实验六分形图的生成
班级08信计二学号52 姓名刘丽杰分数
一、实验目的和要求：
1、掌握分形基本原理，熟悉分形的计算机模拟算法。
2、学习调试程序及分析运行结果。
3、上机操作迭代函数系统算法。
二、实验内容：
1、编程实现分形的贝塞尔算法，并输出图形。
2、编程实现一棵树，先按某一方向画一条直线段，然后在此线段上找到一系列节点，在每一节点处向左右偏转60度各画一条分支。节点位置和节点处所画分支的长度的比值各按0.618分割。
三、程序执行和运行结果：
1、贝塞尔程序：
#include
#include
#define WIDTH 640
#define HEIGHT 480
#define NUMPTS 6
HDC hdc;
float animpts[NUMPTS * 2];
float deltas[NUMPTS * 2];
void Init()
{
for (int i = 0; i < NUMPTS * 2; i += 2)
{
animpts[i ] = (float)rand() / RAND_MAX * WIDTH;
animpts[i + 1] = (float)rand() / RAND_MAX * HEIGHT;
deltas[i ] = (float)rand() / RAND_MAX * 4 + 2;
deltas[i + 1] = (float)rand() / RAND_MAX * 4 + 2;
if (animpts[i ] > WIDTH / 6.0f) deltas[i ] = -deltas[i ];
if (animpts[i + 1] > HEIGHT / 6.0f) deltas[i + 1] = -deltas[i + 1];
}
}
void Animate(float pts[], float deltas[], int index, int limit)
{
float newpt = pts[index] + deltas[index];
if (newpt <= 0)
{
newpt = -newpt;
deltas[index] = (float)rand() / RAND_MAX * 3 + 2;
}
else if (newpt >= (float)limit)
{
newpt = 2.0f * limit - newpt;
deltas[index] = -((float)rand() / RAND_MAX * 3 + 2);
}
pts[index] = newpt;
}
void Run()
{
int i;
for (i = 0; i < NUMPTS * 2; i += 2)
{
Animate(animpts, deltas, i , WIDTH);
Animate(animpts, deltas, i + 1, HEIGHT);
}
float* ctrlpts = animpts;
int len = NUMPTS * 2;
float prevx = ctrlpts[len - 2];
float prevy = ctrlpts[len - 1];
float curx = ctrlpts[0];
float cury = ctrlpts[1];
float midx = (curx + prevx) / 2.0f;
float midy = (cury + prevy) / 2.0f;
MoveToEx(hdc, (int)midx, (int)midy, NULL);
for (i = 2; i <= len; i += 2)
{
float x1 = (midx + curx) / 2.0f;
float y1 = (midy + cury) / 2.0f;
prevx = curx;
prevy = cury;
if (i < len)
{
curx = ctrlpts[i ];
cury = ctrlpts[i + 1];
}
else
{
curx = ctrlpts[0];
cury = ctrlpts[1];
}
midx = (curx + prevx) / 2.0f;
midy = (cury + prevy) / 2.0f;
float x2 = (prevx + midx) / 2.0f;
float y2 = (prevy + midy) / 2.0f;
POINT param[] = {(int)x1, (int)y1, (int)x2, (int)y2, (int)midx, (int)midy};
PolyBezierTo(hdc, param, 3);
}
}
void main()
{
initgraph(WIDTH, HEIGHT);
hdc = GetImageHDC();
Init();
BeginBatchDraw();
while (!kbhit())
{
cleardevice();
Run();
FlushBatchDraw();
Sleep(15);
}
EndBatchDraw();
getch();
closegraph();
}
运行结果：
2、程序：
#define g 0.618
#define PAI 3.1416
#include”graphics.h”
#include”math.h”
#include”stdio.h”
#include”conio.h”
float thita=6.0;
void grow(int x,int y,float lenth,float fai)
{
int x1,y1;
int nx,ny,count;
float nlenth;
x1=x+lenth*cos(fai*PAI/180.0);
y1=y-lenth*sin(fai*PAI/180.0);
line(x,y,x1,y1);
if(lenth<10)
return;
nlenth=lenth;
nx=x;
ny=y;
for(count=0;count<7;count++)
{
nx=nx+nlenth*(1-g)*cos(fai*PAI/180.0);
ny=ny-nlenth*(1-g)*sin(fai*PAI/180.0);
grow(nx,ny,nlenth*(1-g),fai+thita);
grow(nx,ny,nlenth*(1-g),fai-thita);
nlenth*=g;
}
}
void main()
{
int gm,gd;
detectgraph(&gd,&gm);
initgraph(&gd,&gm,””);
grow(300,300,280.0,90.0);
getch();
closegraph();
}
运行结果：
四、实验结果分析：
分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。同时它的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。它是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。.Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大她的边界。当放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。如果把所有不同的Julia 集重合起来，我们将会得到一个四维图形，它的其中两个维度是不同的初始值z 构成的复平面，另外两个维度则是不同的常数 c 构成的复平面。这个四维空间就包含了所有不同的初始值在所有不同的常数 c 之下迭代的发散情况。而Mandelbrot 集，则是这个四维图形在c = 0 处的一个切片，并且是最具有概括力的一个切片。因此，我们相当于有了Mandelbrot 集的一个四维扩展，从这个四维图形中，我们可以切出很多二维的或者三维的切片，得到更多惊人而漂亮的图形。
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。
