三角函数方程练习题 1.求下列方程的解集 (1)2 3sin -=x (2) 2 1cos - =x (3) 6tan 36-=x (4) 3sin 2-=x (5) 1cos -=x (6) 32tan 3=x (7) 32)3 2sin(4=-πx (8) 2 1)3 cos(- =+ π x (9) 1)6 tan(3-=- π x 2.根据下列条件,求下列方程的解集 (1) 4)4cos(8-=-x π )2,0(π∈x (2) 1)4 32sin(2-=+ πx ),(ππ-∈x (3) 32)26 tan(2-=-x π )6 5,3( )3 ,6(π ππ π?- ∈x
(4) 3 3tan -=x ]4,2[ππ-∈x (5) 2 2)6 sin(= - π x ],0[π∈x 3.求方程内的所有实根之和在]2,0[01sin sin 62 π=--x x . 4. 若的值求其中的解是方程απααπ ),2,0(,1)cos(23 ∈=+=x x 5.若的值求其中的解是方程απααπ ),2,0(,1)sin(26 ∈=+=x x
三角函数不等式练习题 1.写出终边在下列直线上的角的集合 (1)0,3≥=x x y (2) x y 3 3- = (3) ||x y = 2.写出下列阴影部分(包括边界)表示的角的集合. (1) (2) (3) 2.求下列不等式的解集.并在坐标系中用阴影部分画出解集 (1)2 1sin ≥x (2) 2 1cos ≥ x (3) 1sin 2-≤x 3.求下列不等式的解集 (1) 2 3sin 2 1≤ ≤x (2) 2 1sin 2 1≤ ≤- x (3) 2 1cos 0≤ ≤x
解三角形大题专练 1．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－1 7. (1)求∠A ； (2)求AC 边上的高． 解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－1 7， 所以sin B ＝1－cos 2 B ＝43 7 . 由正弦定理得sin A ＝ a sin B b ＝3 2 . 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π 2， 所以∠A ＝π 3. (2)在△ABC 中， 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 14 ， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝33 2 . 2.在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3 7 a . ①求sin C 的值； ②若a ＝7，求△ABC 的面积． [解析](2)(文)①在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝3 7a ， 所以由正弦定理得sin C ＝ c sin A a ＝37×32＝33 14 . ②因为a ＝7，所以c ＝3 7 ×7＝3. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32 －2b ×3×12， 解得b ＝8或b ＝－5(舍)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×3 2 ＝6 3.
3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2 . ①求cos B ； ②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . (理)①解法一：∵sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2， ∴sin B ＝8sin 2 B 2，即2sin B 2·cos B 2＝8sin 2 B 2， ∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B 2 ， ∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117 ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517 . 解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B 2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2 B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝15 17 . ②由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝4 17ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝17 2. 由余弦定理及a ＋c ＝6得， b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－17×32 17 ＝4，∴b ＝2. 4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知. （1）求tanC 的值； （2）若△ABC 的面积为3，求b 的值。 【答案】（1）2；（2）3. 【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=
基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学： 贾雪光 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题， 这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是C B A sin )sin(=+、 C B A sin 2 cos =+的联系是关键。 于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如： 1、在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 2 2sin 21cos =+ ，7 = a 求△ABC 的面 积的最大值；2、已知向量)2 1,(sin A M =与)cos 3sin ,3(A A N +=共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值。3、△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，向量)2cos ,2 (cos ),1,4(2 A A N M =-=，2 7= ?N M ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a 是判 断当c b ?取得最大值时△ABC 的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？ 实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。 我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式： A bc c b a cos 222 2 ?-+=, B ac c a b cos 2222?-+=, C ab b a c cos 2222?-+= 同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：bc c b 222≥+，ac c a 222≥+ ，ab a b 222≥+在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a 、 b 是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：)cos 1(22A bc a -?≥,)cos 1(22C ac b -?≥ )c o s 1(22c ab c -?≥于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。 于是我没有： 例1：在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 2 2sin 21cos =+ ，7 = a 求
1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5） 教学目标： 1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数 学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 （2）2 a a =， （3） b a b a ?=?， （4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课： 结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时, 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -
向量、解三角形、数列、不等式测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ， 当298n a =时，n 等于 （ ） Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101 2.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为 （ ） A ． 2 1 B ．23 C.1 D.3 3.如图，在△ABC 中，1 ,3,,,2 BD DC AE ED AB a AC b BE = ===若则= （ ） A ．1133a b + B ．11 24a b -+ C ．1124a b + D ．11 33 a b -+ 4.已知3≥x ，函数1 1 -+=x x y 的最小值是 （ ） A ．2 7 B ．4 C ．8 D ．6 5.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为 ( ) A 、2- （ B ）22- （ C ）1- (D)12- 6.在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=，则 3132log log b b ++……314log b +等于 （ ） (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)8 7.设,x y 满足约束条件1 2x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ?中,80,100,45a b A ?===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9.已知b a ,满足：a =3，b =2，b a +=4，则b a -=( ) A ．3 B ．5 C ．3 D 10 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）
解三角形，数列，不等式练习题 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（ ） （A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 48 2、ABC ?中，已知o A c a 30,10,25===则C=（ ） （A ）o 45 （B ）o 60 （C ）o 135 （D ）o 13545或o 3．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 4．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150 6．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ． 81 B ．120 C ．168 D ．192 7．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么21 13-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ． – 4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 9．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 1 1 < B ．b a 1 1 > C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 10．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31 )，则a ＋b 的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 二、填空题 1.已知数列{}n a 的前n 项和为12 +=n S n 则数列的通项公式=n a _____ 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。 4．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935 ,95 S S a a 则 5．不等式x x --21 3≥1的解集是 三、解答题 1、在ABC ?中，o o C AC B 60,10,45=== （1）求BC 的长。 （2）求ABC ?的面积
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
第23讲 三角不等式 竞赛热点 含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。 在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。 处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。 解题示范 例1：已知N n ∈，2≥n ，求证： .3 21cos 31cos 21cos >n Λ 思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x
高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题 （考试时间120分钟，总分150分） 一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上) 1.已知a ，b 为非零实数，且a 1 b 2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 3.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为 （ ） A ．21 B ．2 3 C.1 D.3 4.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101 5.已知0x >，函数4 y x x = +的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132 n a =，则项数n 为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ） A. 0,0a ?≥ D. 0,0a >?> 8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4 π tan( α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．2 1- C ． 2 1 D ．2 10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 11．下列各式中，值为 2 3 的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 12．关于x 的方程2 210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥0 B ．－1≤a ＜0 C ．a ＞0或－1＜a ＜0 D ．a ≥－1 二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ 14. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 15.不等式 21 131 x x ->+的解集是 ． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 并把正确解答过程写在答题卡上） 17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2) 求函数的定义域：5y =
