1 一维随机变量及其分布
本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数
1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图.（2）X 的分布函数为
2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数.
（1）求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 3设随机变量的分布函数为
求X 的概率分布列及 ()()()()3,3,1,1P X P
X P X P X <≤>≥..
4.随机变量X 的密度函数为1,
11,()0,.x x p x ?--≤≤=??其它求X 的分布函数.
5.学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，（单位h ）密度函数为
（1）确定常数c ；（2）X 的分布函数；（3）求在20min 内完成一道作业的概率；
（4）求在10min 以上完成一道作业的概率.
6.已知随机变量X 的密度函数为()21,x x p x x e e π-=-∞<<+∞+试求随机变量
()Y g X =的概率分布，其中()1,0;1,
0.
x g x x -
8. 设随机变量X 的密度函数()23,1120,
.X x x p x ?-≤≤?=???其它 试求下列随机变量的分布：（1）3;(2)3.Y X Y X ==-（3）2Y X =
0,0;14,01;()13,13;12,36;1,
6.x x F x x x x
cx x x p x ?+≤≤=??其它1,0,1,0X Y X -
§3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ．
一、单项选择题 1 则c =A. 81 B. 41 C. 31 D. 2 1 2．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变 A B C D 3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 （ ） A .???≤≤=其他0102)(1x x x F B .?????≥<≤<=111000)(2x x x x x F C .?????≥<≤--<-=111111)(3x x x x x F D .?? ? ??≥<≤<=121020 0)(4x x x x x F 4．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量21X X 与的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是 某一个随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （ ） A .52,53-== b a B .32,32==b a C .23,21=-=b a D .2 3 ,21-==b a 5．设随机变量X 具有对称的概率密度，即)()(x f x f =-，则对任意0>a ，=>)|(|a X P （ ） A .)(21a F - B .1)(2-a F C .)(2a F - D .)](1[2a F - 6．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2 μN X ，)5,(~2 μN Y ，记 }2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ） A .对任何实数μ，都有21p p = B .对任何实数μ，都有21p p < C .只对μ的个别值才有21p p = D .对任何实数μ，都有21p p > .7 设随机变量X 的密度函数为4,01, ()0,cx x f x ?<<=??其它 ，则常数c =（ ）. A. 51 B. 4 1 C. 4 D. 5 8 设2 ~(1,)X N σ-且(31)0.4P X -<<-=，则(1)P X ≥= （ ）. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 二、填空题 1．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布)(λπ，1 }0{-==e X P ，则=λ 2．设随机变量X 的密度函数为??? ??<<--=其他 111)(2 x x C x f ，则常数=C
第3章 多维随机变量及其分布试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）
(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1
随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 （一）、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样
知识点二 条件概率与事件的独立性 （一）、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | “随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2．2 二项分布及其应用约4课时 2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2．4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外 第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++ a a a a . 49 36 ,194= =++b b b b (X, Y) 圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1 9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,Ｘ取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列、 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1、两点分布 则称Ｘ服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率、 2、超几何分布 一般地,在含有Ｍ件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型就是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设Ａ,Ｂ为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率、 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 与C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A,Ｂ两个事件,如果事件A 就是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事 件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件Ａ1,A ２,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (２)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响、 四、n 次独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为ｎ次独立重复试验、 在n 次独立重复试验中,记i A 就是“第i 次试验的结果”,显然,1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其她试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验就是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件就是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生、 n 次独立重复试验的公式: n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功概率、 五、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则 ()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=???， 此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作~(,)X B n p ,并称ｐ为成功概率、 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++ 为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 则()EY aE X b =+,即()()E aX b aE X b +=+ 2.一般地,如果随机变量X 服从两点分布,那么 第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X 具有概率密度 )5.4(,, 0,,1 )(??? ??<<-=其它b x a a b x f 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X 的分布函数为 )6.4(. , 1,, ,,0)(???? ???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F （2）指数分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 )7.4(, , 0,0,e 1)(/?????>=-其它x x f x θ θ 其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布. 容易得到X 的分布函数为 )8.4(. , 0,0,1)(/?? ?>-=-其它x e x F x θ 如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 1 =2 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 }. {e e e )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>= >>?+>= >+>--+-θ θθ 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 ) 10.4(,,e 21)(2 22)(∞<<-∞= -- x x f x σ μσ π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ). 显然f(x)≥0, 下面来证明 1d )(=? +∞ ∞ -x x f 令t x =-σμ/)(, 得到 dx e dx e t x 2 2)(2 2 22121- ∞ +∞ --- ∞ +∞ -? ? = π σ πσ μ . 