方程式
123.5+x=35 x÷75=1800 632×x=8216 x–4.583=2.317
5.34 + X = 30.6 7X = 17.5 X + 5X = 36 X÷0.8=4.5
625÷X=25 5.34+X=26.7 5X=135 5X=135
X÷0.6=4.5 15 x + 8 = 80 45 x－30 x = 75 12 x + 38 x =150
12+7X=26 3X+2X=45 76-2X=40 X+2X=45
3X- X =50 7 X+ X=40 11 X- X=60 9 X + 24X=66
51X-8X=98 5X÷6=30 9÷X=81 12 X÷6=90
18÷3 X=2 27 X=9 18 ÷X=9 63X -X=124 70 X+5 X=150 68 X-8 X=120 51 X- X=100 80 X-70 X=20 90 X-10 X=160 100÷X=50 60÷X=30 53x-90=161 55x-25x=60 75y÷75=1 53x-90=16 55x-25x=60
75y÷75=100-20 y 42x+28x=140 78y+2y=160 88-4x=80-2x
51y-y=100 85y+1=y+86 45x-50=40-45x 4y-24=16
2.5x÷6=2.5 3x+2.4x=10.8 （26-x）÷12=0.5 35÷（x+4）=7 10.7+x=21 5.3x-0.9x=14.7 32.8-9x=17.5 7×8+4x=128 3X+5X=48 14X-8X=12 65+2X=44 20X-50=50
28+6X=88 32-22X=10 24-3X=3 10X+5x=60 99X=100-X X+3=18 X-6=12 56-2X=20 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-39=29 8x-3x=105 x-65=42
x+5=7 2x+3=10 12x-9x=9 x+18=48 56x-50x=30 20-5x=15 78-5x=28 32y-29=3
5x+5=15 89x-9=80 100-20x=20 55x-25x=60
76y-75=1 23y-23=23 4x-20=0 80y+20=100
53x-90=16 2x+9x=11 12y-12=24 80+5x=100
7x-8=6 65x+35=100 19y+y=40 25-5x=15
79y+y=80 42x+28x=140 3x-1=8 90y-90=90
80y-90=70 8y+2y=160 88-x=80 9-4x=1
20x=40 65y-30=100 51y-y=100 85y+1=-86
45x-50=40
二列方程解答应用题。
1、煤场上午运来煤1.5吨，下午又运来了一些，一天共运来煤4.3吨，下午运来多少吨?
2、三个连续的奇数的和是57，中间的数是M，你能列方程求M的值吗?
3、一艘轮船从甲港开往乙港，4小时到达终点，已知两港之间的水路长128千米，这艘轮船每小时行多少千米?
4、同学们投篮比赛，小明投中了31个，比小丽的2倍少5个，小丽投中了多少个？
5、爸爸今年32岁，比儿子的年龄的3倍还大5岁，儿子今年多少岁？
6.一个运输队运一批货物，每天运60吨，20天可以运完，如果每天多运15吨，可以几天运完？
7、一个用栅栏围成的长方形鸡舍，一边靠墙.栅栏的总长为21米，鸡舍的宽是多少米？
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x
19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x
34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
小学四年级下册解方程练习题 姓名班别得分 4+x=7+5 4+x-2=7 x-6=9+3 9+3=17- x 16+2x =24+x 4x+2=18 24-x =15+2x 2+5x=18+3x 6x-2=3x+10 3(x+6) =2+5x 2(2x-1)=3x+10 30-4(x-5)=2x-16 2(x+4) -3=2+5x 100-3(2x-1)=3-4x 30+4(x-5)=2x-26 20x-50=50 28+6 x =88 32-22 x =10 24-3 x =3 10 x ×（5+1）=60 99 x =100- x 36÷ x=18 x÷6=12 56-2 x =20 36÷ x-2=16 x÷6+3=9 56-3x =20-x 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-3×9=29 8x-3x=105 x-6×5=42+2x 2x+5=7 × 3 2（x+3）+3=13 12x-9x=9 6x+18=48 56x-50x=30 5x=15（x-5） 78-5x=28 32y-29y=3 5（x+5）=15 89 – 9x =80 100-20x=20+30x 55x-25x=60 76y÷ 76=1 23y÷ 23=23 4x-20=0 80y+20=100-20y 53x-90=16 2x+9x=11 12（y-1）=24 80÷ 5x=100 7x÷ 8=14 65x+35=100 3X+5X= 48 14X-8X=12 6×5+2X=44 20X- 50=50 28+6X=88 32-22X=10 24-
解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3
56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3