数列、简单逻辑、解三角形、基本不等式、圆锥 曲线综合练习 （后附详细答案与解析） 1.“x=-1“是“x2+x=0“（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则它到 另一个焦点的距离（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 3.命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相 等”的逆否命题是（） A. 若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形 B. 若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C. 若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 D. 若△ABC任何两个角相等，则它不是等腰三角形 4.设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2-8a5=0，则=（） A. B. C. 2 D. 17 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=，b2=ac， 则△ABC一定是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2， b2-a2=ac，则cos B等于（）
A. B. C. D. 7.设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M （a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（） A. B. C. 2 D. 8.设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：-y2=1与 C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（） A. B. C. D. 9.若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x-3，则（） A. f（0）＜f（4） B. f（0）=f（4） C. f（0）＞f（4） D. 以上都不对 10.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c， 0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点， 若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（） A. B. C. D. 11.已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集是（2，3），则a+b的 值是（） A. -11 B. 11 C. -1 D. 1 12.已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于 A、B两点，则△AOB的面积为（） A. B. C. D. 13.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成 等比数列，，则a10=______． 14.命题“?x∈R，x2+1＜0”的否定是______．
2013-2014学年度第二学期解三角形和不等式的大题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题（题型注释）
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释） （1，求)(x f 的取值范围； （2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值． 【答案】21m n =?-. （1（2，求b 的大小. 【答案】（1）()f x 递减区间是2 3．已知函数f(x)x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）6（2）()3,-+∞ 4．(1)已知y ＝4x －2 (2)已知x>0，y>01，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）y max ＝1.（2）最小值为16 5．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐， 6．设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤?? ≤??≥? －－，＋，，求z 的最大值和最小值． 【答案】12 3 7．在△ABC 中，a ＝3，b ＝ B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)求c 的值． 【答案】（1 2）5. 8．在△ABC 中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ) 求B ； (Ⅱ)若2= b ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】 9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且 （1 的值; （ 2）若 求bc 的最大值. 【答案】（1（2 10．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3 （1）求AC ； （2）求∠A ． 【答案】（1）5 （2） 120-=∠A 三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且 （1）求 A; （2 的值，并求ABC ?的面积。 【答案】（1212．在ABC ?中，（1）求sin A 的值；
解三角不等式 (1)cos x ≥ [2,2],66k k k Z ππππ-+∈ (2)cos x ≤ 11[2,2],66k k k Z ππππ++ ∈ (3)sin x ≥ 2[2,2],33k k k Z ππππ++ ∈ (4)sin 2 x ≤ 4[2,2],33k k k Z ππππ-+∈ (5)tan x ≥ [,),32k k k Z π π ππ++∈ (6)tan x ≤ (,],23 k k k Z ππ ππ-+∈ 求定义域 (1)()f x = {|222,}2 x k x k x k k Z π ππππ≤<+=+∈或 (2)()f x = {|22}2 x k x k k Z π ππ≤<+ ∈ (3)()lg(cos )f x x = {|22,}26x k x k k Z ππππ-<≤+∈ (4) ()lg(sin )f x x = {|22,}3x k x k k Z ππππ+≤<+∈ (5) ()f x = 53{|22,}42x k x k k Z ππππ+<<+∈ (6)()f x = 43(2,2)(2,2),3232k k k k k Z ππππππππ++?+ +∈ (7) lg(tan ()x f x = 73(2,2)(2,2),3262k k k k k Z ππππππππ++?++∈
(8) ()f x = (,),42 k k k Z π π ππ+ +∈ (9) ()f x = 33(2,2)(2,2),3242k k k k k Z ππππππππ++?+ +∈ (10) lg(tan ()x f x = 73(2,2)(2,2),3262k k k k k Z ππππππππ++?++∈ 求单调区间 (1)()lg(sin )f x x = 增：(2,2],2 k k k Z π ππ+∈ 减：[2,2),2 k k k Z π πππ+ +∈ (2)12 ()log (sin )f x x = 增：[2,2),2k k k Z π πππ+ +∈ 减：(2,2],2 k k k Z π ππ+∈ (3)()lg(sin 2)f x x = 增：(,],4 k k k Z π ππ+ ∈ 减：[,),42 k k k Z π π ππ+ +∈ (4)12 ()log (sin 2)f x x = 增：[,),42k k k Z π πππ+ +∈ 减：(,],4 k k k Z π ππ+∈ (5)()lg(cos )f x x = 增：(2,2],2k k k Z πππ- ∈ 减：[2,2),2 k k k Z π ππ+∈ (6) 12 ()log (cos )f x x = 增：[2,2),2 k k k Z π ππ+∈ 减：(2,2],2 k k k Z π ππ- ∈ (7) ()lg(tan )f x x = 增：(,),2 k k k Z π ππ+ ∈ 无减区间
