数学拓展性作业设计促进学生思维发展的研究
一、课题的提出
根据我国义务教育阶段学生作业形式的调查，教师布置的作业大多是书面习题与阅读教科书，而较少布置如观察、制作、试验、查资料、社会调查这一内课外拓展实践性作业。对学生进行的课外作业形式的调查发现，实践性作业的比例一般不到20％。数学作业普遍存在形式、内容单一，学生不感兴趣甚至厌恶的现象，作业成了学生的沉重负担。学生写作业往往是应付老师的检查，他们从作业中获得了什么呢？另外，大量的重复性、机械性的练习也遏制了学生思维的发展。我们的学生变得只会解题，只会解老师教过的题目，遇到灵活性的需要学生独立思考的练习却束手无策，出现许多"高分低能"的教育失败品。这些不如人意的现象都呼吁着作业改革的到来。拓展性作业正是作业改革的方式之一。它具有灵活、开放性的特点，能吸引学生主动完成，爱上写作业，能反映出学生的综合能力，也是课堂内容的有深度的延伸。我们理解拓展性作业是在某一个或某一段教学内容（例如：一个单元）的基础上，老师设计的综合性、实践性、开放性、生活性的作业，学生可能需要小组合作、交流、调查、收集资料、咨询家长、制作表格、个人缜密思考等活动才能完成作业。
拓展性作业是对传统作业的补充和扩展。传统的作业往往是学生对例题的模仿与重复，局限于数学一节课内容，局限于一个知识点，是学生某一方面能力的单一体现。而拓展性作业包含的面要广的多，它内容上可以包括数学学科在内的多学科综合性实践作业，拓展性作业更能反映学生的综合素质和能力，当然对培养学生解决问题的能力和锻炼思维的作用更直接。拓展性作业强调学生对所学知识、技能的实际运用，注重练习的过程，注重实践与体验，使学生在作业的完成过程中，创新精神和实践能力得以提升。一方面，要给学生保留足够的时间和空间，让学生充分地感悟、体验，发挥自身的潜能。另一方面，教师又要加强指导，及时了解学生完成时遇到的困难以及他们的需要，有针对性地进行指导，成为学生交流的组织者和建设者，给学生适时的鼓励和指导，帮助他们建立自信心并进一步提高学习积极性。
希望通过研究，我们能熟悉拓展性作业的方式、类型，以及这种作业对学生思维发展的影响。
拓展性作业不是单纯的依赖模仿与记忆，而是通过与书本有联系的知识与能力的拓展，加以动手实践、自主探索以及合作交流多种形式，激发学生作业的兴趣。
一次上数学提优班时，做了这样一个小调查：
1．我们平时布置的作业你能按时完成吗？你对这种类型的作业有什么看法？
2．对于动手、动脑要求比较多的练习，你有什么看法？
一般性作业，学生这样描述：
1．我能认真完成
2．我觉得有点烦
3．我只是为了完成而写
4．我觉得机械单词其实效果并不好
5．这样的作业我没兴趣，特别想干点别的什么
6．有点浪费时间
拓展性作业，学生这样描述：
1．我喜欢有挑战性的作业，因为我很聪明
2．我觉得有点难，但我想试试
3．我没写过论文，但如果老师留，我挺想试一试。
看来，学生对平时布置的作业当成一种不得不去完成的任务，而拓展性作业更能够激发出学生的学习兴趣。
二、拓展性作业对思维促进的研究
（一）拓展性作业对学生发散思维的促进。
所谓发散思维，指能够从多种设想出发，不按常规地寻求变异，使信息朝着各种可能的方向辐射，多方面寻求答案，从而引出更多的信息。通过拓展性作业，引导学生求新探究，激励学生的确创新思维；通过创设教学情景，潜移默化地将学习的技巧、求解的方法传授给了学生。
发散思维活动的展开，其重要的一点是要能改变已习惯了的思维定向，而从多方位多角度--即从新的思维角度去思考问题。例如，四则运算之间是有其内在联系的。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。如
187-7-7-…-7可以连续减多少个７？应要求学生变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作187里包含几个7，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止看问题，使所学知识有所升华，从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系，又进行了发散性思维训练。
（二）拓展性作业对学生创造性思维的促进
创造性思维是一种心理过程。与科学家一样，小学生同样具有创造性思维，所不同的是：科学家的创造性思维指向探索人类的未知，小学生的创造性思维指向继承人类的已知。对小学生而言，只要不是模仿照搬别人的做法，而是运用已有的知识经验，经过独立思考，在教师讲授或自己学习的基础上有新的理解，以至于
独到见解；只要能发现不同于教科书、不同于教师的解题方法和学习方法；只要能运用已知解决实际问题且具有新颖性、独特性……均属创造性思维范畴。拓展性作业要求学生在解题的时候要源于书本，但是又要有所创新，对学生的创造性思维的培养有着重要的作用。
对于小学生来说，既要注意培养他们不盲从，喜欢质疑，打破框框，大胆发表自己意见的品质，又要培养他们敢于求"异"，进而养成独立思考、独立解决问题的习惯。如在教学"乘法意义"的运用一课时，出现了这样一道加法题：8＋8＋8＋3＋8＝？让学生用简便方法计算。于是大部分学生提出了8×4＋3的方法，但有个学生则提出了"新方案"，建议用8×5－5的方法解。就两种思维方式而言，后者更有创见，在他的思维活动中，他"看见了"一个实际并不存在的8，他假设在3的位置上是一个8，那么就可以把题目先假设为8×5。接着他的思维又参与了论证：8－5才是原题中的实际存在的3。对于这种在别人看不到的问题中发现问题和提出问题，从不同角度思考问题的思维方式，我们要加倍珍惜和爱护。
设计拓展性练习题是培养学生创新意识和能力的关键。因此教师要经常采用灵活、多向、开放性的练习，特别要展示一些贴近生活实际的问题，给学生提供广阔的思维空间，促使学生把机械的模仿转化为探索创新。开放性的问题有利于拓宽学生的思维空间，能有效挖掘学生的创造潜能。教师可以精心设计一些开放性的题目，使学生的思维进入一个求异的状态。
（三）拓展性作业设计对学生摒弃思维定势的负作用
