《非线性与离散系统》课程教学大纲
Nonlinear and Discrete Control System
课程编号：2000492 学时数：32
适用专业：电气工程及其自动化学分数：2学分
执笔者：王艳邱瑞昌编写日期：2002.5
一、课程的性质和目的
课程性质：非线性离散控制系统是电气工程及其自动化专业的技术基础选修课之一。
主要目的：培养学生
１、掌握非线性控制系统、离散控制系统的分析方法；
２、学会使用非线性环节改善系统的动态性能及用离散系统的理论分析数字系统；
３、掌握典型非线性环节及采样系统的实验方法，获得实验技能的基本训练。
4．了解非线性控制系统和离散控制系统的发展方向。
二、课程教学内容
第一章非线性控制系统
内容：理解非线性控制系统的基本概念及其与线性控制系统的区别，掌握非线性控制系统的两种分析方法 描述函数法和相平面法；学会利用非线性特性改善系统的动态性能。了解如何运用计算机对非线性系统进行辅助分析和设计。
重点：描述函数法、相平面法。
难点：运用两种分析法分析非线性系统。
作业：9个。
自学内容：典型环节描述函数的求取，（自学不占课时，但要考试）。自学前给出求取描述函数的一般方法，自学后布置作业检验自学效果。
课堂讨论：如何利用非线性特性改善控制系统的动态性能。
实验环节：非线性控制系统的综合与校正、采样控制系统设计实验。
第二章线性离散控制系统
理解采样过程的数学描述，掌握采样定理，会确定采样周期；掌握信号如何恢复和保持，会运用Ｚ变换求取系统的脉冲传递函数；会分析线性离散系统的稳定性；学会运用时域分析法分析离散系统；了解数字控制器的模拟化和数字化的设计方法。
重点：采样定理、信号的采样和保持、Ｚ变换、脉冲传递函数、离散系统的稳定性。
难点：采样过程、离散系统的稳定性、数字控制器的设计。
作业：8个。
自学内容：Z变换与Z的反变换，（自学不占课时，但要考试）。自学前对内容作简要介绍，自学后布置作业检验自学效果。
课堂讨论：数字控制器的设计方法。
实验环节：采样控制系统的校正
三、课程教学的基本要求
本课程的教学环节包括：自学、课堂讲授、自制多媒体电子课件、习题课、课外作业、实验。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题和解决问题的能力。
（一）课堂讲授
1、教学方法：
采用启发式教学，鼓励学生自学，培养学生的自学能力；精选教学内容，精讲多练；思考题和课外作业为主，调动学生学习的主动性。
2、教学手段：
课堂讲授与电子教案授课相结合，开展CAI课件的研制、引进和应用、研制多媒体教学系统。
3、计算机的应用：
在模拟非线性系统、离散系统仿真实验的同时，适当安排学生上机使用MATLAB软件作数字仿真实验。
4、外语的要求
在讲授过程中，给出各章节主要专业名词的英语单词，通过本课的学习，学生可接触到80个左右专业名词的英语单词。如：Nonlinear time-invaried Control System（非线性时不变控制系统） saturation nonlinearity（饱和非线性） dead-zone nonlinearity （死区非线性） backlash nonlinearity（间隙非线性） describing function（描述函数） phase plane （相平面）phase portraits（相轨迹） singular points（奇点）limit cycles（极限环） Linear time-invariant discrete System（线性离散时不变系统） difference equations（差分方程） z-transform（Z变换） inverse z-transform （Z反变换）sampled data（采样） data reconstruction （信号保持）pulse transfer function（脉冲传递函数） zero-order hold（零阶保持器） digital filter（数字滤波器） discrete system stability （离散系统的稳定性）
（二）教学辅助资料
《自动控制原理习题集》，引导学生复习和自学。实验指导书，非线性离散系统试题库。
（三）实验环节
两个设计性实验。
(四)习题课、
第一章:4个。第二章4个
(五)作业方面
1、目的：
巩固讲授的基本理论知识；培养解题能力和技巧；学会分析非线性系统和离散系统，了解数字控制器的设计方法。
2 、课外习题内容：
第一章 9个。第二章8个。
(六)考试环节
考试形式采用笔试，题型有：填空、选择、问答、计算。
四、本课程与其它课程的联系与分工
本课程的先修课为：电路基础、电机拖动及其控制系统、自动控制原理等。后续课程《现代控制理论》、《最优控制》、《过程控制》、《计算机控制》、《控制系统的计算机仿真》等。
五、建议教材及教学参考书：
1、吴麒主编,《自动控制原理》清华大学出版社
2、戴忠达,《自动控制理论基础》清华大学出版社
3、Feedback Control Systems Phillips PRENTICE HALL Cliffs,New Jersey 07632
4、非线性离散系统实验指导书
六、对教师的基本要求：
1、熟练掌握非线性时不变系统和线性离散系统的分析方法，了解这两种系统的发展方
向，同时了解非线性时变系统和非线性离散系统的基本分析方法。
2、能够改革这两种系统的仿真方法，使学生最终能够达到设计系统的目的。
