计算机图形学报告仿射变换最小二乘法 姓名： 班级： 学号：
仿射变换的定义 仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 一个对向量平移一般可用如下公式表示： 等价于： 仿射变换可以由以下基本变换复合而成：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear），这些基本的变换如下图1表示： 图1 下图2中变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y') 图2
最小二乘法 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 这是一个示例：某次实验得到了四个数据点：、、、 （图3红色的点）。我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线 ，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组 的和： 图3 最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值： 最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得 到。 如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出： 也就是说直线是最佳的。
仿射变换最小二乘法 景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。而仿射变换的参数可以用最小二乘法进行估算。 设原图像为f(x,y)，畸变后的图像为F(X',Y')，要将F(X',Y')恢复为f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐标与(x,y)坐标的转换关系，这个转换关系称为坐标变换，表示为(x,y)=T(X',Y')。 景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。先计算出坐标变换的系数，仿射变换的表达式为:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋转矩阵，Q是2*1的平移向量，P、Q即为仿射变换参数，即： x= AX' + BY' + C y= DX' + EY' + F 因此，几何畸变的校正归根结底为坐标转换系数A,B,C,D,E,F的求解。 为了防止出现空像素，一般采用反向映射，由最小二乘法得(matlab)： vec1 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*U; vec2 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*V; 其中vec1＝[A B C]'; vec2 =[D E F]'; X Y U V I分别是x，y，X', Y', 1构成的向量。 最小二乘法估计就是估计原始坐标点与经过变换后的坐标点之间的关系，从通过这种关系进行矫正图像，大体步骤如下：
仿射变换
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第四章保距变换和仿射变换 本章教学目的：通过本章的学习,使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换,从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。 本章教学重点：(1）保距变换和仿射变换的定义和性质; (2）仿射变换的基本定理； (３）保距变换和仿射变换的变换公式; (４)图形的仿射分类与仿射性质。 本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理;仿射变换的变换公式的求法。 本章教学内容： §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1――对应与可逆变换 集合X到集合Y的一个映射f:X→Ｙ是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即?ｘ∈X,都决定Y中的一个元素f(ｘ)，称为点ｘ在ｆ下的像。对X的一个子集A,记 f(Ａ)={ｆ（a)|ａ∈A}， 它是Y的一个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集Ｂ,记 f-1(B）={x∈Ｘ|f(ｘ)∈Ｂ｝， 称为B在F下的完全原像,它是X的子集。 如果f是X到Y的映射,ｇ上Y到Z的映射,则它们的复合上X到Z的映射,记作 gｆ: Ｘ→Ｚ，规定为 g f(x)=g(f(ｘ）),?ｘ∈Ｘ. 对A?X， gｆ(A)＝ｇ(f(A)); 对C?Z， （g f)-1(C）＝f－１（g－1(C)). 映射的复合无交换律，但有结合律。 映射f: X→X称为X上的一个变换，iｄX: X→X,?x∈X，ｉd X（x）＝x,称为X的恒同变换。 对映射f: X→Y，如果有映射g：Y→X,使得 g f＝ idＸ：X→X,fｇ=ｉdＹ:Y→Y, 则说ｆ是可逆映射，称ｇ是f的逆映射。 如果在映射f： X→Y下X的不同点的像一定不同,则称ｆ是单射。如果f(Ｘ）=Ｙ，则称f是满射。 如果映射f: X→Ｙ既是单射,又是是满射，则称f为——对应。此时?f－1f=ｉd X,, ｆf-1= ｉdＹ,于是f是可逆映射,并且ｆ的逆映射是f-1。 一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。 1．2平面上的变换群 平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u：π→π为:?Ａ∈π，令P u AP（A）=u的点。称P u为π上的一个平移，称向量u是P u的平移量。（Ａ）是使得 u
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用 文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法. 例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的 圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ?=== ??，不难 求得椭圆离心率,12e ??∈ ? ??? . 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.