思维定势是由当前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态或活动的倾向性，在情境发生变化时，它则会妨碍人采用新的思维、新的解决方法。通过拓展性作业，针对这种现象，不失时机地引入智力活动，启迪学生思维，能够很好的摒弃思维定势的负作用。
例如："砖有什么作用？"一些成年人会说砖是用于砌房子、建高楼，若再想是否有其它的用途，恐怕就会感到思维几乎"窒息"。而同样的问题问小朋友，就会得到诸如"可以用来写字，画画"、"可以用来磨成粉捏小泥人"、"可以用来做颜料"、"可以用来……"，其答案五花八门。这正是因为这些成年人被"思维定势"框住了，所以感到答案枯竭。在传统的练习中，随处可见学生主动学习的少，而精力都花在反复的、机械的练习当中，这种练习模式极不利于学生的思维活动，强化了思维定势的负作用，甚至禁锢了学生思维的发展。那怎样才能够摒弃思维定势的负作用呢？
例如：学生学习了按比例分配的应用题，但是学习了按比例分配的应用题之后，学生往往会和前面的分数的应用题混淆。这就是思维定势的负作用在"作怪"怎样使学生不混淆，而又能够使两种的方法可以相互使用呢？于是，在课堂中出了这样两个题目：
（1）一个养牛场，黄牛有40只。奶牛的只数和黄牛的只数比是8:9,这个养牛场一共有多少头牛?
（2）甲的钱数是乙的 ,甲给了乙20元,这是甲的钱数是乙的 .原来甲和乙各有多少元?
让学生对这两个题目各抒己见，充分的讨论：有的赞成用分数的方法解，有的赞成用按比例分配的方法解，还有的建议结合两种方法来解。但是我不加任何提示与评论，任由学生争论。学生在争论的过程中，渐渐的打开了思维，并且摒弃了思维定势的束缚，更加清楚的区分分数应用题和按比例分配应用题的区别，并且提出了很多新颖的解题方法。
（四）拓展性作业设计对逆转心理思维的培养
逆转心理思维过程的能力非常的重要，他是一种思维过程的方向能力，不仅取顺向，而且取逆向；不仅从正面，而且从反面；不仅从因到果，而且执果索因进行分析，使问题得到解决。逆转心理思维在解题中有着很大的优势，利用拓展性作业来训练学生的逆转心理思维。通过训练，学生的逆转心理思维得到了提高。
例如：
（1）母亲现在的年龄是女儿现在年龄的3倍，10年后母亲的年龄是女儿的2倍。母亲现在的年龄是多少？
（2）母亲35岁时，女儿5岁。多少年后，母亲的年龄是女儿的三倍？
这两个问题是典型的年龄问题，对于五年级提优班的学生来说，解决这两个问还是比较容易的。孩子们应用解决年龄问题的的一般方法，就能够很好的解决。但是，很显然这两个问题是互逆的。把问题1从条件得到结论的过程看成正向的思维过程的话，那么问题2的思维过程就是逆向的。学生顺向解决问题的思维过程，可以顺利的应用到逆向解决问题的过程中。
（五）拓展性作业促进学生思维的广阔性和深刻性的研究。
拓展性作业的要求，相对于普通的作业来说要求有了很大的提高。所以，学生在练习拓展性作业的时候就要求学生积极动脑，探究题目中影含问题与条件，更深层次的发掘题目的内涵，建立与已有经验的连接。
拓展性练习，可以对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。
如：甲乙两队合修一条长1500米的公路，20天完成，完工时甲队比乙队多修100米，乙队每天修35米，甲队每天修多少米？
这道题从不同的角度思考，得出了不同的解法：
（1）先求出乙队20天修的，根据全长和乙队20 天修的可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是（1500－35×20）÷20
（2）先求出乙队20天修的，根据乙队20天修的和甲队比乙队多修100米可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是：（35×20＋100）÷20（3）可以先求出两队平均每天共修多少米，再求甲队每天修多少米。算式是：1500÷20－35
（4）可以先求出甲队每天比乙队多修多少米，再求甲队每天修多少米。
算式是：100÷20＋35
（5）假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求两队每天修的，再求甲队每天修的。算式是：（1500＋100）÷20÷2
（6）假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求甲队20天修的，再求甲队每天修的。
算式是：（1500＋100）÷2÷20
（7）假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，也就是甲队（20×2）天修的，由此可以求出甲队每天修的。
算式是：（1500＋100）÷（20×2）
然后引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路最简捷。这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力，拓展性作业所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而培养学生思维的深刻性。
如：学习"真分数和假分数"时，在学生已基本掌握了真假分数的意义后，问学生：是真分数，还是假分数？因a、b都不是确定的数，所以无法确定是真分数还是假分数。在学生经过紧张的思考和激烈的争论后得出这样的结论：当b＜a时，为真分数；当b≥a时，是假分数。这时教师进一步问：a、b可以是任意数吗？这样不仅使学生对真假分数的意义有了更深刻的理解，而且使学生的逻辑思维能力得到了提高。
三、认识与反思
在我们平时的教育教学的过程中,学生对待拓展性作业的兴趣虽然比较的浓,但是受到目前教育现状的影响还存在着这样一些问题：
（一）重结果、轻过程
由于长期应试教育的负面效应，学生、家长甚至老师都在一定程度上存在着重结果、轻过程的倾向，在拓展性作业的练习中也不例外。更多关注的是答案写了几
种、奥数考了多少分、附加题的得分，比较忽视学生在练习中的情感、态度以及思维的发展程度。有待以后的实践中慢慢转变。
（二）主体性不突出
目前拓展性作业局限于老师设计、学生被动完成，学生只是作业的承受者。
