二次函数综合题
一、解答题（题型注释） 1．（2014?七里河区校级三模）已知f （x ）是二次函数，且f （0）=0，f （x+1）=f （x ）+x+1，
（1）求f （x ）的表达式；
（2）若f （x ）＞a 在x ∈[﹣1，1]恒成立，求实数a 的取值范围． 2．已知函数()()||()f x x t x t R =-∈． （1）视t 讨论函数()f x 的单调区间；
（2）若(0,2)t ?∈，对于[1,2]x ?∈-，不等式()f x x a >+都成立，求实数a 的取值范围．
3．（本小题满分10分）函数f （x ）＝4x 2－4ax ＋a 2
－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．
4．已知函数2
()(1)1f x x m x =+-+.
（Ⅰ）若方程()0f x =有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x <的解集为12(,)x x ，且120||x x <-<，求实数m 的取值范围.
5．已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f .
(1)若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；
(2)若)(x f 在区间]2(，-∞上是减函数，且对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有
12|()()|4f x f x -≤，求实数a 的取值范围.
6．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)3f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）若函数31(log ),[,3]3
y f x m x =+∈的最小值为3，求实数m 的值；
（3）若对任意互不相同的12,(2,4)x x ∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．
7．已知二次函数2
()f x ax bx =++c 的图象通过原点，对称轴为n x 2-=，
()n ∈*N ．()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N ．
（1）求)(x f 的表达式（含有字母n ）；
（2）若数列{}n a 满足)(1n n a f a '=+，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）条件下，若2
12
n
n a a n n b -+?=，n n b b b S +++=K 21，是否存在自然数M ，
使得当M n >时n n S n -?+1
250>恒成立?若存在，求出最小的M ；若不存在，说明理
由．
8．设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数 （1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
9．设函数2()=2f x kx x +(k 为实常数)为奇函数，函数()
()1f x g x a
=-(01a a >≠且).
(1)求k 的值；
(2)求()g x 在[]1,2-上的最大值；
(3)当a =2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，求实数的取值范围．
10．已知二次函数2
()4,f x ax bx =++集合{}
()A x f x x == （1）若{}1,A =求函数()f x 的解析式；
（2）若1A ∈,且12,a ≤≤设()f x 在区间1,22??????
上的最大值、最小值分别为,M m ，
记()g a M m =-，求()g a 的最小值.
11．已知函数()f x ＝x 2
－4x ＋a ＋3，g(x)＝mx ＋5－2m ．
(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使f(x 1)＝g(x 2)成立，求实数m 的取值范围；
(Ⅲ)若函数y ＝f(x)（x ∈[t ，4]）的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为7－2t ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p ，q]的长度为q －p ）．
12．已知函数f(x)=2
ax bx c ++，其中*
,,.a N b N c Z ∈∈∈
（I ）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； （II ）若对任意实数x ，不等式2
4()2(1)x f x x ≤≤+恒成立,且存在
2000()2(1)x f x x <+使得成立，求c 的值。
参考答案
1．（1）
；（2）
【解析】 试题分析：（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f （0）=0，f （x+1）=f （x ）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；
（2）要使f （x ）＞a 在x ∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函数f （x ）在闭区间[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f （x ）的最小值．
解：（1）设f （x ）=ax 2
+bx+c ∵f （0）=0∴c=0
∴f （x ）=ax 2+bxf （x ）+x+1=ax 2
+（b+1）x+1f （x+1）
=a （x+1）2+b （x+1）=ax 2
+（2a+b ）x+a+b ∵f （x+1）
=f （x ）+x+1∴ax 2+（2a+b ）x+a+b=ax 2
+（b+1）x+1
∴∴
（2）f （x ）＞a 在x ∈[﹣1，1]恒成立 ∴x ＞a 在x ∈[﹣1，1]恒成立
∴
在x ∈[﹣1，1]恒成立．
∴
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质． 2．（1）详见解析；（2）4
1
-≤a ． 【解析】
试题分析：（1）对t 的取值分类讨论，再对x 的取值分类讨论，将()f x 的绝对值号去掉，利用二次函数的性质即可求解；（2）问题等价于求使得()f x x a ->恒成立的a 的取值范围，利用二次函数的性质再将问题等价转化为最值问题即可求解．
试题解析：（1）2
2,0
(),0
x tx x f x x tx x ?-≥?=?-+t 时，()f x 的单调增区间为[,)2t +∞，
(,0)-∞，单调减区间为[0,]2