参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，）
（2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
解方程 一、解方程。 y-24=45 2.5÷6=2.5 3x+2.4x=10.8 (26-x)÷12=0.5 5.3x-0.9x=14.7 32.8-9x=17.5 二、列式计算。 （1）比一个数的4倍多4.35的数是23.55，求这个数。 （2）96比一个数的2.5倍多6，这个数是多少？ （3）一个数的6倍与这个数的5倍的和是89.1，这个数是多少？ （4）一个数的5倍比这个数的2倍多10.5，求这个数。
（5）72除以0.9的商，乘2.06与1.34的差，积是多少？ （6）26.8减去2.3与3.5的和再除以3.2，商是多少？ 三、根据题意，写出数量关系式。 （1）商店运来一批水果，苹果和梨一共180筐。 （2）小红和妈妈的年龄加在一起是45岁。 （3）妈妈去超市买了3斤香蕉，5斤苹果共12元。 （4）长是宽的2倍。 （5）我的体重是小明的3倍。 （6）母鸡的只数比公鸡多100只。 （7）四年级男生人数比女生少5人。 （8）爸爸的体重比小明的4倍多10千克。 （9）桐树的棵树比杨树的3倍少12棵。 四、列方程解应用题。 1.四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，比二年级小同学浇树棵树的4倍少7棵，二年级浇树多少棵？ 2.小明本学期获得的爱学习卡片是36张，比爱劳动卡片的3倍多6张，小明获得了多少爱劳动卡片？
3.一根铁丝长54厘米，用它围城一个长方形，使长是宽的2倍，长和宽各是多少厘米？ 4.甲、乙两地相距345千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，3小时相遇，客车每小时行55千米，货车每小时行多少千米？ 5.妈妈去超市买了4瓶饮料和7瓶牛奶，共用去63元，饮料每瓶3.5元，牛奶每瓶多少元？ 6.买3枝铅笔比1枝圆珠笔多花0.5元，每枝圆珠笔3.4元，每枝铅笔多少元？ 7.张丽妈妈的年龄是张丽年龄的4倍，张丽比妈妈小27岁，她们两人年龄各是多少岁？
简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40
解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7
列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。
四年级数学 一、解方程 （1）y-23=45 8+x=9.4 12-x=8.5 x÷4=15 8x=128 y+3.5=10 10÷y=5 （2）4y-24=16 2.5x÷6=2.5 3x+2.4x=10.8 （26-x）÷12=0.5 35÷（x+4）=7 10.7+x=21 5.3x-0.9x=14.7 32.8-9x=17.5 7×8+4x=128 二、列式计算 1、比一个数的4倍多4.35的数是23.55，这个数是多少？ 2、96比一个数的2.5倍多6，这个数是多少? 3、一个数的6倍与这个数的5倍的和是89.1，这个数是多少？ 4、一个数的5倍比这个数的2倍多10.5，求这个数。 5、72除以0.9的商，乘2.06与1.34的差，积是多少。 6、6.8与3.2的积减去一个数的4倍得5.24，求这个数。 7、26.8减去2.3与3.5的和再除以3.2，商是多少？ 三、根据题意，写出数量关系式 1、商店运进一批水果、苹果与梨共180筐。 2、小红和妈妈的年龄加在一起是45岁。 3、妈妈去超市买了3斤香蕉，五斤苹果共12元。 4、长是宽的2倍。 5、我的体重是小明的3倍。 6、母鸡只数比公鸡多100只。
7、四年级男生人数比女生少5人。 8、爸爸的体重比小明的4倍多10千克。 9、桐树的棵树比杨树的3倍少12棵。 四、列方程解应用题 1、四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，比二年级小同学浇树棵 树的四倍少7棵，二年级浇树多少棵？ 2、小明本学期获得的爱学习卡片是36张，比爱劳动卡片的3倍多 6张，小明获得了多少张爱劳动卡片？ 3、张丽妈妈的年龄是张丽年龄的4倍，张丽比妈妈小27岁，她们 两人年龄各是多少？ 4、王大妈家里养了一些鸡，母鸡只数比公鸡多100只。又知母鸡只 数是公鸡只数的5倍，王大妈养公鸡母鸡各多少只？ 5、一根铁丝长54厘米，用它围成一个长方形，使长是宽的2倍， 长和宽各是多少厘米？ 6、甲乙两地相距345千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开 出，3小时相遇，客车每小时行55千米，货车每小时行多少千米？ 7、妈妈去超市买了4瓶饮料和7瓶牛奶，共用去63元，饮料每瓶 3.5元，牛奶每瓶多少元？ 8、买3枝铅笔比买1枝圆珠笔多花0.5元，每枝圆珠笔3.4元，每 枝铅笔多少元?
例1：解方程组?? ? ??==++=++③②①y x z y x z y x 4225212 例2：解方程组?? ? ??=++=++=++③ ②①17216 2152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 例3：解方程组?? ?=+-=② ①21 327 :2:1::z y x z y x (解法有两种) 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系.