垫拯生』选盆煎！！！ 非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。 苏志霄郑兆昌 （清华大学工程力学系，北京，１０００８４） 谁≮ ＇Ｉ广 摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。 进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新 的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及 Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精 度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及 周期特性。 关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程 近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。然而。由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。 运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。因此，非线性系统的响应具有连续递推性。由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。 １非线性系统的连续线性化模型 考虑相空间中的，ｌ维自治或非自治非线性系统 ‘国家重点基础研究发展规划项目（编号：Ｇ１９９８０２０３１６）。国家自然科学基金资助项目（ＮＯ．１９９７２０２９），中国博士后科学基金资助项目（中博基【１９９９】）１７号。
非线性控制理论和方法 姓名：引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940
目录
第一章 模拟化设计基础 数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。 将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。 第一节 步骤 步骤1 模拟控制器的处理 在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下 图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟 控制器D(s)。事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。 然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。 以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。 步骤2 离散化模拟控制器 离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。 假设模拟控制器为s 2 D s 8s 15 +=?+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为： 转换结果为： 步骤3 检验数字控制器的性能 数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。 直流增益 dcgain(dz) 返回直流增益 频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图 零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图 步骤4 离散化控制对象 为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串连，即应对 Ts 1e G s s ()--进行离散化，这时可在c2d 函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即直接对G(s)离散化，则应在c2d 函数中使用冲击响应不变法（imp ）。 借用零阶保持器(zoh)方法，将对象20 G s s s 2()() =+带一阶保持器离散化的过程如下： 转换结果为： 步骤5 模拟仿真 求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。 ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数 dz=c2d(ds,,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控制器 ...... %模拟控制器D(s)转换为D(z)的过程见前 gs=zpk([ ],[0,-2],20) %建立对象的s 传递函数 g1z=c2d(gs,,'zoh') %借用c2d 函数进行带零阶保持器的对象的离散化
《现代控制理论》MOOC课程 1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式
一. 时间离散系统 离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为 x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k) 二. 线性时变系统 其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数； 线性时变系统的状态空间表达式为： x =A t x +A t u y=C t x +D t u
三. 非线性系统 x =f (x,u , t ） y=g (x,u,t) 1.非线性时变系统的状态空间表达式 式中，f ，g 为函数向量； x =f (x,u ） y=g (x,u) 2.非线性定常系统的状态空间表达式 当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统