t ，当0=t 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞，当0 [t ；（2）设 22(1),[0,2] ()()(1),[1,0] x t x x g x f x x x t x x ?-+∈=-=?-+-∈-?， ]2,0[∈x 时，∵1 (0,2)2t +∈，∴2min 1(1)()()24t t g x g ++==-， ]0,1[-∈x 时，∵(1)g t -=-，(0)0g =，∴min ()g x t =-， 故只须)2,0(∈?t ，使得：?????>->+-a t a t 4)1(2 成立，即140a a ?-≥???≥? ，∴41-≤a ； 另解：设()()||||h t f x x x t x x x =-=-?+-，(0,2)t ∈， 只须max ()h t a ≥，对[1,2]x ∈-都成立，则只须(0)||h x x x a =-≥，对[1,2]x ∈-都成立， 再设()||,[1,2]m x x x x x =-∈-，只须min ()m x a ≥，易求得4 1-≤a ． 考点：1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想． 3．a ＝1 或a ＝5 【解析】 试题分析：确定二次函数的最值，首先要确定其在定义域上的单调性，本题中二次函数对称轴为2 a x = ，因此首先讨论对称轴位置的三种情况：2a ≤0，0<2a <2，2a ≥2，从而确定其单 调性，将最值转化为用a 表示的关系式，求解a 值 试题解析：∵f （x ）＝4（x －2 a ）2 －2a ＋2， ①当 2 a ≤0，即a ≤0时，函数f （x ）在[0,2]上是增函数． ∴f （x ）min ＝f （0）＝a 2 －2a ＋2． 由a 2 －2a ＋2＝3，得a ． ∵a ≤0，∴a ＝1 ． ②当0< 2 a <2，即0 a ）＝－2a ＋2． 由－2a ＋2＝3，得a ＝－1 2 ?（0,4），舍去． ③当2 a ≥2，即a ≥4时，函数f （x ）在[0,2]上是减函数， f （x ）min ＝f （2）＝a 2 －10a ＋18． 由a 2 －10a ＋18＝3，得a ∵a ≥4，∴a ＝5 综上所述，a ＝1或a ＝5 考点：1．二次函数单调性与最值；2．分情况讨论 4．(1)31>- 试题分析：（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像 与横坐标的交点、二次不等式()002 ≠>++a c bx ax 解集的端点值、二次方程 ()002≠=++a c bx ax 的根是同一个问题.解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思 想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：一是二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式，二是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式?与0的关系，三是确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集；（3）讨论时注意找临界条件. 试题解析：解：（1）()0112 =+++x m x Θ有两个不相等的实数根，()0412 >--=?∴m 31>-<∴m m 或 由已知得21,x x 是方程()0112 =+++x m x 的两个实数根， 则m x x -=+121，121=?x x ，又32021<- 21<- ()1240212 21<-+<∴x x x x ，()124102 <--<∴m 5313<<-<<-∴m x 或. 考点：一元二次函数求参数的取值范围. 5．（1）2=a ；（2）a 的取值范围是[2,3]. 【解析】 试题分析：（1）根据条件)1(52)(2 >+-=a ax x x f ，可知()f x 为二次函数，其对称轴为 x a =，因此)(x f 在[1,]a 上是减函数，故根据条件)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，可列 出关于a 的方程组(1)()1 f a f a =?? =?，将()f x 具体的表达式代入，即可求得2a =；（2）首先根据 条件可知2a ≥，再由问题的描述，可将问题等价转化为求使对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有max min ()()4f x f x -≤成立的a 的取值范围，又由条件，二次函数()f x 的对称轴 [1,1]x a a =∈+，且左右端点1,1a +对于对称轴x a =的偏离距离(1)1a a a +-≤-，故有 max ()(1)62f x f a ==-，2min ()()5f x f a a ==-，因此可以建立关于a 的不等式，从而 求得a 的取值范围是[2,3]. 试题解析：（1）∵)1(52)(2 >+-=a ax x x f ,∴)(x f 在[1,]a 上是减函数 2分， 又定义域和值域均为],1[a ，∴(1)()1f a f a =?? =? ， 4分 即?? ?=+-=+-1 525212 2 a a a a ，解得2a =. 5分； （2）∵)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，∴2≥a ， 7分 又[1,1]x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-， ∴max ()(1)62f x f a ==-，2 min ()()5f x f a a ==-. 10分 ∵对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有12|()()|4f x f x -≤， ∴max min ()()4f x f x -≤, 12分 即 2 (62)(5)4a a ---≤,解得 13a -≤≤， 又∵2a ≥，∴23a ≤≤，a 的取值范围是[2,3]. 考点：1.二次函数的值域；2.二次函数与恒成立问题. 6．（1）2()23f x x x =-+；（2）1m =-或3m =；（3）[6,)+∞． 【解析】 试题分析：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠,根据(1)()21f x f x x +-=-及对应系数相等可 求得,,a b c 的值．（2）根据对数的单调性由1,33x ??∈????可得3log x 的范围,从而可得 3log t x m =+的范围．讨论t 的范围与函数图像对称轴间的关系,求其最小值,从而可得m 的 值．（3）不妨设12x x <,根据2()23f x x x =-+可知函数2()23f x x x =-+在()f x 在(2,4)上是增函数,即12()()f x f x <,从而可将1212|()()|||f x f x k x x -<-转化为 2121()()f x f x kx kx -<-．构造函数,用函数的单调性求k ． 