例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻， 与圆的四个交点所形成的面积最大. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为 (,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14 ，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当 0,2c ??∈ ? ?? 时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02? ??，. 说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
无论是在人脸识别或跟踪领域，还是在图像处理领域，在我们做训练或者分析局部数据之前，都需要把对应的图像数据提取出来，如果必要还应该做相应的Scale处理，下面介绍了一个应用仿射变换提取图像中目标块的例子。 采用仿射变化的优点是易于处理目标块旋转，尺度的变换。 应用背景： 如何提取目标块中的数据，并且对其进行resize处理？ 尤其是当目标块存在旋转的时候，我们如何把它正过来？ 其它优点：仿射变换还可以处理像斜变这种线性形变。 2008-12-1 王栋
例子affine_exp.m 注：目前程序只支持灰度图像数据 image = imread('lena.bmp'); figure(1); hold on; imshow(image); block_size = [ 320 320 ]; %%缩放后的目标大小 sz = [ 70 70 ]; %%原图中的目标大小 p = [ 146 156 70 70 0 0 ]; %%参数：依次为：X方向中心坐标，Y方向中心坐标，宽，高，旋转角度（弧度），斜变角度（一般取0） w = block_size(1); param = [p(1), p(2), p(3)/sz(1), p(5), p(4)/p(3), 0]; param = affparam2mat(param); drawbox(sz, param, 'Color','r', 'LineWidth',2.5); hold off; param = [p(1), p(2), p(3)/w, p(5), p(4)/p(3), 0]; param = affparam2mat(param); wimg = warpimg(double(image), param, block_size); figure(2); imshow(uint8(wimg)); 实验结果解释：实验中参数p = [ 146 156 70 70 0 0 ]说明了提取框的位置，大小，旋转信息。sz = [ 70 70 ]表明待提取图像的大小为70x70。block_size = [ 320 320 ]表明提取目标再进行resize后图像的大小 2008-12-1 王栋
图形复合变换的原理 复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。 复合变换具有形式： 在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换。 相对任一参考点的二维几何变换 相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1) 平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合。 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。 例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换 相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下： 相对任意方向的二维几何变换 相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1) 旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。 (2) 针对坐标轴进行二维几何变换； (3) 反向旋转。
例. 将正方形ABCO各点沿(0, 0)→(1, 1)方向进行拉伸，结果如图所示，写出其变换矩阵和变换过程。 解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有： 坐标系之间的变换 问题：x'o'y'坐标系是在xoy坐标系中定义的局部坐标系，已知x'o'y'坐标系中的点P，求P点在xoy坐标系中的坐标值。 图6-12 坐标系间的变换
分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*，使P*点的坐标与P点在x'oy'坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p 点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将变换到P*点，即P*点的坐标是P点变换后P'点的坐标。 图6-13 坐标系变换的变换原理 故此坐标系间的变换可以分以下两步进行： (1)通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合。 (2)通过旋转变换使x'轴与x轴重合。 图6-14 坐标系变换的过程 于是有：