他们的创造只是对作业完成形式、方法、内容、结果的创造，以后的教学中随着学生年龄的增长、知识的积累、能力的提高可以适当放手，让学生参与设计拓展性作业，享受更多的创造快乐。
（三）参与对象受知识水平、性格特点限制
在研究中发现，拓展性作业参与对象受知识水平、性格特点限制，并不是所有人都热衷于练习，也不是所有人都能从拓展性作业中获得明显的发展。学习中上等、思维较为活跃、性格开朗活泼的学生参与最积极，效果最好。如何调动其他学生参与的积极性，有待以后研究。
（四）缺乏相应的考核机制
受教育现状影响，针对拓展性作业的考核很少。从教育主管部门、到学校、到任教老师都没有建立起拓展性作业的考核体系，一定程度上影响了师生尝试、实践的积极性。我们期待，拓展性作业的考核机制能够早日建立。
初中数学分层布置作业案例 案例1: 整式加减是在学习了“有理数运算”基础上的提高。在布置做教科书“整式加减”课后的“综合运用”和“拓广探索”题时,我在教室内进行巡视和个别指导,大半节课后,基础好的同学已经做完了所有的题,开始没有事干了;而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭,丝毫没有进展。我看了很着急,问他们是怎么回事,他们说:“不会做”。原来是他们不会分析,时间一分一秒的过去,可他们却完全没有收获。他们每天的作业不是抄别人的就是不做,我也知道他们没办法,因为问题欠得太多了。案例分析: 在义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。在数学教学中,差生的得来,除了很少部分是智力因素外,大部分就是无效学习造成的。的确,我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异,教学中教师总想让学生多学一点东西,怕学生因为少做题而影响成绩,因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。然而,这样做的效果恰好适得其反。他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐,反而还被一次次失败所打击。他们学习上失去了信心,也就没有战胜困难的勇气。因此可见,教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底,使学生在学习上产生恶性循环。为了解决这部分学生的学习问题,首先要解决他们的信心问题。教学中不但要关注他们的课堂表现,更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。作为教师应该从作业布置中承认他们的差异,努力减轻他们学习上的压力,让优生吃得饱,差生吃得了, 给他们尝试成功的机会,让他们树立自信心,给他们学习上的快乐,才能收到良好的教学效果。 分层布置作业 针对学生的实际,把学生分成三个组。其中成绩好的为A组,成绩中等的为B组,成绩较差的为C组。在分组时便给学生讲清分组的目的和重要性,以消除学生思想中的消极心理,让他们积极配合我的工作。在教学中我根据各组成绩情况布置相应的作业。每天的作业采用优化的弹性作业结构设计:分基本作业、提高性作业、探索性作业。凡完成本课时所必须完成的作业,视为基本作业,允许优生不做,中差生人人要完成。考虑到学生好、中、差的实际,将题目作些变化,视为提高性作业,供B组和A组完成。设计一些难度较大的作业,视为探索性作业,便于A组同学完成,让他们在更大的空间展示自己的能力,尝试到学习的喜悦。 优等生能在巩固基础知识的同时不断拓展,使自己的知识量和灵活性都有所提升;中等生可以在保证基础知识扎实的情况下有较大的进步,在灵活运用方面有所提高;而学困生则确保能掌握课标设定的教学底线。 教学中的分组不是一成不变的,应采用滚动式的方法。在一个月的作业中都能够达到高一级的要求,可以进入到高一组。B组中有学习特别困难的也可以退入到 C组。学生在这样的激励机制下,学习有压力也有动力,在成功的尝试中来树立学习的自信心,培养学习数学的兴趣,从而可实现:“人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同 的发展”的目标。
1、把正方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况见下表：现将上述大小相同，颜色、花朵分布也完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体如图所示。问长方体的下底面共有多少朵花？ 2、如图，有一个正方体盒子，在盒子内的顶点A处有一只蚂蚁，而在对角的顶点C1处有一块糖，蚂蚁应沿着什么路径爬行，才能最快的吃到糖？请画出蚂蚁爬行的路线。 3、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1/2的长方形，接着把面积为1/2的长方形等分成两个面积为1/4的正方形，再把面积为1/4的正方形等分成两个面积为1/8的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256 4、先阅读并填空，再解答问题：我们知道1/1*2=1-1/2 , 1/2*3=1/2-1/3, 1/3*4=1/3-1/4, 那么1/4*5=，1/2018*2019= 。用含有n的式子表示你发现的规律：。并依次计算：1/2*4+1/4*6+1/6*8+...+1/2018*2020. 5、求满足/a-b/+ab=1的非负整数a，b的值。 6、已知A=2x2+3xy-8x+3,B=3x2-2xy+x-5,且3A-2B的值与x无关，求y的值。 7、已知关于x的整式(k2-9)x3+(k-3)x2-k.(1)若是二次式，求k2+2k+1的值；(2)若是二项式，求k的值。 8、已知x2-xy=-3, 2xy-y2=-8，求代数式2x2+4xy-3y2的值。 9、已知（2x+3)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,求：(1)a0+a1+a2+a3+a4的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4的值；(3)a0+a2+a4的值。 10、多项式x2-6x-2的2倍减去一个多项式得4x2-7x-5,求这个多项式。