3.非线性系统的线性化 x =f (x,u ） y =g (x,u) 设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。 f (x 0,u 0)=0 , y 0= g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项： x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0 +?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu
则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为： δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x =A ?x +B ?u ?y =C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0
《非线性与离散系统》课程教学大纲 Nonlinear and Discrete Control System 课程编号：2000492 学时数：32 适用专业：电气工程及其自动化学分数：2学分 执笔者：王艳邱瑞昌编写日期：2002.5 一、课程的性质和目的 课程性质：非线性离散控制系统是电气工程及其自动化专业的技术基础选修课之一。 主要目的：培养学生 １、掌握非线性控制系统、离散控制系统的分析方法； ２、学会使用非线性环节改善系统的动态性能及用离散系统的理论分析数字系统； ３、掌握典型非线性环节及采样系统的实验方法，获得实验技能的基本训练。 4．了解非线性控制系统和离散控制系统的发展方向。 二、课程教学内容 第一章非线性控制系统 内容：理解非线性控制系统的基本概念及其与线性控制系统的区别，掌握非线性控制系统的两种分析方法 描述函数法和相平面法；学会利用非线性特性改善系统的动态性能。了解如何运用计算机对非线性系统进行辅助分析和设计。 重点：描述函数法、相平面法。 难点：运用两种分析法分析非线性系统。 作业：9个。 自学内容：典型环节描述函数的求取，（自学不占课时，但要考试）。自学前给出求取描述函数的一般方法，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：如何利用非线性特性改善控制系统的动态性能。 实验环节：非线性控制系统的综合与校正、采样控制系统设计实验。 第二章线性离散控制系统 理解采样过程的数学描述，掌握采样定理，会确定采样周期；掌握信号如何恢复和保持，会运用Ｚ变换求取系统的脉冲传递函数；会分析线性离散系统的稳定性；学会运用时域分析法分析离散系统；了解数字控制器的模拟化和数字化的设计方法。 重点：采样定理、信号的采样和保持、Ｚ变换、脉冲传递函数、离散系统的稳定性。 难点：采样过程、离散系统的稳定性、数字控制器的设计。 作业：8个。 自学内容：Z变换与Z的反变换，（自学不占课时，但要考试）。自学前对内容作简要介绍，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：数字控制器的设计方法。 实验环节：采样控制系统的校正 三、课程教学的基本要求 本课程的教学环节包括：自学、课堂讲授、自制多媒体电子课件、习题课、课外作业、实验。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题和解决问题的能力。 （一）课堂讲授 1、教学方法： 采用启发式教学，鼓励学生自学，培养学生的自学能力；精选教学内容，精讲多练；思考题和课外作业为主，调动学生学习的主动性。
在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上的连续性这一基本问题。 从根本意义上讲，数字计算机所进行的数值计算仅仅是“数字”计算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质上是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到的离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。 设系统模型为：),,(t u y f y =&，其中u (t )为输入变量，y (t )为系统变量；令仿真时间间隔为h ，离散化后的输入变量为)(?k t u ，系统变量为)(?k t y ，其中k t 表示t=kh 。如果)()(?k k t u t u ≈，)()(?k k t y t y ≈，即0)()(?)(≈-=k k k u t u t u t e ，0)()(?)(≈-=k k k y t y t y t e （对所有k=0,1,2,…），则可认为两模型等价，这称为相似 原理（参见图）。 实际上，要完全保证0)(,0)(==k y k u t e t e 是很困难的。进一步分析离散化引的误差，随着计算机技术的发展，由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真建模方法。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求： （1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。关于稳定性的详细讨论将在节中进行。 （2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则：δ≤-=)()(?)(k k k y t y t y t e 相对误差准则：δ≤-= )(?)()(?)(k k k k y t y t y t y t e 其中 规定精度的误差量。 原连续模型 仿真模型 )(≈k y t e 图 相
