一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O
（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵
而
同理：
∴
∴
（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：
（3）解：仍然成立.
理由如下：∵
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据
即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
2．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:
已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。
（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出
∠M=________.
【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF
∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE
∴∠FBE+∠FDE=∠BFD
∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°
∴80°+∠BFD+∠BFD=360°
∴∠BFD=140°
（2）结论为：6∠M+∠E=360°
证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM
∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°
∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴6∠M+∠E=360°
（3）证明：根据（2）的结论可知
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°
2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴2n∠M+m°=360°
∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。
（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。
（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。
（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。
3．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40
（2）解：∵
∴
∴
（3）解：存在．理由如下：
∵
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【解析】【解答】⑴
∴
∵OF平分∠AOE，
∴
∴
∴
故答案为：40。
【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠AOB?∠AOE=120°?80°=40°.
（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠AOE=120°?∠BOE=2(60°?∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；
（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.
4．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥G H；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角
的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
5．如图，直线l上有A、B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=________cm，OB=________cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为________ cm．
【答案】（1）16；8
（2）解：设CO=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，
∵AC=CO+CB，
∴16﹣x=x+8+x，
∴x= ，
∴CO=
（3）48
【解析】【解答】解：（1）∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，t= ，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）=8，t=16，
∴t= 或16s时，2OP﹣OQ=8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm．
故答案为48cm．
【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）=8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）=16由此即可解决．
6．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD 交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH＝，∠ADC＝ .
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则＝________，＝________；
②试探究与的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出与的关系.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠BAC,EH⊥AB.
∴∠EFC=∠AFH=90°－∠BAC,∠FEC=90°－∠ABC,
∴∠EFC＝∠FEC.
（2）35°；70°；解：② , 理由如下: 由(1)可知:
, 又∵ , ∴ . ∴ .
（3）解：图形如下:
∵∠ABC＝∠BAC,∠BHE=90°－∠ABC,∠F=90°－∠BAC，
∴ .
又∵，
∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°，
即 .
.
∵2∠EAC=∠DAC, ，
∴ .∴即 .
∴ .
【解析】【解答】解：(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,
∴∠ =∠AFH－∠EAC=90°－∠BAC－∠EAC=90°－30°－25°=35°.
∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,
∴∠ =180°－∠ACB－∠CAD=180°－60°－50°=70°.
故答案为:35°,70°.
【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
7．根据下图回答问题：
（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°，
理由：如图，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．
理由：过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．
8．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；
（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，
∴a=-2，
方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得，，
不等式组的最大整数解是5，
则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）
（2）解：作MH∥AD，
∵AD∥BC，
∴MH∥BC，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠OAD，
∴∠ADO+∠BCA=90°，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，
∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，
∴∠ADM+∠BCM=45°，
∵MH∥AD，MH∥BC，
∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，
∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；
（3）解：存在，
连AB交y轴于F，
设点D的纵坐标为y D，
∵S△ADE≤S△BCE，
∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，
∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），
∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），
S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，
由题意得，4-2y D≤14，
解得，y D≥-5，
∵D在y轴负半轴上，
∴y D＜0，
∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
9．课题学习近平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝________．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
【答案】（1）∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
【解析】【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠C＝∠DAC，
故答案为∠DAC；
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
10．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC 的度数；
（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；
（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．
【答案】（1）∵平分，
∴；
（2）过点作，如图：
∵平分，；平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）过点E作，如图：
∵DE平分，；BE平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．
11．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动.
（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.
【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=50°.
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，
∴∠AEB=180°-35°-25°=120°
（2）解：不发生变化，理由如下：
如图，延长BC、AD交于点F，
∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，
∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），
∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，
∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，
同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；
（3）∠DCE的度数40°或80°
【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；
②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；
③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，
综上可知，∠DCE的度数40°或80°.
【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义
以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.
12．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。
（1）求∠BOE的度数。
（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。
【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，
∴∠COE=30°，
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°；
（2）解：∵∠COE=15°，
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；
（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；