初中数学拓展课的有效教学思考 发表时间：2015-08-19T15:50:17.473Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第25期供稿作者：肖鸿斌 [导读] 江西省宜春实验中学由于学生的学习环境、生活经历、智力、数学知识基础等不同，导致学生差异较大。 江西省宜春实验中学肖鸿斌 近几年来，由于一直号召均衡义务发展，强调“平均分”等因素而忽略了对“优等生”的培养，而在实际教学过程中，也的确出现了部分优秀学生“吃不饱”现象，也有一部分学生表现了对数学有极大兴趣者，但在有限的学习时间内，如何培养“优等生”，如何开展好初中数学拓展课教学是我们当前教学中的困惑之一。 拓展型课程是为培养、激发和发展学生的兴趣爱好，开发学生的潜能，促进学生个性、特长和学校办学特色的形成与发展，满足现代社会对多样化人才的需求，体现不同基础要求的、具有一定开放性的课程。数学拓展课具有一定的开放性，具有动脑、动手的特点，能够吸引学生的积极参与，着眼于培养、激发和发展优秀学生的兴趣爱好，并激发和强化学生的自主、自我表现的愿望。由于智力、家庭环境、学生自身努力等各种因素，学生在学习上的差异十分显著！就在我班级，叶同学几乎每次数学考试都是满分；张同学酷爱数学，善于思考问题，认为老师平时课讲得太简单……这些学生显然满足不了现有教材所提供的信息，而拓展型数学教学可以为这类中上等、优秀学生提供学习更多更深奥知识的机会；领悟数学思维的奥妙，同样可以利用简单有趣味的数学游戏来提高数学成绩偏差类学生的学习兴趣和自信心。 一、开展初中数学拓展型教学所面临的问题及解决策略 1．学生差异显著。由于学生的学习环境、生活经历、智力、数学知识基础等不同，导致学生差异较大，这就需要不同类型的数学拓展项目来满足学生的需求，就为学校的财力、物力提出了要求，也为教师才能提出了更高要求。学校完全可以以年级为单位，根据学生的学习兴趣、基础等重新分班教学，每个礼拜安排1—2课时供学生选学。可以分：数学思维、数学与生活、数学与物理(化学)、数学故事、趣味数学、数学与做人等，然后统一组织教学。这和目前大学阶段开展的选修课程教学模式一样， 2．缺乏具有系统知识发展的教材。这个问题是目前数学拓展课程实施起来最困难的问题之一，因为几乎所有的老师和学生都习惯基础型课程的教学与学习。在基础性课程中，老师可以借助教学参考，基本上根据教材内容教；学生上课认真听讲，理解与掌握课堂知识，即使有不懂的问题，也可以通过看书或培训来补救。而拓展型课程没有统一的教材及教学参考。没有教材，许多老师就觉得上课没有内容；没有教参，就觉得上课没有目标。例如在数与代数一章中，可以设置“尾数常用的处理方法”、“计算工具的发展”、“几月几日是星期几的计算”、“用试探法、倒推法、代换法等解决实际问题”、“等量代换”、“比赛中的数学”等为课题，选好课题以后，根据目标，可以自己或和兴趣小组教师交流合作编写教案与习题，也可以从网上、图书馆等搜集资料，结合学生实际情况作适当的修改或补充，并注意保存。实际上通过一两年的编写、收集、修改，就可以形成积累一些较好的数学拓展教学资料。 3．缺乏相配套的学生练习。首先拓展型作业有别于传统作业的，侧重于培养学生创新与实践能力的练习，具有开放性、实践性的特点，能拓展学生的思路，激发学生的学习兴趣，调动学生的智力因素和非智力因素全面参与到作业中来。拓展性作业，强调学生是作业的主体，注重发挥学生的作业的自主性、主动性与创造性，让他们在能动的创造性的作业活动中获取生动、活泼、完满的发展。具体有如下几种设计方法：一题多变：对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。一题多问：引导学生观察同一事物时，要从不同的角度、不同的方面仔细地观察，认识事物，理解知识，这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。一题多议：提供某种数学情境，调度学生多方面的旧知、技能或经验，组织议论，引起思维火花的撞击。一题多解：在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。它可以通过纵横发散，达到举一反二。 4．缺乏评价学生和教师标准。没有好的学习评价，就会失去对学生的激励和调控。其评价的主要目的，就是通过对学生学习数学的行为、态度和所取得的进展的判断，使学生正确认识自己，增强学习数学的自信心，获得真实的成就感。 二、几点思考与困惑 1、如何在师生考试压力普遍较大的情况下开展好拓展型教学?虽然“减负”政策相应出台，但由于落实不力、监督不严，加上现行教育体制与社会普遍重视学历的大环境，教师与学生仍对考试感觉压力甚重。面对“要分数还是要能力”的两难问题，一些教师便提出“考试难，时间紧，没空进行拓展教学”的理由，“坚守”教材，反复运用反复操练，务必人人都要将教材知识烂熟于胸！对于这些教师，我们又该如何让他们转变教材观、教学观，开展拓展型教学呢？ 2、如何在尊重学生差异和学校财力、物力、人力之间找到平衡点？由于学生的差异显著，如果更多更好的照顾、尊重学生，就得根据学生的需要设置更多的数学拓展项目，这样就需要学校更大的物力、财力、人力的支出，增大了教育成本；如果开展的项目太少，就失去了开展数学拓展项目的意义或者说达不到预期的效果，在这之间如何找到一个平衡点，有没有一个较好的标准或方法来找这个平衡点，值得我们继续实践和探索。 3、如何去评价老师？在数学拓展项目中，教师也是该项目的参与者、指导者以及项目的推进着，为数学拓展的顺利实施与开发起着至关重要的作用。所以谁来给教师一个评价？用什么标准来评价老师开展的数学拓展项目成功与否，合不合格？这个问题也值得我们进一步思考和探索的。 总之，通过“初中数学拓展型教学的实践与思考”不断的深入，广大教师提高了自身建设教材、驾驭课堂的能力，从而进一步提高教育教学水平，真正一切为孩子的可持续发展服务。真正把这项工作做好做踏实，并达到一定效果，这对我们数学老师来说，还是任重而道远的!