实验一、离散时间系统及离散卷积 1、单位脉冲响应 源程序： function pr1() %定义函数pr1 a=[1,-1,0.9]; %定义差分方程y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n) b=1; x=impseq(0,-20,120); %调用impseq函数（matlab软件的函数库） n=[-20:120]; %定义n的范围，从-20 到120 h=filter(b,a,x); %调用函数给纵坐标赋值 figure(1) %绘图figure 1 (冲激响应) stem(n,h); %在图中绘出冲激 title('单位冲激响应（耿海锋）'); %定义标题为:'冲激响应（耿海锋）' xlabel('n'); %绘图横座标为n ylabel('h(n)'); %绘图纵座标为h(n) figure(2) %绘图figure 2 [z,p,g]=tf2zp(b,a); %绘出零极点图 zplane(z,p) function [x,n]=impseq(n0,n1,n2) %声明impseq函数 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0]; 结果： Figure 1:
Figure 2:
2、离散系统的幅频、相频的分析 源程序： function pr2() b=[0.0181,0.0543,0.0543,0.0181]; a=[1.000,-1.76,1.1829,-0.2781]; m=0:length(b)-1; % m的范围，从0 到3 l=0:length(a)-1; % l的范围，从0 到3 K=5000; k=1:K; w=pi*k/K; %角频率w H=(b*exp(-j*m'*w))./(a*exp(-j*l'*w));%对系统函数的定义 figure(1) magH=abs(H); %magH为幅度 angH=angle(H); %angH为相位 plot(w/pi,magH-耿海锋); %绘制w(pi)-magH-耿海锋的图形 figure(2) axis([0,1,0,1]); %限制横纵座标从0到1 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('|H|'); %y座标为 angle(H)-耿海锋 title('幅度，相位响应（耿海锋）'); %图的标题为:'幅度，相位响应（耿海锋）' plot(w/pi,angH); %绘制w(pi)-angH的图形 grid; %为座标添加名称 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('angle(H)'); %y座标为 angle(H) 结果： Figure1
1 第二章 非线性微分动力系统的一般性研究 在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。 本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统： ()dx x f x dt '== (2.1) 其中n x R ∈，()f x 是定义在某个开集n G R ?中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。 2.1 常点流、直化定理 本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。 定理2.1 设有定义在开集n G R ?上的动力系统(2.1)，0x G ∈是它的一个常点，则存在0x 的邻域0()U x 及其上的r C 微分同胚α，它将0()U x 内的流对应为n R 内原点邻域的一族平行直线段。 证明：由于0x 是常点，0()f x 是n R 中的非零向量，通过非奇异线性变换β（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将0x 对应为新坐标系的原点，且0()f x 化为列向量 (1,0,,0)T L （简记为(1,0)T r ），其中T 表示向量的转置，0r 代表(1)n -维零向量，而微分系统可化为 (),(0,0)(1,0)T x f x f ββ==r r & (2.2) 与此同时，0x 的邻域V ，在线性变换β的作用下化为
第三章 连续动态系统 讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程—状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。例，离散与连续的形象解释。 1．连续动态系统的数学描述 在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。 1.1 线性动态系统 用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次性（常数项直接提取到函数外）。例，判断ax y =与b ax y +=是否属于线性操作。 线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即 n n x a x a x 11111++=' n nn x n n x a x a x ++=' 1 矩阵形式：AX X =' 据ij a 的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。 1.2 非线性动态方程 如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。线性函数本质上只有一种，即： ax y = 不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。 