图形复合变换的原理复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。 复合变换具有形式: P-T = P (T{- 7；AT n) = P^T2-T3AT n (n>l) 在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换 相对任一参考点的二维几何变换 相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1)平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合 (2)针对原点进行二维几何变换。 (3)反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。 例1.相对点(xF,yF)的旋转变换 相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下: ■ 10 01cos 6^sin^ 0I Q0_ 0 1 0*cos^ 0■010 -yjr L 1 00 ]*L■ ■ ■cos 901 —-suiS GQS^-0 -V-cos Z? + sill sin￡1 相对任意方向的二维几何变换 相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1)旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。 (2)针对坐标轴进行二维几何变换； (3)反向旋转。
例?将正方形 ABCO 各点沿(0, 0)-(1,1)方向进行拉伸，结果如图所示, 1/2 3/2 0 坐标系之间的变换 问题：x'o'y'坐标系是在xoy 坐标系中定义的局部坐标系，已知 坐标系中的点P ，求P 点在xoy 坐标系中的坐标值。 图6-12坐标系间的变换 on(-4y ) ■ o t C0S45* sin4S* ■ T - -siru( ^4 5*) ms(-4 覽) 0 r 0 I -SU145* cos45* 0 ? 1 ° 0 1 0 0 1 0 ■ 0 1 MT 0 0 3/2 1/2 0 1/2 3/2 0 解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有: x'o'y' 写出其变换矩阵和变换过程。
《数字图像处理》实验指导书 信息科学与工程学院 袁子鹏 网络11-2班 3110757219 实验二、图像的几何变换 一、 实验目的 1掌握图像几何变换的原理； 2 利用MATLAB 实现图像的平移、比例缩放和旋转变换。 二、 实验原理 图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。 图像几何变换的一般表达式：[,][(,),(,)]u v X x y Y x y = ，其中，[,]u v 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， [,]x y 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。 平移变换：若图像像素点 (,)x y 平移到 00(,)x x y y ++，则变换函数为 0(,)u X x y x x ==+， 0(,)v Y x y y y ==+，写成矩阵表达式为： 00x u x y v y ??????=+???????????? 其中，x 0和y 0分别为x 和y 的坐标平移量。 比例缩放：若图像坐标 (,)x y 缩放到（ ,x y s s ）倍，则变换函数为： 00x y s u x s v y ??????=?????????? ?? 其中, ,x y s s 分别为x 和y 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。 旋转变换：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转θ角度，则变换后图像坐标为： cos sin sin cos u x v y θ-θ??????=??????θθ?????? 三、 实验步骤 1打开Matlab ，程序组中“work ”文件夹中应有待处理的图像文件； 2编写函数，对图像进行平移变换，使图像平移横坐标偏移量x 和纵坐标偏移量y ； 3编写函数，对图像进行比例缩放，使图像缩放横坐标偏移量x 和纵坐标偏移量y ； 4 编写函数，对图像进行旋转变换，使图像旋转某个角度angle ； 5 利用上面的函数，对一幅图像完成以下几何变换：先对x 方向缩小0.5倍，y 方向缩小0.25倍，然后平移[20,20]，最后旋转90度。 6记录和整理实验报告。 函数定义： function J=translate(I, x, y) %平移量x 和y 图象变换 imtransform
实验五二维图形的几何变换 一．算法名称：几何变换 二．算法分析： 图像的几何变换包括图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像几何变换的实质改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。 三．代码实现： int changge(int x, int y) { int i; for(i = 0; i < 3; i++) { ee((att[i].x+x),(att[i].y+y),(att[(i+1)%3].x+x),(att[(i+1)%3]. y+y)); } getch(); setcolor(0); for(i = 0; i < 3; i++) {