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/859062133.html, 初中数学实践性作业设计及应用的初探 作者：郭顺丽郭贝贝 来源：《试题与研究·教学论坛》2017年第11期 数学作业是教学的一个重要环节，是数学课堂教学的延续与补充，是学生巩固与反馈学习效果的重要途径；也是教师检验教学目标达成度的重要依据，是教师激发学生学习积极性的工具之一。然而，教师布置作业仅停留在巩固性作业上，学生完成作业处于被动状态，应付了之的不乏其人，数学作业的作用并没有得到很好的发挥。面对现状，我们一致认为，作业中应适时增加实践性作业。 一、增加实践性作业的必要性 我们曾对四个班的学生进行了关于数学作业完成情况的调查和统计：完成作业质量较高的仅占23%，70.3%的学生存在抄袭作业的现象，长期不交作业的占6.7%。其中，抄袭作业的学生中，一部分是由于基础知识掌握不牢，上课听课效率低，使得完成作业的过程有困难，一部分却是成绩不错的学生，感觉作业枯燥无趣，因此态度懒散。 形成原因：（1）作业只求“量”，没有“质”。教师在布置作业时，只重视了作业能起到巩 固课堂内容的作用，持有熟能生巧的态度，重复性作业较多，使得程度好的学生感觉作业枯燥，潜能生面对大量的作业，望而生畏。（2）作业类别单一。教师布置作业的随意性强，课后练习或者参考书上，主要是计算题、应用题和证明题，对学生没有吸引力，不能让学生的特长得到很好的施展。（3）学生对数学的认识：与“学好数理化，走遍天下都不怕”的观点相悖，部分学生认为生活中只需要用到简单的计算，学习数学没有用，这种思想严重影响了学生学习数学的积极性，对待作业更消极。 哈里斯？库珀认为作业的积极功能主要包括：（1）通过学业成绩；（2）增强学生对学科的重视程度；（3）提高或保持学生的学习兴趣；（4）巩固课堂学习内容；（5）培养学生良好的学习习惯；（6）掌握学习方法；（7）培养学生合理安排时间的能力；（8）促进学生更好的学习；（9）调节师生关系；（10）加强同伴交流；（11）培养学生自我调节能力…… 我们在平时布置作业时，只强调了作业是巩固课堂学习内容的作用，忽视了“保持或提高学生学习兴趣”的功能。因此，我们决定，改变自己的教学理念，设计实践性作业，发挥数学作业的积极功能。 二、实践性作业的应用与成效 1.实践性作业的设计与应用 （1）动手操作型作业：七年级第一章《展开与折叠》中，探究正方体的表面展开图，课前布置作业：用硬纸板做6个大小相同的正方形，试试有几种方法拼接可以折叠成正方体。学
优化作业设计方案 一、课题背景 数学作业贯穿学生学习活动的始终，它是一种有目的、有指导、有组织的学习活动，是学生学习情况反馈的第一手书面材料。是提高学生素质的重要载体，最能凸显学生自主学习的能力，最能真实反映学生的学习过程，是不应忽视的形成性评价内容。 数学作业在不同学校、不同班级、不同阶段，程度不等地存在着以下五个方面的质量问题： 一是目标不明，在实际操作过程中，作业设计存在着较大的主观性、盲目性和随意性二是体系不全，作业设计中知识、技能训练点的排布相当零散和重复，不少训练点的选择和时序安排缺乏科学性 三是渗透不广，将数学学科和其它学科割裂开来，放着无比丰富的语言矿藏不去采掘，就语文练语文，忽视了多学科之间的交叉渗透 四是层级不高，在知识、技能、智力三个训练层次中，第一层次耗时过多，二、三层次相对薄弱，尤其是学生的思维能力得不到科学、系统的训练 五是对象不分，不同层次的学生做着完全相同的作业，有的“吃不饱”，有的“受不了”，因材施教的原则在语文作业设计中没有得到充分的体现 二、研究目的及意义 开展作业优化设计，研究学生的作业规律，切实解决目前仍存在的“高耗低效”的题海战术，使“减负增效”真正落实到实处。探索一种适应学生个别差异，促进不同层次学生都有发展的作业模式，促进学生自主获得知识，提高能力，发展智力。 通过对优化作业评价的研究，对学生的作业进行科学、全面的评价，使学生获得不同的成就感，起到激励教育的作用。使作业评价由对纯知识结果的关注转向对学生生命存在及其发展的整体关怀，在评价方式上，提倡多元评价，淡化单一的、终结性评价，发挥作业对学生成长的教育发展功能。 三、研究内容： 1．优化作业形式的研究 对于一成不变的事物，机械化的事情，人们往往容易厌倦，孩子更是如此。因此，尝试改变作业的形式，注重灵活多样，听说读写并重，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的语文素质。 2．优化作业内容的研究 在设计作业的内容时，既要注意数学各种能力的综合，也要注意四个结合，突出数学学科的工具性和实践性，能切实提高学生的数学思想。 3、变换作业评价的研究
初中数学课程标准及解读 初中数学 第一部分数学课程标准及解读 一、数学课程标准的性质： 《标准》是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育数学课程的基本规范和质量要求。 数学课程标准规定的是国家对国民在数学方面的基本素质要求，它对数学教材、数学教育和评价具有重要的指导意义，是其出发点和归宿，也是其灵魂。 二、课程标准的特点： （1）体现素质教育观念（2）突破学科中心（3）引导学生改革学习方式（4）加强评价改革的指导（5）拓展课程实施空间 三、数学课程的基本理念： （1）义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性、发展性，使数学面向全体学生。实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。（2）数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思考和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽
象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化。它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 （3）学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。 （4）数学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识、经验的基础之上。教师应激发学生的学习积极性、向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者。 （5）评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生学习数学的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感和态度。帮助学生认识自我、建立信心。