非线性连续系统的动力学方程一般形式如下： ),,;,,(1111m n c c x x f x =' ),,;,,(1122m n c c x x f x =' ),,;,,(11m n n n c c x x f x =' 矩阵形式：),(C X F X =' n f f ,,1 中至少应有一个为非线性。),,(1n x x 称为状态变量，),,(1m c c 称为控制参量。 动力学方程是动力学中的术语，在系统科学中，通常称为演化方程。据演化方程对系统分类，系统 分为线性与非线性、自由与强迫系统（是否包含外来作用，)(),(t C X F X ψ+='）、自治与非自治系 统（是否明显包含时间变量，),,(t C X F X ='）。非自治系统的两个特例，一是变系数系统，二是强迫 系统。强迫系统、非自治系统分别可以转化自由系统、自治系统，所以为本章主要讨论自由、自治系统。 有了演化方程，有三种方法研究非线性系统的行为特性： ① 解析方法 一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例)(x f 具有适当形式时，用分离变量法获得解析方程。 ② 几何方法
连续时间非线性控制系统的采样镇定控制器的设计——基于近似离 散化模型上的方法 【摘要】：工程实践中遇到的动态系统通常是连续时间系统，与此相反，大多数复杂系统的反馈控制却是通过观察采样点上的系统行为来进行控制的，结果所得到的反馈控制系统是个混合系统，它含有连续信号和离散信号，这样的系统称之为采样系统，当今连续受控系统中数字控制器的广泛运用促进了对采样系统的研究，已有的线性采样系统理论显然不能满足处理非线性采样系统的需要，因此近年来非线性采样系统的分析与设计已经成为国际控制论界的持续的研究热点之一。利用计算机等一类离散控制装置来控制连续时间的受控对象时，都会遇到把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题，通过采样器和保持器来实现离散时间的采样控制，对于非线性连续受控系统，由于连续系统的时间离散化后一般得不到其等价的精确离散化模型表示的有限形式，实际上由其近似离散化模型代替来设计控制器，而近似会引起信号失真，那么基于近似离散化模型上设计的采样控制器，它是否同样对原连续受控系统有效?这是一个理论上需要认真研究的问题，1998年以来，A．Teel，D．Nesic等最先研究这样一类非线性控制系统的镇定问题，他们在采样间隔充分小的条件下，给出了各类以实用稳定方式的可镇定充分条件，通常对于实际控制器而言，其执行机构的工作响应频率是有限制的，控制器的采样周期不可能任意小，而在工业控制实践中，往往给定采样周期，然后进行控制器设
计，这是许多采样系统所面临的情况，因此当采样周期固定条件下的这样一类基本问题仍然没有解决，郑毓蕃教授首先研究了采样间隔固定条件下非线性采样系统的镇定问题，他用连续原型的方法研究了指数稳定类型的镇定问题，PKokotovic在2001年的国际自动化(Automatica[13])杂志上也提出这样的问题，本文在采样周期固定的条件下，研究基于近似离散化模型上设计的镇定采样控制器控制其连续受控系统的各类镇定问题，我们采用精确离散化模型与连续受控系统之间的镇定关系加上研究该精确离散化模型和近似离散化模型之间的镇定关系这样的技术路线，前者处理的方法与线性采样系统的理论有相似之处，因为精确离散化模型的状态在采样点上与连续受控系统的状态一致，而后者可纳入离散系统研究的轨道，唯一的区别是离散化模型是个含参数T的离散系统，利用离散李雅普诺夫函数直接方法，给出了关于参数了一致的指数稳定，渐近稳定以及输入到状态稳定概念并研究它们的各类镇定问题的充分条件，以及讨论相应的设计问题，全文包括以下几个部分：第一部分：对于基于近似离散化模型上设计控制器的非线性采样系统问题产生的背景，研究现状和发展前景作一个大概的回顾，并且对解决问题所采用的方法给出基本的框架，并提出了保证本文方法有效的2个基本假设。第二部分：含参数离散时间动力系统的李雅普诺夫函数理论是我们问题研究的数学基础，特别是含参数离散李雅普诺大逆定理的现代处理至关重要，它是相关的扰动分析的理论根基，为了研究的需要，我们用K类函数刻划含参数离散动力系统的各种稳定性，并且得到了相应稳定性的等价
离散时间信号与系统
实验：离散时间信号与系统的时域分析 一、实验目的 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的MATLAB函数； 2、掌握离散时间信号的MATLAB产生，掌握用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号的MATLAB编程； 3、牢固掌握系统的单位序列响应的概念，掌握MATLAB描述LTI系统的常用方法及有关函数，并学会利用MATLAB求解LTI系统响应，绘制相应曲线。 基本要求：掌握用MATLAB描述离散时间信号的方法，能够编写MATLAB程序，实现各种信号的时域变换和运算，并且以图形的方式再现各种信号的波形。掌握线性时不变离散系统的时域数学模型用MATLAB描述的方法，掌握线性常系数差分方程的求解编程。 二、实验原理 信号（Signal）一般都是随某一个或某几个独立变量的变化而变化的，例如，温度、压力、