ee((att[i].x+x),(att[i].y+y),(att[(i+1)%3].x+x),(att[(i+1)%3]. y+y)); } return 0; } int change1(int x,int y) { int hh1[3]; int hh2[3]; int i; for(i = 0; i < 3; i++) { Hh1[i]=(att[i].x-att[0].x)*sx+att[0].x; Hh2[i]=(att[i].y-att0].y)*sy+att[0].y; } for(i = 0; i < 3; i++) { ee(hh1[i]+120,hh2[i],h1[(i+1)%3]+120,hh2[(i+1)%3]); } getch(); setcolor(0); for(i = 0; i < 3; i++)
{ ee(hh1[i]+120,hh2[i],arr_one[(i+1)%3]+120,hh2[(i+1)%3 ]); } return 0; } int change2(int x, int y, int a) { int i; int hh[3]; int hh1[3]; for(i = 0; i < 3; i++) { hh[i]=(att[i].x-x)*cos(a)-(att[i].y-y)*sin(a)+x; Hh1[i]=(att[i].x-x)*sin(a)+(att[i].y-y)*cos(a)+y; } for(i = 0; i < 3; i++) { ee(hh[i],arr_two[i],hh[(i+1)%3],hh[(i+1)%3]); } getch(); setcolor(0);
第一章MRI的基础原理（补充） 一、自由感应衰减FID 1、失相位的原因 ⑴、外磁场的不均匀性 ⑵、自旋间的相互作用 2、自由感应衰减FID（Free Induction Decay） ⑴、理想接收信号：正弦函数（旋转的横向磁化矢量） ⑵、实际接收信号：衰减正弦函数（螺旋状的横向磁化矢量）
二、TR和TE 1、基本概念：TR（Time of Repetition，脉冲重复时间） 两个连续的90度射频脉冲的间隔时间 2、基本概念 ⑴、基本概念：TE（Time of Echo，回波时间） 90度射频脉冲到回波采集的间隔时间 ⑵、理想情况：如果能够在关闭90度射频脉冲的同时，进行信号检测 ?则检测到的FID信号最大 ⑶、实际情况：需要等待一段时间，才能进行信号检测 三、饱和 1、基本概念：饱和：当90度射频脉冲，刚刚将纵向磁化矢量偏转到XY平面时 ?系统处于饱和状态 2、基本概念：部分饱和：经过一段时间，部分T1弛豫恢复 ?系统处于部分饱和状态
四、自旋回波 1、重聚脉冲 ⑴、作用：复相位 ⑵、关键：90度射频脉冲激发后，τ时刻后失相位 180度重聚脉冲激发后，τ时刻后复相位 2、自旋回波（Spin Echo，SE） ⑴、作用：利用重聚脉冲，去除外磁场的不均匀性所导致的失相位 ⑵、关键：TE＝2×τ
五、空间编码 1、Gz梯度 ⑴、基本概念：Gz＝层面选择梯度 ⑵、打开时刻：90度射频脉冲激发时 2、Gx梯度 ⑴、基本概念：Gx＝频率编码梯度 ⑵、打开时刻：回波采集时 3、Gy梯度 ⑴、基本概念：Gy＝相位编码梯度 ⑵、打开时刻：90度射频脉冲~180度射频脉冲之间 ⑶、理想过程：Step1：打开Gy梯度?各行质子以不同频率的进动 Step2：关闭Gy梯度?各行质子之间，永久性的相位移 Step3：打开Gx梯度?各列质子以不同频率的进动 Step4：归纳【各行各列的质子，具有不同的频率和相位】⑷、实际过程：每一次相位编码，都需要一个TR周期
Tracking-Learning-Detection原理分析 正如名字所示，TLD算法主要由三个模块构成：追踪器（tracker），检测器（detector）和机器学习（learning）。 对于视频追踪来说，常用的方法有两种，一是使用追踪器根据物体在上一帧的位置预测它在下一帧的位置，但这样会积累误差，而且一旦物体在图像中消失，追踪器就会永久失效，即使物体再出现也无法完成追踪；另一种方法是使用检测器，对每一帧单独处理检测物体的位置，但这又需要提前对检测器离线训练，只能用来追踪事先已知的物体。 TLD是对视频中未知物体的长时间跟踪的算法。“未知物体”指的是任意的物体，在开始追踪之前不知道哪个物体是目标。“长时间跟踪”又意味着需要算法实时计算，在追踪中途物体可能会消失再出现，而且随着光照、背景的变化和由于偶尔的部分遮挡，
物体在像素上体现出来的“外观”可能会发生很大的变化。从这几点要求看来，单独使 用追踪器或检测器都无法胜任这样的工作。所以作者提出把追踪器和检测器结合使用， 同时加入机器学习来提高结果的准确度。 跟踪器的作用是跟踪连续帧间的运动，当物体始终可见时跟踪器才会有效。追踪器根据物体在前一帧已知的位置估计在当前帧的位置，这样就会产生一条物体运动的轨迹，从这条轨迹可以为学习模块产生正样本（Tracking->Learning）。 检测器的作用是估计追踪器的误差，如果误差很大就改正追踪器的结果。检测器对每一帧图像都做全面的扫描，找到与目标物体相似的所有外观的位置，从检测产生的结 果中产生正样本和负样本，交给学习模块（Detection->Learning）。算法从所有正样 本中选出一个最可信的位置作为这一帧TLD的输出结果，然后用这个结果更新追踪器的起始位置（Detection->Tracking）。