中考数学常用知识点及公式 1．乘法与因式分解 ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。2．幂的运算性质 ①a m×a n＝a m+n；②a m÷a n＝a m-n；③(a m)n＝a mn；④(ab)n＝a n b n；⑤(a b )n＝ n n a b ； ⑥a-n＝1 n a ，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。 3．二次根式 ①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。 4．三角不等式 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）； 加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b） |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|； 5．某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2； 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；6．一元二次方程 对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。 ②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。 ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。 7．一次函数 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。 ①当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； ②当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)； ③特别地：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点。
初一数学组拓展性课程 案例 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究 东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想 实践研究的反思教科研成果的引成 数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。 《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。 数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究 著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着 点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。“合理的联系”实践可表示为： 课程目标 一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。 二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。 三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。 课程实施
四点共圆巧解难题 一、知识准备 四点共圆的概念、性质、判定方法 二、拓展导学 【问题解决】 例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF. 求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得 CF ⊥AE ，即∠CFA=90° ∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上 又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形 对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF. 解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那 么由点与圆的位置关系可得这四点共圆； ②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ； ③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是 △AEC 的一条中位线，所以可证 FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ； ④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）. 【难题呈现】 例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.
小议初中数学拓展课程原则及可行途径 一、背景介绍 今年3月，省教育厅出台《关于深化义务教育课程改革指导意见》。《意见》在国家课程、地方课程、校本课程三级课程分类基础上，首次从教育功能层面将义务教育课程划分成基础性课程与拓展性课程两类。拓展性课程提出与建设，将在落实义务教育基础性、全面性与公平性基础上，强化学生个性化发展。此举是深化现阶段义务教育课程改革重要举措，既是落实立德树人根本任务、全面提高国民素质迫切要求，也是总结与推广本世纪初开始义务教育课程改革先进经验现实需要，更是对我省深化高中课程改革，尤其是去年9月开始实施高考招生制度改革一种呼应。 二、基本问题 作为深化义务教务课程改革试点学校，我校数学教研组在校领导带领与支持下，积极响应号召，于本学期开始尝试展开初中数学拓展课程教学剖析。 （一）何为拓展课程 在初步剖析阶段，首先明确什么是拓展课程。按照《意见》表述，基础性课程指国家与地方课程标准规定统一学习内容，拓展性课程则指学校自主开发开设、供学生自主选择学习内容。《意见》还将拓展性课程分为知识拓展、体艺特长、实践活动等三大类。其中，知识拓展类课程是基础性课程延伸、应用与整合，这类课程应基于地方文化与学科核心素养，旨在拓展学生知识面，激发学生学习兴趣。据此，笔者认为初中数学拓展课程可作如下定义：即以学校为教研主阵地，以初中数学课程知识为载体，从数学学习意义空间、文化内涵、生活底蕴中去延伸与开拓，以发展学生数学思维、培养学生数学素养为核心数学知识拓展型课程。 （二）拓展课程与课堂教学拓展 弄清楚拓展课程与课堂教学拓展差异，有助于更好地理解拓展课程地位，更为深入地贯彻实施深化教育改革要求。数学拓展课程作为基础性课程补充，应当是拥有包含指导思想、教学原则、课程实施、课程评价、条件保障在内，既联系数学基础课程，又具有相对独立性课程体系。而数学课堂教学拓展是基于某一堂数学课而言，是指在课堂教学过程中依据该堂课教学内容、教学目标，在一定范围与深度上同外部相关内容密切联系起来教学活动，属于基础性课程范畴。数学拓展课程开发与实施，将有效缓解现行初中数学基础课程统一学习内容过多、过分强调学习基础性、对学生兴趣培养与个性发展不够重视问题。 三、拓展原则 省教育厅办公室发布关于建设拓展课程意见中指出，拓展课程应满足多样性、层次性、综合性与实践性四个基本原则。数学拓展课程建设首先需要满足上述四条拓展课程共性，同时，笔者认为，因数学学科个性，还需要具体剖析具体制定数学拓展课程相关原则。本学期以来，笔者所在学校数学教研组积极尝试数学拓展课程开发与实践。笔者根据自身参与数学拓展课程观摩与交流经历，结合自身教学经验，对数学拓展课堂建设提出以下三个原则。 （一）横向拓展，构建知识网络 数学知识不是孤立存在。表现有二：某个知识往往前有铺垫后有延伸，前后知识逐步递进、有序展开；不同知识间也存在联系，例如数形结合。数学知识相互关联，横向交织，形成网络。因而在设计数学拓展课程时，可利用现阶段数学基础性课程尚未涉及，且符合中学生认知发展特点内容进行横向拓展。可以找到基础性课程延伸内容或者跨界联系知识点所在，帮助学生构建知识网络。例如，我们在进行完全平方公式证明时，在完成了基础性知识教学任务后，可以利用数学拓展课堂适当地引导学生了解数形结合思想，并结合一些简单练习进行强化，帮助学生进行知识横向迁移。横向且正向学习迁移可以为以后数学学习起到良好铺垫作用。 （二）纵向拓展，深化知识理解 所谓纵向，从内容难度与学习层次深度上说。就难度而言，最近发展区理论认为，教学应当