第一章 解三角形 例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据： BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm,B=450,C=1200.为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm ） 例2台风中心位于某市正东方向300km 处，正以40km/h 的 速度向西北方向移动，距离台风中心250km 范围内将会受到其影响。如果台风速度不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h ）? 例3如图 在△ABC 中，=（x,y ），AC =(u,v),求证：△ABC 的面积S= 2 1︱xv-yu ︱. 例4 如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成800角，交点是O,甲、乙两人同时从点O 分别沿OA,OC 方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h,3时后两人相距多远（结 例5 如图 是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，、、、的图形，试计算图中线段BD 的长度及∠DA B 的大小（长度精确到0.1，角度精确到10）。 例6如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=5，AC=9， ∠BCA=300，∠ADB=450 ，求BD 的长。 例7 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始作匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动。如图，已知AB=42dm,AD=17dm, ∠BAC=450 .若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？ 例8 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB
解三角不等式专题 1、利用单位圆或观察正弦曲线，写出满足下列条件的区间： 0sin )1(>x 0s i n )2(≤x 21 sin )3(≥x 21s i n )4(- 2、利用单位圆或观察余弦曲线，写出满足下列条件的区间： 0cos )1(≥x 0c o s )2( 6、利用单位圆或根据正切函数的图象，写出满足下列条件的区间： 0tan )1(>x 0t a n )2(≤x 33 tan )3(≥x 33t a n )4(- 1、利用单位圆解不等式3tan α+3>0 解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－ 33 如图14，由正切线可知 k π－6π<α< k π+2 π ，k ∈Z ∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2 π），k ∈Z 2、求函数y=21cos sin - +x x 的定义域。 解：由?????≥-≥021cos 0sin x x 得?? ???≥≥21cos 0sin x x 如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解. ∴函数的定义域为{x | 2 k π≤x ≤2 k π+3 π, k ∈Z }. 小提示：首先要把不等式变为基本型（最简单的三角不等式），对于三角不等式组应分别确定区域，取其公共部分。 3、求函数 y=+lg(2sinx+)的定义域． 分析：定义域即为使函数有意义的x 的值所组成的集合． 解：要使函数y 有意义，必须 根据上面说明的步骤在单位圆中画出符合条件的x 的范围，据阴影部分写出： +2k π 高考数学大题狂练 第二篇 三角函数与三角形 专题03 解三角形与不等式，最值和范围问题的结合 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 cos cos 23sin A B C a b +=. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?的面积为3， B 是钝角，求b 的最小值. 【答案】（1）3B π =或23 π. （2）6. 由正弦定理得23sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()23sin sin A B B C +=， 又在ABC ?中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴3sin B = 3B π=或23π. （2）由13sin 2ac B =， 3sin B =2ac =， 又23 B π=， 2222cos b a c ac B =+- 222226a c ac =++≥+=， 当且仅当a c =时取等号，∴b 6. 2．已知ABC ?三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ?的面积S 满足2223S a b c =+-． （1）求角C 的值； （2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(3 )222 33cos 1sin 42 a b c ab C S ab C +-=-== tan 3C =0C π<<， 23 C π∴=. （2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2sin2322 A A B A A A A π? ?+-+-=+ ??? =3sin 23A π??+ ?? ? 0,2333A A π π π π<<∴<+ 必修5解三角形数列不等式 【选择题】 1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ） A ．ac bc > B ． 11a b < C ．33 a b > D ．22 a b > ⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2 3．在△ABC 中，若222 sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域， 则2x y -的最小值为（ ） A ．－2 B ．－6 C ．0 D ．2 5．在等比数列{}n a 中，若2n n a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ） A ．8a B ．8a - C ．8a ± D ．前3个选项都不对 6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ） A ．2 B ．5 C ．52 D ． 32 ⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014 201320122a a a =+14a =，则11 6()m n +的最小值为（ ） A ． 2 3 B ．2 C ．4 D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinC sin q A +的取值范围为（ ） A ．()0,+∞ B ．(1,2 C ．()1,+∞ D ．)1 A ．2015- B ．2014- C ．2014 D ．2015 【填空题】 11．若数列}{n a 中，762 ++-=n n a n ，则其前n 项和n S 取最大值时，=n __________. 12．在ABC ?中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数， 则当n 最小时实数a 的值为 ． 14．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin C B A = =，且ABC S ?=， 则______.b = 解三角形与不等式 一、选择题 1.锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是( ) A ． sin A ＝cos B B ． sin A ＜cos B C ． sin A ＞cos B D ． 不能确定 2.在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( ) A ．B >C B ．B ＝C C ．B 高中奥林匹克数学竞赛讲座 三角恒等式和三角不等式 知识、方法、技能 三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角 形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲 例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证 【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而 【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++专题2.3+解三角形与不等式最值和范围问题的结合-高考数学备考之百强校大题狂练
解三角形数列不等式
解三角形和不等式
高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式
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