试题解析：解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 则(1)()f x f x +-22(1)(1)()a x b x c ax bx c =++++-++ 2ax a b =++ 又(1)()21f x f x x +-=-，故 221ax a b x ++=-恒成立， 则221a a b =??+=-? ，得1,2a b ==- 又(0)3f c == 故()f x 的解析式为2()23f x x x =-+ （2）令3log t x m =+，∵1[,3]3 x ∈，∴[1,1]t m m ∈-+ 从而22()23(1)2y f t t t t ==-+=-+，[1,1]t m m ∈-+ 当11m +≤，即0m ≤时，2min (1)23y f m m =+=+=， 解得1m =-或1m =（舍去） 当111m m -<<+，即02m <<时，min (1)2y f ==，不合题意 当11m -≥，即2m ≥时，2min (1)463y f m m m =-=-+=， 解得3m =或1m =（舍去） 综上得，1m =-或3m = （3）不妨设12x x <，易知()f x 在(2,4)上是增函数，故12()()f x f x < 故1212|()()|||f x f x k x x -<-可化为2121()()f x f x kx kx -<-， 即2211()()f x kx f x kx -<-（*） 令()()g x f x kx =-，(2,4)x ∈，即2()(2)3g x x k x =-++，(2,4)x ∈ 则（*）式可化为21()()g x g x <，即()g x 在(2,4)上是减函数 故 242 k +≥，得6k ≥，故k 的取值范围为[6,)+∞ 考点：1待定系数法求函数解析式；2函数值域,对数函数的单调性；3构造函数 【解析】 试题分析：（1）利用二次函数f （x ）=ax 2 +bx+c 的图象通过原点，对称轴为x=-2n ，（n ∈N * ）．)(x f '是f （x ）的导函数，且n f 2)0(='，可求f （x ）的表达式（含 有字母n ）； （2）由（１）可得n a a n n 21+=+，从而有n a a n n 21=-+，利用叠加法： )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ，求出数列{a n }的通项公式； （3）由(2)可知n n n b 2?=，它是由一个等差数列}{n 与一个等比数列}2{n 的对应 项的积构成的一个新的数列，这种数列的前n 项和可利用两边同时乘公比相减的 错位相减法求和先求出n S ，然后就可将不等式n n S n -?+1 250>恒成立转化为只含 n 的不等式恒成立问题，即可得出结论． 试题解析：（1）由已知，可得0=c ，()2f x ax b '=+， 1分 ∴??? ??==n a b n b 222 解之得12a =，n b 2= 3分 nx x x f 22 1)(2 += ∴ 4分 （2）Θn a a n n 21+=+ 5分 11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=∴---K =442 ) 1(24)1321(22+-=+-? =+-++++n n n n n K 8分 （3）n n n n n a a n n 2)4(4)1()1(2 21=+--++-+=-+ n a a n n n b n n 22 2 1?=?=∴-+ 10分 n n n S 2232221321?++?+?+?=K （1） 1332242322212+?+?+?+?=n n n S K （2） （1）—（2）得：111 212222 222+++?--=?-++=-n n n n n n n S K … 12分 ∴n n S n -?+12=50221>-+n ，即5221>+n ，当5≥n 时，5221>+n … 13分 4=∴M 存在，使得当M n >时，n n S n -?+1250>恒成立 14分 考点：１．数列的通项与求和；2．恒成立问题；3．数列与函数的综合． 8．(1) 21 0()120233a a g a a a a a a --≥?? =--<<--??≤-+? ;(2)min 0m =. 【解析】 试题分析：(1)根据二次函数()20y ax bx c a =++>在区间,2b a ? ? -∞- ??? 上单调递减,在区间 ,2b a ??-+∞???? 上单调递增,又函数()f x 的对称轴为直线x a =-,且[]0,2x ∈,可分0a -?,2a …,02a <-<进行分类讨论,从而求得函数()f x 的最小值()g a 的解析式;(2)由(1)知当0a …时,函数()1g a a =--为单调递减函数,且最大值为1-,当20a -<<时,函数 ()21g a a a =---,在12,2??-- ???上为单调递增,在1,02?? - ???上单调递减,最大值为 1324g ?? -=- ??? ,当2a -?时,函数()33g a a =+为单调递增,最大值为3-,所以关于自变量 a 的函数()g a 的最大值为1324g ?? -=- ??? ,又由不等式()0g a m -≤得()g a m ?,对于任意 a R ∈均成立,从而存在最小的整数m . 试题解析：（1）由题意,函数()221f x x ax a =+--图像是开口向上,对称轴x a =-的抛物线, 当00a a -≤?≥时，()f x 在[]0,2上是增函数，0x =时有最小值(0)1f a =-- 当22a a -≥?≤-时，()f x 在[]0,2上是减函数，2x =时有最小值(2)33f a =+ ③当0220a a <- 2()1f a a a -=---21 0,()120233a a g a a a a a a --≥?? ∴=--<<--??≤-+? 8分 （2）存在， 由题知()g a 在1-,2??∞- ?? ?是增函数，在1,+2 ??-∞???? 是减函数 12a =-时，max 3()4 g a =-， ()0g a m -≤恒成立max ()g a m ?≤，34 m ∴≥- m Q 为整数，m ∴的最小值为0 14分 考点：二次函数单调性、最值. 9．（1）0k =；（2）4max 2 1, (1) [()]1 1, (01)a a g x a a ?->? =?-< 试题分析：（1）根据()f x 为奇函数得到x R ?∈，恒有()()f x f x -=-，从而计算出k 的值；（2）根据指数函数的图像与性质对a 进行分类讨论确定函数()g x 的单调性，从而由单调性求出()g x 在[1,2]-的最大值；（3）先根据（2）计算出max [()]g x ，然后将不等式的恒成立问题转化成2 max [()]21g x t mt ≤-+对[1,1]m ∈-恒成立，接着构造关于m 的函数 2max ()21[()]h m t mt g x =-+-，从而列出不等式组(1)0(1)0 h h -≥??≥?，求解不等式即可得出t 的 取值范围. 