典型例题举例4：解方程组?? ? ??===++③② ①4:5:2:3:111z y x y z y x (解法有两种) 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系. 例5：解方程组34,6, 2312.x y z x y z x y z -+=?? ++=??+-=? ①②③ 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
典型例题举例6：解方程组2439,32511, 56713. x y z x y z x y z ?++=∨?? -+=∨???-+=? ??①②③ 分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 例7、解方程组134********=-+-=++=+-z y x z y x z y x 例8、已知0432=-+z y x ，0543=++z y x ，求z y x z y x +-++的值。
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg
列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A
解方程练习题及答案四年级减法 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：1. 等式性质同一个数，等式仍然成立。）. 加减乘除法的变形。 加法：加数1 + 加数= 和加数1 =加数= 减法：被减数–减数 = 差被减数 = 减数 =乘法：乘数1 × 乘数= 积乘数1 = 乘数=除法：被除数÷ 除数 = 商被除数= 除数= 一、解方程： 20x—50=50.8+x =8.2—2.x =10 10 x +5=60 .x+1 =100 .6÷ x=0.18 56— x =204y+0.2=6x+0.32=7.64—x =x÷0.6=0.1 0.3x+6=18 16+8x=40 x-0.8=0.84x-3×9=298x-3=105 2x-6×5=42x+5=+32x+3=1012x-9=9 6x+1.8=4.8 32y–29y=3 55x–25x=60 80y+20 y =100-20 80÷x=100
56x–50x=30x=15–x+x =1–x =80 15y÷.5=1 3y÷3=253x–90=1x+9x=11 1.6x÷=5x+35=1007.x –5x=100 x–20x=20+30x–20=0 12=19y+y=40 25-5x=19y+y=802x+28x=140x-1=8-2x 90y-90=90-90y 0y-90=70÷08y+2y=16088-4x=80-2x 9÷x=120x=40 – 10x 5y-30=1001y-y=100 85y+1=y+85x-50=40-45x 三、列方程解应用题：口算： a+2a= c+5c= m-2m=X+3x=x-x=6x-2x= 1.5x-x=3.6x+1.4x= 用方程表示数量关系： 1.火车每小时行120千米，汽车每小时a千米，火车每小时比汽车快6千米。_________ 2.男生人数比女生少16人，男生56人，女生x人。_____________________.苹果树和梨树共38棵，苹果树x 棵，梨树15课。___________________ 列方程解应用题 1.画出线段图： ①女生比男生的2倍多2人。 ②小明年龄比弟弟年龄的2倍少5岁。 2.上海野生动物园是中国首家野生动物园，截至2004年，一共有成年东北虎和白虎16只，东北虎的只数是白虎的7倍。你能提出什么问题？
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，―=‖两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是―－‖，去掉括号要变号；括号前边是―＋‖，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过―=‖时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。
【同步教育信息】 一、本周教学主要内容： 列方程解决实际问题（1） 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。 3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯。 三、考点分析： 经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解决问题的过程，在过程中自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验。 四、典型例题 例1、小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）小强爸爸的年龄（已知）37岁；（2）小强的年龄（未知）乘3再加上4岁和他爸爸年龄一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小强今年多少岁不知道，可以设为x岁。 小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小强今年是x岁。 3x + 4 = 37 3x + 4 - 4 = 37 – 4 ┄┄（） 3x = 33
x = 33 ÷ 3 ┄┄（） x = 11 这道题你会检验吗？ 答：小强今年11岁。 这道题你还会列其它方程解答吗？（依据不同的数量关系可以列出不同的方程） 点评：实际解答这一题时，还可以想出几种不同的数量关系式。但是，对于符合题意的数量关系式，我们在解题时一般用最容易想到的数量关系式，即顺着题目的意思所想到的数量关系式。 例2、一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）大瓶容量（已知）1.5升；（2）小瓶容量（未知）乘4减去0.9升和大瓶容量一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小瓶容量不知道，可以设为x升。 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小瓶的容量是x升。 4x – 0.9 = 1.5 4x - 0.9 + 0.9 = 1.5 + 0.9 4x = 2.4 x = 2.4 ÷ 4 x = 0.6 这道题你会检验吗？ 答：小瓶的容量是0.6升。 点评：在解形如ax±b=c的方程时，要先把ax看作一个整体，根据等式的性质在方程的两边同时加上或减去或乘一个相同的数，变形为“ax= b”的形式，最后再求出x的值。 例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析与解： 根据题目可以得出这一题的等量关系式是：三角形的面积=底×高÷2
解方程专项训练 例1、把一个数从方程的一边移动到另一边，要改变符号（加变减，减变加，乘变除，除变乘）。 10-3x=4 3x-5+2x+4=14 45-6x+9x=15 7x+18-6x+12=60 练1、39-5x=9 2x+3+16x-7=32 33-8x+7-7x=10 9x-7-6x+5=10 例2、有多个未知数的方程，要把含有未知数的部分移动到方程的同一边，不含有未知数的部分移动到方程的另一边。 3x+5=6x-10 5x-8=16-3x 20-4x=x+5 16-2x=46-8x