1d 21d 21 ) 11.4(π 2d d e ,, d d ,d e 2 2)(20 2 22 /)(22 /2 2 2222 2 == ====? ??? ? ? ?∞ ∞ -- ∞ ∞ ---∞ - +∞∞-+∞ ∞ -+-∞ ∞--x e x e r r I u t e I t I t x r u t t π σ πθσμπ 于是 得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质: （1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意 f (x )的图形: 1.5 0.5 随机变量及其分布知识点整理 、离散型随机变量的分布列 般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为x-i , x 2, , x i , , Xn , X 取每一个值X j (i 1,2, ,n)的概率 P(X x ) p ，则称以下表格 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1) P > 0,i 1,2, , n (2) p 1 p 2 p n 1 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称 p=P(X=1)为成功概率? 2.超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则事件 x k 发生的概率为: 其中 m min M , n ，且n N, M N,n ,M,N N 。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A)鵲为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条 件概率? 0 < P(B | A) < 1 如果 B 和 C 互斥，那么 P[(BUC)|A] P(B|A) P(C|A) 三、相互独立事件 设A , B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即P(AB) P(A)P(B)),则称事件 A 与事件 B 相互独立。 即A 、B 相互独立 P(AB) P(A)P(B) 般地，如果事件 A,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率 P(X k) k n k C M C N M k C N 0,1,2,3,…，m 的积，即P(AA..A) P(A)P(A2)...P(A n). 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响? 四、n次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验? 在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，P(AA2 A n) P(A)P(A2) P(AJ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注：独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 n次独立重复试验的公式： 一般地，在r次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X k) C：p k(1 p)n k C：p k q nk,k 0,1,2,…，n.(其中q 1 p)，而称p 为成功概率? 五、二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k k n k P(X k) C n p (1 p) ，k 0,1,2, ,n 此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称E(X) Xg X2P2 X i P i X n P n 为X的数学期望或均值，简称为期望?它反映了离散型随机变量取值的平均水平 则EY aE(X) b，即E(aX b) aE(X) b 2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 E(X)=1 p 0 (1 p) p 即若X服从两点分布，则E(X) p 3?若X ~ B(n, p)，则E(X) np 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 般地，若离散型随机变量x的概率分布列为 1 一维随机变量及其分布 本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数 1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码. （1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图.（2）X 的分布函数为 2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数. （1）求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 3设随机变量的分布函数为 求X 的概率分布列及 ()()()()3,3,1,1P X P X P X P X <≤>≥.. 4.随机变量X 的密度函数为1, 11,()0,.x x p x ?--≤≤=??其它求X 的分布函数. 5.学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，（单位h ）密度函数为 （1）确定常数c ；（2）X 的分布函数；（3）求在20min 内完成一道作业的概率； （4）求在10min 以上完成一道作业的概率. 6.已知随机变量X 的密度函数为()21,x x p x x e e π-=-∞<<+∞+试求随机变量 ()Y g X =的概率分布，其中()1,0;1, 0. x g x x - （1） 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： L L ,,,,|)(21k k p p p x X P =L L ,,,,21k x x x X 。 显然分布律应满足下列条件： （1），0≥k p L ,2,1=k ， （2）。 ∑==1 1k k p ∞ )(x F （2）连续型随机变量的密度 X 的分布函数，若存在非负函数，对任意实数)(x f 设是随机变量x ，有 ∫∞?=dx x f x F )()(x ， X 为连续型随机变量。称为)(x f 则称X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° 。 0)(≥x f +∞2° 。 ∫∞?=1)(dx x f （2） 离散与连续型随机变量的关系 dx x f dx x X x P x X P )()()(≈+≤<≈= 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 dx x f )(k k p x X P ==)(（3） 分布函数 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数 )()(x X P x F ≤= 称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 )()()(a F b F b X a P ?=≤< 可以得到X 落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 ],(b a )(x F 分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞?x ； 2° 是单调不减的函数，即)(x F 21x x <时，有 ； ≤)(1x F )(2x F 3° ， 0)(lim )(==?∞?∞→x F F x 1)(lim )(==+∞+∞ →x F F x ； 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 第2章一维随机变量 习题2 一. 填空题： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 { }0x P =ξ = __________。 解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+= x arctgx x F π 1 21 则 P{ 0<ξ 3.设 ξ 服则 P{ 4.设 某 ， 常 数 λ-e 5 设 随 则 解： k 4 =令 16 1A = 得 A =15 ()()21252 1 =+==??? ??<<ξξξp p P 8.041211516=??????+= 6.若 定 义 分 布 函 数 (){ }x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 1 7. 随机变量) ,a (N ~ 2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ， 则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。 8. 设 ξ ~ N ( 1， 1 )，记ξ 的概率密度为 ?( x ) ，分布函数为 F ( x )，则 {}{}=≥=≤11ξξP P 0.5 。 9、分别用随机变量表示下列事件 (1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件 .“收到呼唤3次”} {3=X ， “收到呼唤次数不多于6次”}{}{k X X k ==≤=6 06 (2) (3) B ,A 解}{}2<=X }{}1≥=X 10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x 表示取出的3只球中的最 大号码，则X 的分布律为: 关于一维随机变量分布函数的讨论 The disscussion for distribution function of One random variable 分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法． 在学习过程中我们却发现，不同的教学参考书对分布函数的定义有所不同，这两个定义有何异同之处？对随机变量落在某区间的概率有何影响？本文主要从这两个方面展开讨论． 一、两个定义下分布函数的异同 1、 两个定义 设X 是随机变量，x 为任意实数， 定义1 称函数()(F x P X =≤),x x -∞<<+∞为X 的分布函数[1]45． 定义2 称函数+∞<<∞-<=x x X P x F ,)()(为X 的分布函数[3]119． 2、 离散型随机变量的分布函数 从一个例子来看两个定义下分布函数的异同之处． 例1 [1]45 随机变量X 的分布律如下表： 求其分布函数． 解：用定义1和定义2求得的分布函数分别如下： 0,0x < 0,x ≤0 1,08 ≤1x < 1,08x <≤1 1()F x = 1,12≤2x < 2()F x = 1,12 x <≤2 7,28 ≤3x < 7,28x <≤3 1,x ≥3 1,3x > 需要指出的是：用两个定义求得的分布函数)(1x F 和)(2x F 均唯一．即用定义1求分布函数 时，)(2x F 中的分段方法是不可取的，如：当10<“随机变量及其分布”简介
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