试题解析：（1）由()()f x f x -=-得 2222kx x kx x -=--，∴0k = 2分 （2）∵()22() 11()1f x x x g x a a a =-=-=- 3分 ①当21a >，即1a >时，2() ()1x g x a =-在[1,2]-上为增函数 ∴()g x 最大值为4 (2)1g a =- 5分 ②当21a <，即01a <<时，2() ()1x g x a =-在[1,2]-上为减函数 ()g x ∴的最大值为21 (1)1g a -= - 7分 4max 21, (1)[()]1 1, (01)a a g x a a ?->? ∴=?-< 上的最大值为2 (1)11g =-= 2121t mt ∴≤-+即220t mt -≥在[1,1]m ∈-上恒成立 10分 令2 ()2h m mt t =-+ 2 2 (1)20(1)20 h t t h t t ?-=+≥?∴?=-≥??即2002t t t t ≤-≥??≤≥?或或 所以2t ≤-或0t =或2t ≥ 14分 考点：1.一次与二次函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.二次不等式. 10．(1)2 ()474f x x x =-+(2)()min 98 g a = 【解析】 试题分析：(1)由集合的意义可知{}1A =表示方程() 2 140ax b x +-+=有两个相等的实 数即二次方程的判别式为0.(2)这类题型熟练掌握二次函数的单调性和分类讨论思想方法是解题的关键,本题特殊在对称轴在区间内且离右端点近,所以不用分类讨论最值位置.求出最值得到()9 ()124g a a a =≤≤可由单调性其最小值. 试题解析： （1）由{}{}()=1A x f x x ==知二次方程() 2 140ax b x +-+=有两个相等的实数根 故()2 116030 b a a b ??=--=??++=?? 解得：47a b =??=-? ，所以2()474f x x x =-+ (5分) （2）因为1A ∈，所以30a b ++=，又因为2 ()4,f x ax bx =++ 所以()2()34,f x ax a x =-++()12a ≤≤ 7分 对称轴0313222a x a a += =+ 因为12,a ≤≤所以0524,x ??∈???? 又因为1,22x ?? ∈????， 所以()2013109 224a a m f x f a a -+-??==+= ??? 10分 11024a M f -??== ??? ，所以()9()124g a M n a a =-=≤≤，在12,????上为关于a 的增函数， 故当2a =时,()min 9 8 g a = 12分 考点：函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值 11．（1）[－8，0] ；（2）(,3][6,)-∞-?+∞；（3）t ＝－1或32 ． 【解析】 试题分析：（1）函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：(1)0 (1)0 f f ?? -?≤≥；（2）确定值域关系即 集合关系，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使f(x 1)＝g(x 2)成立，只需函数y ＝f(x)的值域为函数y ＝g(x)的值域的子集．（3）分类讨论，确定二次函数的值域. 试题解析：(Ⅰ)：因为函数()f x ＝x 2 －4x ＋a ＋3的对称轴是x ＝2， 所以()f x 在区间[－1，1]上是减函数， 1分 因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有： (1)0(1)0f f ?? -?≤≥即0 80 a a ??+?≤≥， 4分 解得0a －8≤≤，故所求实数a 的取值范围为[－8，0] ． 5分 (Ⅱ)若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使f(x 1)＝g(x 2)成立，只需函数y ＝f(x)的值域为函数y ＝g(x)的值域的子集． ()f x ＝x 2 －4x ＋3，x ∈[1，4]的值域为[－1，3]， 7分 下求g(x)＝mx ＋5－2m 的值域． ①当m ＝0时，g(x)＝5－2m 为常数，不符合题意舍去； ②当m ＞0时，g(x)的值域为[5－m ，5＋2m]，要使[－1，3]? [5－m ，5＋2m]， 需52m m ?? +? 5-≤-1 ≥3，解得m ≥6； 9分 ③当m ＜0时，g(x)的值域为[5＋2m ，5－m]，要使[－1，3]? [5＋2m ，5－m]， 需52m m +?? ?≤-1 5-≥3 ，解得m ≤－3； 综上，m 的取值范围为(,3][6,)-∞-?+∞． 10分 (Ⅲ)由题意知4720 t t ->?，可得7 2t <． ①当t ≤0时，在区间[t ，4]上，f(t)最大，f(2)最小， 所以f(t)－f(2)＝7－2t 即t 2 －2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3（舍去）； ②当0＜t ≤2时，在区间[t ，4]上，f(4)最大，f(2)最小， 所以f(4)－f(2)＝7－2 t 即4＝7－2t ，解得t ＝32 ； 12分 ③当2＜t ＜72 时，在区间[t ，4]上，f(4)最大，f(t)最小， 所以f(4)－f(t)＝7－2t 即t 2 －6t ＋7＝0，解得t ＝3， 综上所述，存在常数t 满足题意，t ＝－1或3 2 ． 14分 考点：1、二次函数零点；2、分类讨论思想. 12．（I ）min 17 ()4 f x =- (2)使1c = 【解析】（I ）f(sinx)=2sin sin a x b x c ++ 1,12b x a - <-∴=-对称轴在左边 min (sin )(1)4,f x f ∴=-=- f(sinx)max =f(1)=2, 4,2,a b c a b c -+=-?∴? ++=? 3, 1,b c a =??=--? 又b>2a>0,1, 2.a c ∴==- 2 ()3 2.f x x x ∴=+- min 17 ()4 f x =- (7分) (2)2 4()2(1),4(1)2(11)4,(1) 4.(1)x f x x f f ≤≤+∴≤≤+=∴=Q 分 4,4().(1)a b c b a c ∴++=-=-+即分 2()4,(4)0.f x x ax b x c ≥+-+≥Q 又即恒成立 2(4)40,()40,b ac a c ac ∴?=--≤---≤即 2* ()0,.(2) 420,2,.1 2.(1) a c a c b a a a N a a ∴-≤∴=∴=-≥≤∈∴==分又或分 22,2,0,()2 2.a c b f x x ==∴=∴=+当时 不存在 2 000()2 2.x f x x <+使 当a=1时，c=1,2 2,()2 1.b f x x x ∴=∴=++ 此时存在x 0,使2 00()2(1). 1.