初中数学自主学习与拓展性培训体会 永嘉实验中学麻建信2016.3.29 为进一步深化浙江省义务教育课程改革，更好地帮助每一位学生实现全面而有个性的发展，2016年3月25日至28日，我参加湖州师范学院初中数学自主学习和拓展性课程专题培训活动。 此次活动主要分专题培训和实训两个环节。25日上午开始进行自主学习和拓展性课程开展的专题培训，特级教师褚水林对拓展型课程开展作了专题讲座，全面阐述了拓展性课程开设的目的、方式及策略。浙师大教授对拓展性课程的开设及学生自主学习能力的培养提出了深刻的见解。他们结合课例进行分析和指导，使我受益匪浅。经过3天的理论学习后，28日上午，在湖州第十一中学碧浪湖校区开设了的两节拓展性课程研讨课。上课教师各具风采，都上出了崭新的不同于基础性课程的一节课。之后，教师代表对两堂课作了点评。 本次活动意义深远，让我学到了很多东西。促使我们教师改变传统的教学方式，深刻体会学生自我学习以及拓展性课程的重要性。一节好的拓展性课应该是教师要充分体现组织者、引导者的作用，要积极发挥学生的主体作用。在课堂上，给予学生展示自我的空间，学生始终是拓展性课程的主角。课堂中当学生提出的想法和教师本意有违背时，不应该去打断学生的思路，而应由学生完整的表达自己的想法。拓展性课程应更加关注学生的课堂生成，鼓励学生大胆发表自已的观点，不断培养学生提出问题解决问题的能力，从而提高学生的创新能力，教师要做的是不断提升自己的课堂驾驭能力。
本次活动取得了圆满成功，对数学拓展性课程的开展指引了方向，有利于学校加强数学拓展性课程的建设，创新教学方法，改进教育评价，积极推进差异化、个性化的数学教育。
中学数学作业分层设计案例 寿县迎河中学龙如山 学生随着年龄的增加，年级的升高，数学学科的难度及知识量也相应增大了，我们发现部分学生开始感到学数学很吃力，学习劲头明显没有以前足了，两极分化的现象开始萌芽。中学数学作业普遍存在：一是作业机械重复性较多；二是作业形式单调，缺乏思维问题；三是作业量分布不均；四是忽视学生间差距和潜能，形成“一刀切”的局面等。学生对这样的数学作业非常反感。大量的作业占去学生的课余大部分时间，抑制了他们自身兴趣爱好的发展，抑制了学生个性的发展，严重影响了学生身心健康的发展。 本案例拟通过对作业分层设计的研究与探讨，从影响中学生作业低效原因的分析出发，实现从原先所谓的“任务”转化成学生自身学习的一种需求。我们尝试从改变作业的形式、内容、以及考虑学生的个体差异等方面进行思考，实行分层作业模式，从而帮助不同层次的学生都能通过合理、有效的完成作业，达到良好的课后巩固的效果。设计不同层次的作业，能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息，从这些信息中，教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况，还能及时发现教师“教”所存在的问题，从而为教师进一步改进教学方法，调节教学结构提供了有力的科学依据。 教学案例1： 整式加减是在学习了“有理数运算”基础上的提高。在布置做教科书“整式加减”课后的“综合运用”和“拓展探究”题时，笔者在教室内进行巡视和个别指导，大半节课后，基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。原来是他们不会分析，时
间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。 教学案例2： 我们利用课堂时间来检测“整式的加减”的掌握情况。我把练习试卷分发给学生，学生拿着试卷后便：八仙过海，各显神通地做开了。一节课很快过去了，做得好的同学有得满分或九十多分的，做得差的有近十个人在四十分以下。他们一节课做题完全没有进展，因为这些同学数学基础差，再加上每天都跟着“大部队”走，天天“坐飞机”，作业不是抄就是欠，所以练习更不会有什么好效果了。这些同学在练习时也很累，他们心理很着急，一节课咬着笔杆，心急如焚。成绩下来后更是“伤口上撒盐”，学困生就是这样多次受伤而造成的。 1、案例分析： 在义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。在数学教学中，学困生的得来，除了很少部分是智力因素外，大部分就是无效学习造成的。的确，我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异，教学中教师总想让学生多学一点东西，怕学生因为少做题而影响成绩，因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。然而，这样做的效果恰好适得其反。他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐，反而还被一次次失败所打击。他们学习上失去了信心，也就没有战胜困难的勇气。因此可见，教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底，使学生在学习上产生恶性循环。为了解决这部分学生的学习问题，首先要解决他们的信心问题。教学中不但要关注他们的课堂表现，更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。作为教师应该从作业布置中承认他们的差异，努力减轻他们学习上的压力，学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优等生“吃得饱”。给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心，给他们学习上的快乐，才能
分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究 东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想 实践研究的反思教科研成果的引成 数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。 《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。 数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究 著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。“合理的联系”实践可表示为：
课程目标 一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。 二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。 三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。 课程实施 第1讲 分类讨论方法在绝对值中的应用 当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。 分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。其中的关键是确定分类的标准。 例1、化简 a a + （a 为实数）。 分析：对于a 应分三种情况讨论： ?? ???<-=>=0000a a a a a a ， ， ，