数字图像处理与分析实验作业 作业说明：作业题目分为基本题和综合应用题。基本题主要是考察大家对教材涉及的一些基本图像处理技术的理解和实现。而综合应用题主要是考察大家综合利用图像处理的若干技术来解决实际问题的能力。 注：所有实验用图像均可从网上下载，文档中的图片只是示例。 作业要求： 编程工具：Matlab或者VC(可以使用OpenCV：https://www.doczj.com/doc/859137060.html,/）。因为很多基本的图象处理算法已经集成在很多的编程工具中，而编程训练中基本题的目的是让同学们加深对这些算法的理解，所以基本题要求同学们只能使用图像读取和显示相关的函数（例如Matlab的imread imshow，imwrite，OpenCV的cvCreateImage，cvLoadImage，cvShowImage），而不要直接调用相关的API（例如二维DFT，图象均衡等等），但在综合应用题中则无此限制。 上交的作业包括：实验报告和程序。其中实验报告要求写出算法分析（必要时请附上流程图），函数说明（给出主要函数的接口和参数说明），实验结果（附图）及讨论分析。提交的程序，一定要确保可以运行，最好能写个程序说明。 基本题一共有10道，可以从中任选2道题来完成。综合应用题有2道，可以从中任选1道来完成。 请各位同学务必独立完成，切忌抄袭！ 基本题 一、直方图变换 要求对原始Lena 图像实现以下三种取整函数的直方图均衡化： 线性函数： t k= int[(L -1) t k+ 0.5]； 对数函数： t k= int[( L-1)log(1+9t k) + 0.5] ； 指数函数： t k= int[(L -1)exp( t k-1) + 0.5] ； 要求给出： 1、原始图像和分别采用上述三种方式均衡化后的图像； 2、原始图像的直方图和上述三种方式对应均衡化后的直方图。
仿射变换 一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆 仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22 a b k k BC AC -=?. 仿射变换定理二：b a S S ='（拉伸短轴）；a b S S =''（压缩长轴）. 拉伸短轴后点的坐标变化：), (),(00' 00y b a x A y x A →，横坐标不变，纵坐标拉伸b a 倍. 斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S a b S ??=（水平宽不变，铅垂高缩小）. 压缩长轴后点的坐标变化：),( ),(00' 00y x a b A y x A →，纵坐标不变，横坐标缩小a b 倍. 斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S b a S ??=（水平宽扩大，铅垂高不变）. 例1（2013·新课标）椭圆13 4:2 2=+y x C 的左、右顶点分别为21A A 、，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]1,2--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A. ??????43,21； B. ??????43,83； C. ??????1,21； D. ?? ? ???1,43. 例2（2016·北京）已知椭圆1:22 22=+b y a x C 过点)1,0(),0,2(B A 两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；
图像拼接：图像拼接技术就是将数张有重叠部分的图像(可能是不同时间,不同视角或者不同传感器获得的)拼成一幅大型的无缝高分辨率图像的技术。使用普通相机获取宽视野的场景图像时，因为相机的分辨率一定，拍摄的场景越大，得到的图像分辨率就越低；而全景相机、广角镜头等不仅非常昂贵，而且失真也比较严重。为了在不降低图像分辨率的条件下获取超宽视角甚至3 6 0度的全景图，利用计算机进行图像拼接被提出并逐 渐研究发展起来。现在，图像拼接技术已经成为计算机图形学的研究焦点，被广泛应用于空间探测、遥感图像处理、医学图像分析、视频压缩和传输、虚拟现实技术、超分辨率重构等领域。图像配准和图像融合是图像拼接的两个关键技术。图像配准是图像融合的基础，而且图像配准算法的计算量一般非常大，因此图像拼接技术的发展很大程度上取决于图像配准技术的创新。图像拼接的方法很多，不同的算法步骤会有一定差异，但大致的过程是相同的。一般来说，图像拼接主要包括以下五步： a ) 图像预处理。包括数字图像处理的基本操作(如去噪、边缘提取、直方图处理等)、建立图像的匹配模板以及对图像进行某种变换(如傅里叶变换、小波变换等)等操作。 b ) 图像配准。就是采用一定的匹配策略，找出待拼接图像中的模板或特征点在参考图像中对应的位置，进而确定两幅图像之间的变换关系。 C ) 建立变换模型。根据模板或者图像特征之间的对应关系，计算
出数学模型中的各参数值，从而建立丽幅图像的数学变换模型。· d ) 统一坐标变换。根据建立的数学转换模型，将待拼接图像转换到参考图像的坐标系中，完成统一坐标变换。 e ) 融合重构。将带拼接图像的重合区域进行融合得到拼接重构的平滑无缝全景图像。图像拼接的关键是精确找出相邻丽张图像中重叠部分的位置，然后确定两张图像的变换关系，即图像配准。由于视角、拍摄时间、分辨率、光照强度、传感器类型等的差异，待拼接的图像往往存在平移、旋转、尺度变化、透视形变、色差、扭曲、运动目标遮挡等差别，配准的目的就是找出一种最能描述待拼接图像之间映射关系的变换模型。E l 前常用的一些空间变换模型有平移变换、刚性变换、仿射变换以及投影变换等。图像的平移关系比较容易检测和配准，但旋转和尺度缩放的检测比较困难。许多新的图像配准算法都是针对这一特点进行算法设计的。图像融合是图像拼接的另一个关键技术。图像融合是将两幅已配准图像中有用信息综合到一幅图像中并以可视化方法显示的技术。配准后的图像由于分辨率和视角的不同以及光照等因素的影响，有时甚至是多光谱图像之间进行的拼接，在图像拼接的重叠部分有时会产生模糊、鬼影或噪声点，边界处也可能形成明显的拼缝。为了改善拼接图像的视觉效果和客观质量，需要对拼接后的图像进行融合。