(2)f x x c <+=故分 水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2 二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到 小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表： 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23 y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1 y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1； 当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围 成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎 样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如 何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积. 【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、 二次函数综合题分类讨论 一、直角三角形分类讨论： 1 1、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形， 这样的 C 点你能找到个 2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形 是直角三角形时，求点Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147） 3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)． (1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式； ? (2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形 若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边 C’O’所在直线的解析式． 第05练 二次函数与幂函数 刷基础 1．（2020·贵溪市实验中学高二期末）已知函数( ) 2 53 ()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数， 则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0 【答案】B 【解析】 由题意得2 11,530,1m m m m --=-->∴=-， 故选：B. 2．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数1y x = 、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数 的图象经过的部分是④⑧，则 可能是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y x = C ．12 y x = D ．y=x -2 【答案】B 【解析】 由图象知，幂函数()f x 的性质为： （1）函数()f x 的定义域为()0+∞， ； （2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1 f x x >； 所以()f x 可能是y x = .故选B. 3．（2019·河南高三月考）若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A 【解析】 因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x = ， 2 1ln ()x f x x -'= ，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数. 则()(3)f f π<，即 ln ln 3 3 π π < ，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 4．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是（ ） A ．2213 3 3 111252??????<< ? ? ? ?????? B ．122333 111225??????<< ? ? ? ?????? C ．212333 111522??????<< ? ? ? ?????? D ．221333 111522??????<< ? ? ? ?????? 【答案】D 【解析】 因为12x y ??= ???是单调递减函数，1233<，所以12 331122????> ? ????? ， 因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，11 52 <； 所以223 3 1152????< ? ? ???? ， 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 二次函数综合题——等腰三角形 一．解答题（共30小题） 1．（2014?新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．（1）求该二次函数的解析式； （2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标． 2．（2014秋?怀宁县校级月考）如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x 轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6． （1）求该二次函数的表达式； （2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 3．（2011?淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2014?曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标． （2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形． 5．（2008秋?密云县期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5）， （1）求这个二次函数的解析式； （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标． 6．（2008?海淀区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求： （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值； （3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标． 7．（2006?