声音，还有股票市场的日收盘指数等，这些信号都是随时间的变化而变化的，还有一些信号，例如在研究地球结构时，地下某处的密度就是随着海拔高度的变化而变化的。一幅图片中的每一个象素点的位置取决于两个坐标轴，即横轴和纵轴，因此，图像信号具有两个或两个以上的独立变量。 在《信号与系统》课程中，我们只关注这种只有一个独立变量（Independent variable）的信号，并且把这个独立变量统称为时间变量（Time variable），不管这个独立变量是否是时间变量。 在自然界中，大多数信号的时间变量都是连续变化的，因此这种信号被称为连续时间信号（Continuous-Time Signals）或模拟信号（Analog Signals），例如前面提到的温度、压力和声音信号就是连续时间信号的例子。但是，还有一些信号的独立时间变量是离散变化的，这种信号称为离散时间信号。前面提到的股票市场的日收盘指数，由于相邻两个交易日的日收盘指数相隔24小时，这意味着日收盘指数的时间变量是不连续的，因此日收盘指数是离散时间信号。 而系统则用于对信号进行运算或处理，或者
1 实验一 离散系统的分析 一 实验目的 1．学习利用采样控制理论； 2．使用MATLAB 理论进行分析； 3. 学习利用z 变换与反变换分析离散控制系统； 二、实验步骤 1．开机执行程序 C ：＼matlab ＼bin ＼matlab.exe (或用鼠标双击图标)进人MATLAB 命令窗口; 2．运用所学自动控制理论z 变换与反变换，使用MATLAB 的基本知识分析离散控制系统的基本性质及进行控制系统的设计。 3. MATLAB 离散系统基本命令 模型转换 1）连续系统离散化 sysd=c2d(sys,T) T 为采样时间 sysd=c2d(sys,T,method) method 有四种模式： a. ‘zoh’---采用零阶保持器， b. ‘foh’---采用一阶保持器， c. ‘tustin’---采用双线性逼近（tustin ）方法， d. ‘preqarp’---采用改进的（tustin ）方法， 2）离散系统连续化 sys=d2c(sysd,T,method) T 为采样时间 例 设) 1(1)(+=s s s g ， T=0.1s , 求G(z) 键入命令：sys=tf([1],[1 1 0]); c2d(sys,0.1) %采样时间0.1s 得到离散传递函数： 当采样时间取T=1s 时： 0.004837 z + 0.004679 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.905 z + 0.9048 0.3679 z + 0.2642 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679
实验：离散时间信号与系统的时域分析 一、实验目的 、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的函数； 、掌握离散时间信号的产生，掌握用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号的编程； 、牢固掌握系统的单位序列响应的概念，掌握描述系统的常用方法及有关函数，并学会利用求解系统响应，绘制相应曲线。 基本要求：掌握用描述离散时间信号的方法，能够编写程序，实现各种信号的时域变换和运算，并且以图形的方式再现各种信号的波形。掌握线性时不变离散系统的时域数学模型用描述的方法，掌握线性常系数差分方程的求解编程。 二、实验原理 信号（）一般都是随某一个或某几个独立变量的变化而变化的，例如，温度、压力、声音，还有股票市场的日收盘指数等，这些信号都是随时间的变化而变化的，还有一些信号，例如在研究地球结构时，地下某处的密度就是随着海拔高度的变化而变化的。一幅图片中的每一个象素点的位置取决于两个坐标轴，即横轴和纵轴，因此，图像信号具有两个或两个以上的独立变量。 在《信号与系统》课程中，我们只关注这种只有一个独立变量（）的信号，并且把这个独立变量统称为时间变量（），不管这个独立变量是否是时间变量。 在自然界中，大多数信号的时间变量都是连续变化的，因此这种信号被称为连续时间信号（）或模拟信号（），例如前面提到的温度、压力和声音信号就是连续时间信号的例子。但是，还有一些信号的独立时间变量是离散变化的，这种信号称为离散时间信号。前面提到的股票市场的日收盘指数，由于相邻两个交易日的日收盘指数相隔小时，这意味着日收盘指数的时间变量是不连续的，因此日收盘指数是离散时间信号。 而系统则用于对信号进行运算或处理，或者从信号中提取有用的信息，或者滤出信号中某些无用的成分，如滤波，从而产生人们所希望的新的信号。系统通常是由若干部件或单元组成的一个整体（）。系统可分为很多不同的类型，例如，根据系统所处理的信号的不同，系统可分为连续时间系统（）和离散时间系统（），根据系统所具有的不同性质，系统又可分为因果系统（）和非因果系统（）、稳定系统（）和不稳定系统（）、线性系统（）和非线性系统（）、时变系统（）和时不变系统（）等等。 然而，在信号与系统和数字信号处理中，我们所分析的系统只是所谓的线性时不变系统，这种系统同时满足两个重要的基本性质，那就是线性性和时不变性，通常称为线性时不变（）系统。 . 信号的时域表示方法 将信号表示成独立时间变量的函数 例如()(ω) 和[]()[] 分别表示一个连续时间信号和一个离散时间信号。在中有许多内部函数，可以直接完成信号的这种表达，例如： ()：正弦信号
目录 第一章模拟化设计基础1第一节步骤1第二节在MATLAB中离散化3第三节延时e-Ts环节的处理5第四节控制函数分类6第二章离散化算法10摘要10比较11第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11第四节后向差分近似法12第五节前向差分近似法14第六节双线性近似法(tustin) 15第七节预畸双线性法(prevarp) 17第八节零极点匹配法(matched) 18第三章时域化算法19第一节直接算法1—双中间变量向后递推19第二节直接算法2—双中间变量向前递推20第三节直接算法3—单中间变量向后递推21第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21第五节串联算法22第六节并联算法23第四章数字PID控制算法24第一节微分方程和差分方程25第二节不完全微分25第三节参数选择26第四节 c51框架27第五章保持器33第一节零阶保持器33第二节一阶保持器30附录两种一阶离散化方法的结果的比较31