练2、7x+9=9x-17 10x-6=54-5x 25-3x=4x-3 50+3x=70-7x 32-7x=62-10x57-12x=27-7x 例3、有括号的先打开括号（原则：乘法对加减法的分配律）。2×(4x+3)=x+1 5-3×(2x-3)=2 2x-3(4x-9)=x-6 括号前面的乘号可以省略2x-3×(4x-9)=x-6 2(2x+7)=5-4(x-1)+21
练3、2(3x-5)=13+5(5-2x) 48-(x+8)=3(x-4) 5(6-2x)+4=34+4(7-3x) 2x-3(4x-9)=2+5(1-x) 作业： 1、17-5x=7 2 、6x+7-4x=19 3、44-10x+5x=4 4、3x+6=8x-14 5、5-2x=3x-25 6、7-8x=9-10x 7、2(x+7)=3-3(x-5)
8、34-x=6x-2(2x+4) 9、8x-(6-3x)=4(2x-6)+75 10、2(x+5)-3(4-3x)=76+2(x-3) 11、12-2x+2(3x-4)=3x+5(7-x)+5
五年级解方程典型练习题 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 1、判断。 ①含有未知数的等式叫做方程。---------------------- （） ②x＋8是方程。----------------------------------- （） ③因为2=2×2，所以a=a×a。------------------------ （） ④方程一定是等式。----------------------------------（） 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x－6x= x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 【课外训练】
1、解方程。5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x －1.2x=158 2、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 【知识要点】进一步学会解含有三步运算的简易方程。 1、解方程。（第1、2题写出检验过程） 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋ 2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－ 2.1)=6 2、列出方程，并求出方程的解。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。 ②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身
【课外训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□=92 2.9x ÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ ★3、解方程：5x＋34=3x＋54 7x－27=13－3x
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为122x t y ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π ，圆C 的极坐标方程 为)4 π ρθ= -. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴 重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+??=-+? （α为参数）， 点Q 的极坐标为7 )4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
四年级解方程典型练习题 练习一 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－ 1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－ x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 2、苹果：x千克 梨子：比苹果多270千克 求苹果、梨子各多少千克？
3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 1、解方程 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 5x＋34=3x ＋54 【拓展训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□ =92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？
②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ 练习三 1、①学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表 示，20x＋x表示。 ②一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典元，3本故事书和2本字典一共 是元。 ③甲数是x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和是。 ④如果x=2是方程3x＋4a=22的解，则a= 。 2、解方程。 5x＋2x=1.4＋0.07 6x－3x=6÷5 x－13.4＋ 5.2=1.57 0.4×25－3.5x=6.5 7x＋3×1.4x=0.2×56 5×(3－2x)=2.4×5
4+x=7 4+x-2=7 x-6=9+3 4x=16 24-x=15+2x 3(x+6)=2+5x 2(x+4)-3=2+5x 20x-50=50 24-3x=3 36÷x=18 36÷x-2=16 4y+2=6 16+8x=40 8x-3x=105 2（x+3）+3=13 56x-50x=30 32y-29y=3 100-20x=20+30x 23y÷23=23 53x-90=16 80÷5x=100
x+6=9 x-6=9 9+3=17-x 15=3x 2+5x=18+3x 2(2x-1)=3x+10 4+x=7+5 17-x=9 16+2x=24+x 4x+2=18 6x-2=3x+10 30-4(x-5)=2x-16 30+4(x-5)=2x-26 100-3(2x-1)=3-4x 28+6x=88 10x×（5+1）=60 x÷6=12 x÷6+3=9 x+32=76 2x-8=8 x-6×5=42+2x 12x-9x=9
5x=15（x-5）5（x+5）=15 55x-25x=60 4x-20=0 2x+9x=11 7x÷8=14 32-22x=10 99x=100-x 56-2x=20 56-3x=20-x 3x+6=18 4x-3×9=29 2x+5=7×3 6x+18=48 78-5x=28 89–9x=80 76y÷76=1 80y+20=100-20y 12（y-1）=24 65x+35=100 3X+5X=48 14X-8X=12 6×5+2X=44
24-3X=3 56-2X=20 3x+6=18 20X-50=50 99X=100-X 75-5x=15 16+8x=40 28+6X=88 X+3=18 4y+2=6 2x-8=8 x+5=7 56x-50x=30 5x+5=15 76y-75=1 53x-90=16 7x-8=6 79y+y=80 80y-90=70 20x=40 5x-50=40 20X-50=50 99X=100-X