松江区二模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图象经过点A（﹣2，m）（m＜0），与y轴交于点B，AB∥x轴，且3AB=2OB． （1）求m的值； （2）求二次函数的解析式； （3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型04 二次函数的实际应用题 一、单选题 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣ 16 x 2 +bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( ) A ．2m B ．4m C ． D ．【答案】D 【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4． 所以抛物线的顶点横坐标为6， 即﹣2b a =13 b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为： y =﹣ 16 x 2 +2x +4 =﹣ 16 （x ﹣6）2 +10 当y =8时， 8=﹣ 1 6 （x ﹣6）2+10， 解得：x 1 x 2=6﹣ 则x 1﹣x 2 ． 所以两排灯的水平距离最小是 43． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决． 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（） A．33°B．36°C．42°D．49° 【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 该函数的对称轴x＞1854 2 且x＜54， ∴36＜x＜54， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（） 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 二次函数与几何图形结合题（24题考查） （2007 陕西） 24．（本题满分10分） 如图，在直角梯形OBCD 中，8110OB BC CD ===，，． （1）求C D ，两点的坐标； （2）若线段OB 上存在点P ，使PD PC ⊥，求过D P C ，， 三点的抛物线的表达式． （2008陕西） （2009 陕西） （第24题 （2010 陕西） （2011 陕西） 24．（本题满分10分） 如图，二次函数x x y 3 1 322—= 的图像经过△AOC 的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n) 一、求A 、B 的坐标 二、在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形 三、这样的点C 有几个？ 四、能否将抛物线x x y 3 1 322—= 平移后经过A 、C 两点，若能求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解读式；若不能，说明理由。 (2012年24题) 24.（2012）如果一条抛物线()2=++0y ax bx c a ≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是三角形； （2）若抛物线()2=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线()2=-+''>0y x bx b 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O C D 、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． （2013年24题） ２４.（2013）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A （1,0）B （3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴； （2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y 轴交与点C ，它的对称轴与x 轴交与点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式. （2014年24题） 24.（2014）已知抛物线C:c bx x y ++-=2 经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x 轴的交点记为N. (1)求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标； （3）将抛物线C 平移到抛物线C ’，抛物线C ’的顶点记为M ’、它的对称轴与x 轴的交点记为N ’。如果点M 、N 、M ’、N ’为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？ 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 , 填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不 二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD， 高考数学复习二次函数测试题 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为 (0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、 ()2,0B x ，且2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值 或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则 122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、 ()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性 x y O 二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； 秒杀二次函数综合问题(高考专题) 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知，满足1 且 ，求 的取值 范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1 和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵ ，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 例2 设 ，若 ，，, 试证圆与二次函数难度题(含答案)
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