第一章 模拟化设计基础 数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。 将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。 第一节 步骤 步骤1 模拟控制器的处理 在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图 的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控 制器D(s)。事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。 然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢还没有这方面的实际经验。 D(s)x u e -模拟控制器 1-e -Ts s G(s)对象 以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。 x u e -D(s)=8s+2 s+15 .G(s)=20 s(s+2) 步骤2 离散化模拟控制器 离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。 假设模拟控制器为s 2 D s 8s 15 +=?+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为： 转换结果为： x u e -D(z)= 6.1091(z-0.9048) z-0.4545 D(s)=8s+2 s+15. G(s)= 20s(s+2) 步骤3 检验数字控制器的性能 数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。 ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数 dz=c2d(ds,,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控
燕山大学 课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述 学院(系）：电气工程学院 年级专业：_11级精仪1班 学号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：
电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科
摘要 摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数
目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)
第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];
连续系统离散化处理的基本方法 在数字计算机上对连续系统进行仿真时,首先遇到的问题就是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上的连续性这一基本问题。 从根本意义上讲,数字计算机所进行的数值计算仅仅就是“数字”计算,它表示数值的精度受限于字长,这将引入舍入误差;另一方面,这种计算就是按指令一步一步进行的,因而,还必须将时间离散化,这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分就是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能就是原积分的一种近似。因此,连续系统仿真,从本质上就是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化,并选择合适的数值计算方法来近似积分运算,由此得到的离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为,这就是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。 设系统模型为:),,(t u y f y =&,其中u (t )为输入变量,y (t )为系统变量;令仿真时间间隔为h ,离散化后的输入变量为)(?k t u ,系统变量为)(?k t y ,其中k t 表示t=kh 。如果)()(?k k t u t u ≈,)()(?k k t y t y ≈,即0)()(?)(≈-=k k k u t u t u t e ,0)()(?)(≈-=k k k y t y t y t e (对所有k=0,1,2,…),则可认为两模型等价,这称为相似原理(参见图2、1)。 ,随着计,也称为仿真建模关于稳定性的详细讨论将在2、4节中进行。 (2)准确性:有不同的准确性评价准则,最基本的准则就是: 绝对误差准则:δ≤-=)()(?)(k k k y t y t y t e 相对误差准则:δ≤-= )(?)()(?)(k k k k y t y t y t y t e 其中δ 规定精度的误差量。 (3)快速性:如前所述,数字仿真就是一步一步推进的,即由某一初始值)(0t y 出发,逐步计算,得到)(,),(),(21k t y t y t y Λ,每一步计算所需时间决定了仿真速度。若第k 步计算对应的系统时间间隔为,1k k k t t h -=+计算机由)(k t y 计算)(1+k t y 需要的时间为T k ,则,若T k =h k 称为实时仿真,T k