t-1t-p+1ξy -μy -μy -μ )0,,0,(1'=? t np V ε