《高频电子线路》课程设计指导书 一、课程设计基本信息 核心课程名称（中文）高频电子线路核心课程名称（英文）High-frequency Electronic Circuits 课程设计名称高频电子线路课程设计 课程设计编号课程设计类型实物制作 相关辅助课程电路分析、电子线路（线性部分） 教材及实验指导书教材《电子线路（非线性部分）》,谢嘉奎，高等教育出版 课程设计时间：第五学期18 周 面向专业电子信息科学与技术 二、课程设计的目的 《高频电子线路》课程是电子信息专业继《电路理论》、《电子线路（线性部分）》之后必修的主要技术基础课，同时也是一门工程性和实践性都很强的课程。课程设计是在课程内容学习结束，学生基本掌握了该课程的基本理论和方法后，通过完成特定电子电路的设计、安装和调试，培养学生灵活运用所学理论知识分析、解决实际问题的能力，具有一定的独立进行资料查阅、电路方案设计及组织实验的能力。通过设计，加深对调幅的理解，学会电路的调整；进一步培养学生的动手能力 三、主要仪器设备 序号实验项目名称仪器设备名称仪器设备编号 1调幅收音机设计高频信号发生器、数字示波器、稳压电源 四、课程设计的内容与要求 1、内容：根据所学知识，设计一超外差调幅收音机电路，选择合适的元器件，进行安装和调试电路；应能接收正常广播，且接收的广播节目不少于3套° 序 号 名称目的方式场所要求
1调幅收音机设计加深对调幅的理解，学会 电路的调整；进一步培养 学生的动手能力 实物制作 通信学 院 2、要求 1设计电路图； 2供电电压：直流3V 3 接收频段：535kHz ~ 1605kHz; 4输出功率：P o> 1W。 5为满足偷出功率要求，采用两级放大电路； 6采用互补推挽功率放大器作为输出级。 五、考核与报告 考核内容：1实际操作：包括电路设计、安装、焊接及调试 2设计报告：包括原理、电路图、元器件的选择 成绩评定：实际操作和设计报告各占50%o 六、主要参考文献 1、《电子线路（非线性部分）》，谢嘉奎，高等教育出版社 2、《实用电子电路手册》，孙肖子，高等教育出版社 3、《电子技术技能训练》，张大彪，电子工业出版社七、课程设计报告 1、报告内容 目的、原理、电路图、安装注意事项、调试过程及结果。 2、版面格式 （1）A4纸打印，上、下、左、右边距为2. 5cm,段落间距0,行间距1. 5倍; （2）标题使用四号黑体、居中，正文使用小四号宋体; 一级标题：小四号黑体（如：1、2、3……）；
1.绘制茱莉亚图 （1）绘制窗口 首先在VC中建一个新的Projects,选择项目类型为MFC AppWizard(exe),在项目名称中键入DrawJulial,按下OK。 在随后的窗口中选择Single Document,选中Document/View architecture support,在语言中选中中文。 在Step 2 of 6窗口中不要数据库支持（None）。 在Step 3 of 6窗口中选中不要复合文档支持（None）,将Automation的ActiveX Controls 选项都取消 在Step 4 of 6窗口中将默认选项中的Printing and print preview 和Docking toolbar去除，接下Next。 对Step 5 of 6窗口和Step 6 of 6窗口不作修改，按下Finish。 此时VC已经自动将我们想要的程序框架建立完毕。 然后将VC框架建立的菜单中的编辑菜单完全删去，将文件菜单中除退出一项外全部删去，在查看后面加入一个菜单项，去掉其Pop-up属性，命其ID号为ID_DRAWJULIAL，Caption为绘制茱莉亚图。 （2）定义消息映射函数 在Class Wizard中选择Message Maps栏，在Class Name 栏中选择CDrawJulialView,在Object IDs中选择
ID_DRAWJULIAL,为其COMMAND消息建立一个消息映射函数。 （3）建立代码 1.类CBaseDraw是一个基本的绘图函数，可以作为基类使用。CJulial类就是从CBaseDraw继承下来的类。由于在CBaseDraw的成员函数sleep中调用了系统函数timeGetTime(),因此要做以下工作： 选择主菜单的Project项中的Setting,在弹出的对话框中选择Link页，在Object/library modules项中加入“winmm.lib”。 源程序BaseDraw.h代码如下： //BaseDraw.h: interface for the CBaseDraw class #if !defined(AFX_BASEDRAW_H__CB43CA20_175A_11D4_81F F_94DCC6655E1C__INCLUDED_) #define AFX_BASEDRAW_H__CB43CA20_175A_11D4_81FF_94DCC6655E1 C__INCLUDED_ #if _MSC_VER > 1000 #pragma once # endif //_MSC_VER >1000 #define pi 3.141592654 //基本绘图类 class CBaseDraw
一，分形插值算法 ——分形图的递归算法1，分形的定义 分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述： 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ，则称该集合为分形集，简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。本文主要研究有规分形。
2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程
成绩：课程名称：智能信息处理概论 分形之Julia集及其算法实现 摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。 关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现 引言 大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？ 正文 分形概述 分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】 两种定义 其一：具有自相似性结构的叫做分形； 其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。 若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。 当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】 特征 1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果； 2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果； 3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复； 4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨 迹； 5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过 递归或者迭代产生的复杂、精细的结构； 6.无确定的标度且具有分数维数。【3】
（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