探讨初中数学开展拓展性教学的策略 标签：初中数学;拓展性教学;策略 数学教学的意义不仅体现在学生的知识积累，更是关系到每个学生良好的思维模式及世界观的形成，是学生人生奠定根基的重要保证。故此，在新教学课程标准的要求下，新时代的数学教学重点就不能再停留在成绩为首的旧教学模式下了。教师应当充分利用教学资源，创建较为开放的教学环境，尽可能激发学生学习的兴趣。通过拓展性教学，使学生逐渐形成独立创新的思维模式，敢于质疑、善于探究的习惯，实现高效的教学过程。为培养新型的人才添砖助力。 一、拓展性教学在实践中的益处 第一，所谓课堂的拓展性教学，其本质是将简练的数学知识同实际相结合，大到航天轨迹的运算，小到家中的柴米油盐，这些都能促进学生对知识的理解，更重要的是激发了学生的学习氛围，使他们在日常生活中可以想到知识，在知识的枯燥中又能发现生活的乐趣。 第二，在拓展中加入新型科技的拓展，让处在活跃成长阶段的学生看到除了游戏之外还有更有意义的世界等待着去探索，在知识学习的同时实现人生观世界观的引导教育。 第三，拓展性教学在近几年受到大量教师及学生的喜欢，不只是因为它较为新颖的课堂模式，更是因为它适应了新时代学生的需求。故此，我们应该尽可能快速地转换较为落后的旧的教学模式。除此之外，拓展性教学模式将课堂主体的地位归还于学生，使学生在展示自我的同时更加自信、勇敢，逐渐形成学习的良性动力，为学而学，而不是为成绩而学。 第四，拓展性的教学模式不只是提高了学生的综合能力，也为教师的教学提出了新的挑战，从课程的预备、拓展知识的获取，到课堂的把控、知识的讲解等诸多方面都需要老师努力完成。在不断地经验总结和方法创新中，拓展教师自身的综合能力。 二、初中数学拓展性教学的方法和途径 （一）基础性教学是进一步拓展教学的基石 拓展性教学存在意义是辅助学生在打好坚实基础的条件下，实现对一定数学知识的探索与观察，从而实现学生综合能力的提升。拓展性教学不能够舍本逐末地一味追求拓展，却忘记了基础。如果学生的综合成长是一栋建筑，基础知识的学习就是建筑的根基，若是根基不稳，会限制建筑的高度甚至是寿命。故此，如何把握拓展的尺度、课堂及方向，都给教师提出了挑战。当然，教学基礎知识不代表填鸭式的灌输型。而是对简练的教学语言进行生活化的解析，使学生不是死
初中数学课程标准及解读[最新] 初中数学课程标准及解读 一、数学课程标准的性质: 《标准》是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育数学课程的基本规范和质量要求。 数学课程标准规定的是国家对国民在数学方面的基本素质要求，它对数学教材、数学教育和评价具有重要的指导意义，是其出发点和归宿，也是其灵魂。 二、课程标准的特点: (1)体现素质教育观念 (2)突破学科中心 (3)引导学生改革学习方式 4)加强评价改革的指导 (5)拓展课程实施空间 三、数学课程的基本理念: (1)义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性、发展性，使数学面向全体学生。实现:人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。 (2)数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象;数学为其他科学提供了语言、思考和方法，是一切重大技术发展的基础;数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用;数学是人类的一种文化。它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 (3)学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
(4)数学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识、经验的基础之 上。教师应激发学生的学习积极性、向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者。 (5)评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和 改进教师的教学;应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程;要关注学生学习数学的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感和态度。帮助学生认识自我、建立信心。 (6)现代教育技术的发展对数学的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了 重大的影响，数学课程的设计与实施应重视运用现代的信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。 四、《标准》的前言部分: (1)数学课程的基本出发点是什么,什么是数学?数学的作用是什么, 答:出发点:促进学生全面、持续、和谐的发展。 数学是人们对现实世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括，形成方法与理论，并进行广泛应用的过程。 作用:基本理念第二点 (2)数学课程要面向全体是什么意思,
初中数学拓展Ⅱ课本 教学参考材料 编者的话 《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在 初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓 展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。为了帮助执 教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考 材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第 一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。本《材料》提供 执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好 基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝 贵意见和修改建议。 初中数学教材编写组2007年8 月 第一部分课本概述 初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。 本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着
眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。这些知识内容，是学生进一步学习和参与社会生活必备的数学基础；但是，对于将要进入普通高中学习的学生，其数学知识基础的准备还存在不足。例如在高中数学中，关于一元二次不等式解法的探讨，需要运用二次函数的图像与x轴的位置关系特征；关于函数解析性质的研究和理解，需要借助于二次函数的直观性质；关于集合与命题的讨论、正弦定理以及在直角坐标平面上深入进行关于圆的研究等，还需要更多的有关圆的知识。因此，安排拓展II的内容并采用自主选择的方式，组织希望在初中毕业后进入普通高中的学生修习，有助于这些学生充实数学基础知识，改善初、高中数学的衔接。 本册课本的编写，注重于初中数学基础知识的充实和内容结构的完善，关注学生进入普通高中学习数学基本内容的需要。同时，重视与初中数学必学课本中有关内容建立紧密的联系，体现内容的整体性；注意保持初中数学必学课本的编写特点，注意把握有关内容的基础性要求，注意改善内容呈现的方式和体现数学学习的过程。 本册课本第一章是“一元一次方程与二次函数”。在必学课本中讨论一元二次方程与二次函数的基础上，本章着重研究一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的图像相对于x轴的位置与一元二次方程的根的判别式之间的关系、二次