《分形算法与应用》教学大纲 1 课程的基本描述 课程名称：分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号：5301A36 课程性质：专业课适用专业：计算机专业 教材选用：孙博文编著，《分形算法与程序设计》，科学出版社，2004.11 总学时：32学时理论学时：32学时 实验学时：0学时课程设计：无 学分：2学分开课学期：第七学期 前导课程：算法分析 后续课程：毕业设计 2 教学定位 2.1 能力培养目标 通过本课程的学习，培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力，以及算法设计与分析能力，程序设计和实现能力。一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法，以便实现对不规则对象的算法设计。另一方面，学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。 2.2 课程的主要特点 本课程是一门重要的专业课，有理论性、设计性与实践性的特点。介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。不仅为后续专业课提供了必要的知识基础，也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。
2.3 教学定位 通过本课程的学习，使学生达到知识和技能两方面的目标： 1．知识方面：从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度，系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法，了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案，不同运算实现的原则和方法。 2．技能方面：系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想，从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧，使分析问题和解决问题的能力得到提高。 3 知识点与学时分配 3.1掌握分形的基本概念 分形简介 分形 分维 分形的测量 共2学时 3.2分形图生成算法之一 分形图的递归算法 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Peano曲线、分形树等的递归算法。 共2学时 3.3分形图生成算法之二 文法构图算法 LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、 随机LS文法生成。 共2学时 3.4分形图生成算法之三 迭代函数系统
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
几个分形的matlab 实现 摘要：给出几个分形的实例，并用matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的 数学美感 关键字：Koch 曲线 实验 图像 一、问题描述： 从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。 二、算法分析： 考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600 而得。旋转由正交矩阵 ? ???? ? ? ? -=)3cos() 3 sin()3sin( )3 cos(ππ ππ A 实现。 算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个25?矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。 进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k 次迭代产生的结点数为 k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。 三、实验程序及注释： p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标 n=2; %n 为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4
中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502） 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004） 内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
钦州学院数学与计算机科学学院 数学实验报告 专业 : 数学与应用数学班级姓名：学号： 实验完成日期 :2010 年 11 月 1 日，第 10 周，星期一 成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。[实验题目及内容] 实验题目：分形图形的绘制 实验内容：利用二叉树的画法对生成元带参数进行迭代绘制分形图。 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 分形图是由一个简单的枝杈不断向周围延伸增加枝干而成，由简单元素生成整体，其中包含有旋转、带参数深层迭代等步骤，对生成元的张开角度和线段长度也有所控制才能绘制出多彩的图形，所以就要设计几个能控制生成图的角度的圆，随时改动分形图的伸张。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 整个分形图就由几个简单的枝杈进行带参数深层迭代而成，所以先做一个作为整棵树的树主干，做线段AB，以一个B端点作为旋转中心，做两个能控制角度旋转的圆，以圆上所选的角度做适当旋转将线段AB及端点A向上旋转得到两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的三分之二，三条线段就组成一个树杈，再继续做另外两个圆选好角度将由线段AB旋转得到的两条线段再向上旋转得到另两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的一半。新建参数n=1,对AB两点和参数n进行深度迭代，使得旋转得到的线段的起始点对应
线段AB的起始点，改变n值，即可得到一棵参天大树，即分形图完成。 [实验结果]（通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。） [结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。） 得出的分形图伸张程度和倾斜程度都可以由原先做出的角度控制，改变圆上的角度的大小就可以改变树的弯曲倾斜程度，改变三层基层线段的粗细和颜色可以让分形图更形象，分形图的迭代情况有参数n控制，改变n值增加迭代次数，让树的枝丫伸展使得分形图更多彩。也可以改变生成元的构成，可以在基层增加枝干，进行深层迭代后得出不同形象的分形图。 [求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）
实验六分形图的生成 班级08信计二学号52 姓名刘丽杰分数 一、实验目的和要求： 1、掌握分形基本原理，熟悉分形的计算机模拟算法。 2、学习调试程序及分析运行结果。 3、上机操作迭代函数系统算法。 二、实验内容： 1、编程实现分形的贝塞尔算法，并输出图形。 2、编程实现一棵树，先按某一方向画一条直线段，然后在此线段上找到一系列节点，在每一节点处向左右偏转60度各画一条分支。节点位置和节点处所画分支的长度的比值各按0.618分割。 三、程序执行和运行结果： 1、贝塞尔程序： #include
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。